立体几何图形的表面积和体积
初中数学中的立体几何知识有哪些
初中数学中的立体几何知识有哪些立体几何是数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的图形和体积。
对于初中数学来说，了解基本的立体几何知识是必不可少的。
本文将介绍初中数学中的立体几何知识，包括几何体、体积计算和表面积计算。
一、几何体几何体是指由多个平面图形组合而成的立体图形。
在初中数学中，我们通常会学习以下几何体：1. 立方体：立方体是一种六个相等的正方形组成的几何体。
它具有六个面、十二条边和八个顶点。
2. 正四面体：正四面体是一种四个全等的三角形组成的几何体。
它具有四个面、六条边和四个顶点。
3. 正六面体（也称为立方体）：正六面体是一种六个全等的正方形组成的几何体。
它具有六个面、十二条边和八个顶点。
4. 正八面体：正八面体是一种八个全等的正三角形组成的几何体。
它具有八个面、十八条边和十二个顶点。
5. 正十二面体：正十二面体是一种十二个全等的正五边形组成的几何体。
它具有十二个面、三十条边和二十个顶点。
6. 正二十面体：正二十面体是一种二十个全等的正三角形组成的几何体。
它具有二十个面、三十条边和十二个顶点。
7. 圆锥体：圆锥体是由一个圆和一个尖点组成的几何体。
它具有一个底面、一条侧面和一个顶点。
8. 圆柱体：圆柱体是由两个平行的圆和一个连接它们的曲面组成的几何体。
它具有两个底面、一个侧面和两个侧面。
二、体积计算体积是指立体图形所占据的三维空间。
在初中数学中，我们需要学习如何计算常见几何体的体积。
1. 立方体的体积计算：立方体的体积可以通过边长的立方来计算，即体积等于边长的立方。
2. 正四面体的体积计算：正四面体的体积可以通过底面积乘以高再除以三来计算，即体积等于底面积乘以高除以三。
3. 圆锥体的体积计算：圆锥体的体积可以通过底面积乘以高再除以三来计算，即体积等于底面积乘以高除以三。
4. 圆柱体的体积计算：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高来计算，即体积等于底面积乘以高。
三、表面积计算表面积是指立体图形所有表面的总面积。
高考复习数学立体几何初步第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积
第二节空间几何体的表面积与体积————————————————————————————————[考纲传真]了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32 cmB [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7-2-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图7-2-1A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.]4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8πD ．4πA [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7-2-2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3.图7-2-2323 [由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.](1)某几何体的三视图如图7-2-3所示，则该几何体的表面积等于( )图7-2-3A ．8＋22B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图7-2-4A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.][规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1] (2016·全国卷Ⅲ)如图7-2-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：31222245】图7-2-5A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.](1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7-2-6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.图7-2-6(1)C (2)2 [(1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2.][规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2] 一个几何体的三视图如图7-2-7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图7-2-783π [由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.]111V 的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3B[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝3 2.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.][迁移探究1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[迁移探究2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解]如图，设球心为O，半径为r，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.][思想与方法]1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．[易错与防范]1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．课时分层训练(三十九)空间几何体的表面积与体积A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 B.42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π(2)2×22＝423π.]2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()【导学号：31222246】A.32π3B．4πC．2π D.4π3D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.]3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7-2-8所示，则该几何体的体积为()图7-2-8A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26πC [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.]4．某几何体的三视图如图7-2-9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )【导学号：31222247】图7-2-9A ．2 B.92 C.32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V＝13x·3＝3，解得x＝3.]5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-10所示，则该四面体的表面积是()图7-2-10A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2B[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×1 2×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【导学号：31222248】7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7-2-11所示，则该几何体的体积为________．图7-2-11136π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.]三、解答题9．如图7-2-12，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值．图7-2-12[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，4分则V D -ABC＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ， 当d 最大时，V D -ABC 体积最大.8分 ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.12分10．四面体ABCD 及其三视图如图7-2-13所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图7-2-13(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.5分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，8分∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图7-2-14A ．1B ．2C ．4D ．8B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.]2．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.14 [设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A -DBEV A -PBC＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h＝14.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-15，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.图7-2-15(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．[解] (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD.因为D在平面P AB内的正投影为E，所以AB⊥DE.3分因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，P A＝PB，所以G是AB的中点.5分(2)在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影.7分理由如下：由已知可得PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC.又P A∩PC＝P，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.10分由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.12分。
