乘法公式培优
(完整版)整式的乘法与因式分解培优
第二章 整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘， 不变， 相加。
a n.a m = (m,n 是正整数)2.幂的乘方， 不变， 相乘。
(a n )m = (m,n 是正整数)3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。
(ab)n = (n 是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。
5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）=6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。
7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。
（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。
9.公式的灵活变形：（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，a 2+b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。
【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式234a -+22212(3)4b a b --的值【例2】已知两个多项式A 和B ，43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 .【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值.【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ；（2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ．【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．【例8】归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）= ；②（x﹣1）（x2+x+1）= ；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= ；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．【例9】认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．课后作业：1、若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值。
人教版 八年级数学上册 14.2 乘法公式 培优训练(含答案)
人教版八年级数学14.2乘法公式培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列各式中，运算结果是9m2－16n2的是()A.(3m＋2n)(3m－8n)B.(－4n＋3m)(－4n－3m)C.(－3m＋4n)(－3m－4n)D.(4n＋3m)(4n－3m)2. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是()A．(x－y)(x＋y) B．(x－y)(x－y)C．(x－y)(－x－y) D．－(x＋y)(x－y)3. 若M·(2x－y2)＝y4－4x2，则M应为()A.－(2x＋y2)B.－y2＋2xC.2x＋y2D.－2x ＋y24. 化简(－2x－3)(3－2x)的结果是()A．4x2－9 B．9－4x2C．－4x2－9 D．4x2－6x＋95. 为了运用平方差公式计算(x＋2y－1)(x－2y＋1)，下列变形正确的是()A.[x－(2y＋1)]2B.[x＋(2y－1)][x－(2y－1)]C.[(x－2y)＋1][(x－2y)－1]D.[x＋(2y－1)]26. 计算(x＋1)(x2＋1)·(x－1)的结果是()A．x4＋1 B．(x＋1)4C．x4－1 D．(x－1)47. 如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，则这个长方形的面积为()A.a2－4b2B.(a＋b)(a－b)C .(a ＋2b )(a －b )D .(a ＋b )(a －2b )8. 若n 为正整数，则(2n ＋1)2－(2n －1)2的值( )A ．一定能被6整除B ．一定能被8整除C ．一定能被10整除D ．一定能被12整除9. 若(x ＋a )2＝x 2＋bx ＋25，则()A ．a ＝3，b ＝6B ．a ＝5，b ＝5或a ＝－5，b ＝－10C ．a ＝5，b ＝10D ．a ＝－5，b ＝－10或a ＝5，b ＝1010. 如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC △是( )A. 等边三角形．B. 直角三角形．C. 钝角三角形．D. 形状不确定．二、填空题（本大题共6道小题）11. 多项式x 2＋1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是________(任写一个符合条件的即可)．12. 填空：()()22552516a a a b +-=-13. 如果(x ＋my )(x －my )＝x 2－9y 2，那么m ＝________．14. 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a b >)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.15. 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.a bb a16.根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是____________________.三、解答题（本大题共4道小题）17. 运用完全平方公式计算：(1)(2a ＋3b )2； (2)(12m ＋4)2；(3)(－x －14)2； (4)(－13＋3b )2.18. 王红同学计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)的过程如下：解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1.请根据王红的方法求(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．19. 认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应地，我们可以计算出多项式的展开式，如：(a ＋b )1＝a ＋b ，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，…. 下面我们依次对(a ＋b )n 展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时可以单独列成如图所示的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”．仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)(a ＋b )n 展开式中共有多少项？ (2)请写出多项式(a ＋b )5的展开式．20. 计算：2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C [解析] 因为结果是9m 2－16n 2，9m 2应是相同的项的平方，所以相同项应为3m 或－3m ，16n 2应是相反项的平方，相反项应为－4n 和4n.2. 【答案】B3. 【答案】A[解析] M 与2x －y 2的相同项应为－y 2，相反项应为－2x 与2x ，所以M 为－2x －y 2，即－(2x ＋y 2).4. 【答案】A[解析] 原式＝(－2x －3)(－2x ＋3)＝(－2x)2－32＝4x 2－9.5. 【答案】B6. 【答案】C[解析] (x ＋1)(x 2＋1)(x －1)＝(x ＋1)(x －1)(x 2＋1) ＝(x 2－1)(x 2＋1) ＝x 4－1.7. 【答案】A[解析] 根据题意得(a ＋2b )(a －2b )＝a 2－4b 2.8. 【答案】B[解析] 原式＝(4n 2＋4n ＋1)－(4n 2－4n ＋1)＝8n ，则原式的值一定能被8整除．9. 【答案】D[解析] 因为(x ＋a)2＝x 2＋bx ＋25，所以x 2＋2ax ＋a 2＝x 2＋bx ＋25.所以⎩⎨⎧2a ＝b ，a 2＝25，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝10或⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－10.10. 【答案】A【解析】已知关系式可化为2220a b c ab bc ac ++---=，即2221(222222)02a b c ab bc ac ++---=， 所以2221[()()()]02a b b c a c -+-+-=，故a b =，b c =，c a =.即a b c ==．选A ．二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】2x (或－2x 或14x 4) 【解析】x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2；x 2－2x ＋1＝(x －1)2；14x 4＋x 2＋1＝(12x 2＋1)2.12. 【答案】()()2254542516a b a b a b +-=- 【解析】()()2254542516a b a b a b +-=-13. 【答案】±3[解析] (x ＋my)(x －my)＝x 2－m 2y 2＝x 2－9y 2，所以m 2＝9.所以m＝±3.14. 【答案】22()()a b a b a b +-=-【解析】左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为1(22)()()()2b a a b a b a b +-=+-，故验证了公式22()()a b a b a b +-=-(反过来写也可)15. 【答案】224()()ab a b a b =+--【解析】22()()4a b a b ab -=+-或224()()ab a b a b =+--16. 【答案】(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)原式＝4a 2＋12ab ＋9b 2. (2)原式＝14m 2＋4m ＋16. (3)原式＝x 2＋12x ＋116. (4)原式＝19－2b ＋9b 2.18. 【答案】解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 ＝… ＝264－1＋1 ＝264.因为264的个位数字是6，所以(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1的个位数字是6.19. 【答案】解：(1)由已知可得：(a ＋b)1展开式中共有2项， (a ＋b)2展开式中共有3项， (a ＋b)3展开式中共有4项， ……则(a ＋b)n 展开式中共有(n ＋1)项． (2)(a ＋b)1＝a ＋b ， (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，…则(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5.20. 【答案】41122n --【解析】原式211111************n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4411121222n n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．。
沪教版 培优 七年级数学 暑假同步讲义 第8讲 乘法公式(一)(解析版)
平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用．1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．()()22a b a b a b+-=-．（1）a．b可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：如：()()()()()22a b c b a c b a c b a c b a c+--+=+---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、平方差公式的特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差．乘法公式（一）知识结构模块一：平方差公式内容分析知识精讲2/ 13【例1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()11x x ++B ．1122a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()()a b a b -+- D ．()()x y x y --+【答案】B【解析】A :完全平方公式； C ：原式2()a b =--； D ：原式2()x y =-+． 【总结】对平方差公式概念的考查．【例2】 计算： （1）()()3535x x +-；（2）11112323x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()22x y x y +-．【答案】（1）2925x -；（2）21149x -；（3）224x y -．【解析】（1）()()2223535(3)5925x x x x +-=-=-；（2）22211111111()()23232349x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()222222(2)4x y x y x y x y +-=-=-．【总结】直接利用平方差公式进行计算．【例3】 计算：（1）2211112525x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()2323x y x y -+--； （3）()()2323a b a b ---．