2014高中数学 第二章 平面向量 平面向量的线性运算强化训练 新人教A版必修4
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：8 平面向量的线性运算及综合应用
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50分钟)1．(2012·苏州期中)已知向量a ＝(2，x )，b ＝(x －1,1)，若a ∥b ，则x 的值为________． 解析 由a ∥b ，得2－x (x －1)＝0，解得x ＝2或－1. 答案 2或－12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于________． 解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |， |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 43．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为________．解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案 150°4．(2013·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB→|＝________. 解析 将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4. 答案 45．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD→－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.答案 26．(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB→＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP→＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝4 3. 答案 4 37．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值是________．解析 由数量积的定义得AM →·AN →＝|AM →|·|AN→|cos ∠NAM ，当N 点与C 点重合时，|AN→|cos ∠NAM 最大，解三角形得最大值为65，所以AM →·AN→的最大值是6.8．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______． 解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5. 答案 59．(2013·南通模拟)已知a ＝(sin α，sin β)，b ＝(cos(α－β)，－1)，c ＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠k π＋π2(k ∈Z )． (1)若b ∥c ，求tan α·tan β的值； (2)求a 2＋b·c 的值．解 (1)若b ∥c ，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， ∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴tan αtan β＝－3. (2)a 2＋b·c ＝sin 2α＋sin 2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2 ＝sin 2α＋sin 2β＋cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2α－2＝1－2＝－1.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积． (1)证明 因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰(2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．(2013·苏北四市模拟)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形， 所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为 S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1. (2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310. 备课札记：。
高中数学第二章平面向量新人教A版必修4
平面向量一、选择题1．下列命题中正确的是( )( A ) 两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同( B) 若a，b是两个单位向量，则a＝ b( C) 若向量a和b共线，则向量a， b 的方向相同( D) 零向量的长度为0，方向是任意的2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )( A ) ( C) AB DCAB AD BD( B )( D )AD AB ACAD CB03．在四边形ABCD 中，CB AB BA( )(A) DB (B) CA(C) CD (D) DC4．已知a，b为非零向量，且｜a＋ b｜＝| a|＋| b|，则一定有( )( A ) a＝b ( B ) a∥b，且a，b方向相同( C) a＝－b ( D ) a∥b，且a，b方向相反5．化简下列向量： ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD(3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB，结果为零向量的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题6．对于下列命题①相反向量就是方向相反的向量②不相等的向量一定不平行③相等的向量一定共线④共线的单位向量一定相等⑤共线的两个向量一定在同一条直线上其中真命题的序号为______．3 3点A 的位置向量为 ______．8．一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成30°，则船的实际速度的大小为______ ，水流速度的大小为______．9．如图，在□ABCD中，AO a ，DO b ，用向量a， b 表示下列向量CB______AB =_____.10．已知平面内有□ABCD和点O，若OA a ，OB b，OC c ，OD d，则a－b＋c －d＝______．三、解答题11．化简：(1) AB AC BD(2) AB CD CB DA12．在单位圆中， B 是 OA 的中点， PQ 过 B 且 PQ∥Ox，MP⊥ Ox，NQ⊥ Ox，则在向量OM，ON，MP，NQ，OP，OQ，OB，OA，PQ 中．( 1) 找出相等的向量；( 2) 找出单位向量；( 3) 找出与OM共线的向量；( 4) 向量OM，ON的长度．13．已知正方形A BCD 的边长为1，若AB a ，BC b ，AC c ，求作向量a－b＋c，并求出 |a－b＋c｜．14．已知向量a， b 满足：| a|＝3，| a＋ b|＝5，| a－ b|＝5，求｜ b｜．向量的线性运算 ( 二 ) 一、选择题1．若 3( x＋ 3a) － 2( a－x) ＝0，则向量 x＝ ( ) ( A ) 2a ( B) － 2a ( C) 7a ( D ) 7 a5 52．若AB5e， CD7e且 | AD | | BC |，则四边形ABCD 是 ( ) ( A ) 平行四边形( B ) 非等腰梯形( C)菱形( D)等腰梯形3．如图所示， D 是△ ABC 的边上的中点，则向量CD 等于()(A) BC 1BA ( B ) BC1BA 2 2(C) BC 1BA (D) BC 1 BA2 2 )4．已知向量1－ 2e2，b＝－ 2e1＋ 4e2，则向量a与b满足关系 (a＝ e( A ) b＝ 2a ( B) 共线且方向相反 ( C) 共线且方向相同(D)不平行5．下列结论中正确的个数是 ( )①若｜ b|＝2｜ a｜，则 b＝±2a ②若 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c ③若 m a＝m b，则a＝b④ 0a＝0⑤若向量a与b共线，则一定存在一个实数，使得 a＝ b(A)0个(B)1个(C)2个(D)3 个二、填空题6．化简： 5( 3a－ 2b) ＋ 4( 2b－3a) ＝ ______．7．与非零向量a共线的单位向量为 ____________．8．数轴上的点 A，B，C 的坐标分别为2x，－ 2，x，且AB 3BC ，则x＝______；｜AB｜＝ ______．9．已知向量 a 与 b 方向相反，｜a｜＝6，｜ b|＝4，则 a＝______b．10．在□ ABCD 中，AB a ，AD b ，AN3NC ，M为BC的中点，则 MN____.三、解答题11．点 D 是△ ABC 边 BC 上一点，且BD 1 BC．设试AB a，AC b，用向量a，b表示3AD.12．已知向量a， b 满足求｜ a｜∶｜ b｜．11 1(a3b)(a b)(3a2b) ，求证：向量 a 与 b 共线，并52 513．已知｜a｜＝ 1，｜b｜＝ 2．若a＝b，求｜a－b｜的值．14．已知平面中不同的四点A，B，C，D 和非零向量a，b，且AB a2b，CD 5a6b，CD =7a-2b.