利用全等三角形证明线段的和差关系
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定(五)
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定（五）1．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．2．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．3．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，点E为CD的中点，过C 作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）四边形BDCF是怎样的特殊四边形？请加以证明．5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC边上的任意一点（除B、C外），以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．求证：EF＝CD．6．如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD．BE⊥CD于E，BE与AC交于F．CF＝2BO．（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；（2）求tan∠ACD的值．7．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE＝AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．8．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的点，连接BE并作BE⊥EF，交边CD于点F，过点F作FG⊥AC交对角线AC于点G．（1）请在图中找出与BE长度相等的边并加以证明：（2）求的值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，交AC于E．交CD于F．点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．（1）求证：CE＝BF；（2）判断△ECG的形状，并证明你的结论．°．参考答案1．证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．2．（1）证明：连接DB、DC．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵DG垂直平分BC，∴DB＝DC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AF＝AE＝6，由（1）得：BE＝CF，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，＝AE+EB+AF﹣CF+BC，＝AE+AF+BC＝20，∴BC＝20﹣12＝8．3．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．4．证明：（1）∵CF∥AB，∴∠CF A＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，∵点E为CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：四边形BDCF是菱形．证明如下：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AD＝BD，∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD，∴四边形BDCF是菱形．5．证明：∵△AED是等边三角形，△ABC是等边三角形，∴AD＝AE＝ED，AB＝CA＝BC，∠ADE＝60°，∠B＝∠F AC＝60°，∵ED∥FC，∴∠EDB＝∠FCB，∵∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB，∠AFC＝∠B+∠FCB＝60°+∠FCB，∴∠BDA＝∠AFC，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD＝FC，∵AD＝ED，∴ED＝CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝CD．6．证明：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴BD＝2BO，∵CF＝2BO，∴CF＝BD，∵∠DBE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DCO＝90°，∴∠DBE＝∠FCE，又∵∠BED＝∠CEF，∴△BDE≌△CFE（AAS），∴BE＝CE，又∵BE⊥CD，∴△BEC是等腰直角三角形；（2）如图，连接DF，∵△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∵AC垂直平分BD，∴BF＝DF＝EF，∴BE＝BF+EF＝（+1）EF，∴CE＝（+1）EF，∴tan∠ACD＝＝﹣1．7．解：（1）由折叠可得AB＝AB′，BE＝B′E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC＝DF，∠B′CE＝45°，∴B′E＝B′F，∴AF＝AB′+B′F，即DF+BE＝AF；（2）图（2）的结论：DF+BE＝AF；图（3）的结论：BE﹣DF＝AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AE＝∠DAG，∴∠GAF＝∠DAE，∴∠AGD＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE+DF＝AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM＝DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∵∠BAM＝∠F AD，AF＝AM∵△ABE≌AB′E∴∠BAE＝∠EAB′，∴∠MAE＝∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM＝∠DAB，∴∠MAE＝∠AEM，∴ME＝MA＝AF，∴BE﹣DF＝AF．