数形结合思想在解题中的应用外文文献翻译
【论文】数形结合思想在解题中的应用毕业论文
【关键字】论文数形结合思想在解题中的应用张上兰湛江师范学院数学与计算科学学院广东湛江524048摘要：本文揭示了初中数学中的有理数、一次函数、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式它们在图象上达到高度的统一，构建了数学的和谐美，充分显示了数形结合思想在解题中的魅力. 数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将枯燥的知识趣味化，把算理变明晰，把学生头脑中模糊的概念变清晰，把复杂的问题变得更加简单，经抽象的知识变得直观. 这样不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效，从而让学生体会到数学教学充满乐趣.关键词：数形结合；几何意义；应用.数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法. 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两大根底概念，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法. 数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合，交相辉映. 下面我从四个方面谈谈数形结合思想方法在初中数学教学解题中的应用.1 以“数”化“形”由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题.我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构.这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法.数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件，将数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题.解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系.因此，对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题.1.1 有理数教学中体现的数形结合思想数轴的引入是有理数体现数形结合思想的力量源泉. 由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）. 相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的. 尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则. 相关内容的中考试题，应用数形结合的思想可顺利得以解决.1.2 不等式（组）中蕴藏着数形结合思想北师大版八年级《数学》下册第一章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”.教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解.这里蕴藏着数形结合的思想方法. 在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步.确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效. 相关内容的中考试题，也着重考察学生对数形结合思想方法的应用.2 以“形”变“数”虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算.解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等.2.1 二元一次方程组、一元一次不等式的图象解法中蕴藏着数形结合思想北师大版八年级《数学》上册第七章第六节“二元一次方程与一次函数”讲用图象法解二元一次方程组，具体方法是先把每个二元一次方程变形成一次函数解析式，然后画出图象，两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，这充分体现了数形结合的思想，构建了数与形的和谐美. 正如数学家华罗庚所说的:“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”.2.2 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式及其图象凸显数形结合思想由于在直角坐标系中，有序实数对(x , y)与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然. 一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助. 因此，函数及其图象凸显了数形结合的思想方法. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式它们之间的关系在图象上得到了高度的统一，充分显示了数形结合思想在解题中的魅力，请看我在教学中的做法：由此观之，二次函数、一元二次方程、一元二次不等式它们之间的关系是整体与局部的关系，具体可归纳如下：(1)、抛物线与x轴交点的横坐标就是，当y=0时，一元二次方程的解.(2)、抛物线在x轴上方的图象投影在x坐标上的点所表示的数,就是当y>0时，一元二次不等式的解集.(3)、抛物线在x轴下方的图象投影在x坐标上的点所表示的数,就是当y<0时，一元二次不等式的解集.“数以形而直观，形以数而入微”这是数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述. 数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，初中数学中常在研究函数的性质，求解函数的有关问题时发挥着重要作用.数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法.初中《数学课程标准》把数学的精髓——数学思想方法纳入了根底知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举. 