人教版九年级数学讲义二次函数与一元二次方程(含解析)(2020年最新)
22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册
y y = x2-x+1
y = x2+x-2 1
x
y = x2-6x+9
y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2
抛物线与x轴公 共点个数
0个 1个
2个
公共点横 坐标
3 -2, 1
相应的一元二次方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1 = -2 , x2=1
【探究】如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2
考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
飞出，4s时小球落回地面．
O
t
由以上内容我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次
函数问题就转化成了一元二次方程问题．
y = ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
令 y=m
转化思想
m = ax2+bx+c(a≠0)0
一元二次方程
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二 次方程ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=0 函数观点
ax2+bx+c=0(a≠0)0
二次函数与一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
y＝x2－2x＋1 (1,0)
x2－2x＋1＝0 x1＝x2 ＝1
y＝x2－2x＋2 图像与x轴没有交点．
x2－2x＋2＝0
没有实数根．
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
归纳总结
y
43 2 1 -3-2--110 1 2 3 x -2 -3
二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点有三种情况：
?
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
随堂练习
1. 方程 x2＋4 x－5＝0的根是 －5，1 ；则函数 y＝x2＋4 x－5 的图像与x轴的交点有 2 个，其坐标
是（-5，0）、（1，0） ．
2. 方程 x2＋10x－25＝0 的根是 x1＝x2＝5 ；
则函数 y＝－x2＋10 x－25 的图像与x轴的交点有_1 个，其坐标是 （5，0） ．
图像与x轴没有交点．
22.2二次函数与一元二次方程(1)
观察思考
二次函数与一元二次方程
y
y=x2－2x －3
4
3
2
1
-3-2 -1-10 1 2 3 x -2 -3
y=x2−2x −3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋2
图像与x轴有2个交点．图像与x轴有1个交点．图像与x轴没有交点．
x2−2x −3 ＝0
初中数学 九年级(上册)
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
教学目标
1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用 函数图像研究方程问题的方法； 2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方 程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实 根的函数图像特征； 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h （h是实数）图像交点的横坐标．
二次函数与一元二次方程(优质课件)九年级数学上册(人教版)
中考链接
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当堂检测
当堂检测 4、根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
作业设计
基础达标作业
作业设计
基础达标作业
作业设计
基础达标作业
作业设计
基础达标作业
作业设计
能力提升作业
作业设计
能力提升作业
归纳小结 知识点二：利用二次函数深入讨论一元二次方程
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
有两个交点 有一个交点 没有交点
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
解方程：
20.5 h h=20t-5t2
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0,
O
t
因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
你能结合图形指出为什么 球不能达到20.5m的高度?
新知探究
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
x1 =x2 =3.
有两个相等的实根
无公共点
0 x2 x 1
方程无解 没有实数根
新知探究 知识点二：利用二次函数深入讨论一元二次方程
抛物线与x 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？
第22章 二次函数(二)二次函数与一元二次方程 讲义 人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数（二）二次函数与一元二次方程知识点一二次函数与一元二次方程的关系要点1.一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0，求ax2+bx+c=0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程.要点2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数；二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况，它们的关系如下表：要点3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点的个数由∆=b2-4ac的值来确定的.（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，∆=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实根；（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，∆=b2-4ac=0，方程有两个相等的实根；（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，∆=b2-4ac＜0，方程没有实根.课堂练习1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-4x的图象与x轴的交点坐标是（）A.(0，0)B.(4，0)C.(4，0)、(0，0)D.(2，0)、(-2，0)2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.33.若函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠04.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（）A.-1，3B.-2，3C.1，3D.3，45.二次函数y=x2-6x-7的图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是.6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根是.7.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行与y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5C.x1=1，x2=-5D. x1=-1，x2=58.已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3，求k为何值时，抛物线与x轴有两个交点、有唯一交点、没有交点.9.已知关于x 的一元二次方程：x 2-(t -1)x +t -2=0. （1）求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）当t 为何值时，二次函数y =x 2-(t -1)x +t -2的图象与x 轴的两个交点的横坐标互为相反数？请说明理由.知识点二 抛物线与x 轴两交点之间的距离 要点1.抛物线与x 轴两交点之间的距离公式：若抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴两交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)由于x 1、x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，.有2121acx x a b x x =-=+，则结合两点之间的距离公式：22)()(B A B A x x y y AB -+-=（勾股定理）.a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444)()(222122122121.课堂练习1.已知抛物线y =43x 2415-x +3经过与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，顶点为D 点，分别求出△ABC 和△ABD 的面积.知识点三利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解要点1.我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解.