乘法公式--培优
(完整版)整式的乘法与因式分解培优
第二章 整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘， 不变， 相加。
a n.a m = (m,n 是正整数)2.幂的乘方， 不变， 相乘。
(a n )m = (m,n 是正整数)3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。
(ab)n = (n 是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。
5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）=6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。
7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。
（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。
9.公式的灵活变形：（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，a 2+b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。
【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式234a -+22212(3)4b a b --的值【例2】已知两个多项式A 和B ，43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 .【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值.【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ；（2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ．【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．【例8】归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）= ；②（x﹣1）（x2+x+1）= ；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= ；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．【例9】认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．课后作业：1、若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值。
初一数学培优：乘法公式的正应用与逆应用
数学思想方法是在数学知识的学习过程中，形成具有独特的解决问题的策略和方法．数学知识的学习是数学思想方法形成的基础，而数学思想对数学知识的学习、理解以及解决问题具有指导意义．本讲主要学习几个重要的数学思想：“正”、“逆”互化、归纳类比、整体代入、分类讨论、配方构造、待定系数的数学思想方法．【点拨】正向应用多项式乘法公式，观察每个乘积的结果，得出规律【解答】【反思与小结】对于结论探究问题，一般利用“特殊——一般——特殊”的规律，观察最初的结论，从而找到规律，再进行证明。
本例观察最初的两个等式或三个等式，猜想规律，再进行证明。
【点拨】对于（1）能否利用例1的结论进行计算与化简？对于（2）、（3）如何将其转化成例1的形式从而应用例1的公式进行解答．【解答】【点拨】“分析法”要求的式子值，要对所求的式子进行通分变形，也要对已知的式子进行变形，变形成次数相同的式子，带入解决。
【解答】【反思与小结】分析法主要是从结论出发，逆向推理，通过分析要得到结论，需要怎样的条件，从而逐步接近已知条件的分析过程。
本例要得到，就要得到，观察已知条件，怎样得到？需要将与的两边分别次方和次方，从而得出解答。
【点拨】思考一：能否从一个因数开始逐步应用“不完全归纳”进行解答？思考二：观察每个因式的特点，能否“正”或“逆”用平方差公式？应用公式后根据每个因数的特点进行解答？【解答】【反思与小结】应用不完全归纳法需要大胆猜想，小心验证与证明。
本例既可以根据各因数的特点利用乘法交换律和结合律进行组合解决，又可以利用不完全归纳法进行归纳探究。
【点拨】能否通过“正”或“逆”用公式化简所求的代数式，然后再证明呢？这也是求代数式的值的常用办法。
【证明】【证明】【点拨】“分析法”思考一：要求代数式的值，观察已知条件，能否用含x的一次代数式分别表示出所求式子中的每一项，再进行化简求解呢？这种“各个击破”的方法是解决此问题的关键。
思考二：要求代数式的值，能否将已知的条件作为一个整体代入求解？这种整体代入的方法也是一种常用方法。
整式乘法乘法公式培优
第二课 整式乘法——乘法公式培优一、平方差②(2)(2)x y x y -+-- ②11()()22a b a b --- ③(2)(2)a b c a b c +---=④(23)(23)a b c a b c ---+- ⑤22(34)(34)a b a b --+=2、已知：12345671234569A =⨯，21234568B =，比较A 、B 的大小，则A B ．3、(1)计算：2481631111111(1)(1)(1)(1)(1)222222++++++= ．