( 1) 证明： A， B， D 三点共线；( 2) 若a与b共线，证明A， B， C，D 四点共线．向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．已知向量a＝ ( 4，2) ，向量 b＝( x，3)，且 a∥b，则x＝( )(A)9 (B)6 (C)5 (D)32．已知点 A( 0， 1) ， B( 1， 2) ， C( 3， 4) ，则AB 2BC的坐标为 ( )( A)( 3，3) ( B)( －3，－ 3) ( C)( － 3， 3) ( D)( 3，－ 3)3．已知基底 { e1，e2} ，实数 x，y 满足 ( 3x－ 4y) e1＋ ( 2x－3y) e2＝ 6e1＋ 3e2，则 x－ y 的值等于( )(A)3(B)－3(C)0(D)24．在基底 { e1，e2} 下，向量a＝e1＋ 2e2，b＝ 2e1－e2，若a∥b，则的值为()(A)0(B)－21(D)－4( C)25．设向量a＝ ( 1，－ 3) ，b＝ ( － 2，4) ，c＝ ( － 1，－ 2) ，若表示向量4a，4b－2c，2( a－c) ，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 为( )( A)( 2，6) ( B)( －2，6)( C)( 2，－ 6) ( D)( － 2，－ 6)二、填空题6．点 A( 1，－ 2) 关于点 B 的对称点为 ( － 2， 3) ，则点 B 的坐标为 ______．7．若 M( 3，－ 2) ，N( － 5，－ 1) 且MP 1 MN，则 P 点的坐标为 ______________．28．已知点 O( 0，0) ， A( 1，2) ，B( 4，5) ，点 P 满足OP OA t AB ，当点P在x轴上时，t＝ _______．9．已知□ABCD 的三个顶点A( － 1， 3) ， B( 3， 4) ，C( 2， 2) ，则顶点D的坐标为 ______．10．向量OA(k，12) ， OB (4，5) , OB (10， k) 若A、B、C三点共线，则k＝ ______．三、解答题11．已知梯形ABCD 中，AB2DC ，M，N分别是DC，AB的中点．设 AD a，AB b 选择基底 { a，b} ，求向量DC，NM在此基底下的分解式．12．已知向量a＝( 3，－2)，b＝(－2，1)， c＝( 7，－4)，( 1) 证明：向量a， b 是一组基底；( 2) 在基底 { a，b} 下，若c＝ x a＋ y b，求实数x， y 的值．13．已知向量a＝( 1，2)， b＝(－3，x)．若 m＝2a＋ b， n＝ a－3b，且 m∥ n，求实数x的值并判断此 m 时 n 与的方向相同还是相反．14．已知点O( 0，0) ， A( 1， 4) ，B( 4，－ 2) ，线段 AB 的三等分点C，D ( 点 C 靠近 A) ．OC2OD平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．若｜ a ｜＝ 4， | b ｜＝ 3，〈a ， b 〉＝ 135°，则 a 2 b ＝ ( )(A)6( B)(C)6 2 (D) 622．已知 | a ｜＝ 8， e 为单位向量，〈 a ， e 〉2π，则 a 在 e 方向上的正射影的数量为 ( )3(A)4 3(B)4(C) 43(D)－4 3．若向量 a ， b ， c 满足 a 2 b ＝ a 2 c ，则必有 ()( A ) a ＝ 0( B) b ＝ c( C) a ＝0 或 b ＝ c ( D ) a ⊥ ( b － c )4．若｜ a ｜＝ 1，｜ b ｜＝ 2，且 ( a ＋ b ) ⊥ a ，则〈 a ， b 〉＝ ()( A) 30° ( B) 60°( C) 120° (D)150°5．平面上三点 A ，B ，C ，若 | AB | 3，|BC | 4，|CA | 5，则 AB BC BC CA CA AB＝ ( )A ．25 ( B) －25(C)50(D)－50二、填空题6．已知 a 2 b ＝－ 4， a 在 b 方向上的正射影的数量为－8，则在｜ a ｜和 | b | 中，可求出具体数值的是 ______，它的值为 ______．7．已知 a ， b 均为单位向量， 〈 a ， b 〉＝ 60°，那么｜ a ＋ 3b | ＝ ______． 8．已知｜ a ｜＝ 4，｜ b | ＝ 1，| a － 2b | ＝ 4，则 cos 〈a ， b 〉＝ ______．9．下列命题中，正确命题的序号是______．( 1) ｜ a ｜ 2＝a 2；( 2) 若向量 a ， b 共线，则 a 2 b ＝｜ a ｜｜ b | ；( 3)( a 2 b ) 2＝ a 22 b 2；( 4) 若 a 2 b ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0( 5)( a －b ) 2 ( a ＋b ) ＝｜ a ｜ 2－| b | 2；10．设向量 a ， b ， c 满足 a ＋ b ＋c ＝ 0， ( a －b ) ⊥ c ， a ⊥b ．若｜ a ｜＝ 1，则 | a ｜ 2＋｜ b ｜2＋｜ c | 2的值是 ______. 三、解答题11．已知｜ a ｜＝ 5，｜ b ｜＝ 4，〈a ， b 〉π，求 ( a ＋ b ) 2 a 和｜ a ＋ b ｜．312．向量 a ， b 满足 ( a － b ) 2 ( 2a ＋ b ) ＝－ 4，且 | a | ＝ 2，｜ b ｜＝ 4，求〈 a ，b 〉．13．已知 O 为△ ABC 所在平面内一点，且满足(OB OC) (OB OA) 0 ，试判断△ ABC的形状．14．已知向量 a ， b 满足：｜ a ｜＝ 1，｜ b | ＝ 2，| a － b | ＝ 7 ．( 1) 求｜ a － 2b ｜； ( 2) 若 ( a ＋ 2b ) ⊥( k a － b ) ，求实数 k 的值．向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．已知 a ＝ ( － 4， 3) ， b ＝ ( 5，6) ，则 3a 2－4a 2 b ＝()(A)83(B)63(C)57(D)232．已知向量 a ( 3, 1) ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b3 ，则 b ＝()(A)(3, 1) (B) (1,3 ) (C) (1,3 3) ( D)( 1，0)2222443．在△ ABC 中， A( 4， 6) ， B( － 4，10) ， C( 2， 4) ，则△ ABC 是 ( )( A ) 等腰三角形( B) 锐角三角形( C) 钝角三角形( D ) 直角三角形4．已知 a ＝ ( 0， 1) ，b ＝ ( 1，1) ，且〈 aπ的值为( )b ,a 〉，则实数2(A)－1(B)0(C)1(D)25．已知 a ＝ ( 1， 2) ，b ＝ ( － 2，－ 4) ， | c |5 ，若 (ab )c 5 )，则〈 a ， c 〉＝ (2( A) 30°( B) 60°( C) 120°(D)150°二、填空题，b 〉＝．若a ＋ ＝ ( － ，－1) ， － ＝，－ ，则＝，〈 a ______ ．6 b 2 a b ( 4 3) a 2 b ______7．向量 a ＝ ( 5， 2) 在向量 b ＝( － 2， 1) 方向上的正射影的数量为 ______． 8．在△ ABC 中， A( 1， 0) ， B( 3， 1) ， C( 2， 0) 则∠ BCA ＝ ____________． 9．若向量 a 与 b ＝ ( 1， 2) 共线，且满足 a 2 b ＝－ 10，则 a ＝ ______．10．已知点 A( 0，3) ，B( 1，4) ，将有向线段 AB 绕点 A 旋转角π到 AC 的位置，则点C 的2坐标为 ______. 三、解答题11．已知 a ＝ ( － 3，2) ，b ＝ ( 1，2) ，求值： | a ＋ 2b ｜，( 2a － b ) 2 ( a ＋b ) ，cos 〈a ＋ b ，a － b 〉．12．若 |a |2 13 , b ＝ ( － 2， 3) ，且 a ⊥ b ，求向量 a 的坐标．13．直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 0，1) 和点 B( －3， 4) ，OC 为△ AOB 的内角平分线，且OC 与 AB 交于点 C ，求点 C 的坐标．14．已知 k Z ，AB ( k ，1)，AC ( 2，4)，| AB | 4 ，且△ ABC 为直角三角形， 求实数 k 的值．用心爱心专心测试十二向量的应用Ⅰ学习目标1．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量的方法解决物理中简单的力学和速度问题；能将物理问题转化为数学问题，同时会用建立起来的数学模型解释相关的物理问题．Ⅱ基础性训练一、选择题1．作用于原点的两个力f1＝( 1，1)， f2＝( 2，3)，为使它们平衡，需要增加力f3，则力 f3 的大小为 ( )( A)( 3，4) ( B)( －3，－ 4)( C) 5 (D)252．在水流速度为自西向东，10 km / h 的河中，如果要使船以10 3 km/ h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小和方向( )( A ) 北偏西 30°， 20 km/ h( B ) 北偏西 60°， 20 km / h( C) 北偏东 30°， 20 km/ h( D ) 北偏东 60°， 20 km / h3．若平行四边形ABCD 满足| AB AD | | AB AD |，则平行四边形ABCD 一定是 ( )(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形4．已知□ABCD 对角线的交点为O，P 为平面上任意一点，且PO =a，则PA PB PC PD ＝ ( )( A ) 2a ( B) 4a ( C) 6a ( D ) 8a5．