信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-2
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第八章-1.1
条件三：霍尔维茨阵列中第一列符号相同
特征根全部位于左半平面的条件： 条件一： A(s)的所有系数 i 符号都相同 条件二：无缺项 条件三：霍尔维茨阵列中第一列符号相同 特征方程
a0 s n a1 s n 1 ... an 1 s an 0
前两行是系数排成的两行； a0 a2 a4 ... 一直写到常数项an a1 a3 a5 ...
a01 a02 a03 ... a11 a12 a13 ...
a21 a22 a23 ... a31 a32 a33 ... ... ... ... ... 从第3行开始：
[上一行首列 ][上二行后一列 ] [上二行首列 ][上一行后一列 ] [上一行首列 ]
从第3行开始：
[上一行首列 ][上二行后一列 ] [上二行首列 ][上一行后一列 ] [上一行首列 ]
以n=3（3个单实根）为例：
A( s) ( s a)( s b)( s c )
s 3 ( a b＋c ) s 2 ( ab bc ca ) s abc
当全部极点
s1 a, s2 b, s3 c
位于左半平面时，
A(s)多项式中的系数都必须符号相同 特征根全部位于左半平面的条件： 条件一： A(s)的所有系数 i 符号都相同 条件二：无缺项
一 系统函数的零点与极点 二 系统函数与时域响应
除了常数因子外，系统的极零点可以完全表征系统函数。 复习关于极点、零点的概念 对于实系统，系统的零极点是实数或者共轭复数。
连续时间系统
N s H s D s
N z H z D z
A s zi
n
系统稳定
必要性： 系统稳定 用反证法，若
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第五章-3
2+20
aN 1
…
-2-0
2aN 1
-0 2-0
…
① ②
…
l
2 ( ( N 1) 0 2l )
相加
…
-2-0
… …
-0
…
0 20 (N-1)0
…
~ ( n)] DTFT[ x
k
2ak ( k0 )
fT (t )
l
( n lN )
~ DTFTx ( n) DTFTx ( n) DTFT ( n lN ) X ( ) 0 ( k 0 ) k l
0
k
DTFT[ x ( n) 1] 2
n
( n lN ) 0 ( k 0 )
k
k
( 2k )
时域离散抽样
频域周期延拓 Ch4 : f ( t ) 1 2 ( )
例：求序列cos(n0)的DTFT。
a 1
H
1 1 a 2 2a cos
a sin arg H arctan 1 a cos
例：系统
y ( n)
3 1 y( n 1) y( n 2) 2 x ( n) 求H()及h(n)。 4 8
例：系统
h( n) nu( n) ，输入信号 x( n) n u( n)
n
2 , 其中： 0 N
连续时间周期信号的FT
2 Fn ( n)
结论： ① 离散时间周期序列的频谱是离散的（发生在k处的 一串冲激），周期的(周期为2)
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第二章-3
1 Hp
+
f(t)
-
i(t )
1 F 6 6
p
uc ( 0 )
－
如图所示电路系统， f ( t )是输入电压源，以电流 i ( t )为输出。 当初始条件i (0 ) 1和i' (0 ) 2，输入f ( t ) 0时，求i ( t )。
1. 特征根全部为单根， i j , i j, y x ( t ) k1 e 1t k 2 e 2 t ... k n e n t ,
求解零输入响应的一般步骤： Step1：写出系统的微分方程或算子方程； Step2：写出零输入响应的算子方程； Step3：写出特征方程，即 D( p) | p D( ) Step4：求解特征根； Step5：根据特征根的形式，写出yx(t)的形式； Step6：代入初始条件，求解出系数k； Step7：写出零输入响应，注意加上“t≥0”。
例3
1. 特征根全部为单根， i j , i j, y x ( t ) k1 e 1t k 2 e 2 t ... k n e n t ,
i , j 1,2,..., n. t 0 再根据初始条件，确定 系数k1 , k 2 ,..., k n
例1
+
5
电压＝阻抗（感抗、容抗）算子×电流
2H
2p
i1 i2 i1 i 2
1
1
+
i1
1H
p
i2
例：电路如图，建立i1(t) 和i2(t)与输入f(t)之间的关系。
2
f(t)
-
小结 ① 通过引进微分算子，得到LTI系统的算子方程：
(an p n ... a1 p a0 ) y( t ) (bm p m ... b1 p b0 ) f ( t )
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第四章-3
时域展缩特性： f (at )
