李永乐考研数学冲刺笔记(网友整理版)
李永乐.线性代数冲刺笔记(打印版)
【解】而由r(A)＝2知r(A*)＝1，所以通解由n－r(B)＝3－1＝2个解向量构成.
又|A|＝0，得A*A＝A A*＝|A|E＝0 A的列向量是A*x＝0解.
【解】由r(A)＝3知Ax＝0的通解由n－r(B)＝4－3＝1个解向量构成.从而
3(α1＋α2)－2(α2＋2α3)是Ax＝0的解，即[－1，0， 1，2]T
(α2＋2α3)－(α1＋α2)是Ax＝b的解，即[1，1， 1，1]T
从而，[1，1，1，1]T＋k[－1，0， 1，2]T是Ax＝b的通解，其中k为任意常数.
【分析】从AB＝0要得想到两方面的信息：(I) r(A)＋r(B)≤n(II)B的列向量均是Ax＝0的解.
}
【解】由AB＝0 r(A)＋r(B)≤3.
因为A≠0，B≠0知1≤r(A)≤2，1≤r(A)≤2
当k≠9时，r(B)＝2，从而r(A)＝1，此时极大无关组为α1.由AB＝0得
(k－9)α3＝0
（或用秩）
#
∵η1，η2，…，ηt线性无关，α是Ax＝b的解 α不能由η1，η2，…，ηt线性表出.
x1η1＋x2η2＋…＋xtηt＝α无解 r(η1，η2，…，ηt)≠r(η1，η2，…，ηt，α)
∵r(η1，η2，…，ηt)＝t r(η1，η2，…，ηT，α)＝t＋1
r(α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt)＝t＋1 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.
由i知132230从而32112234????????????01320用观察法取另一个向量使得它与2310t线性无关即32112234???????????????11210所以bx的通解是5310tk12310tk21211t其中k1k2为任意常数
万学海文名师李永乐谈09考研数学线性代数复习完美攻略
万学海文名师李永乐谈09考研数学线性代数复习完美攻略嘉宾：李永乐广受学生信赖的“线代王”，万学海文考研数学辅导“黄金团队”领头人，全国硕士研究生入学考试北京地区数学阅卷组组长，清华大学应用数学系教授，北京高教学会数学研究会副理事长。
主持人：各位同学大家好，很高兴今晚又与大家相约在万学海文辉煌讲堂。
针对09年的考研公共课规划，我们在前几期的节目中邀请到了考研英语辅导界的众多名师为大家做了英语复习的规划。
今天开始我们非常荣幸地邀请到全国硕士研究生入学考试北京地区数学阅卷组组长，清华大学应用数学系教授，北京高教学会数学研究会副理事长李永乐老师，为大家讲解考研数学线性代数的复习规划。
李永乐：各位同学大家好，考研是一个长期准备的过程，从每年考生的复习情况看，从11月起，就该进入全面的准备阶段。
今天在万学海文的辉煌讲堂我给大家讲讲线性代数的复习。
要想从整体上对自己的数学复习有一个清晰的思路和复习规划，首先同学们需要了解考研数学命题规律。
考研数学试题的题量一般在20-22道之间(一般6道填空题，6道选择题，10道大题)，试题量有所控制，这样才能保证考生基本能答完试题并有时间检查。
数学试卷的结构是总共20道题，填空5个，选择5个，大的综合题10个，其高数6个，线性代数和概率论各2个。
首先填空题命题原则是考最基本的运算，它的难易度一般要求都是容易和中等偏下的。
通过填空题的考察要了解同学快捷准确的能力，这就要求平时复习中一定要注意准确，会做的题拿不到分是最可惜的。
有的填空题会有一些小窍门，要学会总结和积累，做到快捷准确答题。
其次选择题命题原则考两个方面，一是对数学概念的理解，二是对数学方法的掌握。
选择题的难易度是中下等。
前两部分不会有难题，所以应该有个比较高的得分率，一定要好好复习。
最后，简答题中数一15到19是微积分，20、21是线性代数，22、23是概率论。
数二15到21是微积分，22、23是线性代数。
在这9道题里应该有1到2个难题，而且出在微积分部分，因为微积分部分题多分多。
考研数学满分(150分)的独家经验
