一个算子迹不等式

k k k k | (t r A) (t r B) - (t r A M ) (t r ( B M ) | ≤ k k k k k k | (tr A) - (t r A M ) | ・ | ( t r B ) | +| ( t r A M ) | ・ | (t r B) - (t r B M ) | = k- 1 k- 2 k ( t r A M ) + … + ( t r A ) ( t r A M ) k- 2 + ( t r A M ) k- 1 | ・ | trA - trAM | ・ | (tr A) + (tr A) | (t r B) | + k k- 1 k- 2 (trB M) + … + | (tr A M) | ・ | trB - trBM | ・ | (t r B) + (trB M )
( t r B ) ( t r B M ) k- 2 + ( t r B M ) k- 1 | ϖ 0 ( n ϖ 0) .
k k
( 1)
(nϖ ∞ ). 用归纳法证明 ‖( AB ) - ( A M B M ) ‖ 1 ϖ0 ) . 假设 当 k = 1 时 , ‖AB - A M B M ‖ A ‖・‖ B - BM ‖ A - AM ‖ B ‖ϖ 0 ( n ϖ ∞ 1 ≤ ‖ 1 + ‖ 1 ・‖
(nϖ ∞ ) . 由 | t r A - t r A M | ≤ ‖A - A M ‖ (nϖ ∞ ). 同理可得 ‖B - B M ‖ 1 ϖ0 1 , 则得 | t r A - t r A M | ϖ 0 ) . 于是 同理可得 | t r B - t r B M | ϖ0 ( n ϖ ∞
∞ ∞
证明 设 A =
i=1
λ iei ∑
∞
i =1
ei , B =
i=1
μg ∑
i
i
gi . 令
i i
∞
An =
λ iei ∑
ei , B n =
i =1
μg ∑
g i , M = span{ e1 … en , g1 …g n } .
记 PM 为 H 到 M 上的正交投影算子 , 且 A M = PM A P M , B M = PM B P M . 显然 , A M , B M 是 M 上的正迹类算 [4 ] 子 , 并且 ‖A M ‖ ≤ ‖A ‖, ‖B M ‖ ≤ ‖B ‖ . 由正迹类算子的特征值与奇异值一致且 ‖ ei ei ‖ 1 = 1 及引理 1 , 则 ‖A - A M ‖ A - An ‖ An - AM ‖ 1 ≤‖ 1 + ‖ 1 =
An operator trace inequality
L I Qi an
1 ,2
, L I U L ei

2
( 1. Dept . of Mat hematics and Physics ,Xi′ an Technological University ,Xi′ an 710032 ,China ; 2. College of Mat hematics and Informatio n Science ,Shaanxi No rmal U niversity ,Xi′ an 710062 ,China)
一个算子迹不等式
李 倩1 ,2 , 刘 磊2
( 1. 西安工业大学 数理系 , 陕西 西安 710032 ;2. 陕西师范大学 数学与信息科学学院 ,陕西 西安 710062)
摘要 : 利用泛函分析方法将半正定矩阵迹不等式 t r ( AB ) k ≤ ( t r A ) k ( t r B ) k , 其中 k 为任意自然 数 ,推广到 Hilbert 空间 ,并得到相应的正迹类算子不等式 . 关键词 : Hilbert 空间 ; 正迹类算子 ; 不等式 中图分类号 :O 177. 1 文献标识码 :A 文献 [ 1 ] 证明了半正定矩阵的迹有 t r ( AB ) k ≤( t r A ) k ( t r B ) k , 其中 k 为任意自然数 . 而矩阵可看作有限 维 Hilbert 空间的算子 , 则自然想到将此不等式推广到 Hilbert 空间上的迹类算子上 . 本文将利用泛函分析 的方法证明此不等式对于无限维 Hilbert 空间上的正迹类算子同样是成立的 . 用 B ( H) 表示无限维可分 Hilbert 空间 H 上有界线性算子全体 . 当 A 为 B ( H) 中紧算子时 , | A | = ( A 3 A ) 1/ 2 的特征值称为 A 的奇
编辑 、 校对 : 黄燕萍
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第 19 卷第 4 期 2006 年 12 月
纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 BASIC SCIENCES JOURNAL OF TEXTIL E UNIVERSITIES
Vol. 19 ,No . 4 Dec. ,2006
3 研究简报 3 文章编号 :100628341 ( 2006) 0420403202
∞
i =1
s ( A) ∑
i
称为 A 迹范数 , 当 A 只有有限个非零奇异值时 , 则 ϖ k 使得 s i ( A ) = 0 ( i > k) . 由文献 [ 2 ] 知 , 当 A 是
B 1 ( H) 中正算子时 , A =
i =1
λe ∑
i
i
ei , 这里λ |λ |λ i 为 A ( 包括重数) 的特征值且 | λ 1 | ≥ 2 | ≥…≥ n | ≥ …,
∞
i = n+1
∞
λ iei ∑
∞
ei
1
+
i = n+1
λP ∑
i i
M
( ei
ei ) PM
1
≤
∞
i = n+1
∞
i = n+1
λ i + ∑
i = n+1
λ i = 2 ∑
λ ϖ0 ( n ϖ ∞ ). ∑
收稿日期 :2006202227 通讯作者 : 李倩 (19822) ,女 ,山西省大同市人 ,西安工业大学助教 . E2mail :liqiansxsf dx @163. com
k
- t r ( A M B M ) | = | t r ( ( AB )
k k k
k
k
k - ( A MB M) ) | ≤
(nϖ ∞ ). ‖( AB ) k - ( A M B M ) k ‖ 1 ϖ0
( 2)
因此 , 由 ( 1) 和 ( 2) 式得 t r ( AB ) 参考文献 :
≤ ( t r A ) ( t r B ) . 定理 1 证毕 .
∞
异值 , 分别记为 s1 ( A ) , s2 ( A ) , …, s n ( A ) , …, 且 s1 ( A ) ≥s2 ( A ) ≥ … ≥s n ( A ) ≥ …. 当
i=1
s ( A) ∑
i
< ∞时 ,
∞
则称 A 为迹类算子 , 并记 A 的迹为 t r A , 全体迹类算子记为 B 1 ( H) . 当 A ∈B 1 ( H) 时 , ‖A ‖ 1 =
λi = 0 ( i > k) . ei 为 A 相应于λ i 的标准正交特征向量 . 同样当 A 只有有限个非零特征值时 , 则 ϖ k 使得 引理 1 [ 3 ] 设 T ∈ B 1 ( H) , P ∈ B ( H) , 则 ‖T P ‖ 1 ≤ ‖T ‖ 1 ‖P ‖, ‖P T ‖ 1 ≤ ‖P ‖‖T ‖ 1. k k k ( ) ( ) ( ) 定理 1 如果 A , B 均为正迹类算子 , Π k ∈ N , 有 t r AB ≤ trA trB .
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纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 第 19 卷
t t (nϖ ∞ ) . 当 k = t + 1 时 ,则 k = t 时 , 有 ‖( AB ) - ( A M B M ) ‖ 1 ϖ0
( AB ) t+1 - ( AB ) t ( A M B M ) ‖ ( AB ) t ( A M B M ) - ( A M B M ) t+1 ‖ ‖( AB ) t+1 - ( A M B M ) t+1 ‖ 1 ≤‖ 1 + ‖ 1 ≤ ( AB ) t ‖( AB ) t ‖・‖AB - A M B M ‖ 1 + ‖ ( A MB M) t ‖ ). A M B M ‖ϖ 0 ( n ϖ ∞ 1 ・‖ (nϖ ∞ ) . 从而 即 Π k ∈ N+ , 有 ‖( AB ) k - ( A M B M ) k ‖ 1 ϖ0 | t r ( AB )
Abstract : By t he met hod of f unctio nal analysis ,t he inequalit y abo ut t he t race of po sitive semidefinite ma2 t rix t r ( AB ) k ≤ ( t r A ) k ( t r B ) k is generalized to Hilbert space ,and a relevant inequalit y abo ut po sitive t race class operator is o btained. Key words : Hilbert space ;po sitive t race class operator ; inqualit y