6【题组六】函数极值点问题
高中数学函数极值问题解题技巧
高中数学函数极值问题解题技巧在高中数学中，函数极值问题是一个常见的考点。
解决这类问题需要掌握一些技巧和方法，本文将通过具体的题目举例，分析和说明这些技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和解决函数极值问题。
一、函数极值问题的基本概念在开始讨论解题技巧之前，我们先来回顾一下函数极值的基本概念。
对于一个函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，f(x)的值都不大于（或不小于）f(x0)，那么称f(x0)为函数f(x)的极大值（或极小值），x0为极值点。
二、求解函数极值的方法1. 寻找导数为零的点对于一元函数，我们可以通过求导数的方法来寻找极值点。
具体来说，我们需要找到函数的导数为零的点，这些点可能是极值点。
例如，考虑函数f(x) = x^3 -3x^2 + 2x + 1，我们可以先求出它的导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，然后解方程f'(x) = 0，找到导数为零的点。
在这个例子中，我们可以求得x = 1和x = 2是导数为零的点，因此它们可能是函数的极值点。
2. 判断二阶导数的符号除了求导数为零的点之外，我们还可以通过判断二阶导数的符号来确定极值点的性质。
具体来说，如果函数在某一点的二阶导数大于零，那么该点是函数的极小值点；如果二阶导数小于零，那么该点是函数的极大值点。
例如，考虑函数f(x) =x^3 - 3x^2 + 2x + 1，我们可以求出它的二阶导数f''(x) = 6x - 6，在x = 1和x = 2处的二阶导数分别为0和6，因此x = 2是函数的极小值点。
3. 利用函数的性质和图像有时候，我们可以利用函数的性质和图像来推断函数的极值点。
例如，对于一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，如果a > 0，那么函数的图像是一个开口向上的抛物线，它的顶点就是函数的极小值点；如果a < 0，那么函数的图像是一个开口向下的抛物线，它的顶点就是函数的极大值点。
函数极值求法及应用
函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。
令y'=0，得到x=1。
此时，函数取得极小值y=0。
注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。
2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。
因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。
因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。
函数的极值典例精讲
函数的极值典例精讲例1：求函数()xf x xe -=的极值.解：()()'1x x xf x e xe x e ---=-=-令()'0fx >解得：1x <()f x ∴的单调区间为：x (),1-∞1()1,+∞'()f x +-()f x 极大值()f x ∴的极大值为()11f e=，无极小值（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，根据单调性即可进行判断（2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个极大（或极小）值点，则需说明另一类极值点不存在例2：求函数1)1()(32+-=x x f 的极值。
解：()()2'2312fx x x =-⋅，令()'0f x >解得：0x >()f x ∴的单调区间为：x (),0-∞0()0,+∞'()f x -+()f x 极小值()f x ∴的极小值为()00f =，无极大值本题若使用()'0fx =解极值点，则1x =±也满足()'0f x =，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化，故1x =±均不是极值点。
对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间例3：求函数()f x =在R 上的极值思路：利用()'f x 求出()f x 的单调区间，进而判断极值情况解：()'fx =令()'0fx >解得：()()2,02,x ∈-+∞ ()f x ∴的极小值为()()220f f -==，极大值为()0f ==例4：若函数()322f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a b +=_________思路：()'232f x x ax b =++，依题意可得：()()2'11101320f a b a f a b ⎧=+++=⎪⎨=++=⎪⎩，可解得：411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，但是当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2'236331f x x x x =-+=-所以尽管()'10f =但1x =不是极值点，所以舍去。
高考数学中的函数极值问题详解
高考数学中的函数极值问题详解函数极值是高考数学考试中必考的一个知识点，也是数学经典中的基础概念之一。
对于几乎所有的数学应用问题，都可以抽象出一个函数模型，因此函数极值的研究具有很高的实用性和理论意义。
本文将详细解析高考数学中的函数极值问题，包括一元函数和多元函数两种情况。
一、一元函数1. 什么是函数极值在一元函数的定义域内，若存在一点x0，使得它的函数值f(x0)不小于（或不大于）其它点的函数值，那么称f(x0)为函数的一个极大值（或极小值），x0称为极值点。
如下图所示，函数f(x)在x=a处达到极大值，x=b处达到极小值。
（图片来源于B站UP主@水良之家）2. 极值的判定方法（1）导数法对于一元函数f(x)，其导数f'(x)能够反映函数的增减性和变化趋势，因此使用导数来判断函数的极值是一种比较常见的方法。
具体来说，求出函数的导数，并令导数为0，求解其值即可得到原函数的极值点。
若导数为0的点是可导的，则它一定是极值点。
