第七章 测量误差分析及数据处理
测绘技术中的测量数据处理与误差分析
测绘技术中的测量数据处理与误差分析测绘技术是一门由古至今延续至今的重要学科，它涉及到了地理信息的获取、测量、处理与分析等方面。
其中，测量数据处理与误差分析是测绘技术的重要组成部分。
本文将从测量数据处理的基本方法、误差来源、误差评定和误差传递几个方面进行探讨。
一、测量数据处理的基本方法在测量工作中，测量数据的处理是不可或缺的。
它涉及到了数据的采集、整理和分析等过程。
测量数据处理的基本方法包括数据去重、数据纠正、数据插值和数据拟合等。
首先，数据去重是指将重复出现的数据进行筛选，保留一份最真实可靠的数据。
这样可以排除测量过程中的一些偶然因素，提高测量数据的可信度。
其次，数据纠正是在测量过程中，由于人为误差或仪器误差等原因引入的测量误差进行补偿和修正的过程。
数据纠正可以通过校正系数的运用来实现。
然后，数据插值是一种通过已有的离散点数据来估算缺失位置上的数据的方法。
它可以通过插值算法来实现，比如最近邻插值法、反距离权重插值法等。
最后，数据拟合是通过数学方法将实际测量数据与某种函数形式进行对比和拟合的过程。
通过数据拟合，可以得到与测量数据最为接近的拟合曲线或曲面，进而对数据进行分析和推断。
二、误差来源在测量过程中，误差是无法避免的。
误差是指测量结果与实际值之间的差异。
误差来源可以分为系统误差和随机误差两大类。
系统误差是由于测量仪器本身的不准确性、环境条件的影响、操作人员的技术能力等因素导致的误差。
系统误差具有一定的规律性和可预测性，可以通过仪器的校准和人员的培训来减小和控制。
随机误差是由于测量中的偶然因素引起的误差。
随机误差具有无规律性和不可预测性，它是由于人的主观判断、仪器的精确性等因素造成的。
在测量数据处理中，一般采用多次测量取平均值的方法来降低随机误差。
三、误差评定误差评定是测量数据处理中的一个重要环节。
它用于评估测量结果的可靠程度和精度。
一般来说，误差评定可以通过测量的精度指标、精确度指标、可靠度指标和可信度指标来进行。
GPS测量原理及应用备课课件(最新)第七章：GPS测量误差分析
卫星钟差可通过下式得到改正：
ts a0 a1(t t0 ) a2 (t t0 )2
式中t0为一参考历元，系数a0、a1、a2分别表示钟在t0时刻 的钟差、钟速及钟速的变率。这些数值由卫星的地面控制 系统根据前一段时间的跟踪资料和GPS标准时推算出来， 并通过卫星的导航电文提供给用户。
经上述钟差改正后，各卫星钟之间的同步差可 保持在20ns以内，由此引起的等效距离偏差不超过 6m。卫星钟差或经改正后的残差，在相对定位中可 通过差分法在一次求差中得到消除。
相对定位：
利用两站的同步观测资料进行相对定位时，由于星历误 差对两站的影响具有很强的相关性，所以在求坐标差时，共 同的影响可自行消去，从而获得高精度的相对坐标。根据一 次观测的结果，可以导出星历误差对定位影响的估算式为：
由卫星星历误差所引起的基线误差
卫星星历误差
基线长
卫星至测站的距离
3）削弱星历误差的方法：
卫星钟差是GPS卫星上所安装的原子钟 的钟面时与GPS标准时间的误差。
卫星钟采用的是GPS 时，但尽管GPS卫星均设 有高精度的原子钟（铷钟和铯钟），它们与理想的 GPS时之间仍存在着难以避免的频率偏差或频率漂 移，也包含钟的随机误差。这些偏差总量在1ms以 内，由此引起的等效距离可达300km。
对流层延迟的90%是由大气中干 燥气体引起的，称为干分量；其 余10%是由水汽引起的，称为湿 分量。由于大气层中的水汽分布 在时间和空间上变化很大，其折 射误差很难准确预测，所以湿分 量成为限制对流层延迟改正精度 的主要因素。
◆对流层对信号的影响与信号的高度角有关， 在天顶方向，信号穿过对流层的路线最短，其 时延值约为2.3m，随着天顶距的增加，时延也 加大，在地面方向最大，约为20m。 这对于 GPS导航和低精度定位而言可以满足其精度要 求，所以此时可以不考虑该项误差。但对高、 中精度的定位测量而言，则必须顾及对流层误 差，尤其是它对垂直分量影响较大，如果对流 层天顶时延有1cm的误差，则将导致垂直分量 产生3cm的误差。
误差分析和数据处理
Ⅱ-1 误差的基本概念
五、不确定度
根据国家计量局《关于表达不确定度的建议 草案》，把不确定度按估计其权值所用的方法不 同归并成两类：
A类分量：对一系统多次重复测量后，用统计方法计 算出的标准偏差。
B类分量：用其他方法估算出的近似的标准偏差。