【答案】（1）411425x -；（2）2249x y -；（3）2294b a -【解析】（1）22222411111111()()252525425x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()22222323(2)(3)49x y x y x y x y -+--=--=-； （3）()()22222323(3)(2)94a b a b b a b a ---=--=-．【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”，相反的项看作“b ”．【例4】 计算：（1）()()()2232349a a a -++；（2）22111224a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例题解析【答案】（1）41681a -； （2）42116a b -． 【解析】（1）原式224(49)(49)1681a a a =-+=-；（2）原式222242111()()4416a b a b a b =-+=-．【总结】平方差公式的连续运用．【例5】 计算：111111253253x y z x y z ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】222111145259x xy y z -+-+．【解析】原式22222111111()()253253111111[()][()]2532531111111[()]25945259x y z x y z x y z x y z x y z x xy y z=----+=----+=---=-+-+【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”，相反的项看作“b ”．【例6】 计算：（1）()()()()33a b a b a b a b +--+-； （2）()()()()2222y x y x x y x y -+++---+； （3）22111133222233x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）28b ；（2）2255x y -；（3）4211549x x --【解析】 （1）原式 2222298a b a b b =--+=；（2）原式2222224455x y x y x y =-+-=-； （3）原式424211119454949x x x x =--+=--． 【总结】平方差公式以及合并同类项的运用．【例7】 计算：()()()()()2221212245a a a a a a ⎡⎤-+++--+⎣⎦．【答案】425a -【解析】原式2222224(4144)(5)(5)(5)25a a a a a a a =-+--+=-+=-4/ 13【总结】平方差公式的连续运用．【例8】 简便运算： （1）10298⨯；（2）30.229.8⨯；（3）12252433⨯．【答案】（1）9996；（2）899.96；（3）86249【解析】 （1）原式2(1002)(1002)10049996=+-=-=；（2）原式(300.2)(300.2)9000.04899.96=+-=-=（3）原式1118(25)(25)6256243399=+-=-=【总结】平方差公式在简便运算中的运用．【例9】 计算：（1）2200920072008⨯-；（2）22007200720082006-⨯； （3）22007200820061⨯+．【答案】 （1）-1；（2）2007；（3）1【解析】 （1）222(20081)(20081)20082008120081=+--=--=-；（2）2222007200720072007(20071)(20071)200720071===-+--+（3）222200720071(20071)(20071)1200711===+-+-+【总结】平方差公式在计算题中的运用． 【例10】 计算：()()()()242121212121n+++++（n 是正整数）． 【答案】42n【解析】原式24244244(21)(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)12112n n n n=-+++++=-+++=-+=【总结】平方差公式的提高性运用，关键在于如何启发学生添加“（2-1）”这一项．1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．()2222a b a ab b +=++、()2222a b a ab b -=-+． 2、完全平方公式的特征：（1）左边是两个相同的二项式相乘；（2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．【例11】 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．()()4774x y y x ---B ．()()4774x y x y --+C ．()()4774x y y x --+D ．()()4747x y x y -+【答案】C【解析】A ：(47)(47)x y x y --+；B ：()()4774x y x y -++；D ：()()4747x y x y -+ 【总结】运用时，注意完全平方公式与平方差公式的区别． 【例12】 下列计算正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+B ．()2222x y x xy y -=--C ．()2225225420a b a b ab +=++D ．2221111132364m n m mn n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】A ：正确答案为：222a ab b ++； B ：正确答案为：222x xy y -+；D ：正确答案为：22111934m mn n ++．【总结】本题注意考查学生对完全平方公式的理解和准确运用．例题解析模块二：完全平方公式知识精讲6/ 13【例13】 计算： （1）()239x +；（2）223x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()22xyz --．【答案】（1）295481x x ++；（2）22111439x xy y -+；（3）22244x y z xyz ++；【解析】（1）()222239(3)239995481x x x x x +=+⋅⋅+=++： （2）22222111()2()232233439x y x x y y x xy y ⎛⎫-=-⋅⋅+=-+ ⎪⎝⎭；（3）()222222(2)44xyz xyz x y z xyz --=+=++． 【总结】本题主要是利用完全平方公式直接进行计算．【例14】 计算：（1）()()()2343x x x -+-+；（2）()()()2232222x x x +----+；（3）()()()2212121a a a +-+-．【答案】（1）521x --； （2）1213x +；（3）42a +；【解析】 （1）原式221269521x x x x x =+----=--；（2）原式224129441213x x x x =+++-=+； （3）原式224414142a a a a =++-+=+．【总结】完全平方公式与合并同类项的运用．【例15】 计算：（1）2211113232x y x y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2213133434a b a b ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）23xy -；（2）0．