已知非零向量AB与 AC满足(AB AC)BC 0且 AB.AC 1|AB | |AC | |AB| |AC| 2，则△ ABC为 ( )( A ) 三边均不相等的三角形( B ) 直角三角形( C) 等腰非等边三角形( D ) 等边三角形二、填空题6．自 50 m 高处以水平速度10 m/ s 平抛出一物体，不考虑空气阻力，则该物2s 时的速度的大小为 ______，与竖直向下的方向成角为，则tan＝______( g＝10 m/ s2)．7．夹角为 120°的两个力f1和 f2作用于同一点，且｜ f 1|＝｜ f2｜＝m( m＞0)，则 f1和 f2的合力 f 的大小为______， f 与 f2的夹角为____________．8．正方形ABCD 中， E，F 分别为边DC ， BC 的中点，则cos∠ EAF ＝ ____________．9．在△ ABC 中，有命题：①AB AC BC ；②若 ( AB AC) ( AB A C )0 ，则△ABC 为等腰三角形；③AB BC CA=0；④若 AB BC 0 ，则为△ABC锐角三角形．上述命题中正确的是____________( 填上你认为正确的所有序号)三、解答题10．水平电线AB 对竖直电杆BD 的拉力为300 N，斜拉索BC 的拉力为600 N，此时电杆恰好不偏斜，求斜拉索与地面成角的大小以及由此引起的电杆对地面的压力( 电杆自重不计)．11．某运动员在风速为东偏北60°， 2 m/ s 的情况下正在以 10 m/ s 的速度向东跑．若风停止，运动员用力不变的情况下，求该运动员跑步速度的大小和方向．12．对于平行四边形ABCD ，点 M 是 AB 的中点，点N 在 BD 上，且BN 1 BD．用向量3的方法证明：M， N， C 三点共线．Ⅲ拓展性训练13．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，且 CA＝ CB， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上一点，且AE＝2EB．求证： AD ⊥ CE．14．如图，已知点A( 4， 0) ， B( 4，4) ， C( 2， 6) ，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．测试十三平面向量全章综合练习一、选择题1．向量( AB MB) (BO CB) OM 化简后等于( )(A) AC (B) BC ( C) AB (D) AM2．点 A 的坐标为 ( 1，－ 3) ，向量AB的坐标为 ( 3，7) ，则点 B 的坐标为 ( ) ( A)( 4，4) ( B)( －2，4) ( C)( 2， 10) ( D)( －2，－ 10)3．已知向量a＝ ( －2， 4) ，b＝ ( － 1，－ 2) ， c＝( 2，3)，则( a＋ b) 2 ( a－ c)的值为( )(A)10 (B)14 ( C) －10 (D)－144．已知向量a＝ ( 2，t) ，b＝ ( 1， 2) ．若 t＝ t1时，a∥b； t＝ t 2时，a⊥b，则 ( ) ( A ) t1＝－ 4， t2＝－ 1 ( B ) t1＝－ 4， t2＝ 1( C) t1＝ 4， t2＝－ 1 ( D ) t1＝ 4， t2＝ 15．若点 O 是△ ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点O是△ABC 的 ( )( A ) 三个内角的角分线的交点( B ) 三条边的垂直平分线的交点( C) 三条中线的交点( D ) 三条高线的交点二、填空题6．河水的流速为 2 m/ s，一只小船想要以垂直于河岸方向10 m/ s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度的大小应为______________．7．数轴上的点A，B，点 A 的坐标为－ 3，且向量AB的长度为5，则点 B 的坐标为 ______．8．已知p＝ ( － 2， 2) ，q＝ ( 1，3) ，则p在q方向上的正射影的数量为______．9．已知向量a＝( 2，3)， b＝(－1，2)，若( a＋b)⊥( a＋ b)，则实数＝______．10．给出下列命题：①a b b; a2a②｜ a|－｜ b|＜｜ a－ b｜；③ |a2b|＝|a｜｜b|；④ ( b2 c) a－ ( c2 a) b与c垂直；⑤已知 a，b 是非零向量，若| a＋ b|＝｜ a－ b｜，则a⊥ b；a2＝ b2．⑥已知 a， b 是两个单位向量，则所有正确的命题的序号为____________ ．三、解答题11．已知点A( － 2， 1) ， B( 1，3) ．求线段 AB 中点 M 和三等分点P， Q 的坐标．12．已知 | a｜＝ 2， | b｜＝ 4，〈a，b〉2π．求｜a－b｜和〈a，a－b〉的余弦值．313．已知向量a＝( 1，2)， b＝( x，1)．( 1) 求与 a 垂直的单位向量的坐标；( 2) 求｜ b－2a｜的最小值以及此时 b 的坐标；( 3) 当 x 为何值，a＋ 2b与b－ 2a平行，并确定它们此时是同向还是反向．14．如图，以原点O 和 A( 5，2) 为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠ B＝ 90°．求点 B 的坐标和 AB 的坐标．参考答案第二章平面向量测试七向量的线性运算 ( 一 )一、选择题1．D 2．C 3．C 4．B 5．C二、填空题6．③7．“东偏北 60°， 6 km”或“北偏东30°， 6 km ” 8． 10 km / h 5 3 km/ h9．b－a；a＋b10．0三、解答题11．解： ( 1) CD；( 2) 原式＝(AB BC CD) DA AD DA ＝0．12．解： ( 1) MP NQ OB ；( 2) OP,OQ,OA；( 3) ON,PQ ；( 4)|OM | | ON | 3 213．解：AB a, BC b, AC c ，所以DB a b，BE AC c, DE DB BE a b c ，｜ a－ b＋ c｜＝2．14．解：设AB a, AD b ，做□ABCD．则 AC a b, DB a b ，可得 AC BD 5 ，所以□ABCD为矩形，|b | | AD | 52 32＝4．测试八 向量的线性运算 ( 二 )一、选择题1．D 2．D 3．A 4． B 5． A二、填空题6． 3a － 2b 7．a 8．－ 4； 6 9． a 3b 10． 1 b 1a| a |244三、解答题11．答： AD2 a 1b .33712．略解：化简得 9a ＝ 7b ，即 ab ，所以 a ∥ b ；｜ a ｜∶｜ b ｜＝ 7∶ 9．91，λ＝ 113．略解：由题意，得｜ a ｜＝｜ λ｜｜ b ｜，∴ ｜ λ｜＝，22｜ a － b ｜＝｜ λ－ 1｜｜ b ｜＝ 2｜ λ－ 1｜＝ 1 或 3．14． (1) 证明：∵ BDCD CB 2a 4b ，∴ BD 2 AB ，∴ AB // BD ，因为二者均经过点 B ，所以 A ， B ， C 三点共线． (2)证明：∵ a 与 b 共线，设 a ＝ λb ，∴ BD ( 2 4)b , CD (7 2)b∵CD0, BD 0 ∴7λ－ 2≠0， 2λ＋ 4≠0．∴ BD 24CD ，7 2∴ BD // CD ，所以 B ， C ， D 三点共线，又 A ，B ， D 三点共线．所以 A ， B ，C ， D 四点共线．测试九 向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．B 2． B 3．A 4．D 5．D 二、填空题6．( 1,1)7．( 1, 3) 8． t2 9．( －2，1) 10．－ 2 或 112 223三、解答题11．答： DC1b ; NM a1b ．2412． ( 1) 证明：∵32 ，∴ a 与 b 不平行，所以向量 a ， b 是一组基底．213x 2 y 7,x 1, ( 2) 略解： ( 7，－ 4) ＝ x( 3，－ 2) ＋ y( － 2， 1) ，y4,所以2.2x y13．略解： m ＝( － 1， 4＋x) ， n ＝( 10， 2－ 3x) ，因为 m ∥ n ，所以－ ( 2－ 3x) － 10( 4＋ x) ＝0， x ＝－ 6，此时 m ＝ ( － 1，－ 2) ， n ＝ ( 10， 20) ，有 n ＝－ 10m ，所以 m 与 n 方向相反．14．略解： ( 1) OC OA AC OA 1(1,4)1(2,2) ．AB (3, 6)3 3OD OA AD OA 2AB (1,4)2(3, 6) (3,0) ．3 3( 2) OC 2OD ( 2,2) 2(3,0) (8,2) ．OE OB OC 2OD ( 4, 2) (8,2) (12,0) ．测试十平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．D 2．D 3．D 4．C 5．B二、填空题6．｜b｜； 1 7．13 8．19．①⑤10． 42 4提示：10．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b，又 ( a－b) ⊥c，∴ (a－b) 2 (－a－b)＝0，2 2∴－｜ a｜－ a2 b＋a2 b＋｜ b｜＝0，∴｜b｜＝｜a｜＝1．又 c＝－ a－ b，222 2 ∴｜ c｜＝｜－ a－ b｜＝(－ a－ b) 2 (－ a－ b)＝｜ a｜＋2a2 b＋｜ b｜＝2．另外，可以结合图示，分析解决问题．三、解答题11．解：a2 b＝ 10， ( a＋b) 2 a＝a2＋a2 b＝ 35，|a b | ( a b) 2 a 2 2a b b2 61 .12．解：由题意得2a 2－a2 b－b2＝－ 4，所以 2a2－a2 b－b2＝－ 4，得a2 b＝－4，cos 〈a，b〉 a b 1, 〈a，b〉＝120°| a || b | 213．略解：因为(OB OC) (OB OA) 0 ，所以CB AB=0，从而CB AB ，△ABC 为直角三角形．