Ⅱ-1 误差的基本概念
而后用方和根的方法合成A类分量和B类分量， 合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不确 定度。合成不确定度乘以一系数，从而得到总不 确定度，用下式表示：
误差分析和数据处理是判断科学实验和科学 测试结果质量和水平的主要手段。
Ⅱ-1 误差的基本概念
一、误差的定义和表示方法
（一）误差定义：
测量误差：是指被测量的实测值与其真值的 差别。
Ⅱ-1 误差的基本概念
（二）表示方法 １、绝对误差
绝对误差=测量值-真值
其中真值在以下情况下被认为是已知的。
Ⅱ-1 误差的基本概念
U K信系数； U 总不确定度。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
一、正态分布规律
在工程应用中，大多数随机误差的分布具有 以下几个特点：
（一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概 率相等。
（二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大， 绝对值大的出现的概率小。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
次测量，大约有68次的值是落在 的范围的。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
当置信区间宽为 2时，对应概率为95.4%
当置信区间宽为 3 时，对应概率为99.7%
因此可认为绝对值大于3 的误差几乎不可能
出现，所以通常又把 3 的误差称为单次测量误
差，用lim 表示。
lim 3
（三）算术平均值的概率误差
第七章 测量误差基本概念1
二、测量误差定义及表达 测量误差：测量结果与被测量的真值之间的差。 即测量误差=测量结果-被测量的真值 真值：被测量的真值是指一个量在被观测瞬 间的条件下，被测的量本身所具有的真实大小， 真值是客观存在的，但在一般情况下又是未知的， 这是因为客观世界的一切物体都处于不断运动之 中，测量也不可能完全没有误差，因此也就无法 求得瞬息变化的被测的量的真值。所以量的真值 仅是一个理想的概念，在实际运用中的真值是指 以下几种情况：理论真值、约定真值。
例如，下列两组测定结果：
x1－ ： + 0.11 －0.72 +0.24 + 0.51 x －0.14 0.00 +0.30 －0.21 ＝0.28 N1＝8 d1 x2－ : +0.18 +0.26 －0.25 －0.37 x +0.32 －0.28 + 0.31 －0.27 N2=8
2=0.28 d
相对误差能反映出误差在真实值中所占比
例，这对于比较在各种情况下测定结果的准确
度更为方便。绝对误差和相对误差都有正负， 正值表示测定值比真实值偏高，负值表示测定 值比真实值偏低。
二、精密度与偏差
精密度是几次平行测定结果之间相互接近的 程度，它反映了测定结果再现性的好坏，其大小 决定于随机误差的大小。精密度可以用偏差、平
均偏差或相对偏差来衡量。
偏差定义为：
d
越差。
def
xi x
偏差越大，精密度就越低，测定结果的再现性就
平均偏差定义为：
N 相对平均偏差定义：
测量误差与数据处理实验报告
测量误差与数据处理实验报告实验报告格式：
标题：测量误差与数据处理实验报告
摘要：本实验旨在探究测量误差的来源及其处理方法，通过自己设计的实验进行数据采集与处理，最后得出结论并分析误差的影响。
实验结果表明，合理控制误差和精准处理数据非常重要。
1. 实验目的：
通过自己设计的实验了解测量误差的来源和处理方法，掌握精度等基本概念。
2. 实验步骤：
(1) 设计实验：以电容为例，设计了“通过变化距离来测量电容的实验”。
(2) 组装仪器：根据实验设计，组装了测量电容的仪器。
(3) 测量数据：对实验进行了多次测量，得到了电容的测量值。
(4) 数据处理：使用 Excel 等工具处理数据，计算出各项指标和
误差范围，并进行精度等级划分。
3. 实验结果：
(1) 根据数据处理结果，得到平均电容值为3.5μF，标准差为
0.2μF。
(2) 通过进行误差分析，可知测量误差来源主要包括仪器本身
误差、环境因素干扰和人为误差等多方面因素。
(3) 在误差控制和数据处理方面可采用实验平均法、精度等级
标准等方法。
4. 实验结论：