1 F( j ) a a
f (－t ) F (－j )
时移特性： f (t t 0 ) F ( j ) e j t0
f ( at b ) 1 a
b j F ( j ) e a ，a、b为常数, a
a
0
八 频移特性：
0
f (t )
2
t
2
c
c
F ( j )
t
c 0 c
六 时域展缩特性：
1 f ( t ) F ( j )，则 f (at ) F ( j ) , a 是不为零的实数 a a
|a|>1 |a|<1
时域压缩，频域扩展 时域扩展，频域压缩
门信号的频谱
当a＝－ 1时， f (－t ) F (－j ) 时域翻转对应频域翻转
例：求如图所示信号的频谱。
f (t )
1.5 1
f(t)=f1(t)+f2(t) 那么，利用傅里叶变化的线性性质，
-1.5
-0.5 0 0.5 1.5
t
f1(t) 1 1.5
F[f(t)]＝F[f1(t)]＋F[f2(t)]
-1.5
0
t
f2(t)
0.5 -0.5 0 0.5 t
三 奇偶特性 ——时域波形的对称性与频谱函数的关系 1.偶信号的频谱是偶函数，奇信号的频谱是奇函数。 2. 如果f(t)为实信号， 频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数；
能量有限信号的 Passeval等式 1 2 2 绝对可积的非周期信号， E f ( t ) dt | F ( j ) | d 2 |F(jw)|2 ~w 能量谱
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-3
作业： 3.14 (2)、(6) 3.17、3.18、3.26
练习： 3.要复习的数学知识
正交、正交基、完备的正交信号集 矢量的正交分解 傅里叶级数 三角函数公式 三角函数与指数函数的积分 信号功率、信号能量
T
回顾
§3.4 离散时间系统的差分方程 离散系统
差分方程可以描述： 作为微分方程的近似方程来进行 连续系统的数字仿真 前向差分方程式
ak y( n k ) ak 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
(a k E k a k 1 E k 1 ... a1 E a 0 ) y(n) (bm E m ... b1 E b0 ) x(n)
D(E) N(E)
y ( n)
N(E) x ( n) H ( E ) x ( n) D( E )
H(E)：传输算子,或者转移算子。
单位样值响应h(n)
信号的 分解特性 系统的 线性时不变性
零状态响应yx(n) y x (n) x(n) * h(n)
一 单位样值响应
二 零状态响应
一 单位样值响应 系统对单位样值信号 (n)的零状态响应， 称为单位样值响应，又称为单位脉冲响应，记为h(n)
国防科技大学信号与系统分析课件
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
5．一维信号和多维信号
一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。 还有其他分类，如：
实信号与复信号 左边信号与右边信号 因果信号和反因果信号
离散信号的功率和能量
离散信号，也有能量信号、功率信号之分。
若满足 E | f (k)|2 的离散信号，称为能量信号。
k
若满足 P lim 1
N /2
|
f
(k)
|2
的离散信号，称为功率信号。
N N kN / 2
一般规律 ※
一般周期信号为功率信号。 时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号) 为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。
2,
f1( k
)
f2( k )
6 , 8,
4 ,
0 ,
k 1 k0 k1 k2
k其他
9 , k0
f1( k )
f
2
(
k
)
12
,
k1
0 , k其他
二、信号的时间变换
1.信号的反转； 2.信号的平移； 3.信号的展缩（尺度变换）；. 4.混合运算举例。
1. 信号反转
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·) 的反转或反折。
2,
0,
1，
0，
k 1 k0 k 1 k2 k3 k4 其他 k
f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…} ↑
k=0 对应某序号k的序列值称为第k个样点的“样值”。
信号与系统分析(吴冰著)课后答案下载
信号与系统分析（吴冰著）课后答案下载吴冰的《信号与系统分析》主要内容包括信号与系统的基本概念，信号与系统的时域分析，连续时间信号与系统的频域分析，连续时间系统的复频域分析，离散信号与系统的变换域分析。