【解析】 （1）原式222211111129349343x xy y x xy y xy =-+---=-；（2）原式222211111909249216a ab b a ab b =++---=．【总结】完全平方公式的直接运用，在运用时注意中间项是“积的2倍”．【例16】 计算：（1）()()()229163434a b a b a b --+；（2）22111111323294a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）422481288256a a b b -+；（2）4224111811816a ab b -+． 【解析】（1）原式22224224(916)(916)81288256a b a b a a b b =--=-+；（2）原式222242*********()()9494811816a b a b a a b b =--=-+．【总结】平方差公式与完全平方公式的综合运用，运用时注意两个公式的区别．【例17】 计算： （1）()22a b c --+；（2）()2324x y ++；（3）()()22x y x y +---．【答案】（1）2224424a ab b ac bc c ++--+；（2）229124241616x xy y x y +++++；（3）222444x xy y x y ---++-．【解析】（1）原式222[(2)](2)2(2)a b c a b c a b c =--+=--+⋅--+2224424a ab b ac bc c =++--+；（2）原式2(32)8(32)16x y x y =++++229124241616x xy y x y =+++++； （3）原式22(2)()4()4x y x y x y =-+-=-+++-222444x xy y x y =---++-． 【总结】三项完全平方的综合运用，注：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++．【例18】 简便计算： （1）299.8；（2）22005．8/ 13【答案】（1）9960.04；（2）4020025．【解析】 （1）2299.8(1000.2)10000400.049960.04=-=-+=；（2）222005(20005)400000020000254020025=+=++=．【总结】完全平方公式在简便运算中的运用．【例19】 设8,15m n mn +==，求（1）22m n + ；（2）m n -． 【答案】（1）34；（2）±2．【解析】 （1）222()2643034m n m n mn +=+-=-=；（2）222()22m n m n m n mn -=±-=±+-=±．【总结】完全平方公式的变形及其应用．常用的变形还有：①2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+；②22()()4a b a b ab +=-+等．【例20】 已知16x x -=，求221x x+的值． 【答案】38 【解析】222111()236238x x x x x x+=-+⋅=+=． 【总结】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和．即：22211()2a a a a +=+-或22211()2a a a a +=-+【例21】 已知：2221440x y x xy y --+++=，则2x y +=___________． 【答案】34【解析】 ∵2221440x y x xy y --+++=，221(2)0x y x y --++=，∴21020x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得：1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴324x y +=． 【总结】当几个非负数的和为零时，则它们分别为零．【例22】 已知26x x k -+是完全平方式，求k 的值． 【答案】9k =【解析】解：∵22222623(3)(3)(3)9x x k x x k x k -+=-⋅+-+=--+，且26x x k -+是完全平方式， ∴9k =． 【总结】考察如何配方成完全平方式．【例23】 已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 都是有理数，求y x 的值． 【答案】-8【解析】∵2244690x x y y +++-+=，22(2)(3)0x y ++-=，∴可得2030x y +=⎧⎨-=⎩，解得：23x y =-⎧⎨=⎩．∴8y x =-．【总结】考察如何配方及非负性的运用．【例24】 已知2416x kx -+是完全平方式，求k 的值． 【答案】±16【解析】解：∵2221416(2)2244x kx x x k-+=-⋅⋅+ ∴可得：221()44k=， ∴16k =±．【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解．【例25】 已知2310x x ++=，求：（1）221x x +；（2）441x x+．【答案】（1）7； （2）47． 【解析】由2310x x ++=可得130(0)x x x++=≠ （1）22211()2927x x x x +=+-=-=； （2）4224211()249247x x x x+=+-=-=． 【总结】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和．即：22211()2a a a a +=+-或22211()2a a a a+=-+．10/ 13【习题1】 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A ．()()2a b a b -- B ．()()22a b a b -+-C ．()()22a b a b +--D ．()()22a b a b ---+【答案】D【解析】D 选项为(2)(2)a b b a -+-． 【总结】对平方差公式概念的考查．【习题2】 计算： （1）()()2525x x +-；（2）()()1212a a -+；（3）11113232a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）2425x -；（2）214a -；（3）221194a b -．【解析】（1）原式=222(2)5425x x -=-；（2）原式=2221(2)14a a -=-；（3）原式=22221111()()3294a b a b -=-．【总结】直接利用平方差公式进行计算．【习题3】 计算： （1）10496⨯；（2）30.729.3⨯；（3）1610977⨯．随堂检测师生总结1、基本乘法公式有几个？2、平方差公式的基本特征是什么？3、完全平方公式的基本特征是什么？【答案】（1）9984；（2）899.51；（3）489949． 【解析】 （1）(1004)(1004)10000169984=+-=-=；（2）原式(300.7)(300.7)9000.49899.51=+-=-=；（3）原式11148(10)(10)10099774949=+-=-=． 【总结】平方差公在简便运算中的运用．【习题4】 计算：（1）()()3434x y x y --++-； （2）()()2332x y x y ++--．