北邮高等数学期末模拟试题四及答案
北京邮电大学-高数试卷2018年6月(A卷)试题及答案-1
3
令
S(x)
n1
2n 9n
1
x
2
n,
,
S1 ( x)
n1
2n 9n
1
x
2n
2
,
x (3,3)
.
x
0 S1(x)dx
n1
1 9n
x 2n1
1 x
n1
1 9n
x 2n
1 x2 9 x 1 x2 9
9
x x2
两边求导得
S1 ( x)
n0
n0
间是
.
填: (2, 4)
3. 设 z z(x, y) 是由方程 x2 y2 z (x y z) 所确定的函数，其中
是可导函数，且 1, 则 dz
.
填：
dz
2x 1
dx
2y 1
dy
4.
曲
线
:
x
2 y2 x y
9
x x2
(9 x 2 ) 2x 2 (9 x2 )2
9 x2 (9 x2 )2
所以
S ( x)
n1
2n 1 9n
x
2n
x 2S1(x)
x 2(9 (9
x2) x2) 2
,
x
(3,
3)
五 (8
分 ).
计算曲线积分 I
y
2
f
22
y 3
高等数学下期末试题（七套附答案）
⾼等数学下期末试题（七套附答案）⾼等数学（下）试卷⼀⼀、填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为（2）已知函数，则（3）交换积分次序，＝（4）已知是连接两点的直线段，则（5）已知微分⽅程，则其通解为⼆、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平⾯为，则（） A. 平⾏于 B. 在上 C.垂直于D. 与斜交（2）设是由⽅程确定，则在点处的（） A.B.C. D.（3）已知是由曲⾯及平⾯所围成的闭区域，将在柱⾯坐标系下化成三次积分为（） A. B. C.D.（4）已知幂级数，则其收敛半径（）A.B. C.D.三、计算题（每题8分，共48分）1、求过直线:且平⾏于直线：的平⾯⽅程2、已知，求，3、设，利⽤极坐标求4、求函数的极值5、计算曲线积分，其中为摆线从点到的⼀段弧 6、求微分⽅程满⾜的特解得分阅卷⼈四.解答题（共22分）1、利⽤⾼斯公式计算，其中由圆锥⾯与上半球⾯所围成的⽴体表⾯的外侧2、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（）（2）在求幂级数的和函数（）⾼等数学（下）试卷⼆⼀．填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为；（2）已知函数，则在处的全微分；之间的⼀段弧，则；（5）已知微分⽅程，则其通解为 .⼆．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平⾯为，则与的夹⾓为（）；A. B. C. D.（2）设是由⽅程确定，则（）； A.B.C. D.（3）微分⽅程的特解的形式为（）； A.B.C. D.（4）已知是由球⾯所围成的闭区域, 将在球⾯坐标系下化成三次积分为（）； A B.C.D.（5）已知幂级数，则其收敛半径（）.B. C.D.三．计算题（每题8分，共48分）得分阅卷⼈5、求过且与两平⾯和平⾏的直线⽅程.6、已知，求，.8、求函数的极值.得分9、利⽤格林公式计算，其中为沿上半圆周、从到的弧段.6、求微分⽅程的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（）在区间内求幂级数的和函数 .2、利⽤⾼斯公式计算，为抛物⾯的下侧⾼等数学（下）模拟试卷三⼀．填空题（每空3分，共15分）1、函数的定义域为.2、= .3、已知，在处的微分 .4、定积分 .5、求由⽅程所确定的隐函数的导数 .⼆．选择题（每空3分，共15分）1、是函数的间断点（A）可去（B）跳跃（C）⽆穷（D）振荡2、积分= .(A) (B)(C) 0 (D) 13、函数在内的单调性是。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
北京邮电大学 高等数学(全)参考答案
北京邮电大学高等数学答案一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）设的定义域为则的定义域为___________.函数是定义域内的____________.A.周期函数B.单调函数C.有界函数D.无界函数设，则__________.函数设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则时与无穷小时,与为等价无穷小则__________.____________._________.M.0N. 1下列计算极限的过程，正确的是____________.设在处连续,则_________.Q. 2设 ,则（）设且可导，则（）已知，则（）R. 1设，则（）设设则曲线处的切线方程为设存在，则等于（设函数可导，则（函数函数的周期是___________.是____________.A.单调函数B.周期函数C.D.函数是___________.E.F.G.非奇非偶函数H.既是奇函数又是偶函数设（为常数），则___________.设，则__________.下列各对函数相同的是________.I.与J.与与设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则存在是W.无关的条件设在处连续，且时，，则_________.AA.2设函数，则的连续区间为______________.设且可导，则（）设，则（）设则( )设，则（）设,且,则( )设设则的定义域为函数函数F.周期函数G.H.函数是___________.I.J.K.L.既是奇函数又是偶函数下列函数中为奇函数的是__________.设（为常数），则___________.函数的定义域是____________._____________.O. 2____________.设在处连续，且，则_________.设函数，则的连续区间为设且可导，则（设则(设,且,则( )W. 1设,则( )X.99Y.99!曲线在点(0,1)处的切线方程为( )设曲线在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为（）CC.(1,1)设函数可导，则（）一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）1.若设则的定义域为2.函数G.有界函数3.(错误)下列函数中为奇函数的是__________.4.(错误)当时，与比较是______________.A.高阶无穷小C.非等价的同阶无穷小D.低阶无穷小5._________.A.0B. 16.(错误)下列计算极限的过程，正确的是____________.7.(错误)下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是_____________.8.(设9.(存在是在处连续的10.(错误)设函数，则的连续区间为______________.11.(错误)函数的连续区间为___________.12.设且可导，则（）13.(错误)设则（）14.(错误)设则( )15.(错误)16.(设存在，则等于（17.设在点可导，则（1.(若，，则___________.2.函数的反函数是____________.3.(错误)函数的周期是___________.4.(错误)函数是定义域内的____________.A.周期函数5.下列函数中为奇函数的是__________.6.(错误)设（为常数），则___________.7.(错误)8.(的定义域为9.(与与与与10.(_____________.C. 211.(错误)____________.A. 112.(错误)___________.A.0B. 113.存在是在处连续的_________.D.无关的条件14.(错误)设 ,则（）15.(错误)设则( )16.(17.(设则18.(处的切线方程为(19.(设曲线在点20.(设函数可导，则（）。
