3.2点到平面的距离,平面的法式方程
高中点到平面的距离公式
高中点到平面的距离公式好，今天咱们聊聊高中数学里那个让人又爱又恨的话题：点到平面的距离公式。
嘿，别皱眉，听我慢慢道来。
想象一下，咱们在一个三维空间里，像是在玩立体拼图。
你在某个点上，想要知道这点到一个平面的距离。
就像你想和朋友从各个方向搭建一个迷宫，结果不小心把一个拼图块弄得离得老远，心里想：哎，这块拼图到底离我有多远呢？咱们先简单聊聊这公式，它其实也没那么复杂。
你就记住它的基本形式：d =|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)。
哇，听起来像是高深莫测的密码，其实就是几个字母和符号的组合。
这里的d就是咱们要找的距离，A、B、C和D就像是平面的“身份证”，它们帮你确定这个平面的位置。
你看，其实就像是问你：你现在在哪里，想去的地方又在什么地方，能不能顺利到达。
再想象一下，假如你的朋友在一张纸上画了个平面，而你就像一颗孤零零的星星漂浮在空中，心里想着：“我这颗星星离那张纸到底有多远呢？”就像在游乐场里，你在过山车上，突然抬头看到的那幅画。
你忍不住想，如果我从这个角度看过去，和我自己在上面碰面，会不会有点儿尴尬？这个距离公式就像是个万能钥匙，打开了你理解空间关系的大门。
比如说，平面可以用Ax + By + Cz + D = 0这样的方程表示，你只需把点的坐标（x₀, y₀, z₀）代入公式就能计算出距离。
就像数学老师常说的“代入法”，这招可真管用。
说到这里，别忘了那根“绝对值”符号，嘿嘿，听起来很高大上，其实它就告诉你，距离不能是负的。
就好比你去逛街，不管怎么逛，最后到家的那段路，总得是正的，不可能反着走回去。
这就像人生中的每一步，不管你走多远，总是要向前，不能后退。
如果你心里还在想着为什么要学这些，嗯，我告诉你，生活中处处都有用武之地。
比如说，搭建房子，装修，或者拍照时调整角度，哪怕是你去游乐场坐摩天轮，时不时就得考虑一下高度的问题。
求点到平面的距离的方法公式
求点到平面的距离的方法公式求点到平面的距离是数学中的一种常见问题，也是几何学的基础知识之一。
在平面几何中，点到平面的距离是指从给定点到平面上的一点的最短距离。
本文将介绍两种常用的求解点到平面距离的方法。
方法一：点到平面的法向量距离公式要求解点到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程以及点的坐标。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
根据向量的性质，平面上的任意一点P(x1, y1, z1)可以表示为平面上任意一点Q(x, y, z)加上平面的法向量N的倍数。
即P = Q + tN，其中t为实数。
将P的坐标代入平面方程，可以得到：A(x1 + tx) + B(y1 + ty) + C(z1 + tz) + D = 0整理后可以得到：t = - (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (Ax + By + Cz)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与平面上的任意一点Q之间的距离。
而点P与Q之间的距离可以使用向量的长度来表示，即d = ||PQ||。
将PQ的向量表示代入，可以得到：d = ||(x - x1, y - y1, z - z1)||将向量的长度公式代入，可以得到：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)点到平面的距离公式为：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)方法二：点到平面的投影距离公式除了使用法向量距离公式，我们还可以利用点在平面上的投影点来求解点到平面的距离。
点在平面上的投影点是指从给定点到平面上的一点的垂直线段与平面的交点。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
平面上的一点P(x1, y1, z1)为点(x, y, z)在平面上的投影点。
根据点在平面上的投影点的定义，可得到以下方程组：Ax + By + Cz + D = 0x = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)将x, y, z代入平面方程，可以得到：t = - (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / (A^2 + B^2 + C^2)将t代入x, y, z的方程中，可以得到P的坐标：x1 = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y1 = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z1 = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与原点O的距离。
点与平面的距离与角度计算