若导数为0的点不可导，则需要用单侧极限来进行讨论。
下面是一个例题：已知函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的驻点和极值点，试求f(x)的极值。
解：首先求导，得到f'(x)=3x²-3，令其为0，则得到x=±1又由于f(x)在-2,1,2处是可导的，因此极值点分别为x=-1,x=1。
在x=-2处不是极值点，它是函数f(x)的最小值点。
（2）二阶导数法在一元函数的定义域内，若f'(x0)=0且f''(x0)>0，说明在x0处函数的单调性发生了变化，由单调减变为单调增，因此x0就是函数的一个极小值点。
反之若f'(x0)=0且f''(x0)<0，则x0为函数的一个极大值点。
在使用这种方法时需要注意，函数的二阶导数f''(x)在某些情况下可能不存在，此时不能使用该方法来判定函数的极值。
函数极值点求解方法
函数极值点求解方法引言函数的极值点是指函数在某个区间内取得最大值或最小值的点。
求解函数的极值点是数学中的一个重要问题，具有广泛应用价值。
本文将介绍几种常见的函数极值点求解方法。
二次函数的极值点求解方法当函数是一个二次函数时，可以使用求导法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 将函数表示为二次函数的标准形式：$f(x)=ax^2+bx+c$。
2. 求导函数：$f'(x)=2ax+b$。
3. 令导数等于0，解方程得到极值点的横坐标：$2ax+b=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。
4. 将横坐标代入原函数中，求得纵坐标。
高阶函数的极值点求解方法对于高阶函数，求解极值点可以依靠计算机算法进行近似求解。
其中，一种常用的方法是牛顿法。
具体步骤如下：1. 初始化变量，设初始点$x_0$。
2. 使用公式：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，进行迭代，直到满足终止条件。
3. 最终迭代得到的$x_n$就是函数的极值点。
数值优化算法求解极值点除了上述方法外，还可以使用数值优化算法来求解函数的极值点。
常见的数值优化算法有梯度下降法、粒子群优化等。
这些算法一般适用于函数复杂、无法用解析方法求解的情况。
结论本文介绍了几种常见的函数极值点求解方法。
对于简单的二次函数，我们可以使用求导法求解极值点；对于复杂的高阶函数，可以采用牛顿法进行近似求解；而对于更加复杂的函数，可以使用数值优化算法来求解。
在实际应用中，选择合适的求解方法可以提高求解效率，为问题的解决提供有效的支持。
高考数学中的函数极值问题解决技巧
高考数学中的函数极值问题解决技巧在高考数学中，函数极值问题是一个必考的重点内容，也是让考生们感到较为困难的一部分。
函数极值问题一般分为两种，一种是求最大值或最小值，另一种是证明函数存在极值。
以下将从方法和技巧两方面进行讲解。
一、方法1. 消元法对于一些复杂的函数，我们需要通过消元的方式将其转化为更为简单的形式。
如对于$f(x)=\sqrt{3x^2-x+1}$，我们可以将其化为$f(x)=\sqrt{3(x-\frac{1}{6})^2+\frac{11}{36}}$，从而可以更方便地求得极值。
2. 导数法导数法是解决函数极值问题的主要方法。
对于函数$y=f(x)$，其导数为$f'(x)$，则当$f'(x)=0$时，$f(x)$存在极值。
当$f'(x)>0$时，$f(x)$为增函数，当$f'(x)<0$时，$f(x)$为减函数。
3. 辅助线法辅助线法是求函数极值的重要方法之一。
当函数比较复杂时，我们可以通过引入一些辅助线，使函数化为更为简单的形式，从而容易求得其极值。
二、技巧1. 利用对称性对于一些具有对称性的函数，我们可以通过利用其对称性来简化计算，如对于函数$f(x)=\frac{x^3-3x}{x^2+1}$，由于其为奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$，故其存在对称轴$x=0$，从而极值点必在$x=0$处出现。
2. 限制范围当函数存在定义域限制时，我们可以通过限制其范围来简化计算，如对于函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$，由于其定义域为$x>-1$，故当$x\rightarrow+\infty$时，$f(x)\rightarrow1$；当$x\rightarrow-1$时，$f(x)\rightarrow-\infty$，从而可得$f(x)$的最小值为-1/2。
3. 利用不等式当函数比较复杂时，我们可以通过利用一些常用的不等式来简化计算，如对于函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，当$x\geq0$时，$f(x)\geq0$，故其最小值必在$x=0$处。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
极值点偏移四种题型的解法及例题
极值点偏移是高中数学中的一个重要概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
在解决数学问题时，我们经常会遇到一些与极值点有关的题型，比如函数的极值问题、优化问题等。
而在解决这些问题时，极值点偏移方法是一种非常实用的解题技巧。
本文将从四种题型出发，对极值点偏移方法进行详细解析，并结合具体例题进行说明。
1. 函数的极值问题函数的极值问题是高中数学中的一个重要内容。
在解决这类问题时，我们常常会用到导数的概念，来求函数的极值点。
但有些情况下，我们可以通过极值点偏移方法更快地得到函数的极值点。
比如对于一些简单的函数，通过极值点的平移和对称性，可以用更简洁的方法求得函数的极值点。
举例说明：已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的极值点。
解：求导得 $f'(x)=3x^2-6x$。
令导数为零，得到 $x=0$ 或 $x=2$。
根据导数的符号，可知 $x=0$ 是极小值点，$x=2$ 是极大值点。
但通过极值点偏移方法，我们可以发现，当 $x=0$ 时，$f(x)=2$；而当$x=2$ 时，$f(x)=2$。
也就是说，极小值点 $x=0$ 对应的函数值和极大值点 $x=2$ 对应的函数值相等。
这就是极值点偏移的思想。