14．略解： ( 1) ｜a－b｜2＝a2－ 2ab＋b2＝ 7，所以a2 b＝－ 1，｜ a－2b｜2＝ a2－4ab＋4b2＝21，即|a2b | 21．( 2) 由已知得 ( a＋ 2b) 2 ( k a－b) ＝ 0，即 k a2－ab＋ 2k ab－ 2b2＝ 0，得 k＝－ 7．测试十一向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．A 2．B 3．D 4．A 5．C提示：5．设c＝ ( x，y) ，由 | c | 5 ，得x2＋y2＝5,,①，由 ( a b ) c55 5，得 ( 1, 2) ( x, y)，∴ x 2 y,, ②222由①②解得 c( 1 3, 13) ，或 c ( 1 3, 13) ．22 2213) 时， cos 〈a c5 1 ， 当c (3, 1， 〉222a c5 52|a || c |∴〈 a ，c 〉＝ 120°，另一种情况，计算结果相同．二、填空题6．－ 5； 135° 7． 8 510． ( － 1，4) 或 ( 1，2)58．135° 9． ( － 2，－ 4)提示：10．设 C( x ， y) ，则 AB(1,1), AC ( x, y 3) ，由 AC ⊥ AB 得， AB AC 0 ，即 x ＋ y － 3＝ 0,, ①又 | AB | AC ， ∴ 2＝ x 2＋ ( y － 3) 2,, ②． 结合①②，解得，x 1,x 1y 或y 4 ∴ C( 1， 2) 或 C( －1，4) ．2,三、解答题11．答： |a 2b |37 ；( 2a － b ) 2 ( a ＋ b ) ＝22； cos a b , ab 55.12．解：设 a ＝ ( x ，y) ，则2x 3 y 0 x 6 x6 x2y252，解得：y 4 或，所以 a ＝( 6，4) 或y 4a ＝ ( －6，－ 4) ．13．解：设 C( x ， y) ，则 OC( x, y) ，由已知可得： 〈 OA,OC 〉＝〈 OB, OC 〉AC // ABx y 113 则，所以，解得OC OCOB OC 3 4 x, y，2yxy2|OA ||OB|55所以 C( 1, 3)．2 214．解：由 | AB |4 得 k 2≤ 15，∵ k ∈ Z ，∴ k ＝－ 3，－ 2，－ 1， 0， 1， 2，3，·2k 4 0 所以 k ＝－ 2；当 A ＝ 90°时， AB ACAB ·BC 0，BC （2 - k ，3）当 C＝ 90°时，，所以 2( 2－ k) ＋12＝ 0， k＝ 8( 舍 ) ．AC·BC 0，BC （2 - k，3）综上 k＝－ 1 或－ 2 或 3．测试十二向量的应用一、选择题1．C2．A3．B4．B5．D提示：ABm, AC5．设n ，则｜m｜＝｜n｜＝1，|AB| |AC|由已知 (m n) BC 0 ．∴ m BC n BC，∴ m BC cos(x B)n BC cos C ∴c osB＝ c osC，又B、C∈( 0，)∴B＝ C．又由已知 m n 1，2∴ m n cos A 1 2∴ cos A 1，又（0，π）2∴A＝ 60°∴△ ABC 为等边三角形．二、填空题18．46. 10 5m/s;7． m， 60°，9．②③2 5三、解答题10．答：＝ 60°；300 3N．11．解：如图，建立平面直角坐标系，作□ABCD，设|OC | 2,| OB | 10，则C( 1，3 )，B( 10， 0) ，CB (9, 3)，得 |CB| 2 21 9.17m/s，tan AOB3．9由计算器计算得∠ AOB≈ 10. 89°．该运动员跑步速度的大小为9. 17 m/ s，方向为东偏南约10. 89°．MN // MC量，再证明二者具有关系 MN MC 即可．设AB e 1 ， AD e 2 ，则 BDe 1 e 2 ， BN1e 1 1e 2 ．3 3MC1e 1 e 2 ， MN MB BN 1e 1 ( 1e 11e 2 ) 1 e 1 1e 2 ．22 33 6 3所以 MN1MC ，所以 M ， N ，C 三点共线．313．证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a ，AD CE( AC CD) (CA AE) AC CA AC AECD CA CD AE|AC|2| AC || AE | cos45 0 |CD || AE |cos45a 22 a 21 a 20 所以 AD ⊥ CE ．33或以点 C 为原点， CA ， CB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则 A( a ， 0) ， D (0, 1 a), E(1 a, 2a), AD ( a, 1 a), CE ( 1 a, 2a),23 3233可得出 AD CE1 a2 1 a 20 ，所以 AD ⊥CE ．3 314．解：设 P( x ， y) ，则 OP (x, y) ， OB ＝ ( 4， 4) ，由 OP,OB ，共线得 4x －4y ＝ 0，,, ①，AP ( x 4, y) ， AC ＝ ( － 2， 6) ，由 AP, AC 共线得 6( x － 4) － y( － 2) ＝0,, ②，由①②解得， P( 3， 3) ．测试十三 平面向量全章综合练习一、选择题 1．A2．A3．B4．C5．D二、填空题6． 2 26m/s7．－8 或 2 2 109．1710．④⑤⑥8．59三、解答题11．解： ABOB OA (3,2) ，OM1(OB OA) ( 1,2),所以 M (1,2)，2 22OPOA1AB (1, 5) ，所以 p( 1, 5), OQ OA 2AB (0, 7) ，3 3 33 3 7所以 Q(0, ) ．2 7 ， cos 〈 a ， a -b 〉2712．答：｜ a -b ｜7.13．略解： ( 1) 设单位向量为 e ＝ k( － 2， 1) ＝ ( － 2k ， k) ，因为 | e | ＝ 1，得 k55，2 5 52 5 5e (5 , 5 ) 或 e ( 5 , 5 ) ．(2)|b 2 | ( x 2) 29 ，当 x ＝ 2 时， | b － 2a ｜最小值为 3，此时 b ＝ ( 2，1) ．a ( 3) x 1 ，反向．214．解：设 B( x ， y) ，则 AB( x 5, y 2), OBAB OB 0(x, y) ，由已知得，| AB| |OB|x( x5) y( y 2) 0x 3x2 7所以，解得 2 或 2 ，x2y2( x 5)21( y 2)2y 1 7 y 2 32 2 所以 B(3,7)或 B(7,3)，AB ( 3, 1)或 AB ( 7,3)，222 22 22 2用心 爱心 专心。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
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2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
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A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
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(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
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4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
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2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
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3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。
£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。
2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用 》理 新人教A版
