高考数学专题复习简单几何体的面积与体积

第5讲 简单几何体的面积与体积
一、选择题
1．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( ) A.7
2π B ．56π
C ．14π
D ．64π
解析 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧
ab ＝2，
bc ＝3，
ac ＝6，得⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＝1，
c ＝3，
令球的半径为R ，则(2R )2＝22＋12＋32＝14，∴R 2＝7
2，
∴S 球＝4πR 2＝14π. 答案 C
2．若等腰直角三角形的直角边长为3，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是( ) A ．9π B ．12π C ．6π
D ．3π
解析 由题意知所得几何体为圆锥，且底面圆半径为3，高为3，故V ＝13·(π·32
)·3＝9π. 答案 A
3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为( )．
A ．48
B ．64
C ．80
D ．120
解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱
锥(底面边长为8)，直观图如图，PE 为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×1
2×8×5＝
80(cm 2)． 答案 C
4．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )． A.2
6
B.36
C.23
D.22
解析 在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故
AD ＝1
2SA ＝
32，则△ABD 的面积为1
2
×1× AD 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
122
＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26. 答案 A
5．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为 ( )．
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫95－π2cm 2
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫94－π2cm 2
C.⎝
⎛
⎭⎪⎫94＋π2cm 2
D.⎝
⎛
⎭⎪⎫95＋π2cm 2
解析 该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．
S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝94＋π2.
答案 C
6．已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C. 3
D ．1
解析 由题意知，如图所示，在棱锥S ­ABC SAC SBC
都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB ＝3，SC ＝4，所以
SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2.作BD ⊥SC 于D 点，易证SC ⊥平面 ABD ，因此V ＝1
3
×3
4
×(3)2×4＝ 3. 答案 C
二、填空题
7．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.
解析 由三视图可知，该三棱锥底面为两条直角边分别为1 cm 和3 cm 的直角三角形，一条侧棱垂直于底面，垂足为直角顶点，故高为2 cm ，所以体积V ＝13×1
2×1×3×2＝1(cm 3)．
答案 1
8．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.
解析 由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6,3,1的长方体，下面是两个半径均为32的球，其体积为6×3×1＋2×43×π×⎝ ⎛⎭⎪
⎫323
＝18＋9π(m 3)． 答案 18＋9π
9．已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．
解析 借助常见的正方体模型解决．由三视图
知，该几何体由正方体沿面AB 1D 1与面CB 1D 1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4 3. 答案 12＋4 3
10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.
解析：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，其中下面是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：V ＝V 圆锥＋V 长方体＝1
3π×12×3＋3×2×1＝6＋π.
答案：6＋π 三、解答题
11．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，
AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积． 解 由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，
S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋
42)π，V＝V圆台－V圆锥＝1
3
(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－
1
3
π×22×2＝
148
3
π.
12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠
ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC
1
＝2，P是BC1上一动点，
如图所示，求CP＋PA1的最小值．
解PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平
后转化为平面上的问题解决．铺平平面A1BC1、平面
BCC
1
，如图所示．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B ＝90°的直角三角形．
CP＋PA
1
≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理，得
A
1
C＝62＋22－2·6·2·cos 135°＝50＝52，
故(CP＋PA1)min＝5 2.
13．如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图(b)所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．
(1)证明在图中，可得AC＝BC＝22，
从而AC2＋BC2＝AB2，
故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面
ACD.
(2)解由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝22，S△ACD＝2，
∴V B－ACD＝1
3
S
△ACD
·BC＝
1
3
×2×22＝
42
3
，
由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为42 3
.
14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，
AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿
长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2 2.
(1)求AB的长度．
(2)求该长方体外接球的表面积．
解 (1)设AB＝x，点A到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC1|＝x2＋4.
如图乙的最短路程为
|AC1|＝x＋12＋1＝x2＋2x＋2，
图甲图乙
∵x＞1，∴x2＋2x＋2＞x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C
1
的最短距离为x2＋4.
由题意得x2＋4＝22，解得x＝2.
即AB的长度为2.
(2)设长方体外接球的半径为R，则
(2R)2＝12＋12＋22＝6，
∴R2＝3
2
，∴S表＝4πR2＝6π.
即该长方体外接球的表面积为6π.。