高数第八章(5)平面及其方程
平面及其方程演示文稿
故 可 取n a b i jk
n a b 3 4 6 14i 9 j k
2 3 1
14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
即
14x 9 y z 15 0.
例3 求过下列三点M1(1,1,1)、M2(2,1,2)、 M 3 (3,3,1) 的 平 面 方 程. 解 先求法向量n. 因为n M1M2, n M1M3,
面.方 程 Ax By Cz D 0 称 为 平 面 的一 般 方 程,
其 中x、y、z 的 系 数 就 是 该 平 面 一 个法 线 向 量n
的 坐 标,即
n ( A, B,C).
3. 特殊的三元一次方程所表示的平面
Ax By Cz D 0. D 0, Ax By Cz 0,平面过原点. A 0, By Cz D 0, n (0, B,C )垂 直
因为过空间任一点可以作而且只能作一平 面垂直于一已知直线，所以当平面Π 上一点 M0( x0 , y0 , z0 ) 和它的一个法线向量 n ( A, B,C )
为已知时，平面Π 的知条件来建立平面Π的方程.
已知平面 上一点 z
M0( x0 , y0 , z0 ) 和它的一个 M0
M1M2 (3,0,1), M1M3 (4,2,0), i jk
n M1M2 M1M3 3 0 1 2i 4 j 6k, 4 2 0
所求平面方程为 2( x 1) 4( y 1) 6(z 1) 0,
化简得 x 2 y 3z 6 0.
一般地, 如果平面过不共线已知三点 A(a1, a2 , a3 ), B(b1, b2 , b3 ),C(c1, c2 , c3 ),设M ( x, y, z)是平面上任 意 一 点.
解 根据平面的点法式方程, 所求平面为 1 ( x 1) 2 ( y 1) 1 (z 2) 0,
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面.
解
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
解
根据题意有
所求方程为
根据题意有
解
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎的？
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
同济高数（第七版）--第八章
一：向量代数与空间几何定理1：设0 ≠a ，则向量b 与a 平行的充要条件为：存在唯一的实数λ，使得a bλ=。
证：充分性：已知一个向量a ，且0 ≠a ，因为规定a λ是一个向量，当0>λ，方向与a相同；当0<λ时，方向与a相反，但方向无论是相反还是相同，都成为两向量共线，即平行，故由a b λ=，所以向量b 与a平行。
必要性：已知a b //，且0 ≠a ，故设b 与a的模长相差一个λ倍关系，即a b =λ，故而b a a==λλ，即a λ的模长等于b 的模长，当b 与a 同向时，令0>λ，则a λ与a 的方向相同，则此次b与aλ同向且等模，故a bλ=；当b与a 反向时，令0<λ，则a λ与a的方向相反，则此次b与aλ仍然同向且等模，故a bλ=仍成立；故又假设存在不等于λ的实数μ满足上面所述的关系，即a b μ=（λμ≠），故a b b)(0μλ-=-=，又0 ≠a ，故μλ=，与假设矛盾，故假设不成立，所以能满足上述关系的实数唯一。
注意：①当02=x 时，而022≠⋅z y ，即),0(22,z y b ，若b a //，则⇒=b aλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====λλz z y y x x 2121210；②当022==y x 时，而02≠z ，即),0,0(2z b ，若b a //，则⇒=b aλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====z z y y x x 21212100λλλ，但是注意到无论λ=z z 21为何值，021==x x λ以及021==y y λ都恒成立，因为00⋅=λ时，λ可以取任意实数。
故就不需要约定z 1与z 2的关系，即⎪⎩⎪⎨⎧====002121y y x x λλ。
**4.向量的混合积cb ac b a ⋅⨯=)(][作用：①可以求平行六面体的体积；②可以判定a，b，c三个向量是否共面。
推导：假设有如图所示的一个平行六面体，设底面积为S ，因为底面为一个平行四边形，故b a b b a a S⨯=⋅><=,sin ，而该六面体的高θcos c h =，根据叉乘的右手规则，得b a ⨯的方向垂直于底面，如图所示，则θ即为b a z⨯=与c 所成的夹角，故该六面体的体积c b a V c z c c z z c b a h S V⋅⨯=⇒⋅=><=⨯=⋅=)(,cos cos θ，故向量的混合积等于一个以a ，b ，c三个向量为邻边的平行六面体的体积；注意到当混合积的值为零时，该平行六面体的体积就为零，也就是说a，b，c三个向量为棱不能构成平行六面体，这种情况就只有三个向量在同一个平面时才能满足，即a，b ，c 三个向量共面。
8(5)平面及其方程
(plane)
平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角 点到平面的距离 小结 思考题 作业
1
第八章 空间解析几何与向量代数
平面及其方程
在空间内, 在空间内,确定一个平面的几何条件 不共线的三点确定、 是多种多样的. 是多种多样的. 如: 不共线的三点确定 P2
平面及其方程
二、平面的一般方程
平面的点法式方程
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
Ax By Cz A + B +C + D= 0 r 法向量 n = ( A, B , C )
Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 =D
y + 3z − 1 = 0
| −1 × 0 + 2 × 1 − 1 × 3 | , 2 2 2 2 2 ( −1) + 2 + ( −1) ⋅ 1 + 3
1 两平面相交, 两平面相交 cosθ = 60
1 夹角 θ = arccos . 60
15
平面及其方程
( 2 ) 2 x − y + z − 1 = 0, − 4 x + 2 y − 2 z − 1 = 0
D = 0,
6 A − 3 B + 2C = 0
z
r n= (A, B,C)
•
r Q n ⊥ (4,−1,2) ∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, x 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
高数下册知识点
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
高数下册知识点
高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a （a x，a y,a z），b（b x,b y,b z），则a b （a x b x,a y b y ,a z b z）, a （ a x, a y, a z）；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：获—y2—z2；2）两点间的距离公式：AB J（X2 xj2（y2 y i）2（Z2 zj23）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,5）投影：Prj u a a cos ，其中为向量a与u的夹角（二）数量积，向量积1、数量积：a ba ||b cos1）a a a 24）方向余弦: COSx—,cosr—,cosr2a b a b 0 ）2向量积：c a b 、大小：|a||b sin ，方向：a, b ,c 符合右手规则1)a a 02)a// b a b 0 运算律：反交换律b a a b (三)曲面及其方程1、 曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、 旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) 0，绕y 轴旋转一周：f(y, Vx 2z 2)绕z 轴旋转一周：f( \ x 2y 2, z) 03、 柱面：F(x,y)F (x, y) 0表示母线平行于z 轴，准线为z 0的柱面4、 二次曲面22xy21)椭圆锥面：Q 22za b 2 x2) 椭球面：亍b 22 z2c2x 旋转椭球面： 2a2y 2 a2z 2 c2x2y 2 z 13) 单叶双曲面:2 a b 22c222xy z14) 双叶双曲面:2 a b 22c2 2x y z5) 椭圆抛物面:2 ab 222x y z6) 双曲抛物面（马鞍面）:a 2 b 222x y 17)椭圆柱面： 2 a b 222x y 18)双曲柱面：2 a b 229) 抛物柱面：x ay（四）空间曲线及其方程F(x,y,z) 01、般方程：G (x, y,z) 0x x(t)x a cos t 2、参数方程：y y（t ），如螺旋线：y a sin tz z(t)zbt3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y,z)消去z ，得到曲线在面xoy上的投影 G (x, y, z) 0H (x, y) 0 z 0（五）平面及其方程1、 点法式方程： A(xX 。
高等数学-第8章 - (平面及其方程)
n
M1
M3
n M1 M 2 M1 M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
M2
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