8.2空间几何体的表面积与体积
1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.柱、锥、台和球的表面积和体积名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 33.常用结论(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球有关的切、接常用结论 a.正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( × )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( × )(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π 答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30答案 C解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中，V 111ABC A B C －棱柱＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 111P A B C 锥－棱＝13S111A B C ·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC －P A 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.3.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为： S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.4.(教材改编)一个棱长为2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________ cm 3. 答案 43π解析 由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径， 所以其外接球的半径r ＝12×23＝3(cm)，所以V 球＝43π×r 3＝43π×33＝43π(cm 3).5.(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 83π解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π (m 3).题型一 求空间几何体的表面积例1 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ 3B.1＋2 2C.2＋ 3D.2 2(2)(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A.1B.2C.4D.8(3)(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________. 答案 (1)C (2)B (3)12解析 (1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示. ∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选C.(2)由主视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B. (3)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.思维升华 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋ 3C.21D.18答案 A解析 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示. 因此该几何体的表面积为6×(4－12)＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.题型二 求空间几何体的体积命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积例2 (2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16 D.15答案 D解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为V 111A A B D -V 111B C D ABCD -＝V 111A AB D -V 1111A BCD ABCD -－V 111A A B D -＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D.命题点2 求简单几何体的体积例3 (2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D.2π 答案 C解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于( )A.4π3 B.32π3 C.36πD.256π3(2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( ) A.23B.33C.43D.32答案 (1)B (2)A解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC ＝6，BC ＝8，∠ACB ＝90°，则AB ＝10.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大.即r ＝6＋8－102＝2，故能得到的最大球的体积为43πr 3＝4π3×8＝32π3，故选B.(2)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BCH ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 题型三 与球有关的切、接问题例4 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B.210C.132 D.310答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线， 则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132. 引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？ 解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－(12×6)2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( ) A.22B.1C. 2D. 3答案 C解析 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点.设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1(R为球的半径)，∴(x 2)2＋(x2)2＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴S 11ABB A 矩形＝2×1＝ 2.14.巧用补形法解决立体几何问题典例 如图：△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5. 则此几何体的体积为________.思维点拨 将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.答案 96温馨提醒 (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”. (2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法.[方法与技巧]求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.[失误与防范]求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3答案 C解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.故选C.2.用平面α截球O 所得截面圆的半径为3，球心O 到平面α的距离为4，则此球的表面积为( ) A.100π3B.500π3C.75πD.100π答案 D解析 依题意，设球半径为R ，满足R 2＝32＋42＝25， ∴S 球＝4πR 2＝100π.3.(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案 B解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺).所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛).4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋ 5答案 C解析 由三视图还原为空间几何体，如图所示， 则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2. 又PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，P A ＝2＋12＝3，从而有P A 2＋DA 2＝PD 2，∴P A ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6. 5.(2015·课标全国Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案 C解析 如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C到平面OAB 的距离，即三棱锥C-OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13×S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.选C.6.