(2)2481632(51)(51)(51)(51)(51)(51)++++++=(3)222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234201620172018---⋯⋯---=二、利用完全平方公式计算：1、（1）()223x - （2）()243x y + （3）()2mn a -（4）()225xy x + （5）()221n n +- （6）（a －b ＋c ）22、（1）22411_________24x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ （2）()22_______p pq -+=三、混合运算（1）1(3x m +2y n +4)(3x m +2y n －4) （2）（m+n ）（m －n ）（m 2－n 2）（3）(x+2y)(x 2-2xy+4y 2) （4）（3x+2）2－（3x －2）2+（3x+2）2（3x －2）2（5）(2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2（6）22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++（7）(2x+3y)2(2x-3y)2（8）(3x+2)2-(3x-5)2(9)(x 2+x+6)(x 2-x+6) (10)(9-a 2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2（11）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c) （12）x 2–(x+y)(x –y)（13） （14））（15） （16）(a -2b +3c )2-(a +2b -3c )2．（17）(2x ＋y －z ＋5)(2x －y ＋z ＋5) （18） 22)231()231(y x y x --+-（19）()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222四、配方1．（1）若292(3)16x k x +-+是完全平方式，则k 的值为 （2）如果26x x k -+是完全平方式，则k 的值为 （3）若22(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（4）若29(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（5）若多项式224(2)9x k xy y --+是完全平方式，则k 的值是 ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4428y x y x ()()22875875c b a c b a +---+2．已知：a ，b ，c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++的值.3、实数a ，b ，c 满足2617a b +=-，2823b c +=-，2214c a +=，则a b c ++的值。
乘法公式知识讲解
乘法公式知识讲解乘法公式是指在数学中用于求解乘法运算的规则。
它们是数学中最基本也是最重要的公式之一，常用于求解各种复杂的乘法运算，可以大大简化计算过程。
在这篇文章中，我将详细介绍乘法公式的相关知识，并为大家提供一些实例来帮助理解。
首先，我们来讨论最基本的乘法公式，即两个数的乘法。
设有两个数a和b，它们的乘积可以表示为a × b或ab。
在乘法中，我们通常使用乘号（×）或圆点（·）来表示乘法运算。
下面是一些常见的乘法公式：1.乘法交换律：a×b=b×a乘法交换律表示，两个数相乘的结果与两个数的顺序无关。
例如，3×4=4×3=122.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法结合律表示，三个数相乘的结果与它们的运算顺序无关。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.数值相同的乘法：a×a=a^2数值相同的乘法表示，一个数与其自身相乘的结果可以用该数的平方来表示。
例如，4×4=4^2=16接下来，我们将进一步讨论乘法公式的应用。
1.乘法分配律：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)乘法分配律是乘法中的一个重要规则。
它表示一个数乘以两个数的和等于该数分别乘以这两个数后的和。
例如，2×(3+4)=(2×3)+(2×4)=142.幂与乘法：a^m×a^n=a^(m+n)幂与乘法表示，两个具有相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，2^3×2^4=2^(3+4)=2^7=1283.倒数乘法：a×(1/a)=1倒数乘法表示一个数与其倒数相乘的结果等于1、例如，5×(1/5)=14.零乘法：a×0=0零乘法表示任何数与0相乘的结果都是0。
培优七年级第17讲——乘法公式
17 乘法公式只有通过数学,我们才能彻底了解科学的精髓.至有在数学中，我们才能发现科学规律的高度简洁性、严格性和抽象性.任何科学教育如果不以数学为出发点，则其基础势必有缺陷。
-------科姆特知识纵横乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一半法则应用一一些特殊形式的多项式相乘,出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解例1 (1) 在2004、2005、2006、2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差是______.（第10届江苏竞赛题）(2) 已知(2000-a)(1998-a)=1999，那么， = _________.(重庆竞赛题) 思路点拨:（1）,m+n，m-n的奇偶性相同，这是解本例题的基础。
（2）视(2000-a)•(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式及其变形例2 (1) 已知a、b、c满足，，，则a+b+c 的值等于( ).A. 2B. 3C. 4D.5(2) a、b、b不全为0, 满足a+b+c=0，，称使得恒成立的正整数n为”好数”，则不超过2007的正整数中”好数”的个数为( )A. 2B. 1004C. 20006D. 2007思路点拨:对于(1) ,由条件等式联想到完全平方式，解题的关键是整体考虑；对于(2) , 由条件出发，探求a,b,c之间的关系。
例3 观察下列算式(1) 1x3-;(2)2x4-(3)3x5-(4)__________________________;……..(1) 请你按照以上规律写出第四个算式.(2) 把这个规律用含字母的式子表示出来.(3) 你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由(2011年湖南省益阳市考题) 思路点拨: 从特殊情形归纳一般结论，并证明这个结论例4 已知a+b=1, 求。