第三节平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]年会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其[归纳²知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a²b.即a²b＝|a||b|cos θ，规定0²a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a²b＝b²a(2)(λa)²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．(1)a²b＝a²c，则b＝c吗？(2)(a²b)c＝a(b²c)吗？提示：(1)不一定，a ＝0时不成立，另外a ≠0时，a ²b ＝a ²c .由数量积概念可知b 与c 不能确定； (2)(a ²b )c ＝a (b ²c )不一定相等．(a ²b )c 是c 方向上的向量，而a (b ²c )是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a ²b ＝－10，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.23π C.π6D.56π 解析：选B 设a 与b 的夹角为θ，则a ²b ＝|a ||b |cos θ＝5³4cos θ＝－10，即cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝23π.2．(教材习题改编)等边三角形ABC 的边长为1，BC ＝a ，CA ＝b ，AB＝c ，那么a ²b＋b ²c ＋c ²a 等于( )A ．3B ．－3 C.32D ．－32解析：选D 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 与b 的夹角为120°，b 与c 的夹角为120°，c 与a 的夹角也为120°.故a ²b ＋b ²c ＋c ²a ＝－32.3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ²b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5D.7解析：选B |a ＋2b |＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ²b ＋4|b |2＝1－2＋4＝ 3.4．(教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________.解析：∵(a ＋k b )⊥(a －k b )， ∴(a ＋k b )²(a －k b )＝0， 即|a |2－k 2|b |2＝0.又∵|a |＝3，|b |＝4，∴k 2＝916，即k ＝±34.答案：±345．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝________. 解析：由题意可得8a －b ＝(6,3)，又(8a －b )²c ＝30，c ＝(3，x )，则18＋3x ＝30，解得x ＝4.答案：4[例1] (1)(2012²天津高考)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ²CP ＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222(2)(2012²上海高考)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM||BC |＝|CN ||CD |，则AM ²AN 的取值范围是________． [自主解答] (1)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP ＝λAB，得P (2λ，0)，由AQ ＝(1－λ) AC ，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ ²CP＝(－λ－1，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)²(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.(2)建立平面直角坐标系，如图．则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.令BM BC ＝CN CD＝λ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32.∴AM ²AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴AM ²AN∈[2,5]．[答案] (1)A (2)[2,5] ——————————————————— 平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ²b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用： ①(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2； ②(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2.1.(2012²江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ²AF ＝2，则AE ²BF的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ²AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ²BF＝(2，1)²(1－2，2)＝ 2.答案： 2[例2] 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[自主解答] (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，解得a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12， 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝13，∴|a ＋b |＝13. |a －b |2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.本例条件不变，若AB＝a ，BC ＝b ，试求△ABC 的面积．解：∵AB 与BC 的夹角θ＝23π，∴∠ABC ＝π－23π＝13π.又|AB|＝|a |＝4，|BC |＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB ||BC |sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.———————————————————1．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ²a ＝|a |2或|a |＝a ²a .(2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ²b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 2．求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ²b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a ²b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．(2)利用坐标公式，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21²x 22＋y 22. (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解．2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角．解：(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α²(α－2β)＝α2－2α²β＝1－2α²β＝0. ∴α²β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α²β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )²a ＝a 2＋a ²b ＋a ²c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2a ²c ＋2b ²c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ， 则cos θ＝a ＋b ＋c ²a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.[例3] 已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|a ＋b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．[自主解答] (1)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝16＋2³4³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋64＝48，故|a ＋b |＝4 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )²(k a －b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a ²b －2b 2＝16k －16(2k －1)－2³64＝0，解得k ＝－7. 即k ＝－7时，两向量垂直． ——————————————————— 两向量垂直的判断方法及应用(1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ²b ＝0；若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．3．在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值．解：(1)当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ²AC＝0.∴2³1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ²BC＝2³(－1)＋3³(k －3)＝0，解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC，∴1³(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.