8．解：（1）BE＝EF，证明如下：如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠MEB+∠NEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AD∥MN，∴∠BME＝∠BAD＝∠ENF＝∠D＝90°，∴∠MEB+∠MBE＝90°，∴∠NEF＝∠MBE，Rt△ENC中，∠ECN＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN，∵∠BME＝∠ENC＝∠ABC＝90°，∴四边形MBCN是矩形，∴BM＝CN，∴BM＝EN，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF；（2）如图2，设正方形ABCD的中心为点O，连接OB，∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠EGF＝90°，∴∠OBE+∠BEO＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠BEO+∠GEF＝90°，∴∠OBE＝∠GEF，由（1）得：BE＝EF，∴△OBE≌△GEF（AAS），∴OB＝EG，∵∠BAO＝45°，∴，∴．9．（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠DBA+∠BAD＝90°，∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABD≌△CAE，则BD＝AE，AD＝CE．∵DE＝3，CE＝2∴AE＝AD+DE＝CE+DE＝5．∴BD＝AE＝5．10．证明：（1）∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，CE＝AE，∴∠A+∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠DBF＝90°∴∠ACD＝∠DBF，在△ADC和△FDB中，∠ACD＝∠DFB，CD＝BD，∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△FDB（ASA）；∴AC＝BF，又∵CE＝AE，∴CE＝BF；（2）△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点，∴GH垂直平分BC，∴GC＝GB，∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°，又∵BE⊥AC，∴△ECG为等腰直角三角形；。
利用三角形全等证明线段和差倍分问题
利用三角形全等证明线段和差倍分问题1. 已知：D 是AB 中点，∠ ACB=90°，求证：12CD AB2. 已知：AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证： AC=AB+BD3. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BECDB4·如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。
求证：BC=AB+DC。
5·已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE6．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．7．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．8·在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.PEDCB A F E DCBA9·如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD 相等吗？请说明理由10·如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．（1）若BD平分∠ABC，求证CE=12 BD；（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。
EDCB。
全等三角形中线段的和、差问题
全等三角形中线段的和、差问题证明线段的和、差问题，通常采用的方法就是截长补短法，这也是初中数学几何题中一种常用辅助线的添加方法，截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。
例题1：已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE，垂足为点D，CE⊥AE，垂足为点E．（1）当直线AE处于如图①的位置时，有BD＝DE+CE，请说明理由；（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由．证明：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD+DE，∴BD＝DE+CE；（2）BD＝DE﹣CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝DE﹣AD，∴BD＝DE﹣CE．例题2：阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：AD＝AB+DC．小明发现以下两种方法：方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明：AD＝AB+DC；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，求证：CD＝CE．解：（1）方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；∵AB∥DF，∴∠B＝∠ECF，∵BE＝EC，∠BEA＝∠CEF，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB＝CF，∵EA平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝CD+AB．方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．∵AB＝AG，∠BAE＝∠GAE，AE＝AE，∴△BAE≌△GAE（SAS），∴BE＝EG＝EC，∠AEB＝∠AEG，∴∠EGC＝∠ECG，∵∠BEG＝∠EGC+∠ECG，∴∠BEA＝∠ECG，∴AE∥CG，∴∠EAG＝∠CGD，∵AB∥CD，AE∥CG，∴∠BAE＝∠DCG，∴∠DCG＝∠DGC，∴CD＝DG，∴AD＝AB+CD．（2）证明：如图4中，作CM∥AB交AE的延长线于M，CM交AD于N，连接EN．由（1）可知：AN＝NM，AE＝EM，∴EN平分∠ANM，∵∠BAD＝60°，MN∥AB，∴∠MND＝∠BAD＝60°，∴∠ENM＝∠ENA＝60°，∴∠CND＝∠CNE，∵∠B+∠ECN＝180°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，∴∠NCE＝∠NCD，∵CN＝CN，∴△CNE≌△CND（ASA），∴CE＝CD．习题1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC 的延长线于点F．（1）求证：△DAE≌△CFE；（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF；（3）在（2）的条件下，若∠D＝90°，AD＝，AF＝10，则点E到AB的距离是．（直接写出结果即可，不用写出演推过程）2．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE 中AE边上的高，试证明：AE＝2CM+BN．3．（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE 是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．4．如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN 于M，BN⊥MN于N．（1）求证：MN＝AM+BN．（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．5．如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°．（1）求证：DF＝DC；（2）连接CF，求证：AB＝AC+CF．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，垂足为D，DH⊥BC，垂足为H．点E在边AC上，BE分别与CD、DH相交于点F、G．（1）求证：BG＝CG；（2）若AB＝BC，且BE⊥AC．①求证：BF＝CA；②求证：BG＝CE+EF7．在△BCF中，点D是边CF上的一点，过点D作AD∥BC，过点B作BA∥CD交AD于点A，点G是BC的中点，点E是线段AD上一点，且∠CDG＝∠ABE＝∠EBF．（1）若∠F＝60°，∠C＝45°，BC＝2，请求出AB的长；（2）求证：CD＝BF+DF．8．如图，E是BC的中点，DE平分∠ADC．（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；（2）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．9．四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F．求证：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．10．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，求证：AD＝DC+AB，（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，F是DC延长线上一点，连接AF，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，求证：AB＝AF+CF．11．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；（2）若AB＝BC+AD，则BE⊥AF吗？为什么？12．探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．13．如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC+∠ADC＝180°，求证：①DC＝BC；②AD+AB＝AC．14．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m 于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE 是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．全等三角形中线段的和、差问题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE＝EC，∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）证明：由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵AB＝BC+AD，∴AB＝BC+CF，即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SSS），∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∴BE⊥AE；（3）解：在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，∴∠ABE＝∠FBE，∴E到BF的距离等于E到AB的距离，由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝AF＝5，∵∠D＝90°，∴DE＝＝＝，∴CE＝DE＝，∵CE⊥BF，∴点E到AB的距离为．2．【解答】（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．