【答案】（1）226982416x xy y x y ---++-；（2）229444x xy y ---．【解析】 （1）原式22(34)[(3)8(3)16]x y x y x y =-+-=-+-++ 226982416x xy y x y =---++-；（2）原式222[3(2)][3(2)]9(2)9444x y x y x y x xy y =++-+=-+=---．【总结】平方差公式和完全平方公式的运用，注意二个公式的区别．【习题5】 求值：（1）已知：3a b +=，1ab =，求代数式的值：（1）22a b +；（2）44a b +．（2）已知：5a b -=，4ab =，求22a b +的值．【答案】（1）7和47；（2）33．【解析】 （1）222()2927a b a b ab +=+-=-=；4422222()247a b a b a b +=+-=．（2）222()225833a b a b ab +=-+=+=．【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用．【习题6】 求值：（1）已知：()28a b -=，()22a b +=，求ab 的值；（2）已知：()()222315x x -++=，求()()23x x -+的值． 【答案】（1）32-；（2）5． 【解析】（1）∵22()()4a b a b ab --+=-； ∴46ab -=， ∴32ab =-．12/ 13 （2）∵()()222315x x -++=，又22[(2)(3)]525x x -++==， ∴()()22232(3)(2)25x x x x -++++-=，∴(2)(3)5x x -+=． 【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用．【作业1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()22x y x y -+B ．()()a b a b ---C ．()()2222c d d c --+D ．()()22x y x y -+【答案】B【解析】B 选项可以变为()()a b a b -+-．【总结】本题主要考查对平方差公式的理解．【作业2】 计算：（1）211510x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）212cd ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）221112525100x xy y ++； （2）2214c d cd -+． 【解析】直接使用完全平方公式进行计算．【作业3】 用简便方法计算：（1）403397⨯；（2）31293044⨯； （3）9910110001⨯⨯；（4）224952+．【答案】（1）159991；（2）1589916；（3）9999999；（4）5105． 【解析】（1）403397(4003)(4003)1600009159991⨯=+-=-=；（2）31111152930(30)(30)90089944441616⨯=-+=-=； （3）999910001(100001)(100001)9999999⨯=-+=；（4）22224952(501)(502)5105+=-++=．【总结】完全平方公式或平方差公式在简便运算中的运用．【作业4】 计算：课后作业（1）()()()2222x y x y x y +-+-；（2）()()()2x y x y x y ---++； （3）()()()()22253x y x y x y x y +-+-+-．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式2222244442x xy y x y xy y =++-+=+；（2）原式22222()222x y x xy y xy y =--+++=+；（3）原式222222224255363102x xy y x y x xy y y xy =++-++-+=-．【总结】平方差公式和完全平方公式的综合运用．【作业5】 计算：（1）()()2323x y z x y z +--+；（2）()()2121a b a b -+--．【答案】（1）222469x y yz z -+-；（2）22441a ab b -+-．【解析】 （1）22222[2(3)][2(3)]4(3)469x y z x y z x y z x y yz z =+---=--=-+-；（2）222[(2)1][(2)1](2)1441a b a b a b a ab b =-+--=--=-+-．【总结】完全平方公式的多次运用，注意在运用的过程中符号的确定．【作业6】 求值：（1）已知6x y +=-，2xy =，求代数式()2x y -的值．（2）已知4x y +=-，8x y -=，求代数式22x y -的值．（3）已知3a b +=，225a b +=，求ab 的值．【答案】（1）28；（2）-32；（3）2．【解析】 （1）22()()428x y x y xy -=+-=；（2）22()()32x y x y x y -=+-=-；（3）2222()4ab a b a b =+--=，2ab =．。
苏科版七年级数学下册《乘法公式》综合培优测试卷【含答案】
苏科版七年级数学下册《乘法公式》综合培优测试卷一．选择题1．下列不能用平方差公式直接计算的是（ ）A．（﹣m+n）（m﹣n）B．（﹣m﹣n）（﹣m+n）C．（x+2）（x﹣2）D．（﹣2x+y）（2x+y）2．已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（ ）A．﹣8B．8C．﹣4D．43．若x2+（k﹣1）x+4是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）A．5B．5或3C．﹣3D．5或﹣34．已知x﹣y＝3，xy＝2，则（x+y）2的值等于（ ）A．12B．13C．14D．175．一个正方形的边长为a，若边长增加3，则其面积增加了（ ）A．9B．（a+3）2C．6a+9D．a2+326．从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定7．若，则下列a，b，c的大小关系正确的是（ ）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张（边长如图）．小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（ ）A．1B．2C．3D．4二．填空题9．＝ ．10．如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，那么S阴＝ ．11．当m﹣n＝﹣5，mn＝2时，则代数式（m﹣n）2﹣4mn＝ ．12．已知a＝﹣2+3b，则代数式a2﹣6ab+9b2的值为 ．13．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加99cm2，这个正方形的边长为 ．14．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是6cm2和2cm2，那么两个长方形的周长和为 cm．15．已知m+n＝3，m﹣n＝2，则m2﹣n2＝ ．三．解答题16．计算：．17．已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．