点与平面的距离与角度计算在数学几何学中，点与平面的距离与角度计算是一项重要的任务。
这些计算可以帮助我们理解点和平面之间的关系，并用于解决许多实际问题。
本文将介绍点与平面的距离计算以及点与平面之间的夹角计算方法。
一、点与平面的距离计算1. 点到平面的距离公式设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P(x0, y0, z0)为平面外一点。
点P到平面的距离公式如下：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点到平面的有向距离，即考虑了点在平面的上方或下方。
2. 示例假设平面方程为2x - 3y + 4z - 5 = 0，点P(1, 2, 3)为平面外一点。
根据距离公式，我们可以计算点P到平面的距离。
代入平面方程和点P的坐标：d = |2*1 - 3*2 + 4*3 - 5| / √(2^2 + (-3)^2 + 4^2)= |2 - 6 + 12 - 5| / √(4 + 9 + 16)= 3 / √29因此，点P到平面的距离为3 / √29。
二、点与平面的角度计算1. 点与平面的夹角公式设平面法线向量为N(A, B, C)，向量OP(r, θ, φ)为由原点O指向点P 的向量。
点与平面的夹角θ计算公式如下：cosθ = |A * r + B * θ + C * φ| / √(A^2 + B^2 + C^2) * √(r^2 + θ^2 + φ^2)其中，|A * r + B * θ + C * φ|表示点向量在平面法线向量上的投影的长度，考虑了点在平面的上方或下方。
2. 示例设平面法线向量为N(1, -2, 3)，点向量OP(1, 1, 1)。
根据夹角公式，我们可以计算点P与平面的夹角。
代入法线向量和点向量的坐标：cosθ = |1 * 1 + (-2) * 1 + 3 * 1| / √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) * √(1^2 + 1^2 + 1^2)= |1 - 2 + 3| / √(1 + 4 + 9) * √3= 2√3 / √14 * √3因此，点P与平面的夹角θ为arccos(2√3 / √14 * √3)。
点到平面方程的距离公式
点到平面方程的距离公式点到平面的距离是空间解析几何的重要内容之一、在解决实际问题中经常会遇到求点到平面的距离的情况，例如在建筑设计中，需要确定一根柱子与地面的距离，或者在机械制造中，需要确定一台机器与地面的距离。
本文将详细讨论点到平面的距离的公式及其推导。
平面方程的标准形式为Ax+By+Cz+D=0。
其中A、B、C为平面的法向量分量，(x,y,z)为平面上的任意一点。
为求点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。
首先，任意一点P(x0,y0,z0)到平面的距离可以看作是该点到平面上一点Q(x,y,z)的距离的最小值。
我们设距离最小值对应的点为Q(x,y,z)。
由点到平面的距离定义可知，点Q到平面Ax+By+Cz+D=0的距离等于点到平面的垂直距离。
也就是说，Q点与平面的法向量垂直。
知道了Q点与平面的法向量垂直，在解决问题中，我们经常会利用向量的内积关系来求解。
设平面的法向量为n，平面上一点为M(x,y,z)，则点P到平面的垂直距离等于两个向量nP和PQ的内积除以向量nP的模长。
表示为:d=，nP·PQ，/，nP其中，点P到平面的垂直距离就是d，向量nP是平面的法向量，向量PQ是向量nP的投影。
接下来，我们将推导点到平面的距离公式。
首先，根据平面的法向量分量，可以得到平面的法向量为n=(A,B,C)。
设平面上任一点为M(x,y,z)，点P为P(x0,y0,z0)。
平面的法向量与向量PQ垂直，可以得到两个向量的内积为0，即:nP·P Q=0将向量nP和PQ展开，可以得到:(A,B,C)·(x-x0,y-y0,z-z0)=0展开后整理得到:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0通过整理，可以得到:Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0由平面的标准形式可知:Ax+By+Cz+D=0其中D=-(Ax0+By0+Cz0)将其代入上式中，可以得到:Ax+By+Cz=D这是平面的方程。
点到面距离求解技巧
点到面距离求解技巧点到面的距离是计算计算机图形学中常见的问题之一，它用于确定给定点与给定平面之间的最短距离。
在本文中，我们将介绍如何计算点到平面的距离，并提供一些求解技巧。
1.点到平面的距离公式点到平面的距离可以通过向量运算来计算。
给定平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是平面的系数。
点P(x0, y0, z0)到平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|是点P到平面的有向距离，√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法向量的长度。