通过本实验的设计和数据处理，在实验中了解了测量误差的来源和处理方法，识别出了各方面因素影响到精度结果的准确性。
同时也提醒了我们在进行实验操作时需严格控制误差，避免产生干扰和误差现象，最终希望以此为基础，提高本人的实验操作、数据分析和综合思考能力。
化验员培训系列7误差分析及数据处理
分析天平
±0.0001
5.1023
5.1023± 0.0001
半微量 分析天平
±0.00001
5.10228
5.10228 ± 0.00001
▪ 分析结果与真实值之间的差值称为误差。 ▪ 分析结果大于真实值，误差为正， ▪ 分析结果小于真实值，误差为负。
1.1 误差及其表示方法
▪ 一、系统误差 systematic errors
5.0000g，一为0.5000g, 试求两个物体的相对误差。
▪ 解：用分析天平称量，两物体称量的绝对误差均为
5.0000g, 则两个称量的相对误差分别为
▪ 在实际分析中，真实值难以得到，常以多次平行测定结果
的算术平均值代替真实值。
▪ 绝对偏差(d)=个别测得值x－测得平均值 ▪ 相对偏差＝{绝对偏差/平均值} ×1000‰ ▪ 有正负号，偏差的大小反映了精密度的好坏，即多次测定
以控制，似乎无规律性，
▪ 但进行多次测定，便会发现偶然误差具有很多的规律性
(象核外电子运动一样)，概率统计学就是研究其规律的一 门学科，后面会部分的讲授。特点：
▪ 有一矿石试样，在相同条件下用吸光光度法测定其中铜
的质量分数，共有100个测量值。
▪ a:正负误差出现的概率相等。 ▪ b:小误差出现的机会大，大误差出现的概率小。
则是”四舍六入五成双“
▪ 等于、小于4者舍去， ▪ 等于、大于6者进位， ▪ 等于5时，如进位后测量值末位数为偶数则进位，以避免
舍入后数字取平均值时，又出现5而造成系统误差，若5后 面还有数字，就认为该数比5 大，以进位为宜，
▪ 如1.2513，变为1.3。
三、计算规则
▪ (一)加减法
▪ 有效数字的保留应以小数点后最少(即绝对误差最大的)的数据为
误差分析与数据处理
误差分析与数据处理在我们的日常生活和各种科学研究、工程实践中，数据的获取和处理是至关重要的环节。
然而，由于各种因素的影响，我们所获得的数据往往存在一定的误差。
这些误差可能会对我们的分析结果产生误导，甚至导致错误的决策。
因此，误差分析与数据处理就成为了确保数据质量和可靠性的关键步骤。
首先，我们需要了解误差的来源。
误差大致可以分为两类：系统误差和随机误差。
系统误差是由于测量仪器的不准确、测量方法的不完善或者环境因素的恒定影响等原因导致的，其特点是误差的大小和方向具有一定的规律性。
例如，使用未经校准的温度计测量温度，每次测量结果都会偏高或偏低一个固定的值，这就是系统误差。
随机误差则是由一些不可预测的偶然因素引起的，其特点是误差的大小和方向没有明显的规律。
比如，在测量物体的长度时，由于人的读数瞬间的差异，每次测量结果可能会有所不同，这就是随机误差。
在进行误差分析时，我们需要对误差的大小和性质进行评估。
常用的误差衡量指标包括绝对误差、相对误差和标准误差等。
绝对误差是测量值与真实值之间的差值，它直接反映了误差的大小。
相对误差则是绝对误差与真实值的比值，能够更直观地反映测量的准确度。
标准误差则用于衡量多次测量结果的离散程度。
为了减小误差，我们可以采取多种措施。
在测量前，要对测量仪器进行校准和调试，选择合适的测量方法，并控制好测量环境。
在测量过程中，要严格按照操作规程进行操作，多次测量取平均值可以有效地减小随机误差。
此外，还可以采用更先进的测量技术和设备来提高测量的精度。
数据处理是对测量得到的数据进行整理、分析和计算的过程。
在数据处理中，我们需要对异常数据进行识别和处理。
异常数据是指与其他数据明显不符的数据点，可能是由于测量错误或者特殊情况导致的。
对于异常数据，我们不能简单地将其舍去，而需要进行仔细的分析和判断。
如果确定是由于测量错误导致的异常数据，应该予以剔除；如果异常数据是真实存在的，我们需要对其原因进行研究，并在后续的分析中给予适当的考虑。
误差分析与数据处理
产生原因－人操作上的粗心大意，外界的强大干扰。
消除方法－当发现粗大误差时，应予以剔除。 结论：在进行误差分析时，粗差剔除，系统误差和随机误 差要用适当的方法进行处理和估算。
课堂提问：
1.请举出生话中的系统误差、随机误差、粗大误差的 实例。 2.第1章讲过一些仪表性能指标，其中就涉及哪个误 差概念？
系统误差： 与真值之差。 随机误差：某一测量值与 的差值。 2.对称性:xi大致地分布于 两侧。 剩余误差（残差）Vi＝ xi － 残差基本互相抵消。残差总和：
