第五节 曲面 平面及其方程
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2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训
点马的去心邻域，记作。（凡，肉，即
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
曲面及其方程总结
曲面及其方程总结曲面是数学中的一个重要概念，它是一个二维的、有界的、有形的几何形体。
曲面可以由多个平面片拼接而成，也可以通过参数方程进行描述。
在数学中，曲面的研究与计算具有广泛的应用，涉及到多个学科领域，如微分几何、微分方程、物理学等。
本文将对曲面及其方程进行总结，主要从曲面的定义、分类、表示、性质以及在实际应用中的相关问题进行讨论。
首先，曲面的定义。
曲面可以被理解为三维空间中的一个平面形体，它有长度、宽度和厚度。
曲面可以由平面片拼接而成，每个平面片都是一个二维平面，它可以由一个或多个方程来表示。
曲面的形状可以是平坦的，如平面、球面，也可以是弯曲的，如圆柱面、抛物面等。
曲面的形状取决于其方程的具体形式。
其次，曲面的分类。
曲面可以根据其方程的特点进行分类。
常见的曲面包括平面、球面、二次曲面等。
平面是最简单的曲面，它的方程形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为实数常数。
球面是由一个点到空间中所有点的距离相等的曲面，其方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a, b, c)为球心的坐标，r为球的半径。
二次曲面是由二次方程来表示的曲面，常见的二次曲面有椭球面、双曲面、抛物面等。
然后，曲面的表示。
曲面的表示可以通过参数方程或隐式方程来进行。
参数方程是指用参数来表示曲面上的点的坐标，其中参数可以是一个、二个或三个，具体取决于曲面的维度。
例如，球面可以由两个参数θ和φ来表示，其参数方程为x=r·sinθ·cosφ，y=r·sinθ·sinφ，z=r·cosθ，其中r为球的半径，θ和φ为参数的取值范围。
隐式方程是指用一个或多个变量的关系式来表示曲面的方程，例如，平面的隐式方程为Ax+By+Cz+D=0，球面的隐式方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²。
曲面及其方程
锥面上任意两点之间的曲线相交于一点，锥顶是锥面的顶点。
02
曲面的方程
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面上的点与三维空间中某点的关系，它可以通过几何图形或方程的形式来表示。
曲面方程的概念与性质
曲面方程的性质
曲面方程的性质取决于曲面的形状和特性，例如对称性、连续性、光滑性等。
曲面方程的变量
曲面方程通常由两个或三个变量构成，这些变量可以是坐标系中的x、y、z值或其他参数。
曲面在航空航天中的应用
THANKS
谢谢您的观看
短程线
曲面上的测地线与短程线
04
曲面的分类与性质
定义
性质
方程
平面的性质与特征
定义
球面是一种以定点为中心，半径为定长的封闭曲面。
性质
球面的法线与半径垂直，且通过球心的法线有两个。
方程
球面的方程通常采用球心坐标和半径表示，即(x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2，其中(h, k, l)是球心的坐标，r是球的半径。
在机械设计中，曲面可以用来创建平滑、流线型的形状，同时还可以实现功能性的要求，例如引导气流、提供结构强度等。
曲面可以由专业的CAD软件创建，这些软件通常提供了丰富的曲面功能，例如拉伸、旋转、扫描等操作。
03
曲面在建筑设计中还可以用来解决物理问题，例如引导光线、遮阳、排水等。
曲面在建筑设计中的应用
01
在建筑设计中，曲面被广泛应用于创造富有艺术感和流动感的建筑外形。
02
通过使用曲面，建筑师可以创造出平滑的建筑立面，以及具有自然形态的室内空间。
在航空航天领域，曲面被广泛应用于飞机和火箭的设计中。
曲面可以用来创建平滑、符合空气动力学的机身外形，同时还可以实现高效的空气动力学性能。
02
曲面的方程
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面上的点与三维空间中某点的关系，它可以通过几何图形或方程的形式来表示。
曲面方程的概念与性质
曲面方程的性质
曲面方程的性质取决于曲面的形状和特性，例如对称性、连续性、光滑性等。
曲面方程的变量
曲面方程通常由两个或三个变量构成，这些变量可以是坐标系中的x、y、z值或其他参数。
曲面在航空航天中的应用
THANKS
谢谢您的观看
短程线
曲面上的测地线与短程线
04
曲面的分类与性质
定义
性质
方程
平面的性质与特征
定义
球面是一种以定点为中心，半径为定长的封闭曲面。
性质
球面的法线与半径垂直，且通过球心的法线有两个。
方程
球面的方程通常采用球心坐标和半径表示，即(x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2，其中(h, k, l)是球心的坐标，r是球的半径。
在机械设计中，曲面可以用来创建平滑、流线型的形状，同时还可以实现功能性的要求，例如引导气流、提供结构强度等。
曲面可以由专业的CAD软件创建，这些软件通常提供了丰富的曲面功能，例如拉伸、旋转、扫描等操作。
03
曲面在建筑设计中还可以用来解决物理问题，例如引导光线、遮阳、排水等。
曲面在建筑设计中的应用
01
在建筑设计中，曲面被广泛应用于创造富有艺术感和流动感的建筑外形。
02
通过使用曲面，建筑师可以创造出平滑的建筑立面，以及具有自然形态的室内空间。
在航空航天领域，曲面被广泛应用于飞机和火箭的设计中。
曲面可以用来创建平滑、符合空气动力学的机身外形，同时还可以实现高效的空气动力学性能。
第五节曲面平面及其方程
动直线L叫柱 面的母线. 观察柱面的形 成过程:
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线 C. （其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
两平面平行但不重合．
(3) 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
两平面重合.