2.点到平面距离的向量推导我们可以将点到平面的距离表示为该点到平面投影点的距离。
设点Q(x, y, z)为点P(x0, y0, z0)在平面上的投影点，那么向量PQ与平面的法向量垂直，也就是说，它们的点积为零。
根据向量点积的定义，我们可以得到：(A, B, C)·((x - x0, y - y0, z - z0)) = 0展开上述式子并整理，得到：Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0这就是点到平面的投影点的坐标。
接下来，我们可以计算点P到平面的有向距离d。
根据直线的距离公式，我们有：d = |PQ| = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2)将上述公式展开并整理后，可以得到点到平面距离的公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)3.点到平面距离的应用点到平面的距离在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。
例如，在三维计算机图形中，我们可以使用点到平面距离来实现碰撞检测、裁剪算法和视景体计算等。
同时，点到平面的距离也可以用于优化算法，例如最小二乘法中的参数估计和误差优化。
4.求解技巧求解点到平面距离的过程中，有一些技巧可以加速计算。
解析几何第三章知识点
第三章 平面与空间直线版权所有，侵权必究§3.1 平面的方程1．平面的点位式方程在空间给定了一点M 0与两个不共线的向量a ，b 后，通过点M 0且与a ，b 平行的平面π 就惟一被确定. 向量a ，b 叫平面π 的方位向量. 任意两个与π 平行的不共线的向量都可作为平面π 的方位向量.取标架{}321,,;e e e O ，设点M 0的向径0r =0OM ={}000,,z y x ，平面π 上任意一点M 的向径为r =OM = {x ，y ，z }（如图）. 点M 在平面π上的充要条件为向量M M 0与向量a ，b 共面. 由于a ，b 不共线，这个共面的条件可以写成M M 0= u a ＋v b而M M 0= r －r 0，所以上式可写成r = r 0＋u a ＋v b(3.1－1)此方程叫做平面π 的点位式向量参数方程，其中u ，v 为参数.若令a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }，则由(3.1－1)可得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=vZ u Z z z v Y u Y y y vX u X x x 210210210 (3.1－2)此方程叫做平面π 的点位式坐标参数方程，其中u ，v 为参数.(3.1－1)式两边与a ×b 作内积，消去参数u ，v 得(r －r 0，a ，b ) = 0(3.1－3)此即222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 (3.1－4)这是π 的点位式普通方程.已知平面π上三非共线点i M （i = 1，2，3）. 建立坐标系{O ；e 1, e 2, e 3}，设r i = i OM ={i x ，i y ，i z }，i = 1，2，3. 对动点M ，设r =OM ={x ，y ，z }，取21M M 和31M M 为方位向量，M 1为定点，则平面π的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为r = 1r ＋u(2r －1r )＋v(3r －r 1)(3.1－5) ⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+=-+-+=)()()()()()(131211312113121z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x(3.1－6)131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------= 0(3.1－7)(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程.特别地，若i M 是π 与三坐标轴的交点，即1M (a ，0，0)，2M (0，b ，0)，3M (0，0，c )，其中abc ≠0，则平面π 的方程就是caba z y a x 00---=0 (3.1－8)即1=++czb y a x (3.1－9)此方程叫平面π的截距式方程，其中a ，b ，c 称为π 在三坐标轴上的截距.2．平面的一般方程在空间任一平面都可用其上一点M 0(x 0，y 0，z 0)和两个方位向量a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }确定，因而任一平面都可用方程将其方程(3.1－4)表示. 