由于作图或观察可能有误差，由图象求得的解一般是近似的.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的一般步骤如下：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，由图象确定与x轴交点的个数，即方程解的个数；（2）观察图象与x轴的交点在哪两个数之间，即确定交点的横坐标的取值范围；（3）在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似解近似解出现在对应y值正负交替的地方.当x由x1到x2，对应的y值出现y1>0，y2<0(或y1<0<y2)时，则x1，x2中必有一个是方程的近似解.再比较|y1|和|y2|，若|y1|<|y2|，则x1是方程的近似解；若|y1|>|y2|则x2是方程的近似解.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的常用方法如下表：方法步骤结论方法一直接作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法二先将一元二次方程变为ax2+bx=-c(a≠0)，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx和直线y=-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法三先将一元二次方程化为ax2=-bx-c(a≠0)移项后得再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=-bx-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根课堂练习1.已知二次函数y=x2-2x-3.（1）请你将函数解析式化成y=a(x-h)2+k的形式，并在平面直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示x2-2x-1=0的根，要求保留作图痕迹，指出方程的图形意义.2.如图，点A （2.18，-0.51），B （2.68，0.54），在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象上，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个近似值可能是（ ） A.2.18 B.2.68C.-0.51D.2.453.根据下列表格的对应值，判断ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是 .知识点四 二次函数与一元二次不等式的关系要点1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)与一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)及ax 2+bx +c <0(a ≠0)之间的关系如下(x 1<x 2)： （1）a ＜0时：判别式a >0抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点不等式ax 2+bx +c >0 的解集 不等式ax 2+bx +c <0的解集△＞01x x <或2x x > 12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx +c-0.06-0.020.030.09（2）a＜0时：利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象解不等式：不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴上方的所有点的横坐标.不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴下方的所有点的横坐标；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y>0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c>0的解集；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y<0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c<0的解集.要点2.利用二次函数图象解一元二次不等等式的步骤：（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或<0)的形式；（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2-4ac的值；（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的草图；（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.课堂练习1.解不等式-x2+5x+3>7.2.已知二次函数y=x2-4x+3.（1）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）在坐标系中画出该函数的图象；（3）根据图象直接写出不等式x2-4x+3>0的解集.3.已知二次函数y=-x2+2x+3.（1）求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出；①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当-2＜x＜2 时，函数值y的取值范围．4.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2，0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是（）A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2。
二次函数与一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
一、预学
问题（1）: 1．已知二次函数 y ax2 bx c
(a≠0）的图象如右图所示，则下列结论：
①a、b同号； ②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0； ④当y=－2时，x的值只能取2．
⑤当-1＜x＜5时，y＜0.其中正确的个数是（ ）
A．2个
B．3个 C．4个 D．5个
一、预学
2、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y万元，
与平均年增长率x之间的函数关系式是 y 20(1 x)2 。
3、从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（m）与小 球的运动时间t（s）之间的关系式是 ，小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最 大高度是多少？
10
（探究2）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为 ４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成 本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ Ｐ与x的关系式分 别为R=500+30X，P=170—2X。
（1）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？ （2）当每日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多 少? 分析：总销售额-销售总成本=销售总利润
一星期卖出 (300-10x)
件,
每件商品的利润为 (60+x-40) 元，
每星期的总利润为 (60+x-40)(300-10x) 元。
即 y (60 x 40)(300 10 x) (0≤X≤30) 10 x2 100 x 6000
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
4
问题2：
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课件 (新版)新人教版.ppt
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图 所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
y =a（x－x1）（x－ x 1）
15
典例精析
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
20 h
O
4
t
t1=t2=2.
你能结合图形指出为什
当球飞行2秒时，它的高度为20米. 么只在一个时间球的高 度为20m？
10
课堂探究
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少
飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
只有一个交点 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0
19
随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教版初中数学九年级上册 二次函数与一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与
自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是________．
应用
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 0.5x2 经过平移得到抛物线y=0.5x2-2x ，其对称轴与两段 抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
当b2 4ac 0时 抛物线与x轴有一个交点 方程有两个⑯ 相的等实数根
当b2 4ac 0时 抛物线与x轴无交点，
方程⑰无解.