第一节 整式乘法及应用-学而思培优
第一节整式乘法及应用-学而思培优第一节整式乘法及应用一、课标导航二、核心纲要1.幂的运算性质1) 同底数幂的乘法同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即：$a^m \cdota^n = a^{m+n}$。
（其中$m,n$都是正整数）特别地，$a^m \cdot a^{-n} = \dfrac{a^m}{a^n}$。
注：①此性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如：$a\cdot a\cdot a = a^3$。
②此性质可以逆用，即$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$。
③当幂的指数为1时，可省略不写，但是不能认为没有，如：$a\cdot a = a^2$。
2) 幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：$(a^m)^n =a^{mn}$。
注：此性质可以逆用，即：$a^{mn} = (a^m)^n$。
3) 积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：$(ab)^n = a^n b^n$。
（$n$是正整数）注：①此性质可推广到多个因数的积的乘方，即：$(abc)^n = a^n b^n c^n$。
②此性质可以逆用：$abc = (abc)^1 = a^1 b^1 c^1$。
2.整式乘法法则1) 单项式与单项式相乘系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
如$2abc\cdot3ab = 6a^2 b^2 c$。
注：①此法则适合多个单项式相乘；②用法则解题时，可分三步计算：第一步：将系数相乘；第二步：将相同字母相乘；第三步：将单独的单项式写在积中。
2) 单项式与多项式相乘单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，即：$m(a+b+c) = ma+mb+mc$，其中$m$为单项式，$a+b+c$为多项式。
3) 多项式与多项式相乘将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，即：a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$。
苏科版七年级数学下册《乘法公式》综合培优测试卷【含答案】
苏科版七年级数学下册《乘法公式》综合培优测试卷一．选择题1．下列不能用平方差公式直接计算的是（ ）A．（﹣m+n）（m﹣n）B．（﹣m﹣n）（﹣m+n）C．（x+2）（x﹣2）D．（﹣2x+y）（2x+y）2．已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（ ）A．﹣8B．8C．﹣4D．43．若x2+（k﹣1）x+4是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）A．5B．5或3C．﹣3D．5或﹣34．已知x﹣y＝3，xy＝2，则（x+y）2的值等于（ ）A．12B．13C．14D．175．一个正方形的边长为a，若边长增加3，则其面积增加了（ ）A．9B．（a+3）2C．6a+9D．a2+326．从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定7．若，则下列a，b，c的大小关系正确的是（ ）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张（边长如图）．小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（ ）A．1B．2C．3D．4二．填空题9．＝ ．10．如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，那么S阴＝ ．11．当m﹣n＝﹣5，mn＝2时，则代数式（m﹣n）2﹣4mn＝ ．12．已知a＝﹣2+3b，则代数式a2﹣6ab+9b2的值为 ．13．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加99cm2，这个正方形的边长为 ．14．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是6cm2和2cm2，那么两个长方形的周长和为 cm．15．已知m+n＝3，m﹣n＝2，则m2﹣n2＝ ．三．解答题16．计算：．17．已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．18．计算（2m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）．19．计算：（2x﹣3y+z）（2x+3y﹣z）．20．阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ 都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．21．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是 ．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．22．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为 ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12参考答案一．选择题1．解：A、（﹣m+n）（m﹣n）不能用平方差公式计算，故选项符合题意；B、（﹣m﹣n）（﹣m+n）能用平方差公式计算，故选项不符合题意；C、（x+2）（x﹣2）能用平方差公式计算，故选项不符合题意；D、（﹣2x+y）（2x+y）能用平方差公式计算，故选项不符合题意．故选：A．2．解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，∴a+b＝﹣4，故选：C．