将(3.1－4)展开就可写成Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0(3.1－10)其中A =2211Z Y Z Y ，B =2211X Z X Z ，C =2211Y X Y X由于a = {1X ，1Y ，1Z }与b = {2X ，2Y ，2Z }不共线，所以A ，B ，C 不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a ，b ，c 的一三元一次方程来表示.反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A ≠0，则(3.1－10)可改写成02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ACz ABy A D x A即000=--+ACA B zy AD x 它显然表示由点M 0 (－D / A ，0，0)和两个不共线的向量{B ，－A ，0}和{C ，0，－A }所决定的平面. 于是有定理3.1.1 空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数x ，y ，z 的三元一次方程；反过来，任一关于变数x ，y ，z 的三元一次方程都表示一个平面.方程(3.1－10) 称为平面π 的一般方程. 3．平面的法式方程若给定一点M 0和一个非零向量n ，则过M 0且与n 垂直的平面π也被惟一地确定. 称n 为π的法向量. 在空间坐标系{O ；i ，j ，k }下，设0r = 0OM ={x 0，y 0，z 0}，n = {A ，B ，C }，且平面上任一点M 的向径r =OM ={x ，y ，z }，则因总有M M 0⊥n ，有n (r －r 0) = 0(3.1－11) 也就是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0) = 0(3.1－12)方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面π 的点法式方程. (3.1－12)中的系数A ，B ，C 有简明的几何意义，它们就是平面π 的一个法向量的分量.特别地，取M 0为自O 向π 所作垂线的垂足，而n 为单位向量. 当平面不过原点时，取n 为与OP 同向的单位向量n 0，当平面过原点时取n 0的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个.设|OP | = p ，则OP = p n 0，由点P 和n 0确定的平面的方程为 n 0(r －p n 0) = 0式中r 是平面的动向径. 由于1)(20=n ，上式可写成n 0r －p = 0(3.1－13)此方程叫平面的向量式法式方程.若设r = {x ，y ，z }，n 0 = {cos α，cos β，cos γ}，则由(3.1－13)得x cos α＋y cos β＋z cos γ－p = 0(3.1－14)此为平面的坐标法式方程，简称法式方程.平面的坐标法式方程有如下特征：1°一次项系数是单位向量的分量，其平方和等于1； 2°常数项－p ≤0（意味着p ≥ 0）. 3°p 是原点到平面的距离. 4．化一般方程为法式方程在直角坐标系下，若已知π的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0，则n = {A ，B ，C }是π的法向量，Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0可写为nr ＋D = 0(3.1－15)与(3.1－13)比较可知，只要以2221||1CB A ++±=±=n λ 去乘(3.1－15)就可得法式方程λAx ＋λBy ＋λCz ＋λD = 0 (3.1－16)其中正负号的选取，当D ≠0时应使(3.1－16)的常数项为负，D ＝0时可任意选.以上过程称为平面方程的法式化，而将2221CB A ++±=λ叫做法化因子.§3.2 平面与点的相关位置平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上. 前者的条件是点的坐标满足平面方程. 点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在曲面的哪一侧.1．点与平面间的距离定义3.2.1 自点M 0向平面π 引垂线，垂足为Q . 向量0QM 在平面π的单位法向量n 0上的射影叫做M 0与平面π之间的离差，记作δ = 射影n 00QM(3.2－1)显然δ = 射影n 00QM = 0QM ·n 0 =∣0QM ∣cos ∠(0QM ，n 0) =±∣0QM ∣当0QM 与n 0同向时，离差δ > 0；当0QM 与n 0反向时，离差δ < 0. 当且仅当M 0在平面上时，离差δ = 0.显然，离差的绝对值|δ |就是点M 0到平面π 的距离. 定理3.2.1 点M 0与平面（3.1－13）之间的离差为δ = n 0r 0－p (3.2－2)推论1 若平面π 的法式方程为 0cos cos cos =-++p z y x γβα，则),,(0000z y x M 与π间的离差=δp z y x -++γβαcos cos cos 000(3.2－3)推论2 点),,(0000z y x M 与平面Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0间的距离为()2220000,CB A DCz By Ax M d +++++=π (3.2－4)2．