3.有界性：在一定的条件下， xi有一定的分布范围，超过这个范围的可能性很 小，一般作为粗大误差处理。
当n→∞时，测量列xi的算术平均值 可认为是测量值的最可信值，但无 法表达出测量值的误差范围和精度高低。一般用下式表示存在随机误差时的 测量结果：
解： 1.按照测量读数的顺序列成表格。 2.计算测量列xi的算术平均值： ＝（633.97/16）＝39.623 mm。 3.算出每个测量读数的残差Vi ，填写在xi的右边。并验证了 。 4.在每个残差旁算出 和 必须的中间过程值 ， 然后求出 ＝2.140mm2 5.计算出方均根误差 ＝0.378mm
2.2.1随机误差的统计特性
单次测量具有随机性，但多次测量其总体误差具有规律性特征。 测量列：保持测量条件不变，对同一测量对象进行多次重复测量得到一系列包含 随机误差的读数x1、x2、…，xn。 统计直方图：以测得的数据为横坐标，出现的次数为纵坐标。 正态分布曲线（随机误差的概率密度，高斯误差）：当测量次数n→∞ 时，则无 限多的直方图的顶点中线的连线就形成一条光滑的连续曲线。有如下规律： 1.集中性：大量的测量值集中分布于算术平均值 附近。
2.随机误差－在同一条件下，多次测量同一被测量，有时 会发现测量值时大时小，机误差。随机误差反映了测 量值离散性的大小。 产生原因（随机效应）－随机误差是测量过程中许多独立 的、微小的、偶然的因素引起的综合结果。 消除方法－单个测量值误差是随机的，难以消除或修正； 但误差的整体服从正态分布统计规律，因此可以增加测量 次数，并对测量结果进行数据统计处理。 3.粗大误差－明显偏离真值的误差称为粗大误差（过失误 差）。
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3.理论给出或计量学作出规定---真值（理想值）
x x A
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7.1 测量误差的概念
（2）修正值 定义:与绝对误差大小相等,符号相反的量为修正值C , 即
C x x0 x
测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，它可以是数值表格、曲线或 函数表达式等形式；对自动测量仪器，可将修正值编程贮于仪器中，测量时仪器自动 进行修正。 被测量的实际值
据数理统计的有关原理和实践证明，很多测量结果的测量误差服从正态分布，也有 服从均匀分布或其他分布。
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第七章 测量误差分测量误差分析与数据处理
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第七章 测量误差分析与数据处理
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第七章 测量误差分析与数据处理
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7.1 测量误差的概念
测量误差：测量结果与被测量真值的差别。 按误差表示方法通常可分为绝对误差和相对误差两项。 一、绝对误差（又称绝对真误差） (1)基本定义 绝对误差
X X X 0
被测量的给出值 被测量的真值
注意：△x有大小、符号和量纲；直观，但不反映测量的准确程度。 实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器具测量所得之值）来代替 真值，即 1.精密的仪器------替代真值 2.算术平均值----替代真值 测量值
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7.1 测量误差的概念
对图(b) 给出值
RX V I IRI IRX0 I
0
R I R X0
绝对误差 R X R X R X R I
相对误差
R
X
R X0
RI R X0
(1).对(a)图 R V R X0 时误差 0 R X0 小时,低阻测量，用图(a) 对(b)图 R I R X0 时误差, 0 R X0 大时,高阻测量，用图(b) 对(b)图测量不受RV影响，--------- ---- RV---. 相对误差=分数法=
x0 x C