（2）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠DAC＝∠EBC，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝120°∴∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝30°，∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM，∴ME＝CM，∴DE＝2CM，∵∠BEN＝∠BAE+∠ABE＝∠BAE+∠EBC+∠CBA＝∠BAE+∠DAC+∠CBA＝30°+30°＝60°，∴∠NBE＝30°，∴BE＝2EN，EN＝BN，∴BE＝BN，∵AD＝BE，∴AE＝AD+DE，∴AE＝2CM+BN．3．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．4．【解答】证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△AMC和△CNB中，∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，△AMC≌△CNB（AAS），AM＝CN，MC＝NB，∵MN＝NC+CM，∴MN＝AM+BN；（2）结论：MN＝BN﹣AM．∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△AMC和△CNB中，∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，△AMC≌△CNB（AAS），AM＝CN，MC＝NB，∵MN＝CM﹣CN，∴MN＝BN﹣AM．5．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，∴BD＝DA，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF＝DC．（2）证明：延长FE到K，使得EK＝EF，连接CF．∵∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵DF＝DC，∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠DFC＝45°，∴∠ECF＝30°，∵∠CEF＝90°，∴CF＝2EF，∵FK＝2EF，∴CF＝FK，∵AE⊥FK，EF＝EK，∴AF＝AK，∴∠K＝∠AFE，∠EAF＝∠EAF，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝75°，∴∠DAC＝15°，∴∠EAF＝∠EAK＝15°，∴∠K＝90°﹣15°＝75°，∴∠BAK＝∠BAD+∠DAK＝75°，∴∠BAK＝∠K，∴BA＝BK，∴AB＝BF+FK＝BF+CF．6．【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴DB＝DC，∵DH⊥BC，∴BH＝CH，∴GB＝GC．（2）①∵BA＝BC，BE⊥AC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∴∠A＝∠ACB＝67.5°，∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠DBF＝22.5°，∵∠BDF＝∠ADC＝90°，BD＝DC，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴BF＝AC．②作DN∥BC交AC于点N，连接FN．∵△BDF≌△CDA，∴DF＝AD，∵DN∥BC，∴∠NDC＝∠DCB＝45°，∵DN＝DB，∴△NDA≌△NDF（SAS），∴∠A＝∠DFN＝67.5°∵∠DFN＝∠FCN+∠CNF，∠FCN＝22.5°，∴∠CNF＝45°，∴NE＝EF，∵∠NDC＝∠GDB＝45°，BD＝DC，∠DBG＝∠DCN，∴△BDG≌△CDN（ASA），∴BG＝CN，∵CN＝EN+EC＝EF+CE，∴BG＝EC+EF．7．【解答】解：（1）过点E作EH⊥AB交AB于点H．∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB＝DC，∠DAB＝∠DBC，在△CGD和△AEB中，，∴△CGD≌△AEB，∴∠DGC＝∠BEA，∴∠DGB＝∠BED，∵AD∥BC，∴∠EDG+∠DGB＝180°，∴∠EDG+∠BED＝180°∴EB∥DG，∴四边形BGDE为平行四边形，∴BG＝ED，∵G是BD的中点，∴BG＝BC，∴BC＝AD，ED＝BG＝AD，∵BC＝2，∴AE＝AD＝，在Rt△AEH中，∵∠EAB＝45°，sin∠EAB＝sin 45°＝＝，∴EH＝，∵∠EHA＝90°，∴△AHE为等腰直角三角形，∴AH＝EH＝，∵∠F＝60°，∴∠FBA＝60°，∵∠EBA＝∠EBF，∴∠EBA＝30°，在Rt△EHB中，tan∠EBH＝tan 30°＝＝，∴HB＝3，∴AB＝3+（2）连接EF，延长FE交AB与点M．∵∠A＝∠EDF，AE＝DE，∠AEM＝∠DEF，∴△AEM≌△DEF（ASA），∴DF＝AM，ME＝EF，又∵∠EBA＝∠EBF，∴△MBF是等腰三角形∴BF＝BM，又∵AB＝AM+BM，∴CD＝BF+DF．8．【解答】解：（1）如图1，延长DE交AB的延长线于F，∵∠ABC＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠F，又∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∴△CDE≌△BFE（AAS），∴DE＝FE，即E为DF的中点，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠F，∴AD＝AF，∴AE平分∠DAB；（2）如图2，在DA上截取DF＝DC，连接EF，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠FDE，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE（SAS），∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，又∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∴FE＝BE，∵∠AED＝90°，∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠AEB，又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．