例10 设P0 ( x0 , y0 , z0 )是平面Ax By Cz D 0 外一点，求P0 到平面的距离.
解 P1( x1, y1, z1 ) d | Pr jnP1P0 |
所求平面方程为 6x y 6z 6.
[3]. 两平面的夹角
(1) 夹角的定义
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. （通常取锐角）
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0,
n1 { A1, B1,C1},
例4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、
Q(0, b,0)、R(0,0, c)（其中a 0 ，b 0 ，
c 0），求此平面方程.
z
解 设平面为
b
Ax By Cz D 0,
c
将三点坐标代入得
aA D 0, bB D 0,
x
a
y
cC D 0,
AD, BD, C D.
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线 C. （其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
两平面平行但不重合．
(3) 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
两平面重合.
例10 设P0 ( x0 , y0 , z0 )是平面Ax By Cz D 0 外一点，求P0 到平面的距离.
解 P1( x1, y1, z1 ) d | Pr jnP1P0 |
所求平面方程为 6x y 6z 6.
[3]. 两平面的夹角
(1) 夹角的定义
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. （通常取锐角）
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0,
n1 { A1, B1,C1},
例4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、
Q(0, b,0)、R(0,0, c)（其中a 0 ，b 0 ，
c 0），求此平面方程.
z
解 设平面为
b
Ax By Cz D 0,
c
将三点坐标代入得
aA D 0, bB D 0,
x
a
y
cC D 0,
AD, BD, C D.
高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
曲面及其方程
曲面及其方程曲面是三维空间中的一个概念，它是三维空间中的一个二维曲面。
曲面可以用方程来描述，方程可以是显式的或者隐式的，根据方程的不同形式，我们可以得到不同类型的曲面。
一、曲面的定义和基本概念曲面是指在三维空间中，由一连串的点组成的集合，这些点满足一定的条件。
通常情况下，我们可以通过方程来描述曲面。
曲面上的点可以用三个坐标来表示，也就是(x, y, z)。
曲面的方程可以是显式的，也可以是隐式的。
二、曲面方程的分类1. 平面方程：平面是一种特殊的曲面，它可以通过一个点和一个法向量来唯一确定。
平面方程通常有两种形式：点法式和一般式。
点法式的形式为Ax+By+Cz+D=0，表示平面上的任意一点(x, y, z)都满足这个方程。
一般式的形式为Ax+By+Cz+D=0，表示平面上的任意一点(x, y, z)都满足这个方程。
2. 圆锥曲线方程：圆锥曲线是由一个点和一个与之不重合的定直线（称为准线）决定的。
根据准线与曲线的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆的方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。
双曲线的方程也有两种形式：标准方程和一般方程。
抛物线的方程也有两种形式：标准方程和一般方程。
3. 曲面方程：曲面方程可以分为显式方程和隐式方程两种。
显式方程通常以z = f(x, y)的形式表示，其中f(x, y)是一个关于x和y 的函数。
隐式方程通常以F(x, y, z) = 0的形式表示，其中F(x, y, z)是一个关于x、y和z的函数。
三、曲面方程的应用曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学中，曲面方程是研究曲面性质的基础。
它可以帮助我们了解曲面的形状、方向和曲率等信息。
在物理学中，曲面方程可以用来描述物体的形状和运动轨迹。
例如，在光学中，曲面方程可以用来描述光线在透镜或者反射面上的传播规律。
总结：曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用方程来描述。
曲面方程可以分为平面方程、圆锥曲线方程和曲面方程三种类型。
第五节 平面及其方程
其对应方程为方程组
G ( x, y , z ) 0
F ( x, y , z ) 0
z
S O y
x
S2
C F ( x, y , z ) 0
S1
则方程组(1)叫做空间曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程组(1) 的图形.
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两个基本问题 : (1) 已知一曲面(曲线)作为点的几何轨迹时, 求曲面(曲线)方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C2
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2
2
2
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结束
1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故
O
M0
y
因此所求球面方程为
x
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返回
结束
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
G ( x, y , z ) 0
F ( x, y , z ) 0
z
S O y
x
S2
C F ( x, y , z ) 0
S1
则方程组(1)叫做空间曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程组(1) 的图形.