以下是我对如何选择数学辅导书的建议：第一轮：陈文灯、黄先开《数学复习指南》＋辅导班笔记（无论你在哪里上的辅导班），可以说这本书在数学复习方面雄踞头榜，我周围的人几乎人手一册，连续多年热销，说明它还是比较实用的。
（第一轮复习用书中能与其有一拼的是李正元、李永乐的《数学复习全书》，没看过，不好评论。
）如果考生在10月底前能将其看完，数学复习已经有了一个很好的基础，不妨与辅导班笔记结合在一起看，比如辅导班20次课，每次的内容用3-4天处理完，包括笔记和《复习指南》的对应章节，这样不到三个月就能把数学详细的复习一遍。
还要强调一点，辅导班的笔记应该认真看，而且不宜隔太久。
第二轮：陈文灯、黄先开主编的《题型集粹与练习题集》是供第二轮复习用的，如果在经历了首轮复习之后，自我感觉效果很好、复习的很扎实，用这本《题型集粹与练习题集》是比较合适的。
如果复习的很仓促，效果不理想，可以看李永乐主编的《基础过关660》，这本书把知识点又梳理了一遍，题目也比较好。
模拟冲刺阶段：2005年市场上主要的模拟题有陈文灯主编的《数学最后冲刺》、李永乐主编的《数学经典400题》、胡金德主编的《数学预测试卷》、和赵达夫主编的《数学模拟考场》，这几本书我一本也没买，因为所在的学校开办的数学冲刺班上的14套卷子已经够多了，而且这些题的质量也很不错，是数学系老师“集体智慧的结晶”，关于以上那公开发行的五本书，综合周围朋友的意见，点评如下：陈文灯主编的《数学最后冲刺》：题目简单，据考研论坛上有网友提供的消息，文灯大师在北京的冲刺班上称这套题是假的；李永乐的《数学经典400题》：难，和朋友讨论过上面的题目，一道小题可能就综合了几个知识点；胡金德《数学预测试卷》：难，周围不少人做后备受打击；至于文灯学校免费向学员发放的两套模拟题，黄先开老师在暑期班上说这是对暑假讲义的补充，用他的话说是“把我们后来发现的新题以模拟题的形式免费发给大家”，所以值得一做。
考研数学冲刺高数知识点梳理
考研数学冲刺高数知识点梳理第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。
李永乐《考研数学复习全书基础篇》
再次，这本书的目录还注重前后和知识整合。在每个部分的开头部分，都会 有一个总体的知识框架图，帮助学生了解该部分所有知识点之间的关系。同时， 在每个章节的后面，都会设置一定数量的习题，帮助学生检验自己对本章知识的 掌握程度。这些习题不仅涵盖了各种题型，而且难度适中，既有对基础知识的考 察，也有对综合能力的考察，使得学生能够在复习过程中得到全面的锻炼。
这本书的目录还强调应用和实践。每个部分的最后都会设置一个或多个实际 应用案例，这些案例不仅涉及到各个章节的知识点，而且与实际生活密切相关。 例如在概率论与数理统计部分的设置了一个关于数据分析和预测的案例，这个案 例需要学生运用所学的概率论、随机变量和统计估计等知识进行分析和解答。这 样的目录设置不仅帮助学生巩固所学知识，而且提高了学生运用数学知识解决实 际问题的能力。
对于求解多元函数最值的方法，作者们总结出了极值点附近函数值的变化趋 势、无条件极值和条件极值等各种情况的方法和技巧，使考生们能够全面掌握求 解最值问题的能力。
在概率统计部分，作者们详细讲解了各种概率分布的性质、计算概率的方法 以及统计量的分布等知识。其中，对于古典概型、几何概型、条件概率、独立性 等概念的讲解非常透彻，并且例题丰富，非常有利于考生掌握概率统计知识。
内容摘要
在线性代数部分，本书从矩阵、行列式、向量、线性方程组等方面进行了详细的讲解，通过具体 的例题和练习题帮助考生理解和掌握线性代数的核心概念和方法。同时，本书还对线性代数的应 用进行了详细的介绍，如线性变换、特征向量、矩阵的对角化等。 在概率论与数理统计部分，本书详细讲解了随机事件、随机变量、概率分布、数理期望、方差、 协方差等基本概念和理论。通过大量的例题和练习题，帮助考生理解和掌握概率论与数理统计的 基本方法和应用。 《李永乐《考研数学复习全书基础篇》》是一本非常实用的数学参考书，对于准备考研的考生来 说是一本必备的参考书。这本书不仅全面系统地讲解了考研数学的基础知识，还通过大量的例题 和练习题帮助考生理解和掌握这些知识。如果大家正在准备考研数学，那么这本书是必读的。
