2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-14-乘法公式
培优乘法公式(2)
七年级下培优竞赛（二）乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ．(重庆市竞赛题)注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；(天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．(江苏省赛试题)【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．(2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．学力训练1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．(武汉市中考题)2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题)3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；(3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ．6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题)8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20022C ． 22002D ．420029．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+11．(1)设x+2z ＝3z ，试判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)．12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观察：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)． (黄冈市竞赛题)14．你能很快算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ．(福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．(天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 ． (全国初中数学联赛试题)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )．A ．4B ．0C ．2D ． 一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解．A ．6B ．7C ．8D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y(大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2000，b ＝1999x+2001，c ＝1999x+2002，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3(全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值．(西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值．(河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x +=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表示第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表示十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观察： 222233*********,335112225,351225,525==== 写出表示一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．参考答案。
初一下数学培优辅导2(乘法公式)
初一下数学辅导资料2（乘法公式）常用的乘法公式：(1)()()22a b a b a b +-=- (2)()2222a b a ab b ±=±+常用的公式变形：（1）()()222222a b a b ab a bab +=+-=-+（2）()()()()22224;4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-（3）22222211112;2a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()()()22222222a b a b a b a b ab +-++--==（5）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++例1、计算（1）99×101×10001 （2）()()a b c a b c -+--（3）221.2340.7662.4680.766++⨯例2、（1）已知4,2x y xy +==，试求：①22x y +②44x y +（2）已知2310x x -+=，试求：①221x x +②441x x +例3、已知222a b c ab bc ca ++=++，且2a =，求()2005a b c +-例4、一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数一、基础练习 1、计算（1）（2x+5y ）2（2）（31m-21n ）2 (3)(x-3)2(4)(-2t-1)2(5)(51x+101y)2 (6)(-cd+21)22、利用完全平方公式计算。
（1）962 （2）9982 （3）1012+9923、计算（1）（a-2b ）2（a+2b ）2 （2）（3xa+1）2-（ab-1）2（3）（a-2b+c ）（a+2b+c ） （4）（2x -y ）2-41(x 2-y 2)4、已知a+b=7，ab=12，求a 2+ab+b 2的值是多少？a 2+3ab+b 2的值是多少？5、计算：1022×9826、计算 ()()28x x ++ ()()()2212141x x x -++()()22x y z x y z -+-+- 31011313⨯()223m n -- 2210199+ 21692⎛⎫⎪⎝⎭()()1442a b a b +- 2221000252248-()22a b -+ 2200420032005-⨯7、（1）()()()()246421212121+++⋅⋅⋅+（2）2222111111112342006⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）2222222100999897969521-+-+-+⋅⋅⋅-二、巩固练习1．()()___________1x =-+1x ()()__________1=--+-x 1x2．()______________12=-x ()()____________11=++x x3. ()()2949_________73x x -=-- ()22_________144=++x x4．__________999910199=⨯⨯ ________2003200120022=⨯- 5．()()_________22=--+b a b a ()__________222-+=+b a b a6．已知________,60,172=+==+y x xy y x 2则7．已知________________1,01232=++++=+++x x x x x x x 43则 8．多项式156422++-+y x y x 的最小值是 9．