数学思想方法既是数学的根底知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力. 因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用.参考文献[1] 张志淼. 数学学习与数学思想方法[M]. 河南：郑州大学出版社.[2] 顾泠沅. 数学思想方法[M]. 北京：中央广播电视大学出版社.[3] 钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M]. 北京：北京师范大学出版社.[4]《全日制义务教育数学课程标准(实验稿). 北京师范大学出版社.[5] 陈裕兴.《发挥数形结合思想在数学教学中的功能》. 数学通讯，1999年第3期.[6] 蒋巧君.《数形结合是促进学生意义建构的有效策略》. 小学数学教师，2005年第5期.[7] 候敏义主编. 数学思维与数学方法. 东北师范大学出版，1991年5月陈军.[8]《捕捉生成性资源，引导建构数学模型. 江苏教育, 2006年第4期.[9]《数学思想方法教学的意义、现状和策略》. 徐颖峰2000.[10]《数学》八年级上、下册. 北京师范大学版社.[11]《数学课程标准》. 北京师范大学版社.[12]《课堂教学的原理、策略与研究》. 华东师大出版社.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
“数形结合”在小学双语数学教学中的运用举隅
I小学荻学纳宛I双语教学［编者按】在推进教育国际化的进程中，双语教育作为推进教育国际化的课程实施载体越来越受到人们的重视。
数学、音乐、美术、科学和体育这五门学科,是双语教育专家们一致认为最适合在小学阶段实施双语教育的学科。
其中,双语数学、双语科学的教学质量如何，已经被专家们公认为是判别双语教育成败的最重要的衡量指标。
开展双语教育课程改革实验，离不开双语教育教学的研究。
只有加大对实施双语教育学科的教学研究力度,才能发现和掌握双语学科课堂教学的有效路径和方法,从而提升双语课程实施的有效性，保证其教学质量。
为了鼓励更多双语教师积极投身双语学科的教学研究活动之中,本刊特开辟专题，集中刊发两篇双语数学教学研究文章和一篇双语美术教学研究文章。
尽管这些文章较之于以中文作为教学语言的课堂教学研究而形成的文章在研究的深刻性方面还有较大提升空间，但是我们还是坚信”良好的开端是成功的一半”。
“数形结合'在小学双语数学教学中的运用举隅河南郑州市惠济区实验小学张世超【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法。
在小学双语数学教学活动过程中，数形结合思想的运用可以使数学问题的英文表述更加形象、直观，更方便学生理解数学语言的英文表述，从而在较大程度上提高双语数学课堂教学的有效性。
【关键词】小学数学双语课堂数形结合数学语言应用例谈双语数学课程,在本质上仍然是数学课程,只不过在双语数学课堂上教师和学生使用的是英文版的数学教材，教师和学生使用的教与学的语言是英文而已。
因此，在双语数学课堂教学中，《义务教育数学课程标准(2011年版)》所倡导的“数形结合思想”等基本思想不仅依然适用于小学双语数学教学,而且对小学双语数学教学而言也是不可或缺的。
从某种意义上讲,正是由于双语数学课程教学的一个鲜明特征就是教材和教与学的活动都是以英文作为语言载体的，数形结合思想在小学双语数学教学中的运用将极大地方便教师双语数学教学活动的展开，也有助于学生更加生动、形象和宜观地理解数学语言的英文表达。
数学与应用数学英文文献及翻译
（外文翻译从原文第一段开始翻译，翻译了约2000字）勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。
这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。
他在数学上有许多贡献，虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。
毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡献。
据传说，毕达哥拉斯在得出此定理很高兴，曾宰杀了牛来祭神，以酬谢神灵的启示。
后来又发现2的平方根是不合理的，因为它不能表示为两个整数比，极大地困扰毕达哥拉斯和他的追随者。
他们在自己的认知中，二是一些单位长度整数倍的长度。
因此2的平方根被认为是不合理的，他们就尝试了知识压制。
它甚至说，谁泄露了这个秘密在海上被淹死。
毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。
毕达哥拉斯定理指出，对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积，等于剩余两直角为边长正方形面积的总和图1根据勾股定理，在两个红色正方形的面积之和A和B，等于蓝色的正方形面积，正方形三区因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是：对于一个直角三角形的边长a，b和c，其中c是斜边长度。
虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理，但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉斯早一千年。
现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。
如果用欧几里德的算法使用，很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容：六^维-论~文.网“一个大广场边a+ b是分成两个较小的正方形的边a和b分别与两个矩形A和B，这两个矩形各可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线c。
四个三角形可安排在另一侧广场a+b中的数字显示。
在广场的地方就可以表现在两个不同的方式：1。
由于两个长方形和正方形面积的总和：2。
作为一个正方形的面积之和四个三角形：现在，建立上面2个方程，求解得因此，对c的平方等于a和b的平方和（伯顿1991）有许多的勾股定理其他证明方法。
一位来自当代中国人在中国现存最古老的含正式数学理论能找到对Gnoman和天坛圆路径算法的经典文本。
数形结合思想在解题中的应用外文文献翻译