3．解：∵x2+（k﹣1）x+4是一个完全平方式，∴k﹣1＝±4，解得：k＝5或﹣3，故选：D．4．解：∵x﹣y＝3，xy＝2，∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝9+8＝17，故选：D．5．解：根据题意可得，（a+3）2﹣a2＝a2+6a+9﹣a2＝6a+9．故选：C．6．解：原来租的土地面积：a2（平方米）．现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．∵a2＞a2﹣16．∴张老汉的租地面积会减少．故选：C．7．解：∵a＝20220＝1，b＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1，c＝（﹣×）2022×＝（﹣1）2022×＝，∴b＜a＜c，故选：A．8．解：∵取甲纸片1张，取乙纸片4张，∴面积为a2+4b2，∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为ab，∴还需4张丙纸片，即a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，故选：D．二．填空题9．解：＝＝﹣，故答案为：﹣．10．解：设正方形ABCD的边长分别为a和b，由题意得：b2﹣a2＝6．由图形可得：S阴＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）＝ab﹣a2+b2﹣ab＝（b2﹣a2）＝×6＝3．故答案为：311．解：原式＝（﹣5）2﹣4×2＝25﹣8＝17，故答案为：17．12．解：∵a＝﹣2+3b，∴a﹣3b＝﹣2，∴a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2＝（﹣2）2＝4，故答案为：4．13．解：设这个正方形的边长为xcm，根据题意得：（x+3）2＝x2+99，∴x2+6x+9＝x2+99，∴6x＝90∴x＝15．故答案为：15cm．14．解：根据题意可得，面积分别是6cm2和2cm2的小正方形边长为cm和cm，则两个长方形的周长为（4+4）cm．故答案为：4+4．15．解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝3×2＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：原式＝＝＝．17．解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．18．解：原式＝4m2﹣4mn+n2﹣（m2﹣4n2）＝4m2﹣4mn+n2﹣m2+4n2＝3m2﹣4mn+5n2．19．解：（2x﹣3y+z）（2x+3y﹣z）＝[2x﹣（3y﹣z）][2x+（3y﹣z）]＝（2x）2﹣（3y﹣z）2＝4x2﹣9y2+6yz﹣z2．20．解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21，即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21；（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab＝＝，即：（2022﹣x）（2021﹣x）的值为；（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．21．解：（1）根据阴影部分的面积相等得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）①∵x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，∴x+2y＝（x2﹣4y2）÷（x﹣2y）＝18÷3＝6；②原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×……×（1﹣）×（1+）＝××××……××＝×＝．22．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）∴（2m﹣n）＝12÷4＝3故答案为：3．②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1＝（216﹣1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16故答案为：6．②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050。
初二数学知识点专题讲解与练习2---乘法公式(培优版)
A．正数
B．负数
C．非负数
D．可正可负
．若 则 的值是（ ） 9 x − y = 2, x2 + y2 = 4, x1992 + y1992
．A 4
．B 19922
．C 21992
．D 41992
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（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个 8 列的长方形队列．如果原队列中增加 120 人，就能
例 4 71 提示：由 a＋b＝1， a2 ＋ b2 ＝2 得 ab＝－ 1 ，利用 an+1 ＋ bn+1 ＝（ an ＋ bn ）（a＋
8
2
b)－ab( an−1 ＋ bn−1 )可分别求得 a3 ＋ b3 ＝ 5 ，a4 ＋ b4 ＝ 7 ，a5 ＋ b5 ＝ 19 ，a6 ＋ b6 ＝ 26 ，a7 ＋
对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
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【例 3】计算下列各题： （ ） ； 1 6(7 +1)(72 +1)(74 +1)(78 +1) +1
（天津市竞赛试题）
（ ） ； 2 1.234 52 + 0.765 52 + 2.469× 0.765 5
（“希望杯”邀请赛试题）
3．13 4．156 5．D