平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义 设平面π的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0那么，空间任何一点M （x ，y ，z ）与平面间的离差为=δp z y x -++γβαcos cos cos = λ (Ax ＋By ＋Cz ＋D )式中λ为平面π的法化因子，由此有Ax ＋By ＋Cz ＋D =δλ1(3.2－5)对于平面π同侧的点，δ 的符号相同；对于在平面π的异侧的点，δ 有不同的符号，而λ一经取定，符号就是固定的. 因此，平面π：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0把空间划分为两部分，对于某一部分的点M (x ，y ，z ) Ax ＋By ＋Cz ＋D > 0；而对于另一部分的点，则有Ax ＋By ＋Cz ＋D < 0，在平面π上的点有Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0.§3.3 两平面的相关位置空间两平面的相关位置有3种情形，即相交、平行和重合. 设两平面π1与π2的方程分别是π1： 11110A x B y C z D +++=(1)π2： 22220A x B y C z D +++=(2)则两平面π1与π2相交、平行或是重合，就决定于由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解，或无数个解，从而我们可得下面的定理.定理3.3.1 两平面（1）与（2）相交的充要条件是111222::::A B C A B C ≠(3.3－1)平行的充要条件是11112222A B C D A B C D ==≠(3.3－2)重合的充要条件是11112222A B C D A B C D ===(3.3－3)由于两平面π1与π2的法向量分别为11112222{,,},{,,}n A B C n A B C ==，当且仅当n 1不平行于n 2时π1与π2相交，当且仅当n 1∥n 2时π1与π2平行或重合，由此我们同样能得到上面3个条件.下面定义两平面间的夹角.设两平面的法向量间的夹角为θ，称π1与π2的二面角∠(π1，π2) =θ 或π－θ为两平面间的夹角.显然有12cos (,)ππ∠=±cos θ =(3.3－4)定理3.3.2 两平面（1）与（2）垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A(3.3－5)例 一平面过两点 1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面x ＋y ＋z = 0，求它的方程.解 设所求平面的法向量为n = {A ，B ，C }，由于12{01,11,11}{1,0,2}M M =----=--在所求平面上，有12M M n ⊥， 120M M n ⋅=，即20A C --= .又n 垂直于平面x ＋y ＋z = 0的法线向量{1，1，1}，故有 A ＋B ＋C = 0 解方程组20,0,A C A B C --=⎧⎨++=⎩得2,,A CBC =-⎧⎨=⎩ 所求平面的方程为2(1)(1)(1)0C x C y C z --+-+-=，约去非零因子C 得2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=，即2x －y －z =0§3.4 空间直线的方程1．由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程在空间给定了一点0000(,,)M x y z 与一个非零向量v = {X ，Y ，Z }，则过点M 0且平行于向量v 的直线l 就惟一地被确定. 向量v 叫直线l 的方向向量. 显然，任一与直线l 上平行的飞零向量均可作为直线l 的方向向量.下面建立直线l 的方程.如图，设M (x ，y ，z ) 是直线l 上任意一点，其对应的向径是r = { x ，y ，z }，而0000(,,)M x y z 对应的向径是r 0，则因M M 0//v ，有t ∈R ，M M 0= t v . 即有r －r 0= t v所以得直线l 的点向式向量参数方程r = r 0＋t v (3.4－1)以诸相关向量的分量代入上式，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Y X t z y x z y x 000根据向量加法的性质就得直线l 的点向式坐标参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xtx x 000 (3.4－2)消去参数t ，就得直线l 的点向式对称方程为Zz z Y y y X x x 000-=-=- (3.4－3)此方程也叫直线l 的标准方程.