比较下面算式结果的大小（在横线上选填“<”、“>”、“=”）()()332_________33762_________76122_______12342________3422222222⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+-⨯⨯+通过观察、归纳，用字母写出能反映这种规律的一般结论是 10. 已知正方形的边长为a ，如果它的边长增加4，那么它的面积增加二、选择题1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）()()x y y x A ++. ()()y x y x B 2332.+-()()y x y x C +--. ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b x b x D 2121.2．下列各式的计算结果，正确的是（ ）()()84.2-=-+x x 2x A ()()131313.22-=+-y x xy xy B ()()22933.y x y x y x C -=++- ()()2.x 164x 4x D -=+--3．下列两个多项式相乘，哪些不可以用平方差公式（ ）A ．2m)3n)(3n (2m --； B.)5xz 4y 4z)(5xy (--+-； C ．c)b a)(a c (b --++； D.)38x y x 31)(xy 31(8x 223+-． 4. 如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A 、±3B 、3C 、±6D 、65.如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是（ ）A 、－4B 、4C 、－16D 、166. 如图，长方形的长为a ，宽为b ，横向阴影部分为长方形， 另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为c,则空白部分的面积是…. ( ) A 、ab －bc ＋ac －c 2 B 、ab －bc －ac ＋c 2 C 、ab － ac －bc D 、ab － ac －bc －c 2 三、解答题：（1）3y)3y)(2x (2x -+ （2）)x )(y y x (2332--- （3）2b)a (--（4）)5z 4y 5z)(3x 3x (4y +--+ （5）25c)4b (3a -+（6） 9(x ＋2)(x －2)－(3x －2)2 （7）()()()1122+--+x x x（8）()()()212113+---+-a a a （9）()()2222b a b a ---+（10） ))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+四、解方程：()()()152x 2x 1x 2=-+-+五、已知12,3-==+ab b a ，求下列各式的值．（1）22b ab a +- （2） 2)(b a -．提高练习： 1、 计算乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222200011411311211219991-1等于（ ）A ．20001999 B.20002001 40001999.C 40002001.D 2、已知20021999,20011999,20001999+=+=+=x c x b x a ，则多项式bc ac ab c b a ---++222的值（ ）A ．0 B.1 C.2 D.33、1234567901234567881234567892⨯-4、计算）12()12)(12)(12(242++++n5、22222212979899100-+⋯⋯+-+- 6、2481611111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7、2342007122222+++++⋅⋅⋅8、确定()()()()()243231313131312-+++⋅⋅⋅++的末尾数10、已知()()227,4a b a b +=-=，求22,a b ab +11、若3,1x y xy +==-，求3223242x y x y xy -+的值。
培优七年级第17讲——乘法公式
17 乘法公式只有通过数学,我们才能彻底了解科学的精髓.至有在数学中，我们才能发现科学规律的高度简洁性、严格性和抽象性.任何科学教育如果不以数学为出发点，则其基础势必有缺陷。
-------科姆特知识纵横乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一半法则应用一一些特殊形式的多项式相乘,出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解例1 (1) 在2004、2005、2006、2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差是______.（第10届江苏竞赛题）(2) 已知(2000-a)(1998-a)=1999，那么， = _________.(重庆竞赛题) 思路点拨:（1）,m+n，m-n的奇偶性相同，这是解本例题的基础。
（2）视(2000-a)•(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式及其变形例2 (1) 已知a、b、c满足，，，则a+b+c 的值等于( ).A. 2B. 3C. 4D.5(2) a、b、b不全为0, 满足a+b+c=0，，称使得恒成立的正整数n为”好数”，则不超过2007的正整数中”好数”的个数为( )A. 2B. 1004C. 20006D. 2007思路点拨:对于(1) ,由条件等式联想到完全平方式，解题的关键是整体考虑；对于(2) , 由条件出发，探求a,b,c之间的关系。
例3 观察下列算式(1) 1x3-;(2)2x4-(3)3x5-(4)__________________________;……..(1) 请你按照以上规律写出第四个算式.(2) 把这个规律用含字母的式子表示出来.(3) 你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由(2011年湖南省益阳市考题) 思路点拨: 从特殊情形归纳一般结论，并证明这个结论例4 已知a+b=1, 求。
七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)
数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。
例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
七年级乘法公式
七年级乘法公式七年级的同学们，咱们今天来好好聊聊乘法公式！乘法公式可是咱们数学学习中的重要“武器”，掌握好了，那做题就像开了“外挂”一样顺溜。
先来说说完全平方公式，（a+b）² = a² + 2ab + b²，（a - b）² = a² - 2ab + b²。
这两个公式看起来有点复杂，但其实就像是搭积木一样，只要把各项按照规则拼凑起来，就能得到正确的结果。
给大家举个例子啊，咱们班小明同学的妈妈开了一家水果店。
有一天，妈妈进了一批苹果，准备做一个促销活动。
假设每个苹果的进价是 a 元，小明妈妈打算每个苹果在进价的基础上增加 b 元出售。
如果卖出的苹果数量为（a + b）个，那么总销售额是多少呢？咱们就可以用完全平方公式来计算啦！总销售额 = （a + b）²元。
展开这个式子，就是 a² + 2ab + b²元。
这就意味着总销售额由进价的平方 a²元，加上两倍进价和增加价格的乘积 2ab 元，再加上增加价格的平方 b²元组成。
通过这个例子，是不是觉得完全平方公式一下子就生动起来啦？再说说平方差公式，（a + b）（a - b） = a² - b²。
这个公式就像是一个神奇的“魔法咒语”，能让一些复杂的计算变得简单。
比如说，学校组织大家去农场劳动，农场有一块长方形的土地，长为（a + b）米，宽为（a - b）米，那这块土地的面积是多少呢？这时候就可以用平方差公式来计算啦，面积 = （a + b）（a - b） = a² - b²平方米。