考研数学一(助记宝典)
求 y（n） 【例 2.39】 、 【例 2.40】 求 y（n） （x0）
9
2、
题型七 一元分段函数的可导性与导函数的连续性等命题的讨 论 【例 2.41】 、 【例 2.42】 题型八 一元函数导数概念的应用
1、求平面曲线的切线与法线【例 2.43】 2、物理量的表达【例 2.44】
10
第三章 一元函数积分概念、计算及应用
1、无穷小的比较 2、确定无穷小阶的方法【例 1.20】
函数的连续性及其判断 五、 五、函数的连续性及其判断
（一）连续性及其相关概念 （二）间断点的定义域分类
1、第一类间断点 2、第二类间断点
（三）判断函数的连续性和间断点的类型【例 1.21】
连续函数的性质 六、 六、连续函数的性质
（一）连续函数的局部保号性质 （二）有界闭区间上连续函数的性质【例 1.22】 （三）方程式根的存在性——连续函数介值定理的应用
—— 微元分析法【例 3.23】 六、积分学应用的基本过程 六、积分学应用的基本过程—— ——微元分析法 七、一元函数积分学的几何应用
（一）平面图形的面积
1、直角坐标系中的平面图形 2、极坐标系中的平面图形 3、边界曲线方程由参数方程给出的情形【例 3.24】
（二）平面曲线的弧微分与弧长【例 3.25】 （三）平面曲线的曲率
1、平面曲线的曲率、曲率圆与半径的概念 2、曲率的计算公式【例 3.26】 、 【例 3.27】
（四）空间图形的体积
12
1、平行截面面积为已知的立体的体积 2、旋转体的体积
【例 3.28】 、 【例 3.29】 、 【例 3.30】 （五）旋转面的（侧）面积【例 3.31】
1
第二篇 第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算
考研数学最后冲刺各科必考点总结
考研数学最后冲刺各科必考点总结考研数学最后冲刺各科必考点总结我们在进行考研数学的最后冲刺时，需要把各科必考的知识点了解清楚。
店铺为大家精心准备了考研数学最后60天冲刺各科的复习要点，欢迎大家前来阅读。
考研数学最后冲刺各科的复习重点一、高等数学高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。
具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。
李永乐线代笔记定稿版
李永乐线代笔记HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型2、微积分数一考的难3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】4、说曲面名称，数一；三个平面5、方程组，有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组解的理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】6、二次型是特征值的几何应用，为什么有各种不同的曲面，由特征值的正负等，7、二次型和特征值的关系8、方程组和特征值是重点，考解答题9、概念多，定理，运算法则多，符号多10、内容纵横交错，知识前后联系紧密代数的一题多解，用不同的定理公式做同一道题11、逻辑推理要求高，可能考证明题，要在证明题花点时间1.方程组，解的情况，有没有解，相关无关，帙2.怎么求解，什么叫方程组的解：x1.。