即
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x2 y1 z 4
3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) ( k 1 , 2 , 3)
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M1 M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A BC 0 , 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
轴。
方程
f x y , z 0,
2 2
表示 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴 旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f y , x 2 z 2 0. 同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) 0 绕
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0 2x y z 0
即
例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 n P1 P0 n PP d Prj n 1 0 P0 n
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n P0
d
(点到平面的距离公式)
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例6. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程.
解: 设球心为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , 则它位于第一卦限,且 x0 y 0 z 0 1 R ( 半径 ) x y z 0 0 0 z 2 2 2 1 1 1
(P40 例4 , 自己练习)
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n2
2
即
n1 n2 cos n1 n2
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
即
2x y z 0
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例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点
P 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 P 1P 0n PP d Prj n 1 0 n A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) P A2 B 2 C 2 1
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
第八章
二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
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一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
z
M
任取点 M ( x, y, z ) , 则有
n2 (3, 2, 12)
取所求平面的法向量
n n1 n2 (10, 15, 5 )
则所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得
2x 3 y z 6 0
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分析:利用三点式
xa a
y b
z 0 0
a 0 c 按第一行展开得 ( x a)bc y (a)c zab 0 bcx acy abz abc 即
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
A x B y C z D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
(abc 0)
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
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三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
M 0M n
n
M0
故
M 0M n 0
o x
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
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例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6 x y 6 z 6. 代入体积式
内容小结
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
x y z 1 a b c
x x1 x2 x1 x3 x1
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
从而
o x
M0
y
因此所求球面方程为
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例 求平行于平面 6 x y 6 z 5 0而与三个坐标 面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
x y z 解 设平面为 1, a b c 1 1 V 1, abc 1, 3 2
Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B, C ) i, 平面平行于 x 轴;
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思考与练习
P42 题4 , 5, 8
作业
P42 2, 6, 7, 9
第六节 目录
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备用题 求过点(1,1,1)且垂直于二平面 x y z 7 和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解: 已知二平面的法向量为
n1 (1, 1, 1),
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
1
2
n1
n2
2 1
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n1
例4. 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1, 2 , 3)
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特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时,平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
②
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
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平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
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垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M 1M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A B C 0, 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
n
M1 M3 M2
n M 1M 2 M 1M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程
即
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
1
cos
A1 A2 B1B2 C1C2
2 A1
2 B1
2 C1
A2 B2 C2
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2
2
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
特别有下列结论：
1
z
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
a b c , （向量平行的充要条件） 6 1 6
1
1
1 1 1 1 1 1 , 令 t 化简得 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 a , b , c , 6t 6t t 1 1 1 1 1 1 t , 6 6t t 6t 6