在实际运用中，乘法公式能帮咱们快速解决很多问题。
比如说化简式子、计算数值等等。
但要注意哦，使用乘法公式的时候可别马虎大意，要认真看清各项的符号和系数。
同学们，乘法公式虽然重要，但也别被它们吓到。
只要咱们多做练习，多思考，多联系实际生活中的例子，就一定能把它们掌握得牢牢的！相信大家在今后的学习中，都能熟练运用乘法公式，让数学学习变得更加轻松有趣！。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题08 整式乘法运算及其拓展
专题08 整式乘法运算及其拓展专题解读】整式的乘法运算是初中代数的一块重要而基础的知识，是初中代数中“式”的重要内容之一.整式的乘法运算与有理数运算的联系紧密，是对该内容学习的拓展和延续，也是今后学习分式和根式的运算、函数及其图像等知识的基础.所以说，“整式的乘法运算”在整个初中代数学习中具有非常重要的意义. 思维索引例1.计算：（1）（1－212）（1－213）（1－214）…（1－2110）；（2）3（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（264＋1）＋1.例2.（1）已知4x ＝3y ，求代数式（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）－2y 2的值；（2）若x 满足（80－x ）（x －60）＝30，求（80－x ）2＋（x －60）2的值.素养提升1.（x 2－mx ＋1）（x －2）的积中x 的二次项系数为零，则m 的值是（ ） A .1 B .－1 C .－2 D .22.若(x ＋m )（x ＋n ）＝x 2＋ax ＋12，则a 的取值有（ ）A .4个B .5个C .6个D .7个 3.已知（x －2017）2＋（x －2019）2＝34，则（x －2018）2的值是（ ） A .4 B .8C .12D .16 4.若x －y ＝2，x 2＋y 2＝4，则x 2018＋y 2018的值为（ ）A .4B .20182C .22018D .420185.如图，用四个完全一样的长、宽分别为x 、y 的长方形纸片围成一个大正方形ABCD ，中间是空的小正方形EFGH .若AB ＝a ，EF ＝b ，判断以下关系式：①x ＋y ＝a ；②x －y ＝b ；③a 2－b 2＝2xy ；④x 2－y 2＝ab ；⑤x 2＋y 2＝222a b ，其中正确的个数有（ ） A .2个B .3个C .4个D .5个（第5题）GFE H DCBA6.若要使x （x 2＋a ＋3）＝x （x 2＋5）＋2（b ＋2）成立，则a 、b 的值分别为 .7.已知a －b ＝4，ab ＋c 2－6c ＋13＝0，则a ＋b ＋c ＝ .8.若多项式（x －1）（x ＋3）（x －4）（x －8）＋a 为一个完全平方式，则a 的值是 . 9.若m 1，m 2，…，m 2019是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m 1＋m 2＋…＋m 2019＝1529，(m 1－1)2＋（m 2－1）2＋…＋（m 2019－1）2＝1510，则在m 1，m 2，…m 2019中取值为0的个数为 . 10.有A 、B 、C 三种不同型号的卡片，其中A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是长为b 的长方形，C 型卡片是边长为b 的正方形，其中a ＞b .现有A 型卡片3张，B 型卡片4张，C 型卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边长为 . 11.求下列代数式的值： （1）已知a （a －1）－（a 2－b ）＝2，求222a b －ab 的值；（2）已知x －1x ＝3，求x 4＋41x的值； （3）若a ＋b ＋2c ＝1，a 2＋b 2－8c 2＋6c ＝5，求ab －bc －ac 的值.12.观察下列各式：（x－1）（x＋1）＝x2－1，（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1，（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1，…………由此我们可以得到：（x－1）（x n＋x1n＋…＋x2＋x＋1）＝；请你利用上面的结论，完成下面的计算：（1）当x＝3时，（3－1）（3018＋32017＋32016＋…＋33＋32＋3＋1）＝；（2）299＋298＋297＋……＋2＋1；（3）（－2）50＋（－2）49＋（－2）48＋…＋（－2）＋1.13.拓展创新：（1）试说明：代数式（2x＋3）（6x＋2）－6x（2x＋13）＋8（7x＋2）的值与x的取值无关；（2）若x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x，y的大小；（3）已知ax＋by＝8，ax2＋by2＝22，ax3＋by3＝62，ax4＋by4＝178，试求1995（x＋y）＋6xy的值.14.将一长2m 、宽2n 的长方形，如图（1）沿虚线均分成四个小长方形，然后图拼成如图（2）一个正方形.(图2)(图1)nn nnnn nn mmm m mm m m（1）用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积.方法一： ；方法2： ；（2）观察图（2），写出下列三个代数式：（m ＋n ）2，（m －n ）2，4mn 之间的等量关系： .（3）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题；若a ＋b ＝7，ab ＝10，求（a －b ）2的值. （4）试画一个几何图形，使它的面积能表示（m ＋n ）（m ＋3n ）＝m 2＋4mn ＋3n 2.15.先阅读再解题.题目：如果（x －1）5＝a 1x 5＋a 2x 4＋a 3x 3＋a 4x 2＋a 5x ＋a 6，求a 6的值.解这类题目时，可根据等式的性质，取x 的特殊值，如x ＝0，1，－1…代入等式两边即可求得有关代数式的值.如：当x ＝0，（0－1）5＝a 6，即a 6＝－1. 请你求出下列代数式的值. （1）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； （2）a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.专题08整式乘法运算及其拓展思维索引】例1．(1)1120； (2)2128；例2．(1)0； (2)340； 素养提升】1．C ； 2．C ； 3．D ； 4．C ； 5．C ； 6．2，－2； 7．3； 8．196；9．1000；10．a ＋b 或a ＋2b ； 11．(1)2； (2)119； (3)一2； 12．11n x+-； (1)32019－1； (2)2100－1；(3) 51213+；13．(1)略； (2)x ＜y ； (3)10011；14．(1)(m －n )2；(m ＋n )2－4mn ； (2)(m －n )2＝(m ＋n )2－4mn ； (3)9； (4)略； 15．(1)1； (2)31；。
人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：乘法公式
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
七年级数学-乘法公式
七年级数学-乘法公式(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--七年级《数学》乘法公式【知识要点】2()a b += 2()a b -=22a b += ab =2()a b +=2()a b -+ 221x x+= 1、计算。
2(27)x y + 2(31)x -+ 2(23)x y -- 2()a b c ++2、用简便方法计算。
2202 21998 21(49)23、26x xy ++ ＝2( )，222( )8( )xy y -+=222)(23)(=++y xy 。
4、已知2216x mx -+是完全平方式，则m 的值是 。