18．计算（2m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）．19．计算：（2x﹣3y+z）（2x+3y﹣z）．20．阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ 都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．21．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是 ．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．22．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为 ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12参考答案一．选择题1．解：A、（﹣m+n）（m﹣n）不能用平方差公式计算，故选项符合题意；B、（﹣m﹣n）（﹣m+n）能用平方差公式计算，故选项不符合题意；C、（x+2）（x﹣2）能用平方差公式计算，故选项不符合题意；D、（﹣2x+y）（2x+y）能用平方差公式计算，故选项不符合题意．故选：A．2．解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，∴a+b＝﹣4，故选：C．3．解：∵x2+（k﹣1）x+4是一个完全平方式，∴k﹣1＝±4，解得：k＝5或﹣3，故选：D．4．解：∵x﹣y＝3，xy＝2，∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝9+8＝17，故选：D．5．解：根据题意可得，（a+3）2﹣a2＝a2+6a+9﹣a2＝6a+9．故选：C．6．解：原来租的土地面积：a2（平方米）．现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．∵a2＞a2﹣16．∴张老汉的租地面积会减少．故选：C．7．解：∵a＝20220＝1，b＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1，c＝（﹣×）2022×＝（﹣1）2022×＝，∴b＜a＜c，故选：A．8．解：∵取甲纸片1张，取乙纸片4张，∴面积为a2+4b2，∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为ab，∴还需4张丙纸片，即a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，故选：D．二．填空题9．解：＝＝﹣，故答案为：﹣．10．解：设正方形ABCD的边长分别为a和b，由题意得：b2﹣a2＝6．由图形可得：S阴＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）＝ab﹣a2+b2﹣ab＝（b2﹣a2）＝×6＝3．故答案为：311．解：原式＝（﹣5）2﹣4×2＝25﹣8＝17，故答案为：17．12．解：∵a＝﹣2+3b，∴a﹣3b＝﹣2，∴a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2＝（﹣2）2＝4，故答案为：4．13．解：设这个正方形的边长为xcm，根据题意得：（x+3）2＝x2+99，∴x2+6x+9＝x2+99，∴6x＝90∴x＝15．故答案为：15cm．14．解：根据题意可得，面积分别是6cm2和2cm2的小正方形边长为cm和cm，则两个长方形的周长为（4+4）cm．故答案为：4+4．15．解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝3×2＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：原式＝＝＝．17．解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．18．解：原式＝4m2﹣4mn+n2﹣（m2﹣4n2）＝4m2﹣4mn+n2﹣m2+4n2＝3m2﹣4mn+5n2．19．解：（2x﹣3y+z）（2x+3y﹣z）＝[2x﹣（3y﹣z）][2x+（3y﹣z）]＝（2x）2﹣（3y﹣z）2＝4x2﹣9y2+6yz﹣z2．20．解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21，即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21；（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab＝＝，即：（2022﹣x）（2021﹣x）的值为；（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．21．解：（1）根据阴影部分的面积相等得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）①∵x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，∴x+2y＝（x2﹣4y2）÷（x﹣2y）＝18÷3＝6；②原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×……×（1﹣）×（1+）＝××××……××＝×＝．22．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）∴（2m﹣n）＝12÷4＝3故答案为：3．②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1＝（216﹣1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16故答案为：6．②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050。
乘法公式 培优
第三讲 乘法公式【易错点剖析】1.注意乘法公式的特点，符合公式的特点的多项式乘法才能套用公式.2. 在混合运算时，运用乘法公式计算出来的积要添括号，如果前面是 “-〞要注意变号⑤()()2222x y x y +-⑥()()()()24832124515151...51+++++⑦221.2340.766 2.4680.766++⨯⑧2222211111111...11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【能力提高】整体思想1、 假设()223m -=，求246m m -+的值.2、 22227,+9a ab b a ab b ++=-=，求()2a b +的值.3、 5,4a b ab ++=，求〔1〕22a b +；〔2〕44a b +；〔3〕44a b -的值4A 、2510x x -+=，求〔1〕221x x+〔2〕322143x x x --+的值4B 、0a ≠，且满足()()()222112329147a a a a a +---+=-， 求〔1〕221a a +〔2〕24255a a a ++的值.5、 ()()22201820171a a -+-=，求()()20182017a a --的值配方法1、()22116x m x --+是一个完全平方式，那么m = .2、264A x x +-+是一个完全平方式，那么A = .1B 、()()2222116x xy y m x y ++--++是一个完全平方式，那么m = .2B 、()()()()222210024400a b k b a a b +++--是一个完全平方式，那么k = . 