9．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°∴∠EBC＝∠D．在△CBE与△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（AAS）；（2）在Rt△ACE与Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF，∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF．10．【解答】（1）证明：如图①中，延长AE交DC的延长线于点F，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC（AAS），∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∴∠EAD＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝DF＝DC+CF＝DC+AB．（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB＝GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠F AG，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∴∠F AG＝∠G，∴F A＝FG，∴AB＝CG＝AF+CF．11．【解答】（1）解：结论：CF＝AD．理由：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE＝EC，∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD；（2）结论：BE⊥AF．理由：由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵AB＝BC+AD，∴AB＝BC+CF，即AB＝BF，∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，∴BE⊥AE；12．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS）；（2）设∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．13．【解答】证明：①在AN上截取AE＝AC，连接CE，如图所示：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°，AC＝EC＝AE，又∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC（AAS），∴DC＝BC，AD＝BE；②由①得：AD＝BE，∴AB+AD＝AB+BE＝AE，∴AB+AD＝AC．14．【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CEA中，，∴△ABD≌△CEA（AAS），∴S△ABD＝S△CEA，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ACF＝CF•h，∵BC＝2CF，∴S△ACF＝6，∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6，∴△ABD与△CEF的面积之和为6．。
全等三角形中线段和差处理技巧
全等三角形中线段和差处理技巧
1. 嘿，看到全等三角形里那些线段和差，是不是有时候觉得有点头疼啊？就像一团乱麻！那来试试延长线段法呀。
比如在那个三角形 ABC 和三角形DEF 全等中，把线段 AB 延长一点，你会发现新天地哦，问题一下子就清晰多啦！
2. 哇塞，利用等量代换处理线段和差那可太妙啦！想象一下，就像在拼图中找到了关键的那块。
比如在三角形 MNO 和三角形 PQR 全等时，一条边等于另一条边，通过等量代换，线段的和差关系就明明白白啦！
3. 嘿呀，将线段和差转化为其他已知条件，这招简直绝了！就如同给你指出了一条明路。
在三角形 XYZ 和三角形 UVW 全等的那个题里，把那些线段
巧妙转换一下，问题不就迎刃而解了嘛！
4. 哦哟，利用三角形的中线来处理线段和差可别小瞧哦！这就像手里有个秘密武器。
就像在三角形 ABC 中，AD 是中线，那处理起线段和差来，可轻
松多啦！
5. 哈哈，辅助线这个妙招可不能忘啊！它就像是给你开了个外挂。
在三角形GHI 和三角形 JKL 全等那道难住很多人的题里，加上条辅助线，哇，一切
都豁然开朗啦！
6. 小伙伴们，构造全等三角形来处理线段和差也很棒呀！就像是搭建起了一座桥梁。
在那道复杂的图形里，构造出全等三角形后，原本纠结的线段和差变得简单明了！
7. 哇哦，直接计算线段长度来找线段和差关系也是个好办法呢！这就像是拿着一把钥匙去开锁。
比如在那个具体的三角形中，算出每条边的长度，线段和差自然就搞清楚啦！
结论：处理全等三角形中线段和差的技巧有很多，每一种都有着独特的作用，关键在于我们要灵活运用，找到最适合的那个方法呀！。
三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)
四、利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。
(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。
(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。
后两种方法，就是通常所说的截长补短。
例1.已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。