(2014·山东)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 14解析 设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A －DBE V A －PBC ＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h ＝14. 7.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.答案 7 解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 8.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________.答案 932解析 设等边三角形的边长为2a ，球O 的半径为R ，则V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3.又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ， 故V 球＝4π3·(233a )3＝323π27a 3， 则其体积比为932. 9.如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比.解 由题意可知这三个几何体的高都相等，设长方体的底面正方形的边长为a ，高也等于a ，故其表面积为S 1＝6a 2.直三棱柱的底面是腰长为a 的等腰直角三角形，高为a ，故其表面积为S 2＝12×a ×a ＋12×a ×a ＋(a ＋a ＋2a )×a ＝(3＋2)a 2.14圆柱的底面是半径为a 的圆的14，高为a ，故其表面积为S 3＝14πa 2＋14πa 2＋a 2＋a 2＋14×2πa ×a ＝(π＋2)a 2.所以它们的表面积之比为S 1∶S 2∶S 3＝6a 2∶(3＋2)a 2∶(π＋2)a 2＝6∶(3＋2)∶(π＋2).10.(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm 和30 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解 如图所示，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高.由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得3×12×(20＋30)×DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43， 所以棱台的高为4 3 cm.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S —ABC 的体积为( )A.3 3B.2 3C. 3D.1答案 C解析 如图，过A 作AD 垂直SC 于D ，连接BD .由于SC 是球的直径，所以∠SAC ＝∠SBC ＝90°，又∠ASC ＝∠BSC ＝30°，又SC 为公共边， 所以△SAC ≌△SBC .由于AD ⊥SC ，所以BD ⊥SC .由此得SC ⊥平面ABD .所以V S —ABC ＝V S —ABD ＋V C —ABD ＝13S △ABD ·SC . 由于在Rt △SAC 中，∠ASC ＝30°，SC ＝4，所以AC ＝2，SA ＝23，由于AD ＝SA ·CASC ＝ 3.同理在Rt △BSC 中也有BD ＝SB ·CBSC ＝ 3.又AB ＝3，所以△ABD 为正三角形，所以V S —ABC ＝13S △ABD ·SC＝13×12×(3)2·sin 60°×4＝3，所以选C.12.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A.28＋6 5B.30＋6 5C.56＋12 5D.60＋12 5答案 B解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，所以AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt △ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝2 5.在Rt △BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.13.(2015·四川)在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P —A 1MN 的体积是________.答案 124解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵V 1—P A MN ＝V 1—A PMN ，又∵AA 1∥平面PMN ，∴V 1—A PMN ＝V A —PMN ，∴V A —PMN ＝13×12×1×12×12＝124， 故V 1—P A MN ＝124. 14.(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E —ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积. (1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解 设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E —ACD 的体积V E —ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63. 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥E —ACD 的侧面积为3＋2 5.15.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值.(1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形，∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC .(2)解 ∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC .在Rt △ABE 中，AB ＝2，EB ＝ 3.在Rt △ABC 中，∵AC ＝x ，BC ＝4－x 2(0<x <2)，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·4－x 2， ∴V (x )＝V E －ABC ＝36x ·4－x 2(0<x <2). ∵x 2(4－x 2)≤(x 2＋4－x 22)2＝4，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号， ∴x ＝2时，体积有最大值33.。
数学题目立体几何的表面积与体积练习题
数学题目立体几何的表面积与体积练习题数学题目：立体几何的表面积与体积练习题1. 题目一：计算一个半径为3厘米的球体的表面积和体积。
解答：首先计算球的表面积。
球的表面积公式为S=4πR²，其中R 为球的半径。
代入半径为3厘米，得到表面积S=4π×3²=36π cm²。
接下来计算球的体积。
球的体积公式为V=4/3πR³，代入半径为3厘米，得到体积V=4/3π×3³=36π cm³。
2. 题目二：一个长方体的长、宽和高分别为5厘米、4厘米和6厘米。
求该长方体的表面积和体积。
解答：长方体的表面积公式为S=2(长×宽+长×高+宽×高)，代入长为5厘米、宽为4厘米和高为6厘米，得到表面积S=2(5×4+5×6+4×6)=2(20+30+24)=148 cm²。
长方体的体积公式为V=长×宽×高，代入长为5厘米、宽为4厘米和高为6厘米，得到体积V=5×4×6=120 cm³。
3. 题目三：一个圆锥的底面圆半径为2.5厘米，高为7厘米。
求该圆锥的表面积和体积（保留π）。
解答：首先计算圆锥的母线，母线公式为l=√(r²+h²)，其中r为底面圆半径，h为圆锥的高。
代入半径为2.5厘米和高为7厘米，得到母线l=√(2.5²+7²)≈7.416 cm。
圆锥的表面积公式为S=πr(r+l)，代入底面圆半径为2.5厘米和母线长为7.416厘米，得到表面积S=π×2.5(2.5+7.416)≈82.512 cm²。
圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，代入底面圆半径为2.5厘米和高为7厘米，得到体积V=1/3π×2.5²×7≈36.750 cm³。
立体几何图形公式大全
立体几何图形公式大全最早的几何学当属平面几何。
平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。
平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。
为了计算体积和面积问题，人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。
立方图形名称符号面积S和体积V1、正方体 a-边长 S=6a2 ; V=a32、长方体a-长;b-宽 ;c-高; S=2(ab+ac+bc) ; V=abc3、圆柱 r-底半径;h-高;C—底面周长;S底—底面积;S侧—侧面积S表—表面积C=2πrS底=πr2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h =πr2h4、空心圆柱 R-外圆半径;r-内圆半径;h-高V=πh(R2-r2)5、直圆锥r-底半径;h-高V=πr2h/36、圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/37、棱柱S-底面积;h-高;V=Sh8、棱锥 S-底面积h-高 ;V=Sh/39、棱台S1和S2-上、下底面积h-高 ;V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/310、拟柱体S1-上底面积 ;S2-下底面积 ;S0-中截面积 ;h-高V=h(S1+S2+4S0)/611、球 r-半径 ;d-直径V=4/3πr3=πd2/612、球缺 h-球缺高;r-球半径;a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3a2=h(2r-h)13、球台r1和r2-球台上、下底半径;h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/614、圆环体R-环体半径;D-环体直径;r-环体截面半径;d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/415、桶状体D-桶腹直径;d-桶底直径;h-桶高V=πh(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)。
立体几何的体积和表面积辅导讲义
旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连
线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.