综上可得k 的值为－23或113或3±132.[例4] 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . [自主解答] (1)由a 与b －2c 垂直，a ²(b －2c )＝a ²b －2a ²c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4si n β)|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32， 所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α²4cos β－sin αsin β＝0， 所以a ∥b . ———————————————————平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．4．在△ABC 中，已知2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |＝3|BC |2，求角A ，B ，C 的大小．解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∵由2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝32， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由3|AB |²|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，由正弦定理得sin C ²sin B ＝3sin 2A ＝34， ∴sin C ²sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，即sin C ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，∴2sin C ²cos C ＋23sin 2C ＝3， ∴sin 2C －3cos 2C ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0，由A ＝π6知0<C <5π6，∴－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.3个防范——与向量夹角有关的易误点 (1)若a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0°； (2)若a ²b <0，则a 与b 的夹角为钝角或180°；(3)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如等边△ABC 中，AB 与BC的夹角应为120°而不是60°.4个区别——向量运算与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ²b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ²b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |²|b |，但对于向量a ，b 却有|a ²b |≤|a |²|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ²b |＝|a |²|b |²|cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ²b ＝a ²c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ²b )²c 不一定等于a ²(b ²c )，这是由于(a ²b )²c 表示一个与c 共线的向量，而a ²(b ²c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线.创新交汇——平面向量与其他知识的交汇1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[典例] (2012²广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1 D.12[解析] a ∘b ＝a ²b b 2＝|a ||b ||b |2cos θ＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝|b ||a |²cos θ，因为|a |>0，|b |>0,0<cos θ<22，且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以|a ||b |cos θ＝n 2，|b ||a |cos θ＝m2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ²n 4＝cos 2θ，因为0<cos θ<22，所以0<cos 2θ<12，得到0<m ²n <2，故m ＝n ＝1，即a ∘b ＝12.[答案] D [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题属新定义问题，命题背景新颖；(2)考查知识新颖，本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起，较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力．2．解决本题的关键有以下几点(1)读懂、读透题目中所给的新定义α∘β＝α²ββ²β的意义．(2)理解a ∘b 与b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中的实际意义是|a ||b |cos θ与|b ||a |cos θ都能表示成n2(n ∈Z )的形式．(3)善于转化，通过两式相乘，将问题转化为0<cos 2θ<12，即0<m ²n <2成立，从而求得结论．[变式训练]1．已知向量OZ 与1OZ 关于x 轴对称，j ＝(0,1)，则满足不等式OZ 2＋j ²1ZZ ≤0的点Z (x ，y )的集合用阴影表示为( )解析：选C 依题意得，动点Z 的坐标满足：(x 2＋y 2)＋(0,1)²(0，－2y )＝x 2＋y 2－2y ≤0，即x 2＋(y －1)2≤1，易知该不等式表示的平面区域是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆及其内部．2．已知平面内的向量OA ，OB 满足：|OA |＝|OB |＝2，OA 与OB 的夹角为π2，又OP ＝λ1OA ＋λ2OB,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2，则点P 的集合所表示的图形的面积是( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B 如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，则由OP ＝λ1OA ＋λ2OB，得(x ，y )＝λ1(2,0)＋λ2(0,2)＝(2λ1,2λ2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ1，y ＝2λ2.又因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，2≤y ≤4.所以点P的集合为{(x ，y )|0≤x ≤2,2≤y ≤4}，它表示正方形区域(如图中阴影部分所示)，所以点P 的集合所表示的图形的面积为2³2＝4.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²重庆高考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b ，可得a ²b ＝0，即x －2＝0，得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.2．(2012²湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π4.3．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD|＝1，则AC ²AD＝( )A ．2 3B.32C ．－32D. 3解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC＝(x C －x B ，y C )， BD＝(－x B,1)， ∵BC ＝3BD，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)²x B ，y C ＝3，AC ＝((1－3)x B ，3)，AD＝(0,1)，AC ²AD ＝ 3.4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ²b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的射影的数量是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A 设a 与b 的夹角为θ，∵a ²b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的射影的数量的乘积，而cos θ＝a ²b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4. 5．