6.C 提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41 有 6 个正因数，分别是 1，7，41，49，287 和 2009，因此对应的方程组为： x + y = −1,−7,−41,−49,−287,−2009,1,7,41,49,287,2009; x − y = −2009,−287,−49,−41,−7,−1,2009,287,49,41,7,1. 故（x，y）共有 12 组不同的表示． 7．B 8．C 9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为 1954 不能被 4 整除．
浙教版七年级培优第21讲乘法公式
第21讲 乘法公式【思维入门】1．下列运算正确的是( )A ．2x 2·x 2＝2x B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 2b 3＝－16a 6b 3 C ．3x 2＋2x 2＝5x 2 D ．(x －3)2＝x 2－92．若a ＋b ＝22，ab ＝2，则a 2＋b 2的值为( )A ．6B ．4C ．3 2D ．2 3 3．已知x 2＋2mx ＋9是完全平方式，则m 的值为( )A ．1B ．3C ．－3D ．±34．已知a －b ＝－3，(a ＋b )2＝5，求a 2＋b 2＝____． 5．先化简，再求值：(x ＋2)2－(x ＋1)(x －1)，其中x ＝1.【思维拓展】6．已知a ＋1a ＝10，则a －1a 的值为 ( )A. 6B ．－ 6C ．± 6D ．无法确定7．已知x (x －1)－(x 2－y )＝－2，则x 2＋y 22－xy 的值是____．8．图9－21－1是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”．它的出现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行数字正好对应了()a ＋b n(n 为自然数)的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数，例如()a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；再如()a ＋b 3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出()a －b 4的展开式为____．图9－21－19．已知a－b＝3，b－c＝2，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．10．利用我们学过的知识，可以得到下面形式优美的等式：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．(1)请你检验这个等式的正确性；(2)若a＝2 017，b＝2 018，c＝2 019，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？【思维升华】11．将2 013表示成两个三位的正整数的平方差，这两个三位数中较大的一个是()A．671 B．337 C．183 D．10712．已知非负实数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则t＝2xy＋yz＋2zx的最大值为()A.47 B.59 C.916 D.122513．如图9－21－2，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a＝1，则这个正方形的面积为()图9－21－2A．(1＋2)2 B.1＋52C.3＋52 D.7＋35214．已知a＋b＝4，a2＋b2＝12，则a5＋b5＝____．15．已知正整数a，b满足(a＋b)2＝a3＋b3，试求a，b的值．16．一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼)第21讲乘法公式【思维入门】1．下列运算正确的是( C )A ．2x 2·x 2＝2x B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 2b 3＝－16a 6b 3 C ．3x 2＋2x 2＝5x 2 D ．(x －3)2＝x 2－92．若a ＋b ＝22，ab ＝2，则a 2＋b 2的值为( B )A ．6B ．4C ．3 2D ．2 3 3．已知x 2＋2mx ＋9是完全平方式，则m 的值为( D )A ．1B ．3C ．－3D ．±34．已知a －b ＝－3，(a ＋b )2＝5，求a 2＋b 2＝__7__． 【解析】 ∵a －b ＝－3，∴(a －b )2＝9， 即a 2－2ab ＋b 2＝9，① ∵(a ＋b )2＝5， ∴a 2＋2ab ＋b 2＝5，② ①＋②得2(a 2＋b 2)＝14， 解得a 2＋b 2＝7.5．先化简，再求值：(x ＋2)2－(x ＋1)(x －1)，其中x ＝1. 解：(x ＋2)2－(x ＋1)(x －1) ＝x 2＋4x ＋4－(x 2－1) ＝x 2＋4x ＋4－x 2＋1 ＝4x ＋5.当x ＝1时，原式＝4×1＋5＝9.【思维拓展】6．已知a ＋1a ＝10，则a －1a 的值为( C )A. 6B ．－ 6C ．± 6D ．无法确定7．已知x (x －1)－(x 2－y )＝－2，则x 2＋y22－xy 的值是__2__．【解析】 由x (x －1)－(x 2－y )＝－2可知x －y ＝2，则x 2＋y 22－xy ＝（x －y ）22＝222＝2.8．图9－21－1是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”．它的出现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行数字正好对应了()a ＋b n(n 为自然数)的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数，例如()a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；再如()a ＋b 3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出()a －b 4的展开式为__a 4－4a 3b ＋6a 2b 2－4ab 3＋b 4__．