(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.
2.三视图与直观图
三视图
画法规则：长对正，高平齐，宽相等
空间几何的直观图：常用斜二测画法来画.
基本步骤是：
(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观
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综上可得，S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的 组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用 技巧如：割补法和等价转化法．
(2)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD⊥平面 CBD，形成三棱锥 C－ABD 的正视 图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
空间几何体的表面积和体积
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.
多面体 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.
(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.
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A.27
B.9
C.27
D.3
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(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )
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A. 3
B. 6
C．6
高中数学的几何体表面积和体积公式是哪些
高中数学的几何体表面积和体积公式是哪些高中数学的几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)数学基础差的学生如何提高数学成绩基础薄弱的同学提高数学成绩的方法数学基础打牢，是个非常重要的事，很多及格成绩不到的同学，基本是连计算和公式都不是很过关。
对于这一类学生有以下几点建议。
高中数学立体几何图形体积与表面积总结与应用
高中数学立体几何图形体积与表面积总结与应用立体几何是数学中的一个重要分支，研究三维空间中各种图形的性质和关系。
其中，体积和表面积是立体图形最基本的属性之一，它们在实际生活和工程应用中有着广泛的应用。
本文将对高中数学中常见的几何图形的体积和表面积进行总结，并探讨其在实际中的应用。
一、直线、平面和空间的关系在立体几何中，直线、平面和空间是最基本的概念。
直线是由两个点确定的，平面是由三个非共线的点确定的，而空间则是由四个非共面的点确定的。
直线、平面和空间之间存在着密切的关系，它们相互交叉、相互平行或相互垂直，这些关系在解决实际问题中起到了重要的作用。
二、立体图形的体积和表面积1. 立方体立方体是最简单的立体图形之一，它的六个面都是正方形。
立方体的体积公式是边长的立方，表面积公式是边长的平方乘以6。
立方体在日常生活中有着广泛的应用，如盒子、冰箱等。
2. 正方体正方体是一种特殊的立方体，它的六个面都是正方形且边长相等。
正方体的体积和表面积公式与立方体相同。
正方体在建筑设计和立体几何中经常出现。
3. 圆柱体圆柱体由两个平行的圆面和一个侧面组成。
圆柱体的体积公式是底面积乘以高，表面积公式是底面积加上侧面积。
圆柱体在工程测量和容器设计中有着广泛的应用。
4. 圆锥体圆锥体由一个圆锥面和一个底面组成。
圆锥体的体积公式是底面积乘以高再除以3，表面积公式是底面积加上锥面积。
圆锥体在建筑设计和锥形容器的制作中常见。
5. 球体球体是由所有与球心的距离相等的点组成的。
球体的体积公式是4/3乘以π乘以半径的立方，表面积公式是4乘以π乘以半径的平方。
球体在天文学、体育器材制作等领域有广泛的应用。
三、立体图形的应用1. 建筑设计在建筑设计中，立体图形的体积和表面积的计算是十分重要的。
工程师需要根据建筑物的形状和尺寸来计算材料的用量和成本，以及确定建筑物的承重能力。
2. 容器设计在容器设计中，立体图形的体积和表面积的计算是必不可少的。
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立体几何图形的表面积和体积
学习要求
1. 认识长方体和正方体。
2. 会求长方体和正方体的表面积：
（1） 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （2） 正方体的表面积=棱长×棱长×6 3. 会求长方体和正方体的体积：