勾股定理（外文翻译从原文第一段开始翻译，翻译了约 2000字）勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。
这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。
虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。
毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡 献。
据传说，毕达哥拉斯在得出此定理很高兴，曾宰杀了牛来祭神，以酬谢神灵的启示。
后 来又发现2的平方根是不合理的，因为它不能表示为两个整数比，极大地困扰毕达哥拉斯和他的追随者。
他们在自己的认知中，二是一些单位长度整数倍的长度。
因此 理的，他们就尝试了知识压制。
它甚至说，谁泄露了这个秘密在海上被淹死。
毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。
毕达哥拉斯定理指出,对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积，等于剩余两直角为边长正方形面积的总和根据勾股定理，在两个红色正方形的面积之和 A 和B ,等于蓝色的正方形面积，正方形三区他在数学上有许多贡献,2的平方根被认为是不合2Area Square B =bArea Square C = /的数字显示。
在广场的地方就可以表现在两个不同的方式: 1。
由于两个长方形和正方形面积的总和:2。
作为一个正方形的面积之和四个三角形:2 2 /ab\ 2 (a +b) = c 1= c + 2ab因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是:2 2 2 a +b = c对于一个直角三角形的边长 a ，b 和c . 其中c 是斜边长度。
虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理, 但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉斯早一千年。
现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。
如果用欧几里德的算法使用,很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容: "一个大广场边a+ b 是分成两个较小的正方形的边a 和b 分别与两个矩形 A 和B ,这两个矩形各 可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线c 。
(完整版)谈数形结合思想在中学数学解题中的应用毕业论文
目录摘要 (2)Abstrqct (3)1引言 (3)2 方程问题 (4)2.1 方程实根的正负情况 (4)2.2 求方程实根的个数 (4)2.3 含参数的方程 (5)3 不等式问题 (6)3.1 无理不等式 (6)3.2 二元二次不等式组 (6)3.3 高次不等式 (7)3.4 绝对值不等式 (7)3.5 含参数的不等式 (7)4 最值问题 (8)4.1 转化为直线的截距 (8)4.2 转化为直线的斜率 (8)4.3 转化为距离 (9)5 函数问题 (10)5.1 比较函数值的大小 (10)5.2 函数的定义域 (11)5.3 函数的值域 (11)5.4 函数求值 (12)5.5 函数的单调区间 (12)5.6 函数的奇偶性,单调性 (13)6解决线性规划问题 (13)参考文献 (14)致谢 (14)谈数形结合思想在中学数学解题中的应用XXX数学与信息学院数学与应用数学专业2011级指导老师:XXX摘要：数形结合思想在中学数学中应用广泛, 本文将例举说明数形结合思想方法在方程问题，不等式问题，最值问题，函数问题，线性规划问题等方面的实际应用。
充分说明在解题中运用数形结合的方法，借助几何图形的直观描述，如何使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。
在中学数学解题中充分运用数形结合思想,有助于学生思维能力的培养, 有利于他们解题能力的提高。
关键词: 数形结合；数形结合思想；方程问题；不等式问题；最值问题；函数问题；线性规划问题On the combination of application of thought in middle schoolmathematicsXXXCollege of Mathematics and Information Mathematics and AppliedMathematicsGrade 2011 Instructor: XXXAbstrqct：Several form combining ideas is widely used in the middle school mathematics, this article will illustrate that number form combined with the thinking and methods in the equation, inequality problem, the most value problem, function problem, the practical application of linear programming problems.Full explanation in the problem solving, with the method of using the number form, with the help of a visual description of the geometry, how to make many abstract concepts and visual and simplify complex relationships. Full use of in the middle school mathematics problem-solving number form combining ideas, helps to develop students' thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem solving.Key words:The number of combination form; Several form combining ideas; Equation problem; Inequality problem; The most value problems; Function problem; Linear programming problem1引言数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
