流体力学NS方程推导过程

小菜鸟0 引言

流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。

1 基本假设

空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。

自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。

连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。

有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，

这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。在层流边界层情况下，分子平均运动自由程与边界层之间存在近似关系：

从这个关系中，可以发现，当马赫数非常大但是同时雷诺数非常小的时候，流场微小尺度才可能达到分子平均运动自由程lmd的程度。可以想象一下，在大多数我们能观察到的情况下，上述公式的结果都是非常小的，满足连续介质假设，这个公式不成立的情况在大气层外边缘，此时大气分子之间平均动量交换降低，导致粘性变得非常小，雷诺数很高，因此公式计算结果急剧降低，导致连续介质假设失效。

前面讨论了连续介质建设成立的条件以及不成立的例子，下面讨论的都是连续介质假设范围内的结果。

2 连续性方程：质量守恒定律的流体表达

根据质量守恒定律，我们知道，在流场取的控制体满足如下物理规律：控制体的总质量不随着运动而变化的，在运动过程中控制体始终由相同流体微团组成，因此利用流场物理量将物理规律用数学公式表达可得：

根据引论1中的内容，上式左边随体导数可以采用两种形式的偏导数表示：

（1）微元体表达形式：

根据引论1中微元体的随体导数关系可以得到：

或者

（2）张量表达形式：

3 动量方程：牛顿第二定律的流体表达

根据牛顿第二定律，流场中取出控制体满足如下规律：某一时刻，控制体中

所有流体微团的总动量随时间的变化率=控制体中所有流体微团受到的合力。控制体受力主要包括表面力和体积力，表面力作用于物体表面，例如压力等应力，表面力可以分解为法向力和切向力，法向力通常为压力，切向力通常为粘性力（当然这不是绝对，因为法向力还包括流场可压缩性引起的法向应力）；体积力作用于流场中每一个流体微团，例如重力，电磁力等。

因此，牛顿第二定律可以表达为：控制体总动量随时间变化率=控制体表面力合力+控制体体积力合力（为了推导方便，下面将体积力忽略，在重力等法向力影响较大时，将该项加入即可）。

利用流场变量可以将上述定律表达为数学公式：

其中根据引论1和引论2，可知方程左边具有两种偏导数表达形式，

（1）微元体表达形式：

根据引论2，上式左边具有这两种偏导数表达形式（一种根据定义，一种引入质量守恒关系）：

（2）张量表达形式：

根据引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式（一种定义，一种引入质量守恒）：

（3）补充说明1：粘性应力表达式

上述公式中，我们将表面力表达为表面压力+粘性力的形式，其中表面压力为法向力，粘性力由流体粘性引起，包括法向力和切向力，根据各项同性假设，粘性应力张量可以表达为：

其中，\miu称为动力粘性系数。

根据Stokes假设，在通常情况下，体积粘性系数，于是上述粘性应力表达为：

（4）补充说明2：粘性应力的空间导数

在动量方程中，粘性应力的空间导数可以表达为：

如果流场为不可压缩s=0并且粘性系数不随空间改变，即温度不变，可以简化为：

（5）补充说明3：动力粘性系数表达式：

该公式中动力粘性系数是流体的基本变量，该系数表征流体分子之间动量交换的快慢程度，与流场的温度相关，与压力等其他变量关系较小，在温度为100到1900K范围，可以采用Sutherland公式进行表达：

=，T0和\miu0则可以采用任何温度的结果，例如在常温288K情其中，T

ref

况下，动力粘性系数为。

4 能量方程：能量守恒定律的流体表达

根据能量守恒定律，流场中取出控制体满足如下物理规律：

控制体的总能量增加=控制体受到外力做功+外界向控制体热传导采用流场变量可以将该物理定律表达为数学形式(e=CvT表示流场内能，内能可以采用定容比热乘以温度得到)：

其中，根据引论1和2可知，方程左边具有两种偏导数表达形式：

（3）微元体表达形式：

根据引论1和2可知上式具有两种偏导数表达形式：

（2）张量表达形式

A: 总能公式E=e+ v2/2

根据引论1和引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式：

B: 内能公式e=E- v2/2

将总能关系式代入上述公式可得：

因此可得内能关系式为：

根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

C：焓公式h=e+p/rou

将内能关系式代入上式可得：

根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

D：总焓公式h0=h+v2/2=E+p/rou

注意上式中采用了引论2中的内容，将焓关系式代入上式可得：

于是可得总焓关系式为：

根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

E：熵公式Tds=dh-dp/rou

根据熵公式，可得熵的随体导数为：

根据引论1和引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

根据熵公式，可以知道，熵的增加主要来自两个部分，一是粘性力引起，二是热传导引起，如果流场中粘性应力和热传导都可以忽略，则流场满足等熵关系。

（3）补充说明：粘性力耗散

几个公式中都存在粘性力的做功项，称之为耗散项fai，该项具体表达式可以表示为：

其中：

5 附件：随体导数的偏导数表达（控制体/微元体包含密度）

引论1：控制体和微元体的随体导数表达式

利用随体导数物理定义和数学上导数定义（求极限方法）容易得到第一个公式，利用控制体积分量的随体导数物理定义，也容易得到第二个公式，在流体力学教材中也很容易找到这两种随体导数的定义。

为什么这么做，写出这样一个公式因为随体导数是拉格朗日观点，随体导数非常符合物理思维，利用随体导数很容易表达物理规律，例如牛顿第二定律F=ma，因此推导公式过程中经常采用随体导数。不过流场中物理量通常采用随时间和空间变化的四维函数，直接利用该函数无法得到随体导数，只能得到一些偏导数，需要根据随体导数的物理定义将随体导数表达成合成偏导数形式。

引论2：包含密度的控制体和微元体随体导数

在后续方程推导中经常出现包含密度的随体导数情况，将包含密度的随体导数利用连续性方程进行化简，可以极大简化推导难度。包含密度的随体导数利用了引论1+连续性方程，也就是随体导数定义和连续性方程两个规律，具体推导如下：

整理一下这两个关系式可以得到：

说明物理是控制体还是微元体，带密度随体导数都包含两种表现形式，一种是引论1中的物理定义形式，另一种是加入了连续性方程以后的变形形式，这两种形式都很重要，为了学好流体力学，都需要牢记。

为什么引入引论2，如引论1中所述的理由一样，利用随体导数表达物理规律更加方便，然而随体导数无法直接利用流场物理量计算得到，于是需要各种化简得到容易处理的结果。