（1） 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示：V=a.b.h 。
（2） 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示：V=a.a.a=a 3
（3） 长方体和正方体的体积计算方法可以统一起来，即长方体（或正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为：V=Sh 。
4. 认识常用的体积单位：立方厘米、立方分米和立方米，知道体积单位间的进率和换算。
×1000 ×1000 立方米
立方分米 立方厘米 ÷1000 ÷1000 5. 认识常用的容积单位：升（L ）和毫升（mL ），1L=1000mL ，1L=1dm 3，1mL=1cm 3。
讲练互动
例1 看图求表面积。
（1） (2)
4cm 3cm 3cm
6cm 6cm
分析：（1）（2）分别是由两个长方体、两个正方体组成的图形，可以先算出两个长方体、正方体的表面积，再减去重叠在一起的两个表面，也可以按面的个数直接计算。
解：（1） （6×4＋6×5＋5×4）×2×2－5×4×2=256（cm 2）或 5×6×4＋5×4×2＋6×4×4=256（cm 2）
（2） 3×3×6×2－3×3×2=90（cm 2）或 3×3×10=90（cm 2）
即时练习1 看图求表面积
（1） （2）
5cm
例2 一根长方体木料，长4米，横截面的面积是0.08平方米。
这根木料的体积是多少？
分析：这根木料的体积可以用公式“长方体的体积=底面积×高”求出，这里的横截面积就是底面积。
解：0.08×4=0.32（立方米）
答：这根木料的体积是0.32立方米。
即时练习2一个正方体，其中一个表面的面积为36cm2，这个正方体的体积是多少？
例3已知一个长方体蓄水池的容积为12000m3，池底为正方形，其面积为400m2，这个蓄水池的高是多少米？
分析：根据长方体体积的计算公式：V=Sh，其中S=400m2，可知h=V÷S=12000÷400。
解：12000÷400=30（米）
答：这个蓄水池的高是30米。
即时练习3一个正方体的棱长为30分米，它的表面积为多少平方米？体积为多少立方米？基础过关训练
一、填空。
1.长方体有（）个面，（）条棱，（）个顶点。
在一个长方体中，相对的面（），相对的棱（）。
2.正方体是由6个完全相同的（）围成的立体图形。
它有（）条棱，它们的长度（）；有（）个顶点。
3.长方体、立方体六个面的面积之和叫做它们的（）；物体所占空间的大小，叫做物体的（）。
4.1.25升=（）毫升 3.8立方分米=（）毫升4.5立方米=（）立方分米750立方厘米=（）立方分米
5400立方厘米=（）毫升=（）升
3.85升=（）立方分米=（）立方厘米
5.一个正方体的棱长是5厘米，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
6.一个长方体的体积是120立方厘米，长8厘米，宽5厘米，高（）厘米。
二、选择题。
（1）把一根长方体木料锯成4段，共增加了（）的面积。
A. 3个面
B. 4个面
C. 6个面
D. 8个面
（2）你见过火柴盒吗？一个火柴盒的体积约为15（）。
A. 立方米
B. 立方分米
C. 立方厘米
D. 立方毫米
（3）把3个棱长为2厘米的立方体，粘合成长方体，这个长方体的表面积比原来三个立方体的表面积之和减少（）。
A. 4
B. 6
C.8
D. 16
（4）大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的棱长的（）倍。
A. 2
B. 4
C.6
D. 8
四、计算（单位：米）。
（1）求体积。
（2
6
0.6 6
0.8
1.8
（2）林师傅要做10个长8厘米、宽6厘米，高1.2分米的长方体纸箱，至少要
纸板多少平方分米？
能力提升训练
1.一个长方体玻璃钢，底面长9分米，宽4分米，棵盛水288升，它的高应是多
少分米？
2.做一个长15分米，宽12分米，高20分米的长方体木盒，至少要用木板多少
平方米？这个木盒体积是多少立方米？
3.一块长方体石料，横截面是边长4分米的正方形，高12米，如果每立方米石
料重2.7千克，这块石料重多少千克？
4、一间客厅长6米、宽4米、高3.2米，现在要粉刷这间客厅的四壁和顶棚，扣除门窗面积13.5平方米，要粉刷的面积是多少平方米？
5、一个长方体木块，可以截成两个完全相等的正方体，两个正方体棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了40cm，原长方体的长是多少？
6、把一块不规则的石块放入一个棱长是8分米的正方体容器，水面上升了5厘米，求这块石块的体积。
7、一根长方体木料，长为2米，宽8分米，厚2分米，如果每立方米木料重450
千克，那么这根木料重多少千克？。