高中数学教学论文《数形结合思想》在解题中应用
《数形结合思想》在解题中的应用一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。
代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。
现举例如下：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，求k 的取值范围.解：（代数法）曲线方程可化为)0(122≥=+x y x ，把k x y +=代入)0(122≥=+x y x可得：012222=-++k kx x （0≥x ），由题意可知方程仅有一个非负根①当方程有等根时，即)1(8)2(22--=∆k k =0，可得2±=k ，当2=k 时，方程可化为012222=++x x ，得22-=x 不合题意；当2-=k 时，方程为012222=+-x x 得22=x 符合题意，可知2-=k ； ②当方程根为0=x 时，得012=-k ，1±=k ，当1-=k 时，方程为0222=-x x ，得方程两个根为01=x ，12=x 不合题意应舍去；当1=k 时，方程为0222=+x x ，得方程两个根为01=x ，12-=x 适合题意，可知1=k ； ③当方程根为一正一负时，只需021221<-=k x x ，可得11<<-k 。
综上所述：所求 k 的取值范围为2-=k 或11≤<-k 。
（几何法）曲线21y x -=是单位圆122=+y x 的右半圆（0≥x ），k 是直线k x y +=在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，2-=k ，由图形：可得2-=k 或11≤<-k 。
上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。
二、数形结合思想的概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。
浅谈数形结合思想在解题中的运用
浅谈数形结合思想在解题中的运用王克卓数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，且数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。
显然数形结合，不是两者简单的堆砌，而是有机的结合，“数”具有精确性定特征，它可以阐明“形”的某些属性，并且可以通过运算法则、公式进行运算，比较具体（虽然有时却比较繁复），“形”具有几何的直观性，它也可以表示数之间的某些关系，“形”可以通过逻辑推理得到一些结果，其推理过程较简捷（但可能有时比较抽象）。
但两者结合，各取所长，则往往威力巨大，因此华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一,高中数学新教材之中的每一章节内容都有以数形结合的问题形式出现，能很好地培养和发展学生的数形结合思想。
新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。
下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。
一、利用数形结合解决集合问题对于集合中各种概念、运算的理解，直接从自然语言和符号语言上理解，往往难以搞清其本质；若借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，可使问题变得直观、具体，易于认清集合的特征，便于准确、快速地解决问题。
这就是数形结合思想的应用，显然准确地将集合问题转化为图形关系是关键。
解题时常借助韦恩图或用数轴、简单函数的图像等形来集合问题，往往可以把问题中的条件直观化、形象化，从而使原题灵活、简捷、准确地获解。
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数形结合思想在解题中的应用摘要数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，将数量关系与直观的图形的相互转化来解决数学问题。
数形结合方法是数学解题中常用的思想方法。
它被广泛地应用于解决数学问题之中。
数形结合方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到解决问题的目的。
本文阐述数形结合在中学数学中的应用，并结合适当的例题来加以说明。
关键词数形结合思想解题应用抽象直观Several form combining the application in problem solving thinkingAbstract Several form combining, is according to the fractal number and the corresponding relation between the quantity relationship, with intuitive graphic conversion to solve mathematics problems. Several form combining method is used in mathematics problem-solving thought method .It is widely used in solving mathematical problems. Several form combining method can make complex problem is simplified, abstract problem specific, achieve the purpose of solving problems. This paper describes Shuoxingjiege Mathematics in secondary schools, combined with appropriate examples to illustrate.Keywords Several form combining ideas problem-solving application目录一、前言 (5)二、正文 (6)（一）解决实数比较大小问题 (6)（二）解决集合问题 (6)（三）解决函数问题 (7)（四）解决方程与不等式的问题 (9)（五）解决三角函数问题 (11)（六）解决线性规划问题 (12)（七）解决数列问题 (14)（八）解决解析几何问题 (14)（九）解决立体几何问题 (16)三、结束语 (18)四、参考文献 (19)五、致谢 (20)数与形是数学中的两个最古老、最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