北邮离散数学期末复习题
北邮离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题（1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ）（2）{}φ是空集． （ 错 ） （3）{}{}a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对 ） （5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉． （ 错 ）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则 （ 对 ）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （ 错 ）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系． （ 对 ）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律． （ 错 ）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA =ο （ 错 ）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是 （ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A I ⨯为 （ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A Y 的恒等关系为 （ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足 （ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A Y 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρο .~1~2ρρο7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ⊆ο8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><b a ,|><b a ,A b a B A ∈⨯∈,且∩}=21,ρρο则B ___________________.填 }2,2,0,2,2,0,0,0{><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。
《高等数学》试题四(后附答案解析)
《高等高等数学数学数学》试》试》试题题四考试时间：120分钟一.选择题1.如果∫∫=)()(x dg x df ,则下述结论中不正确的是（）.A ）、()()f x g x =B ）、()()f xg x ′′=C ）、()()df x dg x =D ）、∫∫′=′)()(x g d x f d 2.2xxedx =∫()A ）、221124x xxe e c −+B ）、2224x x xe e c −+C ）、2(12)xx x e +−D ）、221124x xxe e −3.=∫（）A ）、1B ）、4C ）、4π−D ）、4π4.设bx x f sin )(=，则=′′∫dx x f x )(（）A ）、C bx bx b x+−sin cos B ）、C bx bx b x+−cos cos C ）、Cbx bx bx +−sin cos D ）、Cbx b bx bx +−cos sin 5.设x xe dt tf 20)(=∫，则=)(x f （）A ）、x e 2B ）、x xe 22C ）、xe 22D ）、122−x xe 6.23(sin )x x dx ππ−=∫()A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π7.=++∫−dx x x x )1(ln 2112()A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π8.若11(+=x xxf ，则dx x f ∫10)(为（）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1−D ）、2ln 9.设)(x f 在区间[]b a ,上连续，∫≤≤=xab x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分10.下列各式正确的是（）A ）、tan ln sin xdx x C=−+∫B ）、cot ln cos xdx x=∫C ）、2arctan 1dxdx x cx =++∫D ）、21(13)(13)2x dx x −=−∫11.若(sin )y f x =，则dy =（）．A)、(sin )sin f x xdx ′B）、(sin )cos f x xdx ′C）、(sin )f x dx′D）、(sin )cos f x d x′12.设函数22,1()1,1x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在1x =处可导，则有（）A)、1,2a b =−=B）、1,0a b ==C）、1,0a b =−=D）、1,2a b =−=−13.221x a y +=在区间],[a a −上应用罗尔定理,结论中的点ξ=().A 0B 2C23D 314.曲线y e e x x=−−的凹区间是()A ()0，∞−;B ()∞+，0;C()1，∞−;D()∞+∞−，15.函数323x x y −=在区间]3,1[上的最大值为（）A 4;B 0;C 1;D 3二.填空题1.∞→x lim =+−+−223)12)(1(12x x x x __________.2.xx x 11lim 20−+→=______.3.若∫+=C e dx e x f xx 11)(，则∫=dx x f )(4.=+∫313xx dx 5.01cos 2limsin x xx x→−=三.判断题1.xxy +−=11ln是奇函数.（）2.若函数()f x 在0x 处连续，则()f x 在0x 处极限存在.（）3.函数()f x 在],[b a 内连续，且)(a f 和)(b f 异号，则()0f x =在),(b a 内至少有一个实数根.（）4.2aaa π−=∫（0>a ）.（）5.2x y e −=在区间(,0)+−∞∞和（1，）内分别是单调增加，单调增加.()四.解答题1.求11022(lim +→−x x x .2.求20sin sin tan limx x x x x −→3.求cos(23)x dx −∫.4.比较大小11200,xdx x dx ∫∫.5.求曲线222333x y a +=在点,)44a a 处的切线方程和法线方程6.'y y =设求7.计算0sin .x xdx π∫8.计算dxxx xx ∫+−cos sin cos sin 9.证明∫∫=22.)(cos )(sin ππdx x f dx x f二.填空题1.412.03.C x +14.6π5.2三.判断题1.T 2.T 3.T 4.F 5.F 四.解答题1.21−e 2.21一.选择选择题题1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.C2.11.B 12.A 13.B 14.B 15.A参考答案3.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C −=−−−=−−+∫∫4.dxx dx x ∫∫121≻5.0,x y y x +==6.7.解：0sin .x xdx π∫π=8.C x x x x d x x dx x x x x ++−=++−=+−∫∫cos sin ln )cos (sin cos sin 1cos sin cos sin 9.提示：令t x =−2π，则dtdx =。