（证明略）例2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC证明：在EA上截取EF=BE，连结CF∵CE⊥AB于E（已知）∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）∴∠1=∠B（等边对等角）∵∠1+∠2=180°（平角定义）∠B+∠D=180°（已知）∴∠2=∠D（等角的补角相等）（再往下证明略）3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。
（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。
分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。
“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。
倍长中线模型,构造全等证明线段或角之间的关系
倍长中线模型，全等三角形搭桥，难题分析讲解三角形是初中数学里最基本的几何图形，而其边上，又是很常见的条件。
当涉及三角形问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法，实现角和线段的转化，以此来作辅助线解题。
好处是通过此法构造全等三角形继而得到平行，也可以证明三角形全等，可将分散的条件集中在一个三角形内解题，常常出奇制胜，化腐朽为神奇。
且看模型，和模型产生的基本结论.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（其中有对顶角相等）例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。
分析：延长AD 至E ，使ED=AD ，连接BE ，见模型1，可证△ABD 与△ECD 全等，把AB 边转移到EC 上了，再看△AEC ，用第三边大于两边之差小于两边之和可解。
【归纳总结】1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．例 2：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF延长ED 至G ，使GD=ED ，利用SAS 可证△BED与△CGD 全等，把BE 转移到GC 上，∠G=∠1，由已知BE=AC ，得到GC=AC ，由等腰三角形性质可知∠G=∠3，通过∠G 传递，得到∠2=∠3，得证AF=EF例3：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DE=AC ，求证：AE 平分∠BAC证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，∵ ，∴△DEF ≌△CEG ． ∴DF=GC ，∠DFE=∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE=∠BAE ．∵DF=AC ，∴GC=AC ．∴∠G=∠CAE ．∴∠BAE=∠CAE ．即AE 平分∠BAC⎪⎩⎪⎨⎧==FG FE CEG ＝∠DEF ∠EC ED例4：如图；在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE证明：延长CE至F，使EF＝CE，则CF＝2CE易证△ACE≌△BFE，∴AC＝BF＝AB＝BD，∠ABF＝∠BAC∴∠DBC＝∠ACB+∠BAC＝∠ABC+∠ABF＝∠FBC∴△BCF≌△BCD（SAS）∴CD＝CF＝2CE【融会贯通】1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
《三角形全等的判定》教学反思
《三角形全等的断定》教学反思《三角形全等的断定》教学反思《三角形全等的断定》教学反思1 本节课探究三角形全等的断定方法一，是后面几种断定方法的根底，也是本章的重点也是难点。
教材看似简单，仔细研究后才发现对学生来说有些困难，处理不好可能难以成功。
备课时发现本节课的难点就是处理从确定一个三角形到得到三角形全等的断定方法这个环节，让学生动手操作和学生互相交流验证很好地解决了问题，圆满地完本钱节课的教学任务。
反思整个过程，我觉得做得较为成功的有以下几个方面：1、教学设计整体化，内容生活化。
在课题的引入方面，让学生动手做、裁剪三角形。
既提问复习了全等三角形的定义，又很好的过渡到确定一个三角形需要哪些条件的问题上来。
把知识不知不觉地表达出来，学得自然新颖。
数学学习来于生活实际，学生学得轻松有趣。
2、把课堂充分地让给了学生。
我和学生做了些课前交流，临上课前我先对他们提了四个要求：认真听讲，积极考虑，大胆尝试，踊跃发言。
其实，这是一个调动学生积极性，同时也是鼓励彼此的过程。
在上课过程中，我尽量不做过多的讲解，通过引导让学生发现问题并通过动手操作、交流讨论来解决问题。
3、在难点的打破上获得了成功。
上这堂课前，我一直担忧学生在得出三角形全等的断定方法上出现理解困难。
课堂上我通过让学生动手制作一个两边长分别为6cm和8cm，并要求互相之间互相比拟发现制作的三角形形状和大小完全一样，即三角形都全等，最后同学们都不约而同地得出了三角形全等的断定方法。
但也有几处是值得考虑和在以后教学中应该改良的地方：〔1〕、在课堂上优等生急着演示、发言，后进生却成了观众和听众。
如何做到面向全体，人人学有所得，也值得我们数学老师来讨论。
〔2〕、课堂学生的操作应努力做到学生自发生成的，而不是老师说"你们比拟下三角形的形状和大小"，应换为自发地比拟更好。
〔3〕、教学细节需进一步改良，教学时应多关注学生，在学习新知后，虽然大局部的学生都掌握了，但有少数后进生仍然是不理解。
全等三角形中的探索两线段关系问题
全等三角形中的探索两线段关系问题全等三角形是八年级数学中的重点内容，对于初学几何的初二学生来说学起来相对困难，但是也是培养学生数学素养和学习数学兴趣的必修知识，更是区分智商高低两级分化的知识点.尤其是全等三角形中探索问题对于学生来说更是难上加难.但是全等三角形是中考中的重点内容，也是热点，每年必考并且多于探究有关，下面就全等三角形的探索问题解答技巧进行分析.探索两线段的关系. 两线段的关系一般情况下从两个方面考虑，一是数量关系也是大小或倍数关系，二是位置关系，位置关系一般情况下是平行和垂直两种关系，对于刚接触几何内容的同学来说总是思考不周.例1.如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC,AB两边上的高，在BE 上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD,AG，探索AD、AG 的关系。