考点三：二次函数与不等式的关系 ax2+bx+c>0的解集
函数图象位于x轴上方对应的点
的横坐标的范围
ax2+bx+c<0的解集
函数ห้องสมุดไป่ตู้象位于x轴下方对应的点 的横坐标的范围
考点清单
重难点突破
精练习题
二次函数与一元二次方程
学习目标：
1掌握抛物线的平移规律； 2利用数形结合灵活解决 二次函数与二次方程（不 等式）间的关系
考点一：
二次函数的平移
数）
考点二 与一元二次方程的关系
一元二次方程 ax2 bx c 0的解是二次函数
与x轴的交点的横坐标值
当b2 4ac 0时 抛物线与x轴有两个交点 方程有两个⑮不相等的实数根
A 2 B 4 C 8 D 16
2．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴 交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为 A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分） 的面积为_______________．
考点清单
重难点突破
精练习题
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知识定位
讲解用时： 3 分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函 数与一元二次方程之间的联系， 能够根据二次函数与 x 轴的交点坐标联系相应方 程的解的情况， 此外了解二次函数与不等式之间的关系， 能够根据图象写出相应 不等式的解集等， 本节课的难点是二次函数与方程、 不等式之间的联系考查， 希 望同学们能够认真学习。
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及一次函数的图象，
①二次函数 y=x2+2x+kb+1 图象与 x 轴有两个交点， ①① =22﹣4×１（kb+1）＞ 0，解得： kb＜ 0．
当 k＞0，b＜0 时，一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；
当 k＜0，b＞0 时，一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，故选： A ．
年份： 2018
【例题 5】
如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠０）与 x 轴一个交点为（﹣ 2，0），对称轴为直线 x=1，则 y＜0 时 x 的范围是（ ）。 A． x＞ 4 或 x ＜﹣ 2 B．﹣ 2＜x＜4 C．﹣ 2＜x＜3 D．0＜x＜3
【答案】 ﹣ 2＜ x＜ 4
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点，
讲解用时： 3 分钟 解题思路： 直接利用二次函数图象得出方程 x2+ x+1=0 的根的情况，即抛物线
与 x 轴的交点情况，进而得出答案。
教学建议： 利用数形结合分析。 难度： 3 适应场景： 当堂例题
例题来源： 朝阳区模拟 年份： 2018
【练习 1】
抛物线 y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示， 则关于 x 的一元二次方程﹣ x2+bx+c=0 的解为 。
知识梳理
讲解用时： 10 分钟
二次函数与一元二次方程之间的关联
求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠０）与 x 轴的交点坐标， 令 y=0，即 ax2+bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标。 （ 1）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠）０的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系：
① y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为（﹣ 2，0），
①抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 4， 0），
①ｙ＜0 时 x 的范围是﹣ 2＜x＜4。
讲解用时： 5 分钟
解题思路： 根据抛物线的对称性确定抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 4， 0），然
后观察函数图象，找出抛物线在 x 轴下方的部分所对应的自变量的范围即可。
年份： 2018
【练习 2】
已知一元二次方程（ x﹣1）（x ﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1，x2，则抛物线 y=
（ x﹣ x1）（x﹣x2）+5 与 x 轴的交点坐标为
。
【答案】（1，0）、（3，0）
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点，
①一元二次方程（ x﹣1）（x﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1、x2，
【答案】 x1=1，x2=﹣3
【解析】 本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法，
由图象可知，抛物线与 x 轴的一个交点为（ 1，0），对称轴为 x=﹣1， ①抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（﹣ 3，0）， ①一元二次方程 2x2﹣ 4x+m=0 的解为 x1=1，x 2=﹣ 3． 讲解用时： 2 分钟 解题思路： 直接观察图象，抛物线与 x 轴交于 1，对称轴是 x= ﹣1，所以根据抛
【例题 2】
一元二次方程（ x+1）（ x﹣2）=10 根的情况是（
）。
A．无实数根
B．有两个正根
C．有两个根，且都大于﹣ 1
D．有两个根，其中一根大于 2
【答案】 D
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的图象与几何变换，
将抛物线 y=（ x+1）（ x﹣ 2）往下平移 10 个单位长度可得出新抛物线 y=（x+1）
课堂精讲精练
【例题 1】
在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+ x+1 的图象如图所示，则方程 x2+
x+1=0 的根的情况是（
）。
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】 B
【解析】 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，
二次函数 y=x2+ x+1 的图象如图所示，图象与 x 轴有两个交点， 则方程 x2+ x+1=0 的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选： B．
①① =2b﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数； ①① =2b﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； ①① =2b﹣4ac=0时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； ①① =2b﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． （ 2）二次函数的交点式： y=a（x﹣ x1）（x﹣x2）（a， b， c 是常数， a≠０）， 可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标（ x1，0），（ x2，0），相应一元二次方 程的根就是 x1 和 x2.