图9－21－19．已知a －b ＝3，b －c ＝2，a 2＋b 2＋c 2＝1，求ab ＋bc ＋ca 的值． 解：∵a －b ＝3，b －c ＝2，∴a －c ＝5，∴分别两边平方后展开得：a 2＋b 2－2ab ＝9，b 2＋c 2－2bc ＝4，a 2＋c 2－2ac ＝25， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ac )＝38， ∵a 2＋b 2＋c 2＝1， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－18.10．利用我们学过的知识，可以得到下面形式优美的等式：a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你检验这个等式的正确性；(2)若a＝2 017，b＝2 018，c＝2 019，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？解：(1)左边＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝12(a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，∴左边＝右边，即这个等式是正确的；(2)当a＝2 017，b＝2 018，c＝2 019时，a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝12[(2 017－2 018)2＋(2 018－2 019)2＋(2 019－2 017)2]＝12×(1＋1＋4)＝3.【思维升华】11．将2 013表示成两个三位的正整数的平方差，这两个三位数中较大的一个是(B)A．671 B．337 C．183 D．107【解析】2 013＝a2－b2＝(a－b)(a＋b)，由于a和b都是3位数，所以a＋b>100＋100＝200，又2 013＝3×11×61，所以a＋b只能是11×61＝671，因此a－b＝3，a＋b＝671，a＝337，b＝334，较大的是337.12．已知非负实数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则t＝2xy＋yz＋2zx的最大值为(A)A.47 B.59 C.916 D.1225【解析】 t ＝2xy ＋yz ＋2zx ＝2x (y ＋z )＋yz ≤2x (y ＋z )＋14(y ＋z )2， 2x (1－x )＋14(1－x )2＝－74x 2＋32x ＋14 ＝－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x －372＋47.易知当x ＝37，y ＝z ＝27时，t ＝2xy ＋yz ＋2zx 取得最大值47.13．如图9－21－2，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为( D)图9－21－2A ．(1＋2)2B.1＋52C.3＋52D.7＋3 52【解析】 根据图形和题意，得(a ＋b )2＝b (a ＋2b )， 其中a ＝1，则方程是(1＋b )2＝b (1＋2b )， 解得b ＝5＋12，所以正方形的面积为⎝⎛⎭⎪⎫1＋5＋122＝7＋352.14．已知a ＋b ＝4，a 2＋b 2＝12，则a 5＋b 5＝__464__． 【解析】 ∵a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2＋2ab ＝16， 又a 2＋b 2＝12，∴2ab ＝4，∴ab ＝2. ∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝4×12＝48， ∴a 3＋b 3＋ab (a ＋b )＝48，∴a 3＋b 3＝48－ab (a ＋b )＝48－2×4＝40.∵ab＝2，∴(ab)2＝4，∴(a2＋b2)2＝144，∴a4＋b4＋2(ab)2＝144，∴a4＋b4＝144－2(ab)2＝136，∴(a＋b)(a4＋b4)＝4×136，∴a5＋b5＋ab(a3＋b3)＝544，∴a5＋b5＝544－ab(a3＋b3)＝544－2×40＝544－80＝464.15．已知正整数a，b满足(a＋b)2＝a3＋b3，试求a，b的值．解：由已知得a2－ab＋b2＝a＋b，则(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2＝2.因为a，b均为正整数，故a－1≥0，b－1≥0.(1)当a＝b时，(a－1)2＋(b－1)2＝2，即a＝b＝2；(2)当a≠b时，(a－b)2＝1，从而(a－1)2＝1且(b－1)2＝0或者(a－1)2＝0且(b－1)2＝1，所以a＝2，b＝1或者a＝1，b＝2.综上所述，所求a，b的值是：a＝b＝2或者a＝2，b＝1或者a＝1，b＝2.16．一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼)解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，s＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少．设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为：s ＝3[1＋2＋3＋…＋(33－x )]＋3(1＋2＋…＋y )＋[1＋2＋…＋(x －y －2)] ＝3（33－x ）（34－x ）2＋3y （y ＋1）2＋（x －y －2）（x －y －1）2＝2x 2－(y ＋102)x ＋2y 2＋3y ＋1 684 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y ＋10242＋18(15y 2－180y ＋3 068) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y ＋10242＋158(y －6)2＋316≥316. 又当x ＝27，y ＝6时，s ＝316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316.。
整式的乘法培优