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ²PB的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：选 D 设∠APB ＝2θ，|PO |＝x ，则PA ²PB ＝|PA |²|PB|²cos 2θ＝|PA |2cos 2θ＝(|PO |2－1)²(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)²⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2即x ＝42时取等号．6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a²b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π3，2π3解析：选C f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ²b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a²b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a²b ＞0⇒cos 〈a ，b 〉＜12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a ＋b 与k a －b 垂直， ∴(a ＋b )²(k a －b )＝0，化简得(k －1)(a ²b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ²b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：18．(2012²北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ²CB的值为________；DE ²DC的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ²CB ＝(λAB －AD )²(－AD)＝－λAB ²AD ＋AD 2＝－λ³0＋1＝1.又DC ＝AB ，所以DE ²DC ＝λAB－AD )²AB ＝λAB 2－AD ²AB＝λ³1－0＝λ≤1，即DE ²DC的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E 点坐标为(t ,0)(0≤t ≤1)可得DE ²CB＝(t , －1) ²(0, －1)＝1, DE ²DC＝(t , －1) ²(1, 0)＝t ≤1故DE ²CB ＝1，DE ²DC的最大值为1.答案：1 19．(2012²湖南高考)如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ²AC＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ²AC ＝AP ²2AO ＝2AP 2＋2AP ²PO＝2³32＋0＝18.答案：18三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ²(a ＋λb )>0，即(1,2)²(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ>－53且λ≠0.11．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |²|AC |²sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ²q ≤p ＋q2，∴p ²q ≤3. ∴p ²q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132³9＝18932.12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)．设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为α＝π4，所以b ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，a ²b ＝322， 则|m |＝a ＋t b 2＝5＋t 2＋2t a ²b＝ t 2＋32t ＋5＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)存在满足题意的实数t ， 由条件得cos π4＝a －b ²a ＋t b |a －b ||a ＋t b |，又因为|a －b |＝a －b 2＝6，|a ＋t b |＝a ＋t b 2＝5＋t 2，(a －b )²(a ＋t b )＝5－t ， 则有5－t 6³5＋t2＝22，且t <5， 整理得t 2＋5t －5＝0，所以存在t ＝－5±352满足条件．1．下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ²c |＝|b ²c |； ③a ，b 共线⇔a ²b ＝|a ||b |； ④|a ||b |<a ²b ； ⑤a ²a ²a ＝|a |3； ⑥a 2＋b 2≥2a ²b ；⑦非零向量a ，b 满足a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量． 其中正确的是________．解析：由于a 2≥0，b 2≥0，所以，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ²c ＝－b ²c ，所以|a ²c |＝|b ²c |，②正确；a ，b 共线⇔a ²b ＝±|a ||b |，所以③错；对于④，应有|a ||b |≥a ²b ，所以④错； 对于⑤，应该是a ²a ²a ＝|a |2a ，所以⑤错；a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ²b ，故⑥正确；当a 与b 的夹角为0°时，也有a ²b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． 答案：①②⑥2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定解析：选B 由(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，得[(DB －DA )＋(DC －DA )]²(AB －AC)＝0，所以(AB ＋AC )²(AB －AC)＝0.所以|AB |2－|AC |2＝0，故|AB|＝|AC |，故△ABC 是等腰三角形．3．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC |＝|BC|，求角α的值；(2)若AC ²BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)， BC＝(cos α，sin α－3)， ∴AC 2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC 2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC |＝|BC |，可得AC 2＝BC 2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC ²BC＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α，由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.4．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ²PF的最值．解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1. 所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ²PF的最大值为19；PE ²PF的最小值为12－4 3.。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：8 平面向量的线性运算及综合应用
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50分钟)1．(2012·苏州期中)已知向量a ＝(2，x )，b ＝(x －1,1)，若a ∥b ，则x 的值为________． 解析 由a ∥b ，得2－x (x －1)＝0，解得x ＝2或－1. 答案 2或－12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于________． 解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |， |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 43．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为________．解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案 150°4．(2013·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB→|＝________. 解析 将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4. 答案 45．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD→－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.答案 26．