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勾股定理
（外文翻译从原文第一段开始翻译，翻译了约2000字）
勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。
这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。
他在数学上有许多贡献，虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。
毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡献。
据传说，毕达哥拉斯在得出此定理很高兴，曾宰杀了牛来祭神，以酬谢神灵的启示。
后来又发现2的平方根是不合理的，因为它不能表示为两个整数比，极大地困扰毕达哥拉斯和他的追随者。
他们在自己的认知中，二是一些单位长度整数倍的长度。
因此2的平方根被认为是不合理的，他们就尝试了知识压制。
它甚至说，谁泄露了这个秘密在海上被淹死。
毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。
毕达哥拉斯定理指出，
对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积，等于剩余两直角为边长正方形面积的总和
图1
根据勾股定理，在两个红色正方形的面积之和A和B，等于蓝色的正方形面积，正方形三区
因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是：
对于一个直角三角形的边长a，b和c，其中c是斜边长度。
虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理，但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉斯早一千年。
现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。
如果用欧几里德的算法使用，很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容：
“一个大广场边a+ b是分成两个较小的正方形的边a和b分别与两个矩形A和B，这两个矩形各可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线c。
四个三角形可安排在另一侧广场a+b中的数字显示。
在广场的地方就可以表现在两个不同的方式：
1。
由于两个长方形和正方形面积的总和：
2。
作为一个正方形的面积之和四个三角形：
现在，建立上面2个方程，求解得
因此，对c的平方等于a和b的平方和（伯顿1991）
有许多的勾股定理其他证明方法。
一位来自当代中国人在中国现存最古老的含正式数学理论能找到对Gnoman和天坛圆路径算法的经典文本。
这勾股定理证明是一个鼓舞人心的数字证明，被列入书Vijaganita，（根计算），由印度数学家卜哈斯卡瑞。
卜哈斯卡瑞的唯一解释是他的证明，简单地说，“看”。
这些发现证明和周围的几何定理的毕达哥拉斯是导致在作为Pythgorean数论问题的最早的问题之一。
毕达哥拉斯问题：
找到所有的边的长度为直角三角形边长的组成，从而找到在毕达哥拉斯方程的正整数所有的解决方案：
有三个整数（x，y，z）满足这个方程，则称为勾股数。
部分勾股数：
x y z
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
该公式将产生所有勾股数最早出现在书欧几里德的元素x：
其中n和m是.正整数，且不同为奇数或偶数
在他的书中算术，丢番图证实，他能利用这个公式直角三角形，虽然他给了一个不同的论证。
勾股定理可在初中向学生介绍。
在高中这个定理变得越来越重要。
仅仅这样还不够，为勾股定理代数公式，学生需要看到的几何连接以及在教学和学习中的勾股定理，可丰富和通过使用增强点纸，geoboards，折纸，和计算机技术，以及许多其他的教学材料。
通过对教具和其他教育资源的使用，毕达哥拉斯定理可能意味着更多的学生不仅仅是插上数字的公式。
以下是对勾股定理的证明包括欧几里德一个品种。
这些证明，随着教具和技术提高，可以大大提高学生对勾股定理的理解。
下面是一个由欧几里德其中最有名的数学家之一证明的总结。
这个证明可以在书欧几里德的《元素》中找到。
命题：直角三角形上斜边的平方等于在直角边的平方和。
图2
欧几里德开始在上面图2所示的毕达哥拉斯配置。
然后，他建造了一个垂直线，从C做DJ就关于斜边垂线。
这点H和G是本与斜边上的正方形的边垂足。
它位于的三角形ABC的高。
见图3。
下一步，欧几里德表明，矩形HBDG面积等于BC上正方形的和与矩形的HAJG正方形的面积关系。
他证明了这些等式利用相似的概念，三角形ABC，AHC和CHB相似，HAJG面积=(HA)(AG),AJ=AB, HAJG面积=(HA)(AB), 三角形ABC与三角形AHC相似，即：。
因此，
以同样的方式，三角形ABC的和CHG是相似的。
所以
即
由于这两个矩形的面积之和，是对斜边正方形的面积，这样就完成了证明。
欧几里德急于把这个结果在他的工作尽快得出结果。
然而，由于他的工作与相似联系不大，直至图书第五和第六，他必须与另一种方式来证明了勾股定理。
因此，他采用平行四边形的结果是相同的基础上翻一番，并在同一平行线之间的三角形。
连接CJ和BE。
矩形的AHGJ面积是三角形JAC面积的两倍，以及ACLE面积是三角形BAE面积的两倍。
这两个三角形全等采用SAS。
在同样的结果如下，为其他类似的方式长方形和正方形。
（卡茨，1993年）点击这里，普惠制动画来说明这方面的证据。
接下来的三个证据更容易看到了毕达哥拉斯定理证明，将高中数学学生的理想选择。
其实，这些都是可以证明，学生可以自己在某个时候兴建。