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第1章信号与系统的基本概念 11.1 信号的描述与分类 11.1.1 信号的定义与描述 11.1.2 信号的分类 21.2 系统的描述与分类 61.2.1 系统的概念 61.2.2 系统的数学模型 61.2.3 系统的分类 71.3 信号与系统分析概述 121.3.1 信号与系统分析的基本内容与方法 121.3.2 信号与系统理论的应用 13练习题 14第2章信号与系统的时域分析 172.1 典型连续时间信号 172.1.1 复指数信号 172.1.2 单位阶跃信号 182.1.3 单位冲激信号 192.1.4 冲激偶信号 232.1.5 斜坡信号 242.2 典型离散时间信号 242.2.1 复指数序列 252.2.2 单位脉冲序列 272.2.3 单位阶跃序列 282.3 连续时间信号的基本运算 29 2.3.1 替换自变量的运算 292.3.2 信号的导数与积分 312.3.3 信号的相加与相乘 322.4 离散时间信号的基本运算 33 2.4.1 替换自变量的运算 332.4.2 相加与相乘 342.4.3 差分与累加 352.5 信号的时域分解 362.5.1 交、直流分解 362.5.2 奇、偶分解 362.5.3 实部、虚部分解 372.5.4 脉冲分解 372.6 连续系统的冲激响应 392.6.1 冲激响应的定义 392.6.2 冲激响应的物理解释 39 2.6.3 冲激响应的求取 402.7 离散系统的单位脉冲响应 442.8 连续系统的零状态响应 462.8.1 卷积分析法的引出 472.8.2 确定卷积积分限的公式 472.8.3 卷积的图解 482.8.4 卷积积分的性质 512.9 离散系统的零状态响应 562.9.1 离散卷积的引出 562.9.2 离散卷积的性质 572.9.3 确定离散卷积求和限的公式 582.9.4 离散卷积的图解 592.9.5 离散卷积的列表计算 602.10 系统的全响应 60练习题 63第3章连续时间信号与系统的频域分析 74 3.1 周期信号分解为傅里叶级数 743.1.1 三角形式傅里叶级数 743.1.2 指数形式傅里叶级数 773.2 周期信号的频谱 793.2.1 周期信号的频谱 793.2.2 周期信号的频谱特点 823.2.3 周期信号的频带宽度 823.2.4 周期信号的功率谱 843.3 非周期信号的频谱密度函数——傅里叶变换 85 3.3.1 非周期信号的频谱密度函数 853.3.2 傅里叶变换 863.3.3 常用信号的傅里叶变换 873.4 傅里叶变换的性质及其应用 913.4.1 傅里叶变换的性质和应用 913.4.2 频谱资源的有限性与认知无线电 1003.5 希尔伯特变换及小波变换简介 1013.5.1 希尔伯特变换 1013.5.2 小波变换简介 1033.6 取样信号的频谱 1043.6.1 时域取样 1043.6.2 时域取样定理 1073.6.3 压缩感知简介 1083.7 连续时间系统的频域分析 1083.7.1 虚指数信号的响应 1083.7.2 正弦信号的响应 1093.7.3 直流信号的响应 1093.7.4 非正弦周期信号 1093.7.5 非周期信号的响应 1103.7.6 频域系统函数 1103.8 信号的无失真传输和理想滤波器 1123.8.1 信号的无失真传输 1123.8.2 理想滤波器 113练习题 114第4章连续时间系统的复频域分析 1204.1 拉普拉氏变换 1204.1.1 拉普拉氏变换的定义 1204.1.2 拉氏变换的收敛域 1214.1.3 常用信号的拉氏变换 1224.2 拉氏变换的性质 1234.3 拉氏反变换 1304.4 连续系统的复频域分析 1334.4.1 求解系统微分方程 1334.4.2 分析电路 1344.5 系统函数 1384.5.1 系统函数 1384.5.2 系统函数的零、极点图 1394.5.3 系统函数的零、极点分布与系统冲激响应的关系 140 4.5.4 系统的稳定性 1424.6 连续系统的模拟 1434.6.1 基本运算器 1434.6.2 连续系统的模拟 144练习题 149第5章离散信号与系统的变换域分析 153 5.1 Z变换 1535.1.1 从拉氏变换到Z变换 1535.1.2 Z变换的定义 1545.1.3 Z变换的收敛域 1555.1.4 常见信号的Z变换 1565.2 Z变换的性质 1575.3 Z反变换 1665.3.1 幂级数展开法 1665.3.2 部分分式展开法 1675.4 离散系统的Z变换分析 1695.5 离散系统函数与系统特性 1745.6 离散系统的模拟 1765.6.1 基本运算器 1765.6.2 离散系统的模拟 176练习题 178附录1 常用信号的傅里叶变换 182附录2 傅里叶变换的基本性质 183附录3 常用信号的拉氏变换 184附录4 拉氏变换的基本性质 185附录5 常用序列的Z变换 186附录6 Z变换的性质 188附录7 信号与系统常用数学公式 189部分练习题参考答案 1901.信号与系统考试题及答案2.信号与系统答案-阳光大学生网3.信号与系统第三版段哲民课后答案西北工业大学出版社4.电力系统分析第二版(孟祥萍著)课后答案下载。
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第四章-2