xn带进每个方程，则是解3.同解变形(1)将两个方程位置互换（2）将某个方程乘以一个非零常数（3）将某个方程的K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换，不能列变换】4.先正向消元---由上往下；然后反响求解-----由下往上5.系数变成a，b，求a，b取什么值有解、无解；面对参数怎么消元，讨论1.求其次方程解(1)初等行变换（2）阶梯型（3）行最简化t、u2.加减消元2分，求解过程没分，答案写出来给满分，看着行最简直接写答案3.A---mxn，有几个线性无关解，n-A的帙4.帙就是最简行矩阵的行数5.找到单位矩阵，其他的是变量，用100法则；找到1对应的数，写其相反数6.对矩阵A进行初等行变换；则方程组的一个基础解系为----------行最简1、矩阵基础知识，矩阵：mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数，行列相等】2、矩阵描述一些事情、做运算3、矩阵乘法：A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS，i行乘j列4、遇到AB=0，秩；解5、对角矩阵得对角矩阵，左右可以交换；对角矩阵的次方=对应元素的次方6、列前行后，的N阶矩阵，行前列后，的一个数7、Ab转置与ba转置互为转置矩阵8、主对角线元素的和叫做矩阵的“迹”9、Ab转置的主对角线等于b转置a10、方程组可以写成矩阵乘法11、A-n，A各行元素之和都为0，【1，1，1，1，1，。
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线性代数辅导资料
第三章:线性方程组 主要知识点
一 N 维向量
1 运算
2 线性表示:
a. 概念
b. 判定: 充要条件 充分条件 3 线性相关
a.
概念b. 判定
: 1 概念2 求法
向量组的秩
二 方程组:
0()()0()r A r Ax b Ax r A n ì¾¾¾¾®=®ï=ü¾¾¾¾®-ýí=þï¾¾¾¾
®<®î有解判定初等行变换
有非解
有解的结构阶梯形 基础解系
根据李永乐辅导班整理 线性代数辅导资料
第四章:向量空间 主要知识点
1V ,C n n n x a b g a a g a a b b b b b b g c b b b ++L L L L L L L b L L T
1112n 12n 1,2n 1,2n
12n 1,2n 12n 概念 对于 ka 封闭坐标 若 x 称在基 的坐标是 x ,x ,,x 过渡矩阵 若 =(a a ,
a )c,称是由基a a ,a 向量空间基 到基 的过渡矩阵坐标变换 若 a a ,a =( )c ìïìïïïïïíï
íïïïï
ïïïîîy,则=cy.T T T 1122n n b b b a b a b b a b a a a a a b ìï
ïï+++ïï
íïïïìïíïîî
L 内积:
欧氏空间正交
0Schmidt 正交化标准正交基 正交矩阵 向量空间中只有两个运算,加法与数乘,规定了内积的向量空间通常称为欧氏空间.
第五章:特征值与特征向量 主要知识点
一 特征值定义:A ,0x x x l ¹ 二 求法:
1 特征值:
a. 定义法
b. 特征多项式E A l -法 2 特征向量
a. 定义法
b. ()0i E A x l -=基础解系法
三 性质:
1 不同特征值的特征向量线性无关
2 K 重特征值至多有K 个线性无关的特征向量
3 ,i
ii
i
A a l l ==ååÕ
四 相似:
1 定义
1P AP B -=
2 可对角化
E A ,A i i A n n A n g
l l ìí
îìí
îi i 有个线性无关的特征向量 n-n 是重特征值有个不同的特征值是实对称矩阵
3 应用 1
n
n
A PA P -=
五 实对称矩阵隐含的信息:
1 必可相似对角化,且可选用正交变换
2 不同特征值的特征向量互相正交
3 特征值全是实数
4 K 重特征值必有K 个线性无关的特征向量
5 与对角矩阵合同
第六章:二次型 主要知识点
一 矩阵表示:
T x Ax A 实对称
二 标准形:
1 惯性定理
正 负惯性指数
2 合同: 若,T C AC B =其中C 可逆
3 化标准型:
a. 配方法
b. A B
A B :; 三 正定二次型
1 定义
0,0T x x Ax "¹>
2 充要条件:
a. 特征值全大于0
b. 正惯性指数P=N
c. 顺序主子式全大于0
d. T A D D D A E ;或 其中可逆 3 必要条件
00
ij a A >>。