3、把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，那么m k += .4、假设2228170x y x y ++-+=，求y x 的值.5A 、当x 为多少时，代数式245x x -+有最小值，最小值为多少？5B 、求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值及此时,x y 的值.6、试说明：无论x 取何值，225x x ++的值一定为一个正数.7、111100,99,101100100100a xb xc x =+=+=+，求222a b c ab bc ac ++---的值8、22234,52M x x N x x =++=++，试比拟M ，N 的大小.【课后练习】1、 225a b =+，那么()()33a b a b +-= . 2、 2210x x --=，那么221x x += ，441x x += 4、 假设()()2212x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，那么m = ，n = . 5、6224b a ==，那么23a b -= .6、()()()()241612121212++++的个位数是 .7、计算①()()223131x x +- ②()()2212a a +--8、4821-能被60和70之间的某两个整数整除，求这两个数.9、2220a b c ab bc ac ++---=，求,,a b c 之间的关系.10 、2781,1515P m Q m m =-=-〔x 任意实数〕，试比拟P ，Q 的大小.11、()()20172015100a a --=，求()()22201720156a a -+-+的值。
人教版八上数学整式的乘法及因式分解单元培优
第1讲 整式的乘法知识点梳理：复习回顾：整式的加减：同类项，合并同类项 新课要点：（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。
（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘。
mnnm a a =)(（m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。
（3）积的乘方：nnnb a ab =)(（n 是正整数） 注意公式逆用。
（4）整式的乘法：①单项式和单项式相乘：把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例如：)3(2322bc a ab -⋅=3336c b a -②单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即mb ma b a m +=+)(③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积再相加。
即nb na mb ma b a n m +++=++))((经典例题例1．（1）-x 3·x 5 （2）x m ·x 3m+1 （3）2×24×23（4）31++••m m ma a a （5）n m m m m a a a a 321⋅⋅例2．计算： ①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅例3.计算：⑴()33x - ⑵()25ab - ⑶()22xy ⑷()4322xy z-（5）()()4234242a a a a a ⋅⋅++- （6）()()()2323337235xx xx x ⋅-+⋅例4.计算：⑴()()2353a b a -⋅- ⑵()()3225x x y ⋅-（3）()()152n a b a +-- （4）()()()232236ab a cab c --⋅（5）()()24231x x x -⋅+- （6）221232ab ab ab ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭（7）()22221252a ab b a a b ab ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭（8）()()32x y x y +-（9）()()22m n m n +- （10）2)2(b a +例5．若20x y +=，则代数式3342()x xy x y y +++的值为 。
七年级完全平方公式培优讲义讲课讲稿
七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语：. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。
而人的知识，品德和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反【知识精要】:1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b－a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2－（a－c）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2； （2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲乘法公式
第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应当做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特性，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2023，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2023一a)(1998一a)=1999，那么(2023一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思绪点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2023一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是如何得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表达数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类结识事物的一般规律，而观测、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M<N C ． M=N D ．无法拟定 思绪点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)思绪点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特性，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表达数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特性．