5、已知3)(,7)(22=-=+b a b a ，则22b a += ，ab = 。
6、若m y x =+，n xy = ，则=+22y x ，=-2)(y x ，=+-22y xy x 7、如果2a 1a =+，那么221aa += 。
8、已知41=+x x ，求（1）221x x +； （2）2)1(xx -。
9、试说明不论y x ,取什么有理数，多项式32222++-+y x y x 的值总是正数。
10、已知2310a a -+=，求1a a +、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值。
【巩固练习】1、已知2249x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ；2、若3,822=-=+b a b a ，则ab 的值为 。
3、若a ＋351=a ，则221a a +＝______若,41=+x x 求 441xx + = 4、已知054222=+-++b a b a ，则3422-+b a 的值为 。
5、若m 2+n 2－6n ＋4m ＋13＝0，则m 2－n 2 =_________；6、试说明对任意实数x 、y ，多项式5496222+-+-x y xy x 的值总是正数。
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2020-2021学年人教版数学初一讲练
（培优和竞赛二合一）
（14）乘法公式
【知识精读】
1．
乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．
基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3
3.公式的推广：
①
多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②
二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
③
由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4
(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n
(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地：
（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n
4.
公式的变形及其逆运算
由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时
a n－
b n能被a－b整除,
a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
【分类解析】
例1. 己知x+y=a xy=b
求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③x4+y4 ④x5+y5
解： ①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b
②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab
③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2
④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)
=(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］
=a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］
＝a5－5a3b+5ab2
求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。
例2.
证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2
∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数
∴a2+3a+1是整数 证毕
例3.
求证：2222＋3111能被7整除
证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111
根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）
∴4111＋3111能被 4＋3整除
∴2222＋3111能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。
如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 (6=2×3)，
352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)
……
【实战模拟】
1．
填空：
①a2+b2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a－b)2+___
③a3+b3=(a+b)3－3ab(___) ④a4+b4=(a2+b2)2－____
,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____
2．
填空：
①(x+y)(___________)=x4－y4 ②(x－y)(__________)=x4－y4
③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④（x－y）(__________)=x5－y5
3.计算：
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=
4. 计算下列各题 ，你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=
5..已知x+x 1=3, 求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41
x 的值
6.化简：①（a+b ）2(a －b)2
②(a+b)(a 2－ab+b 2)
③(a －b)((a+b)3－2ab(a 2－b 2)
④(a+b+c)(a+b －c)(a －b+c)(－a+b+c)
7.己知a+b=1, 求证：a 3+b 3－3ab=1
8.己知a 2=a+1，求代数式a 5－5a+2的值
9.求证：233＋1能被9整除
10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数
的平方
11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们
的直径分别是a,b,c 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长
①求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。
②练习
4. 十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的
积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积
n(n+1)+(n+1)=(n+1)2
8.①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0
9.②2
(ab+ac+bc)
a b c
------------------------- 赠予------------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了
被你翻开又合起被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世。