整式的乘法培优一、知识梳理1、⑴幕的运算性质：①同底数幕的乘法：②幕的乘方：③积的乘方：⑵性质的逆用：2、单项式乘单项式的法则:3、单项式乘多项式的法则:4、多项式乘多项式的法则:二、例题精讲：1、同底数幕的乘法n a (n 为奇数）n a （n为偶数）；乘方的符号法则：n n（n为偶数）。
x y （n 为奇数）x y例1、计算： 1 25 2 3 2 2 2 b 2b3b23 x y 2y x 3公式的逆用:例2、⑴已知x m 3,x n4,求x m n 的值2、幕的乘方例1、 计算下列各式2 33 2⑴X 2X 32m 22m 132 a a2 33 43 a ba b公式的逆用：例 2、⑴若 2a3,2b5，则 23a 2b; m 1m14⑵右3 927 3 ,则m=o⑵化简:2 201520143、积的乘方 例1、计算⑴2x 3y 4z222 4⑵ 3m n 2mn 2512 312 2 2⑵（y ） （4X y ） （ x y ）公式的逆用4、单项式乘单项式 例1、 计算下列各题22 3 2⑴ x y ( xy )3 25⑶ 3x 33x 5x2x 2例1、 计算小2015220141已知: 2na,b n4n3，求ab 的值。
(2)7x(2x 1) 3x(4 x 1)2x(x 3) 15、单项式乘多项式 例1 :计算下列各题2 2(1) 8m(m 3m 4) m (m 3)2 2例2、若3a a 2 0,求5+2 a 6a 的值。
6、多项式乘多项式 例、计算:28xy 2x1xy2x 3⑴(x+y)(x 2-xy+y 2)⑵ a 2 2b 2a 2b2ab(1) (3a 3b 2)( 2-a 3b 3c)7 33ab ( 4a)21 2 2 1 3 (6) (3x 2 ?y ?y 2) ( -xy)3- 2 2 2 33(2) ( -xyz) -x 2y 2 ( -yz 3)2 3 53 22(3) 5a b ( 3b)( 6ab) ( ab)(5) a -(a b) -(a b) -(a 2b)3 2 6三、巩固练习 1、计算下列各题:|x 2y ( 52 0.5xy) (2x)3 xy 3⑺(x+2y)(5a+3b) ⑻(x+3y+4)(2x-y)2化简求值：2 2 2 ⑴ m (m + 4) + 2m(m — 1) — 3m(m 2+ m — 1)，其中 m =—52 2 3⑵ x(x — 4) — (x + 3)(x — 3x + 2) — 2x(x — 2)，其中 x =2 2 33、已知多项式(x + px + q)(x — 3x + 2)的结果中不含x项和x2项，求p和q的值.。
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乘法公式--培优-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第三讲 乘法公式
【易错点剖析】
1.注意乘法公式的特点，符合公式的特点的多项式乘法才能套用公式.
2. 在混合运算时，运用乘法公式计算出来的积要添括号，如果前面是 “-”要注意变号
⑤()()22
22x y x y +- ⑥()()()()24832124515151...51+++++
⑦221.2340.766 2.4680.766++⨯ ⑧2222211111111...11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【能力提高】
整体思想
1、 若()2
23m -=，求246m m -+的值.
2、 已知22227,+9a ab b a ab b ++=-=，求()2
a b +的值.
3、 已知5,4a b ab ++=，求（1）22a b +；（2）44a b +；（3）44a b -的值
4A 、已知2510x x -+=，求（1）221x x
+
（2）322143x x x --+的值
4B 、已知0a ≠，且满足()()()222112329147a a a a a +---+=-， 求（1）2
21a a +（2）24255a a a ++的值.
5、 已知()()22
201820171a a -+-=，求()()20182017a a --的值
配方法
1、已知()22116x m x --+是一个完全平方式，则m = .
2、已知264A x x +-+是一个完全平方式，则A = .
1B 、已知()()2222116x xy y m x y ++--++是一个完全平方式，则m = .
2B 、已知()()()()22
2210024400a b k b a a b +++--是一个完全平方式，则k = .
3、把代数式223x x --化为()2
x m k -+的形式，则m k += .
4、若22
28170x y x y ++-+=，求y x 的值.
5A 、当x 为多少时，代数式245x x -+有最小值，最小值为多少
5B 、求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值及此时,x y 的值.
6、试说明：无论x 取何值，225x x ++的值一定为一个正数.
7、已知111100,99,101100100100
a x
b x
c x =
+=+=+，求222a b c ab bc ac ++---的值
8、已知22234,52M x x N x x =++=++，试比较M ，N 的大小.
【课后练习】
1、 已知225a b =+，则()()33
a b a b +-= . 2、 已知2210x x --=，则2
21x x += ，44
1x x += 4、 若()()2212x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，则m = ，n = . 5、已知6224b a ==，则23a b -= .
6、()()()()241612121212++++的个位数是 .
7、计算
①()
()223131x x +- ②()()22
12a a +--
8、4821-能被60和70之间的某两个整数整除，求这两个数.
9、已知2220a b c ab bc ac ++---=，求,,a b c 之间的关系.
10 、已知2781,1515
P m Q m m =
-=-（x 任意实数），试比较P ，Q 的大小.
11、已知()()20172015100a a --=，求()()22201720156a a -+-+的值。