今后如无特别说明，在作业和考试时所求得的直线方程的结果都应写成对称式.例1 设直线L 通过空间两点M 1(x 1，y 1，z 1)和M 2(x 2，y 2，z 2)，则取M 1为定点，21M M 为方位向量，就得到直线的两点式方程为121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (3.4－4)根据前面的分析和直线的方程(3.4－1)，可得到||||||||||00v M M v t =-=r r 这个式子清楚地给出了直线的参数方程(3.4－1)或(3.4－2)中参数的几何意义：参数t 的绝对值等于定点M 0到动点M 之间的距离与方向向量的模的比值，表明线段M 0M 的长度是方向向量v 的长度的 |t | 倍.特别地，若取方向向量为单位向量v 0 = {cos α，cos β，cos γ}则(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次变为r = r 0＋t v 0(3.4－5)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x (3.4－6)和γβαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- (3.4－7)此时因 |v | = 1，t 的绝对值恰好等于l 上两点M 0与M 之间的距离.直线l 的方向向量的方向角α，β，γ cos α，cos β，cos γ 分别叫做直线l 的方向角和方向余弦.由于任意一个与v 平行的非零向量v'都可作为直线l 的方向向量，而二者的分量是成比例的，我们一般称X ：Y ：Z 为直线l 的方向数，用来表示直线l 的方向.2．直线的一般方程空间直线l 可看成两平面π1和π2的交线. 事实上，若两个相交的平面π1和π2的方程分别为π1： 11110A x B y C z D +++= π2： 22220A x B y C z D +++=那么空间直线l 上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组111122220,0.A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (3.4－8)反过来，如果点不在直线l 上，那么它不可能同时在平面π1和π2上，所以它的坐标不满足方程组(3.4－8).因此，l 可用方程组(3.4－8)表示，方程组(3.4－8)叫做空间直线的一般方程.一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就可得到空间直线的方程.直线的标准方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式. 将标准方程化为一般式，得到的是直线的射影式方程.将直线的一般方程化为标准式，只需在直线上任取一点，然后取构成直线的两个平面的两个法向量的向量积为直线的方向向量即可.例1将直线的一般方程10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩ 化为对称式和参数方程.解 令y = 0，得这直线上的一点（1，0，－2）.两平面的法向量为a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}因a ×b = {4，－1，－3}，取为直线的法向量，即得直线的对称式方程为12413x y z -+==--令t z y x =-+=-=-32141，则得所求的参数方程为 14,,23.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩§3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置有直线与平面相交，直线与平面平行和直线在平面上3种情形. 设直线l 与平面π 的方程分别为L ：000x x y y z z X Y Z ---== (1) π ：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0(2)将直线l 的方程改写为参数式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tZz z tY y y tX x x 000. (3)将（3）代入（2），整理可得(AX ＋BY ＋CZ )t = －(Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D )(4)当且仅当AX ＋BY ＋CZ ≠0时，（4）有惟一解CZBY AX DCz By t +++++-=000Ax这时直线l 与平面π 有惟一公共点；当且仅当AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ≠0时，方程（4）无解，直线l 与平面π 没有公共点；当且仅当AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D = 0时，（4）有无数多解，直线l 在平面π 上. 