(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB→＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP→＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝4 3. 答案 4 37．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值是________．解析 由数量积的定义得AM →·AN →＝|AM →|·|AN→|cos ∠NAM ，当N 点与C 点重合时，|AN→|cos ∠NAM 最大，解三角形得最大值为65，所以AM →·AN→的最大值是6.8．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______． 解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5. 答案 59．(2013·南通模拟)已知a ＝(sin α，sin β)，b ＝(cos(α－β)，－1)，c ＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠k π＋π2(k ∈Z )． (1)若b ∥c ，求tan α·tan β的值； (2)求a 2＋b·c 的值．解 (1)若b ∥c ，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， ∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴tan αtan β＝－3. (2)a 2＋b·c ＝sin 2α＋sin 2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2 ＝sin 2α＋sin 2β＋cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2α－2＝1－2＝－1.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积． (1)证明 因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰(2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．(2013·苏北四市模拟)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形， 所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为 S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1. (2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310. 备课札记：。
人教版高二必修四数学第二章平面向量试题
以下是为⼤家整理的关于《⼈教版⾼⼆必修四数学第⼆章平⾯向量试题》的⽂章，供⼤家学习参考！第四部分练习与试卷2.1 平⾯向量的概念及其线性运算（练习）【练习⽬标】1、理解平⾯向量和向量相等的含义，理解向量的⼏何表⽰；2、掌握向量加、减法的运算，并理解其⼏何意义；3、掌握向量数乘的运算，并理解其⼏何意义，以及两个向量共线的含义；4、了解向量线性运算的性质及其⼏何意义。
【⾃我测试】1、下列命题中（1）与⽅向相同（2）与⽅向相反（3）与有相等的模（4）若与垂直其中真命题的个数是 ( )A、0B、1C、2D、32、已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线，且，，则为 ( )A、 B、 C、 D、3、O是平⾯上⼀定点，A、B、C是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜，则P的轨迹⼀定经过 ABC的( )A、外⼼B、内⼼C、垂⼼D、重⼼4、若⾮零向量、满⾜| + |=| — |，则与所成⾓的⼤⼩为_________________。
5、已知点M是 ABC的重⼼，若，求的值。
6、 ABC的外接圆的圆⼼为O，两条边上的⾼的交点为H，，求实数的值。
2.2 平⾯向量的坐标运算【练习⽬标】1、知识与技能：了解平⾯向量的基本定理及其意义、掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰；理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件。
2、能⼒⽬标：会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算；3、情感⽬标：通过对平⾯向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学⽣的转化能⼒。
【⾃我测试】1、下列命题正确的是（）A、 B、C、 D、2、已知正⽅形ABCD的边长为1，，则 = （）A、0B、3C、D、3、已知，则共线的条件是（）A、 B、 C、 D、或4、如图，在中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则（）A、 B、 C、 D、5、若，则实数p、q的值为（）A、 B、 C、 D、6、已知A、B、C是坐标平⾯上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则是（）A、等腰三⾓形B、等腰直⾓三⾓形C、直⾓三⾓形D、以上都不对2.3 平⾯向量的数量积及其运算【学习⽬标】1．知识与技能：（1）理解向量数量积的定义与性质；（2）理解⼀个向量在另⼀个向量上的投影的定义；（3）掌握向量数量积的运算律；（4）理解两个向量的夹⾓定义；【⾃我测试】1、已知，，和的夹⾓为，则为（）A． B． C． D．2、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3、在△ABC中，a,b,c分别为三个内⾓A,B,C所对的边，设向量，若 ,则⾓A的⼤⼩为（）A. B. C. D.4、设是任意的⾮零平⾯向量，且它们相互不共线，下列命题：①②③不与垂直④其中正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④5、若向量与的夹⾓为，，则向量的模为（）A. B. C. D.6、为锐⾓三⾓形的充要条件是（）A． B．C． D．7、设是两个⾮零向量，是在的⽅向上的投影，⽽是在的⽅向上的投影，若与的夹⾓为钝⾓，则（）A． B． C． D．8、在中，若且，则的形状是（）A．等边三⾓形 B．直⾓三⾓形 C．等腰⾮等边三⾓形 D．三边均不相等的三⾓形9、若，则与的夹⾓为； = ．10、已知， ,如果与的夹⾓为锐⾓,则的取值范围是11、 = 时，与垂直12、设向量其中，则的值是．13、已知向量与的夹⾓为，，则 = ．14、已知，⑴求与的夹⾓；⑵求；⑶若，，求的⾯积．15、已知向量且．⑴求及；⑵若的最⼩值是，求的值．2.4平⾯向量的应⽤【学习⽬标】1.经历⽤向量⽅法解决某些简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题的过程，体会向量是⼀种处理⼏何问题、物理问题等的⼯具，发展运算能⼒2.运⽤向量的有关知识对物理中的问题进⾏相关分析和计算，并在这个过程中培养学⽣探究问题和解决问题的能⼒1．在△ABC中，AB=a，AC=b，当a•b ＜0时，△ABC为（）Ａ．直⾓三⾓形Ｂ．锐⾓三⾓形Ｃ．钝⾓三⾓形Ｄ．等腰三⾓形2．若向量a、b、c满⾜a +b+c=0，|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a b+b c+c a等于（）Ａ． 11 Ｂ． 12 Ｃ． 13 Ｄ． 143．已知点，则∠BAC 的余弦值为．4．已知，且a 与b的夹⾓为钝⾓，则x的取值范围是．5．的顶点为，重⼼．求：（1）边上的中线长；（2）边上的⾼的长．6．已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．7．已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．8、已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．9、已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．平⾯向量测试卷命题⼈：蓝承⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题4分，共32分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、设向量，，则下列结论中正确的是（）A、 B、C、与垂直D、∥2、在平⾏四边形ABCD中，AC为⼀条对⾓线，若， ,则（）A．（3，5） B．（2，4） C、（－2，－4） D．（－3，－5）3、义平⾯向量之间的⼀种运算“ ”如下，对任意的，，令，下⾯说法错误的是（）A.若与共线，则B.C.对任意的，有D.4、已知向量a,b满⾜a•b＝0，|a|=1，|b|=2，则|2a－b|＝（）A、8B、4C、2D、05、在中，，．若点满⾜，则（）A． B． C． D．6、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（）A、8B、4C、 2D、17、中，点在上，平⽅．若，，，，则（）A、 B、 C、 D 、8、已知和点满⾜ .若存在实数使得成⽴，则 =（）A． 2 B. 3 C. 4 D. 5⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．9、如图，在中，，，则 = 。