绝对误差的表示往往不能确切地反映测量的准确程度。
6 例：测量两个频率 f1 1000Hz 绝对误差f1 1Hz f 2 10 Hz
f 2 10Hz f 2 f1
f 2 0.001% f2
f 1 0.1% f1
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7.1 测量误差的概念
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第七章 测量误差分析与数据处理
本章主要内容： 测量误差: 系统误差；恒定系差；累进性及周期性系差 ；难于消除；
粗大误差：明显偏离了真值的测量数据，用莱特准则（3σ)等予以剔除。
随机误差：在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可 预测的方式变化着的误差称为随机误差。在多次测量中服从统计规律，具有单峰性、 有界性、对称性、抵偿性等四大特性。
电 子 测 量
授课教师：路辉 联系电话：82316487 电子邮件：mluhui@
第七章 测量误差分析与数据处理
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
测量误差的概念 测量误差的分类 随机误差的分析 系统误差的处理 测量数据的处理
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第七章 测量误差分析与数据处理
测量是为确定被测对象的量值而进行的实验过程。被测量的真实大小称为 真值。在不同的时、空条件下，被测量的真值往往是不同的；而又是客观存在 的确定数值。 在测量中，通过实验的方法求被测量的真值时，由于对客观规律的局限性 和其它原因，会使测量结果与真值不同，该差别就是测量误差。 测量的价值取决于测量的准确程度。当误差超过一定程度，测量就变得毫 无价值，甚至带来很大危害。对测量误差的控制是衡量测试技术水平乃至科技 水平的标志。 掌握一定的误差理论和数据处理知识，是科技工作者的基本素质之一。 研究误差理论的目的，就是要根据误差的规律，合理的设计和组织实验，减小 测量误差，确切地评价测量结果中误差的大小，以便得到科学的结论。
二、相对误差（相对真误差）
是绝对误差与真值的比值
X 100% X0
相对误差主要有三种形式：相对误差、引用误差、分贝误差。 示值相对误差
X X
在误差较小时作近似计算
含有误差
分贝误差 真值 测量值 分贝误差 相对误差的对数表示。
A0 (dB) 20lg A0 (dB)
A(dB) A0[dB] [dB]
绝对误差正比于满度值，Xo越接近Xm越准确。满度测量 北京航空航天大学
7.1 测量误差的概念
分析所得结果。
解：设被测电阻真值为 R X0 对图(a) 给出值 绝对误差 相对误差
RX V I V
V V R X RV
0
RV RX 0 RV RX 0
R X0
2
R X R X R X 0
R X0 R V
R
X
R X0
RX 100% R X0 R V
A0
电压或电流的传输函 数为20lg---； 是功率传输函数时为 10lg---
(dB) A[dB] A [dB]
0
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7.1 测量误差的概念
例：用图中(a)、(b)两种电路测电阻 R X 的电压和电流,若电压表的内阻为 R V
0
电流表的内阻为R I ,求测量值 R X V I 受电表影响产生的绝对误差和相对误差,并
x 百分法= 100 x0
x x0
(2).对(a)图测量不受RI 影响，表达式中不含有RI项
千分法= 1000 x
x
0
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7.1 测量误差的概念
引用误差(满度相对误差) 为了计算和划分电表准确程度等级的方便而定义 用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值－下 限值）之比来表示的相对误差
X Xm
绝对误差 仪表的量程（满刻度值）
电工仪表根据引用误差大小分为七级：
0.1、 0.2、 0.5、 1.0、 1.5、 2.5、 5.0
表示引用误差不超过的百分比。 例：某表等级为S、满读值是Xm，被测量的真值是Xo则 绝对误差
x xm s 0 0 X m s 00 相对误差 X0