于是有定理3.5.1 关于直线（1）与平面（2）的相互位置，有下面的充要条件： 1）相交： AX ＋BY ＋CZ ≠02）平行：AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ≠03）直线在平面上： AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D = 0以上条件的几何解释：就是直线l 的方向向量v 与平面π 的法向量n 之间关系. 1）表示v 与n 不垂直；2）表示v 与n 垂直且直线l 上的点（x 0，y 0，z 0）不在平面π 上； 3）表示v 与n 垂直且直线l 上的点（x 0，y 0，z 0）在平面π 上. 当直线l 与平面π 相交时，可求它们的交角. 当直线不与平面垂直时，直线与平面的交角ϕ 是指直线和它在平面上的射影所构成的锐角；垂直时规定是直角.设v = {X ，Y ，Z }是直线l 的方向向量，n = {A ，B ，C }是平面π 的法向量，则令∠(l ，π ) =ϕ，∠(v ，n ) = θ ，就有ϕ=-2πθ 或 ϕ= θ－2π（θ 为锐角） 因而sin ϕ =∣cos θ∣=vn v n ⋅⋅=222222ZY X CB A CZ BY AX ++++++ (3.5－1)§3.6 空间直线与点的相关位置任给一条直线l 的方程和一点M 0，则l 和M 0的位置关系只有两种：点在直线上和点不在直线上。
点到平面的距离计算方法
点到平面的距离计算方法在几何学中，计算点到平面的距离是一个常见的问题。
这涉及到确定一个平面上的点与固定平面之间的距离。
本文将介绍两种常用的点到平面距离计算方法：点法向量法和公式法。
1. 点法向量法点法向量法是通过点P到平面上某一点的矢量与该平面的法向量的点积来计算距离的方法。
具体步骤如下：步骤一：确定平面方程首先，需要确定给定平面的方程。
平面方程通常用Ax + By + Cz + D = 0表示，其中A、B、C是平面的法向量，D是一个常数。
步骤二：计算点P到平面的法向量将点P的坐标带入平面方程，可得到一个向量，即点P到平面的法向量。
步骤三：计算点P到平面的距离将点P到平面的法向量与平面的法向量进行点积运算，再除以平面法向量的模长，即可得到点P到平面的距离。
2. 公式法公式法是通过点P到平面的法向量与平面上一点到点P的向量的点积来计算距离的方法。
具体步骤如下：步骤一：确定平面方程同样地，需要确定给定平面的方程。
平面方程通常用Ax + By + Cz + D = 0表示，其中A、B、C是平面的法向量，D是一个常数。
步骤二：计算点P到平面的距离将点P的坐标带入平面方程，计算得到Ax + By + Cz的值，再除以平面法向量的模长，即可得到点P到平面的距离。
这两种方法都可以准确计算点到平面的距离。
选择哪种方法取决于具体的情况和个人偏好。
需要注意的是，当计算距离时，所选取的点必须在平面上。
总结点到平面的距离计算方法有：点法向量法和公式法。
点法向量法通过点P到平面上某一点的矢量与该平面的法向量的点积来计算距离；公式法通过点P到平面的法向量与平面上一点到点P的向量的点积来计算距离。
选择哪种方法取决于具体情况。
在进行计算时，需要确保所选取的点在平面上。
通过本文的介绍，相信读者能够理解并掌握计算点到平面距离的方法，从而应用于实际问题中。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法目录1.引言 (1)2.预备知识 (1)3.求点到平面距离的若干求法 (3)3.1定义法求点到平面距离 (3)3.2转化法求点到平面距离 (5)3.3等体积法求点到平面距离 (7)3.4利用二面角求点到平面距离 (8)3.5向量法求点到平面距离 (9)3.6最值法求点到平面距离 (11)3.7公式法求点到平面距离 (13)1．引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。
点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。
2．预备知识(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
图1(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
(3) 四面体的体积公式13V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。
如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。
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§3.2 点到平面的距离，平面的法式方程
本节重点：掌握平面划分空间的判别法
掌握点到平面的距离的求法。
掌握平面的法式方程。
1. 平面划分空间
由平面方程建立中，我们看到平面方程的左边
AX ＋BY ＋CZ ＋D ＝→→∙P P n 0
这里→n 为平面的法向量{A,B,C}，0P 为平面上任一点，P (X,Y ,Z)为动点。