教学建议： 根据函数图象结合二次函数的性质解题。 难度： 3 适应场景： 当堂练习 例题来源： 江都区模拟
年份： 2018
【例题 4】
如图，关于 x 的二次函数 y=2x2﹣ 4x+c 的图象交 x 轴的正半轴于 A ，
B 两点，交 y 轴的正半轴于 C 点，如果 x=a 时， y＜ 0，那么关于 x 的
2 讲解用时： 3 分钟 解题思路： 根据方程的两根即可得出抛物线与 x 轴的两个交点坐标， 再利用抛物 线的对称性即可得出抛物线的对称轴。
教学建议： 根据抛物线与 x 轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴。 难度： 3 适应场景： 当堂例题 例题来源： 宁晋县模拟 年份： 2018
【练习 3】
已知二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示， 则关于 x 的方
程 ax2+bx+c=0 的两个根的和为
。
【答案】 2
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质以及根与系数的关
系，
方法一：设 ax2+bx+c=0 的两个根分别为 x1，x2，则二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴
交点坐标为 (x1,0)、 (x2,0) ，由图像可知，二次函数的对称轴为直线
①关于 x 的一次函数 y=（2﹣ a） x﹣ c 的图象经过第一、三、四象限，故选： D．
讲解用时： 5 分钟
解题思路： 根据抛物线的对称轴为直线 x=1 可得出点 B 的横坐标小于 2、c＞0，
进而可得出 2﹣a＞0、﹣ c＜0，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于
x 的一次函数 y=（2﹣ a） x﹣ c 的图象经过第一、三、四象限，此题得解。
B．x=2
C． x= 3 2
D． x=﹣ 3 2
【答案】 C
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的性质，
①方程 x2+bx+c=0 的两个根分别为 x1=1、 x2=2， ①抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的交点坐标为（ 1，0）、（2，0）， ①抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x= 3 ，故选： C．
x=1 ，则
x1 x2 1，即 x1+x2=2. 2
方法二： ①二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，①﹣ =1，① b=﹣ 2a，
①关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根的和为﹣ =2．
讲解用时： 3 分钟
解题思路： 由抛物线的对称轴为 x=1，可得出 b=﹣2a，再根据根与系数的关系即 可得出关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根的和。
①抛物线 y=（x﹣1）（x﹣3）﹣ 5 与 x 轴交于点（ x1， 0）、（x2，0），
① y=（x ﹣1）（ x﹣ 3）﹣ 5=（ x﹣ x1）（ x﹣ x2），
① y=（x ﹣x1）（x﹣x2）+5=（x﹣1）（x﹣3），
①抛物线 y=（x﹣x1）（x﹣x2） +5 与 x 轴的交点坐标为（ 1，0）、（ 3， 0）． 讲解用时： 5 分钟 解题思路： 由一元二次方程（ x﹣1）（x ﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1、x2，可
得出抛物线 y=（x﹣ 1）（ x﹣3）﹣ 5 与 x 轴交于点（ x1，0）、（ x2，0），即 y=（x
﹣ 1）（x﹣3）﹣5=（x﹣ x1）（ x﹣ x2），变形后可得出 y=（ x﹣x1）（x﹣x2）+5=（x
﹣ 1）（x﹣3），即抛物线 y=（x ﹣x1）（x﹣x2） +5 与 x 轴的交点坐标为（ 1， 0）、
教学建议： 利用数形结合解决问题。 难度： 4 适应场景： 当堂例题 例题来源： 桂平市一模
年份： 2017 秋
【练习 5】
如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠０）与 x 轴的一个交点坐标为 （3，0），
与 y 轴交点坐标为（ 0，3），顶点坐标为（ 2，1），当 0＜x＜3 时， y
的取值范围是
解题思路：由抛物线的开口方向及顶点坐标， 可得出 a＞0 且对称轴为直线 x=2，
。
【答案】 ﹣ 1≤ｙ＜3