2. 优化问题优化问题是数学建模中常见的类型之一，也是考察学生综合运用数学知识解决实际问题的一种形式。
当我们遇到优化问题时，常常需要求解函数的极值点。
而极值点偏移方法可以帮助我们更快地找到函数的极值点，从而解决优化问题。
举例说明：一块长为20厘米的铁皮，可以做成一个底面积为 $x cm^2$ 的正方形盒子和一个底面积为 $y cm^2$ 的开口放平盒子，求怎样分割这块铁皮才能使总体积最大。
解：设正方形盒子的边长为 $a$，开口朝下的放平矩形盒子的底边长为 $b$，高为 $h$。
则根据题意可知，$b=a+2h$，且 $x=a^2$，$y=bh$。
问题转化为求 $x+y$ 的最大值。
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例1、已知函数()d cx bx x x f +++=23（d c b 、、为常数），当()1,0∈x 时取极大值，
当()2,1∈x 时取极小值，则()2
2132b c ⎛
⎫++- ⎪⎝
⎭的取值范围是（ ）
A 、2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
B 、
)
C 、37,254⎛⎫
⎪⎝⎭
D 、()5,25
【巩固练习】
设函数cx bx x x f 33)(2
3
++=有两个极值点21,x x ,且[]0,11-∈x ,[]2,12∈x ,则（ ）
A.21)(101-
≤≤-x f B.0)(2
1
1≤≤-x f C.27)(01≤≤x f D.10)(2
7
1≤≤x f
例2、已知函数())1ln(2
++=x a x x f 有两个极值点21,x x ，21x x <。
（1）求a 的取值范围； （2）求证：()4
2
ln 212->x f
【巩固练习】已知函数()x
e mx x
f 22
-=有两个极值点21x x <，21,x x 。
（1）求m 的取值范围；（2）求证：()21-<<-x f e
例3、已知函数()()R a ax x x f x x g ∈-==,,ln 2。
（1） 若()()x g x f ≥对于定义域内的x 恒成立，求a 的取值范围；
（2） 设()()()x g x f x h +=函数有两个极值点21,x x ，且⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈21,01x ，求证：
()()2ln 4
3
21->
-x h x h
【巩固练习】已知.
（1）若对于公共定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围;
（2）设有两个极值点,且,若恒成立,求实数的最大值.
)()()(,ln )(,)(2
x g x f x h x x g ax x x f +==-=)()(x g x f ≥x a )(x h 21,x x )2
1,0(1∈x m x h x h >-)()(21m
例4、已知函数()x mx x x f ln 2
12
++=
（1）若函数()x f 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围 （2）若函数()x f 有两个极值点21,x x ，（21x x <），且2
2
3-≤m ，求()()12-x f x f 的最大值
【巩固练习】已知函数在处的切线与直线垂直，函数
．
（1）求实数的值；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．
()ln f x x a x =+1x =20x y +=()()21
2
g x f x x bx =+-a ()g x b 1212,()x x x x <()g x 7
2
b ≥()()12g x g x -
例5、已知函数（）
在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求的取值范围；
（2）记两个极值点分别为,,且．已知,若不等式恒成立,求
的范围．
例6、已知函数()ln f x x mx =-。
（1）讨论函数()f x 的单调区间； （2
）当2
m ≥
时，设()()2
2g x f x x =+的两个极值点为12,x x ()12x x <恰为()2ln h x x cx bx =--的零点，求()'12122x x y x x h +⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的最小值。
a x x a x x x f +--=2
2
ln )(a ∈R a 1x 2x 21x x <0>λ112e x x λλ
+<⋅λ
例7、已知()()ln f x x x ax =⋅+，a 为常数。
（1）在1=x 处的切线过点()2,0-A 求实数a 的值；
（2）()()()2121,ln x x x x ax x x x f <+⋅=有两个极值点函数 （i ）求证：021<<-a ；（ii ）求证：()()2
1
12->>x f x f
【作业练习】：
1．已知函数()()ax x x x f -=ln 有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()0，
∞- B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛
210， C ．()10， D ．()∞+，0
2、已知函数()1
ln +-
=x ax
x x f 。
（1）若函数()x f 有极值，求实数a 的取值范围；
（2）当()x f 有两个极值点（记21,x x ）时，求证：()()()[]11
21+-+≥+x x f x
x x f x f
3．设函数)2ln()(2
+-=x a x x f ，x
xe x g =)(，且)(x f 存在两个极值点1x 、2x ，
其中<1x 2x .
（1）求实数a 的取值范围；
（2）求)(x g 在区间)0,2(-上的最小值； （3）证明不等式：
1)
(2
1->x x f .
4、已知函数2
()x
f x ke x =-（其中k R ∈，e 是自然对数的底数) （1）若2k =-，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，求k 的取值范围； （3）在（2）的条件下，试证明：10()1f x <<．。