若P 在已知平面上，则上式的值为 0。
假设P 不在这个平面上，则上式不等于0，我们来研究它的符号。
把→n 的起点放在0P ，则它指向已知平面的某一侧。
若P 点位于→n 所指的这一侧，则∠(→n ，→P P 0)小于直角，于是→n ·→P P 0＞0。
若P 位于与→n 所指相反的一侧,则∠(→n ，→P P 0)大于直角，于是→n ·→P P 0＜0。
由此我们得到
3.2.1 定理 对于平面
AX ＋BY ＋CZ ＋D ＝0
把法向量→n {A,B,C}的起点放在它上面，则→
n 所指一侧的点坐标满足不等式
AX ＋BY ＋CZ ＋D ＞0
而另一侧的点的坐标满足不等式
AX ＋BY ＋CZ ＋D ＜0
系：把位于已知平面同侧的点的坐标代入方程左边，所得的值必同号；异侧的点的坐标代入方程左边，其值异号。
由此，我们知道平面把空间上点分成三部分，一部分点在平面上，它的坐标代入方程左端使 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＞0与AX ＋BY ＋CZ ＋D ＜0。
2. 点到平面的距离，平面的法式方程
从点P 向已知平面引垂直线段PM ，(如图2-5)是点P 到平面
图2-5
的距离。
再由P 点向过0P 的平面法线→n 引垂直线段PN ，则易知四边形N PMP 0为一矩形，故N P 0=PM ，由于在含→n 的轴线上→N P 0是→P P 0的射影向量
∴ →→P P o n 0Pr =→N P 0→n =→P P 0→
n 故|→N P 0|=N P 0=
||||0→→→⋅n n P P 即
222|
|C B A D Cz By Ax d +++++= （1）
于是我们有
3.2.2定理 一点到已知平面距离公式由(1)表示
系：原点到已知平面AX ＋BY ＋CZ ＋D ＝0的距离为
222|
|C
B A D d ++= 由公式(1)可以看出，如果将已知平面方程的左边预先乘以一个因子 2221
C B A ++±=λ
得一仍代表原平面的新方程，那么去求距离时只要将已知点的坐标代入左边，并取绝对值就可得到。
现在对于λ的符号，我们来现定一种确定的取法。
当方程左边乘以λ时,它变成
λAX ＋λBY ＋λCZ ＋λD ＝0 (2)
因此，由这方程的一项系数所确定的法向量就是λ→n 。
今设平面不通过原点，我们从原点到这平面引垂直线段0OP 。
由于向量→0OP 与→n 平行，因此，可以取λ的符号使λ→n 与→0OP 同向。
这时，若将λ→n 的起点移到这平面上，它就指向不含原点的一侧。
现在我们将定理1用于方程(2)便得λD ＜0，这样，我们应取λ的符号与D 相反。
如果平面通过原点(即D ＝0)则0P 合于原点O ，→
0OP 成为零向量，这时我们对于λ的符号可不予以限制。
在上述规定下，我们考察一下方程(3) 四个系数的几何意义。
由定理2的系看出│λD │＝0OP 但λD ≤0故λD ＝－0OP ，如果记p ＝0OP ，则为λD ＝－P 。
由于(λA)2＋(λB)2＋(λC)2＝1，因此法向量{λA ，λB ，λC}为单位向量，于是其三个坐标即为→0OP 的方向余弦，即
λA ＝COS α λB ＝COS β λC ＝COS γ
这样(2)可以写成
XCOS α＋YCOS β＋ZCOS γ－p ＝0
这个方程叫做平面的法式方程，一个给定一般方程的平面；AX ＋BY ＋CZ ＋D ＝0，当其左边乘以λ之后，就成为法式方程，因此，λ叫做法式化因子。
例1、 求下列平面的法式方程
(1) 2X －2Y ＋Z －3＝0
(2) X －3Y ＋2Z ＋21＝0
(3) X －3Y ＋2Z ＝0
(4) X －ａ＝0 ａ＞0
解：(1) 2
221
C B A ++=31
D ＝—3＜0 故λ＝3
1，法式方程为 32X －32Y ＋3
1z －1＝0 (2) 2221C
B A ++=141 D ＝21>0故λ＝—141，法式方程为 法式方程为
—141
（X －3Y ＋2Z ＋21）=0
(3) D ＝0 λ＝±
141 法式方程为 ±141
(X －3Y ＋2Z)=0
例2、求以下各组距离
(1) 原点到平面2X ＋3Y ＋6Z －35＝0
(2) 点(1,3,－2)到平面662-++Z Y X ＝0
解：(1) p =
5369435=++ (2) 13
3441|662|=-=++-++=
Z Y X d 习 题 3-２
１、将下列平面方程化为法式方程：
(1) 6X －3Y ＋6Z －7＝0
(2) 2X －2Y －Z ＋12＝0
(3) X －2Y ＋Z ＋8＝0
(4) X －ａ＝0 (ａ＞0)
２、求原点到平面12X －4Y ＋3Z －39＝0的距离。
３、求点(2,3,－5)与(3,4,7)到平面 X ＋2Y －2Z ＝9的距离，并问这两点是否在这平面同侧？ ４、求两平行平面6X ＋2Y －3Z ＋63＝0 ，6X ＋2Y －3Z ＋49＝0间的距离。
５、一个动点到三个平面 X ＋Y ＋Z ＝0 ，X －Z ＝0，X －2Y ＋Z ＝0距离之平方和等于9,试求这个点的轨迹方程。
６、平面6X －3Y －6Z ＋7＝0与 X ＋2Y ＋2Z －9＝0相交组成两对对棱二面角，试求含有坐标原点的那个二面角及其对棱二面角的角平分面方程。