a↓
t
w
e
a t
2a ( 0) 2 a 2
e
a t
2a ( 0) 2 a 2
a→0
a→0
a 0
lim e a|t| 1
利用A lim
0, 0 lim 2 lim 2 0 A ( ) 2 a 0 a a 0 a 2a
(t ) 1
0
(1) t
f(t)
1 0
F[1]
w
1 2 ( )
0
1 t 0
(2) w
另外还有： G ( t ) sa 2
0 sa 0 t G20 ( )
时域、频域的这种二元性，是正变换和逆变换公式中的相似性造成的。
d
1 j t F ( j ) d e 2
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和； ②：发生在一切频率上，是连续变化的； ③：各频率分量的系数 但F(jw)描述了各频率分量的相对比例关系，即描述了
1 F ( j )d 2
2
例3：单位冲激信号(t)的频谱:
(t)
(t ) 1
F[(t)]
(1) 0 t 0
1 w
分析： (t)的频谱包含了所有频率分量，且各个频率分量的相对大小相同。 称为白色谱。
例4：单位阶跃信号u(t)的频谱:
当 lim e
a 0 t
1 u( t ) u( t )，求u( t )的频谱。u( t ) ( ) j
1 a
1 u( t ) a j
t
2
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(a k E k a k 1 E k 1 ... a1 E a 0 ) y( n) (bm E m ... b1 E b0 ) x( n)
§3.4 离散时间系统的差分方பைடு நூலகம் 一 差分方程
一阶前向差分： x(n)=x(n+1)-x(n) 一阶后向差分： x(n)=x(n)-x(n-1)
例：某信号处理的过程是：每收到一个数据，就将此数据与 前一步的处理结果求平均，试建立输入输出的差分方程。
1 1 一阶后向差分方程 y( n 1) x( n) 2 2 1 1 y( n 1) y( n) x( n 1) 一阶前向差分方程 2 2 y( n)
一阶后向差分方程
dy( t ) 对于一阶微分方程描述 的系统： y( t ) x( t ) dt
因为
dy( t ) y( nT ) y[( n 1)T ] lim dt T T 0
y( n) y( n 1) y( n) x( n) T 一阶差分方程 1 T y( n) y( n 1) x ( n) 1 T 1 T dy( t ) dy( t ) dt t nT dt t ( n1)T d 2 y( t ) d dy( t ) 对于二阶： 2 dt dt t nT T dt t nT
y( n) y( n 1) y( n 1) y( n 2) 1 T T 2 y( n) 2 y( n 1) y( n－2) T T 离散系统 差分方程可以描述：
作为微分方程的近似方程来进行连续系统的数字仿真
离散系统 差分方程可以描述： 作为微分方程的近似方程来进行连续系统的数字仿真
例：y(n)表示一个国家第n年的人口数，出生率为a，死亡率 为b（a、b为常数），x(n)表示移民来的净增数，建立描述 该国人口的差分方程。
y( n 1) (1 a b) y( n) x( n) 一阶前向差分方程
y( n) (1 a b) y( n 1) x( n 1)
D(E) N(E)
N(E) y ( n) x ( n) H ( E ) x ( n) D( E )
称H(E)为传输算子,或者转移算子。代表了系统对输入的传输作用，或 系统将输入转移为输出的作用。
上例中，
1 1 y( n) y( n 1) x( n) 2 2 1 1 y ( n ) E 1 y ( n ) x ( n ) 2 2
输入是离散序列及其时移函数
输出是离散序列及其时移函数
系统模型是输入输出的线性组合
二 离散系统的传输算子
单位超前算子E：表示左移一位的运算。
Ex( n) x( n＋1)
E k x(n) x(n＋k )
单位延迟算子E-1：表示右移一位的运算。 E 1 x(n) x(n 1) E k x(n) x(n k )
前向差分方程式
a k y( n k ) a k 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a 0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
后向差分方程式
a k y( n k ) a k 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a 0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
x(n)
H(E)
y(n)
H(E)
12 E 1 2E 1 1 E 1 2
三 差分方程的求解方法
1.时域经典法
2.零输入响应与零状态响应 3.递推求解方法 4.其他方法
1 1 例：因果系统 y( n) y( n 1) x( n) 求输入x(n)=(t)时的响应。 2 2