高数期末考试试题及答案[1]
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北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2）1．极限2221lim 1x x yx y x +→∞→⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e ．2．设()2y z x y x ϕ=++，其中ϕ具有连续二阶偏导数，则2z x y∂∂∂=2x ()''21()ln 1y x y x y x ϕ-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4P π处的法线方程为41122111z x y π---==-．4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0）处的方向导数的最大值为5．设2x u v z y u vz ⎧=-++⎨=+⎩确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ∂=∂12zzu -+． 6．幂函数21(1)9nnn x ∞=-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2,10()1,01x x f x x x --<≤⎧=⎨-<≤⎩，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于12． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2()xdydz ydzdx zdxdyx y z ++=++∑⎰⎰4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ⨯=3224x y z x z ---．10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 212565xx x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域．解：若用泰勒级数2()0000000''()()()()()()'()()2!!n n f x x x fx x x f x f xf x x x n --=+-++++=2()1''(2)(2)(2)(2)'(2)(2)42!!n nf x f x f x n ---+-++++ ，不易。
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷适用专业：应化 考试日期：年 月 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 ． 2.设y zx =，则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=，则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（ A ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解，则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222＝（ D ）.(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。
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其中 C 为某一常数。 证：由通解公式
，其中 为对应于解 的某一常数。
也满足公式并分别对应于常数 和 ，且
，于是
九、（8 分）设 的原函数
，且
，当 时，有
，
试求 。 解：因为
及
有
故
因此 故
。求
，其中
。
解：
六、（7 分）计算
。
解：
七、（8 分）在区间
上，给定函数
面积之和最小？何时最大？
，问当 t 为何值时，图中的阴影部分 和 的
解：A 的坐标为
，故
，所以
。因为
，求得驻点
，边界
点
。比较
取最小值；当 时，
八、（8 分）设
取最大值 是方程
，因此，当
时，
的两个不同的解，其中 和
为给定的连续函数，求证对方程的任一解 有恒等式
模拟试题 一、试解下列各题 1（. 4 分）由参数方程 2.（4 分）求极限 二、试解下列试题
1.（5 分）设
2.（5 分）设 三、试解下列各题 1.（6 分）求
确定了函数
，试求 关于 x 的微分（
）。
3.（4 分）确定
的单调区间。
。试确定 之值，使 在 处连续。
，求 。 3.（5 分）已知
，求 。
。
2.（6 分）计算
。
3.（6 分）求
四、设 五、试解下列试题 1.（7 分）求微分方程
。
4.（7 分）求微分方程
的通解。
，求以向量 a 和 b 为边的平行四边形的对角线的长度。
的通解。
2.（6 分）设
。求
，其中
。
六、（7 分）计算
。
七、（8 分）在区间
上，给定函数
，问当 t 为何值
时，图中的阴影部分 和 的面积之和最小？何时最大？
，则
2.（6 分）计算
。
解：
3.（6 分）求
。
解：原式
4.（7 分）求微分方程
解：
四、设
解：对角线为
和
的通解。
。
，求以向量 a 和 b 为边的平行四边形的对角线的长度。
。故
。因此
。又
五、试解下列试题 1.（7 分）求微分方程
解：设
，则
。所以 。因此原方程化为
的通解。
。对应的特征方程为
。
2.（6 分）设
八、（8 分）设
是方程
的两个不同的解，其中 和 为给定的连续函数，求证对
方程的任一解 有恒等式
其中 C 为某一常数。
九、（8 分）设 的原函数
，且
，当 时，有
，
试求 。
一、试解下列各题
1（. 4 分）由参数方程
确定了函数
，试求 关于 x 的微分（
）。
解：
2.（4 分）求极限 解：原式
3.（4 分）确定
解：
在
时，
。所以该函数在
二、试解下列试题
1.（5 分）设
的单调区间。 连续，当 时，恒有 单调递增。
。仅当
。试确定 之值，使 在 处连续。
解：
。令
得 。故当
时， 在 处连续。
2.（5 分）设
，求 。
解：当
时，有
，得
。令
，
。
3.（5 分）已知
，求 。
解： 三、试解下列各题 1.（6 分）求
，故 。
解：令