【解析】探索两线段关系时，需要从数量关系和位置关系两个方面考虑.数量关系大多是相等关系或者是倍数关系，位置关系有平行或垂直关系.答：AD、AG的关系是：AD=AG;AD⊥AG理由如下：∵BE，CF分别是AC,AB两边上的高∴∠AFC=∠AEB=90°HGEFDC BA在Rt △ACF 中，∠AFC=90° ∠ACD+∠CAB=90° 在R t △ABE 中，∠AEB=90° ∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACD=∠ABE 在△ABD 与△GCA 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CA BD ACG ABD GC AB ∴△ABD ≌△GCA(SAS) ∴AD=AG ∠G=∠BAD∵∠AFC=90°，∴∠AFG=180°- ∠AFC=90° 在R t △AGF 中，∠AFG=90° ∴∠G+∠GAF=90°∴∠BAD+∠GAF=90°，即AD ⊥AG . ∴AD=AG AD ⊥AG小结：本题图形相对来说比较复杂，对于初二学生来说找到全等三角形比较困难，还有探索两线段关系时，学生很容易想到的是数量关系，位置关系容易忽略.在书写过程时有的同学会运用对顶角相等证明∠ACD=∠ABE.这样写也是正确的..例2.如图，点B 在线段AC 上，点E 在线段BD 上，∠ABD=∠DBC ，AB=DB ，EB=CB ，M,N 分别是AE,CD 的中点，试探索BM 和BN 的关系，并证明你的结论.【分析】规范书写过程：∵∠ABD=∠DBC ，且∠ABD+∠DBC=180° ∴∠ABD=∠DBC=90°在△ABE 与△DBC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE DBC ABE DB AB ∴△ABE ≌△DBC （SAS ） ∴AE=DC ∠BAE=∠BDC ∵M,N 分别是AE,CD 的中点 ∴AM=21AE ; DN=21DC ∴AM=DN在△ABM 与△DBN 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN AM BDN BAM DB AB ∴△ABM ≌△DBN （SAS ） ∴BM=BN ∠ABM=∠DBN ∴∠ABM+∠MBD=∠DBN+∠MBD ∴∠MBN=∠ABD=90°，∴BM ⊥BN 小结：通过测试发现容易失分的地方有两处：（1） 证明∠ABD=∠BDC=90°时，不写∠ABD+∠DBC=180°，而直接由全等三角形对应角相等得出90°（2） 在书写M,N 分别是AE,CD 的中点时，没有写出中点的定义MNE DCBAAM=21AE ; DN=21DC ：而是由中点直接得出AM=DN ，思维不严谨.练习1.如图，OE 平分∠AOB ，在OA,OB 上取OC=OD ，PM ⊥CE 于M ，PN ⊥DE 于N ，探索PM,PN 的关系。
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利用全等三角形证明线段的和差关系
证明形如a = b+c 的线段等式时，通常有如下三种方法：
1、直接证法（线段转换）：三角形或等角对等边进行证明•若题中出现或可证出两三角形
全等，则通过全等把结论中的三条线段转化到同一条直线上，这样证明线段的和差问题就转化为求证线段相等的问题.
例 1.如图，在△ ABC 中,/BAC=90 ° , AB=AC,DE 过点 A,BD 丄 DE, CE 丄DE,求
证:DE=BD+CE
例2.在厶ABC中，ZBAC=90 °,AB=AC, AE 是过点A的一条直线，且 B、C分别在AE的异
侧,BD丄AE于点D, CE丄AE于点E, a
求证:BD=DE+CE 久
2、截长补短法
一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这三条线段不在同一直线上时，一般方
法是截长法或补短法。
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，常用来证明线段之间的
和差关系•
(一)截长法：在长边上截取一条与某一短
边相同的线段，证剩下的线段与另一线段相等
(二)补短法
(1) 将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
(2) 通过旋转等方式使两短边拼合在一起.
例3、如图，在四边形 ABCD中，BC> BA,AD = CD , BD平分ABC ,
求证：A C 1800
C 例4.如图，在梯形 ABCD中，如图，A
D //BC, EA,EB分别平分/ DAB, ZCBA, CD过点E,
求证;AB = AD+BC
例5、如图，P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分/ PAD.
求证：AP=BP+DQ.
3、借助面积：利用几何图形的总面积 =各部分面积之和及三角形的面积公式求解
例6.如图，在A ABC中，已知AB=AC,P 为BC上任一点，PE丄AB于E, PF
丄AC于F. CD为AB边上的高，D是垂足•求证：PE+PF=CD.
训练题：
1. 已知△ ABC和ABED都是等边三角形,且A、E、D在一条直线上.求证:AD=BD+CD.
已知AABC 为等边三角形， D 为BC 的延长线 上一点,
CE = AC + DC
如图，在A ABC 中，AD 为/BAC 的平分线， AB=AC+CD. 求Z B :Z C 的值.
2、如图， ABC 中，AB=2AC , AD 平分 BAC ，且 AD=BD ，求证：CD 丄 AC
△ADE 也是等边三角形.求证:
5. 如图，已知在厶 ABC 中，/A=108 °,AB=AC，/
B的平分线交 AC于D，求证：AC+CD=BC
6. 已知：如图，△BDE是等边三角形，A在BE的延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC,
求证:DE + DC = AE.
7.已知Rt△ABC中，/BAC=90 °,AB=AC,点D是 AC的中点，AE丄BD于点E,AE的延长线交
BC于点F,连结DF,求证: BD = AF +DF.
如图，已知：△ ABC中,
的
延长线于点M.求证:
AD是ZA的平分线，且AB=AD , CM 丄 AD ,交 AD
AM = (AB+AC)/2。