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思绪点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表达，作差比较它们的大小．注： 有些问题经常不能直接使用公式，而需要发明条件，使之符合乘法公式的特点，才干使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，运用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思绪点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观测下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请运用图中空白部分的面积的不同表达方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-cb b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 (扬州市中考题) 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20232C ． 22023D ．420239．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?假如是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观测：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2023×2023×2023×2023+1的结果(用一个最简式子表达)． (黄冈市竞赛题)14．你能不久算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简朴情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，可以表达成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2023，b ＝1999x+2023，c ＝1999x+2023，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表达第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表达第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表达十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观测： 222233*********,335112225,351225,525====写出表达一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选此外两个类似26、53的数，使它们能表达成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过度析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表达为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表达为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．第十八讲 乘法公式参考答案。
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乘法公式培优-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第三讲 乘法公式
【易错点剖析】
1.注意乘法公式的特点，符合公式的特点的多项式乘法才能套用公式.
2. 在混合运算时，运用乘法公式计算出来的积要添括号，如果前面是 “-”要注意变号
⑤()()22
22x y x y +- ⑥()()()()24832124515151...51+++++
⑦221.2340.766 2.4680.766++⨯ ⑧2222211111111...11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【能力提高】
整体思想
1、 若()2
23m -=，求246m m -+的值.
2、 已知22227,+9a ab b a ab b ++=-=，求()2
a b +的值.
3、 已知5,4a b ab ++=，求（1）22a b +；（2）44a b +；（3）44a b -的值
4A 、已知2510x x -+=，求（1）221x x
+
（2）322143x x x --+的值
4B 、已知0a ≠，且满足()()()222112329147a a a a a +---+=-， 求（1）2
21a a +（2）24255a a a ++的值.
5、 已知()()22
201820171a a -+-=，求()()20182017a a --的值
配方法
1、已知()22116x m x --+是一个完全平方式，则m = .
2、已知264A x x +-+是一个完全平方式，则A = .
1B 、已知()()2222116x xy y m x y ++--++是一个完全平方式，则m = .
2B 、已知()()()()22
2210024400a b k b a a b +++--是一个完全平方式，则k = .
3、把代数式223x x --化为()2
x m k -+的形式，则m k += .
4、若22
28170x y x y ++-+=，求y x 的值.
5A 、当x 为多少时，代数式245x x -+有最小值，最小值为多少
5B 、求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值及此时,x y 的值.
6、试说明：无论x 取何值，225x x ++的值一定为一个正数.
7、已知111100,99,101100100100
a x
b x
c x =
+=+=+，求222a b c ab bc ac ++---的值
8、已知22234,52M x x N x x =++=++，试比较M ，N 的大小.
【课后练习】
1、 已知225a b =+，则()()33
a b a b +-= . 2、 已知2210x x --=，则2
21x x += ，44
1x x += 4、 若()()2212x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，则m = ，n = . 5、已知6224b a ==，则23a b -= .
6、()()()()241612121212++++的个位数是 .
7、计算
①()
()223131x x +- ②()()22
12a a +--
8、4821-能被60和70之间的某两个整数整除，求这两个数.
9、已知2220a b c ab bc ac ++---=，求,,a b c 之间的关系.
10 、已知2781,1515
P m Q m m =
-=-（x 任意实数），试比较P ，Q 的大小.
11、已知()()20172015100a a --=，求()()22201720156a a -+-+的值。