考研高数三角函数复习

考研三角函数复习
1、任意角的三角函数（划红线内容重点学习，其余部分建议学习）
(1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p 的坐标是(x ，y)，它与原点的距离是r(r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是
(2)三角函数值的符号
正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的．
正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数来记，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同) 2．同角三角函数的基本关系式
(1)倒数关系：sinαcsc=1 cosαsecα= tan αcot α=1
(3)平方关系：sin 2α+cos 2α=1 1+tan 2α=sec 2α 1+cot 2α=csc 2α 3．诱导公式
(1) k·2π+α(k ∈Z)，-α，π±a ，2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号，即
sin(k·2π+α)＝sinα，cos(k·2π+α)=cosα ，tan(k·2π+α)=tan α，cot(k·2π+α)=cot α(k ∈Z) sin(-α)=-sinα，cos(-α)＝cosα ，tan(-α)=-tan α，cot(-α)=-tan α sin(π+α)=-sinα， cos(π+α)=-cosα ，tan(π+α)=tan α， cot(π+α)=cot α sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα ，tan(π-α)=-tan α，cot(π-α)=-cot α sin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tan α，cot(2π-α)=-cot α
sin(
2
π
-a) = cosa ，cos(
2
π
-a) = sina ，sin(
2
π
+a) = cosa ，cos(
2
π
+a) = -sina
(2) 90°±α， 270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，例如sin(90°+α)=cosα， tan (270°+α)=-cot α
综上，诱导公式可概括为k·90°±α(k ∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k 为偶数时)或余名(k 为奇数时)的函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变，符号看象限”．
4．三角函数的图象和性质
(1)三角函数线
以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，如图2—3，设角α的终边与单位圆的交点为p ，过p作PM 垂直于x轴，垂足为M，A(1，0)、B(0，1)，过A、B点作单位的切线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线．
(2)三角函数的图象
正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx(如图2—4)
正切函数y=tanx 余切函数y=cotx (如图2—5)
(3)三角函数的周期
①周期函数
对于函数y=f(x)，如果存在着一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．
②最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期．
(4)三角函数的性质
5、积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb =
2
1[sin(a+b)-sin(a-b)]
6、和差化积 sina+sinb=2sin
2
b a +cos
2
b
a -，sina-sinb=2cos
2
b a +sin
2
b a -
cosa+cosb = 2cos 2
b a +cos
2
b a -，cosa-cosb = -2sin
2
b
a +sin 2
b a -
tana+tanb=
b
a b a cos cos )sin(+
（1）积化和差与和差化积各有四个公式，它们实质是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。

这些公式既是重点，又是难点，只有掌握准确，才能熟练应用。

（2）积化和差公式是运用两角和、两角差的三角函数公式推导出来的，推导中用了“解方程组”的思想。

和差化积公式是从三角函数的积化和差的公式逆推出来的。

推导中用了“换元”的思想。

我们要熟悉推导过程，掌握推导方法，这既有助于对公式的充分理解，又有助于运用公式解决问题。

（3）要注意寻找公式特征，掌握它们的异同点：即角、函数名称、函数间的运算、系数等方面的异同点。

①只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能运用公式化成和的形式。

②如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成积的形式。

例如：
（4）对三角函数的和差化积，常因所采取的途径不同，而导致结果在形式上的差异，但结果实际上是一致的（如上例）。

“和差化积”不能只注意到化成“三角函数的积”，而忽略了答案的最简形式。

例如，解如下习题：
把sin2α-sin2β化成积的形式。

解sin2α-sin2β
=sin（α+β）·sin（α-β）
最后一步，往往会忽略丢掉，应予充分注意。

（5）把三角函数式化成积的形式，有时需要把某些数当成三角函
（6）将asinα+bcosα型的三角函数式化成积的形式，即asinα+
它为研究函数y=asinx+bcosx的性质提供了一条途径。

辅助角φ终边所在
（7）所谓三角函数的和差化积是指：把“多项式”化为“单项式”而不影响原式的值的变形。

因此四个和差化积
公式的运用可 分为以下几种类型：
①直接运用公式；
②经过简单变形后就可运用公式；
③设置辅助角，对形如asinx+bcosx 型的三角函数式进行和差化积； ④“三项式”的和差化积问题，如把1+sinθ+cosθ化成积的形式。

6.5、两角和与差的三角函数
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =
tanAtanB
1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =
cotA
cotB 1cotAcotB -+
7、二倍角的正弦、余弦、正切
sin2α=2sinαcosα
1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2 cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα-cos2αsinα=3sinα-4sin 3α cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=4cos 3α-3cosα
8、半角的正弦、余弦、正切
-2α的半角等．
三角函数．
备用知识
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长
柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h。