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两个基本问题 : (1) 已知一曲面(曲线)作为点的几何轨迹时, 求曲面(曲线)方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C2
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2
2
2
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结束
1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故
O
M0
y
因此所求球面方程为
x
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结束
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
制造领域，如汽车、航空和船舶制造等。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
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那么，方程F(x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方
程，而曲面 S 就叫做方程的图形．
[2]. 常见的曲面. (1) 球面方程
10 球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据要求有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
方程为：y 3z 0
例7 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面 4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
n{4,1,2},
二、平面方程
[1]. 平面方程的概念 (1) 平面方程的定义
平面∏与三元函数 f(x,y,z)＝０有如下关系：
(1)平面上的点都满足上方程，满足上方程 的坐标点均在平面上
(2)不在平面上的点都不满足上方程。
上方程称为平面∏的方程，平面∏称为方程 的图形．
(2) 平面法向量的定义
如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量．
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
例2 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所
(2)
1 // 2
A1 B1 C1 D1 . A2 B2 C2 D2
(3) 1 2 A1 B1 C1 D1 .
这条定曲线C 叫柱面的准线.
动直线L叫柱 面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
[3]. 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫柱面的准线.
动直线L叫柱 面的母线. 观察柱面的形 成过程:
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
解 AB {3, 4,6} AC {2, 3,1}
取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
例6 求过点(1,1,1)，且垂直于平面 x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面为例）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面为例）
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
20 与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点
的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
t 1, 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
[3]. 两平面的夹角
(1) 夹角的定义
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. （通常取锐角）
n2 n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
2 2 : A2 x B2 y C2z D2 0, n1 { A1, B1,C1},
x
M( x, y, z)
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕
x
轴和
z
轴；
绕 x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
Байду номын сангаас
1
旋 转
双
绕 z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2 （2）椭圆 a 2
z2 c2
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
例1 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12} 取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
另外：求过x轴和M (4,3,1)平面方程。
例4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、
Q(0, b,0)、R(0,0, c)（其中a 0 ，b 0 ，
c 0），求此平面方程.
z
解 设平面为
b
Ax By Cz D 0,
c
将三点坐标代入得
aA D 0, bB D 0,
x
a
y
cC D 0,
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 (*) 其中法向量 n {A, B,C}, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
若M ( x, y, z) , M0M n 不成立
即(x,y,z)不满足(*)式 从而法向量为n, M0在平面上,(*)式为其方程。
(1) z z1 （2）点M 到 z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 , y1 x2 y2 代入
f ( y1, z1 ) 0
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
1
n2 { A2 , B2 ,C2 },
实际上两平面的夹角就是二面角
(2) 计算公式
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
两平面夹角余弦公式
(3) 两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
z
n
M0 M
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C} 0, M0( x0 , y0 , z0 ) ,
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
必有 M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面
的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为
z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
M1(0, y1, z1 )
o
y
z x2 y2 cot
4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例8 求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐标
面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 x y z 1,
z
a bc
V 1, 1 1 abc 1, 32
只含x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线 C. （其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面母线 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面母线
// z 轴
x2 2 pz 抛物柱面母线 // y轴
1绕
y
轴和
z
轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
程，而曲面 S 就叫做方程的图形．
[2]. 常见的曲面. (1) 球面方程
10 球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据要求有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
方程为：y 3z 0
例7 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面 4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
n{4,1,2},
二、平面方程
[1]. 平面方程的概念 (1) 平面方程的定义
平面∏与三元函数 f(x,y,z)＝０有如下关系：
(1)平面上的点都满足上方程，满足上方程 的坐标点均在平面上
(2)不在平面上的点都不满足上方程。
上方程称为平面∏的方程，平面∏称为方程 的图形．
(2) 平面法向量的定义
如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量．
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
例2 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所
(2)
1 // 2
A1 B1 C1 D1 . A2 B2 C2 D2
(3) 1 2 A1 B1 C1 D1 .
这条定曲线C 叫柱面的准线.
动直线L叫柱 面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
[3]. 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫柱面的准线.
动直线L叫柱 面的母线. 观察柱面的形 成过程:
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
解 AB {3, 4,6} AC {2, 3,1}
取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
例6 求过点(1,1,1)，且垂直于平面 x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面为例）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面为例）
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
20 与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点
的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
t 1, 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
[3]. 两平面的夹角
(1) 夹角的定义
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. （通常取锐角）
n2 n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
2 2 : A2 x B2 y C2z D2 0, n1 { A1, B1,C1},
x
M( x, y, z)
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕
x
轴和
z
轴；
绕 x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
Байду номын сангаас
1
旋 转
双
绕 z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2 （2）椭圆 a 2
z2 c2
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
例1 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12} 取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
另外：求过x轴和M (4,3,1)平面方程。
例4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、
Q(0, b,0)、R(0,0, c)（其中a 0 ，b 0 ，
c 0），求此平面方程.
z
解 设平面为
b
Ax By Cz D 0,
c
将三点坐标代入得
aA D 0, bB D 0,
x
a
y
cC D 0,
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 (*) 其中法向量 n {A, B,C}, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
若M ( x, y, z) , M0M n 不成立
即(x,y,z)不满足(*)式 从而法向量为n, M0在平面上,(*)式为其方程。
(1) z z1 （2）点M 到 z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 , y1 x2 y2 代入
f ( y1, z1 ) 0
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
1
n2 { A2 , B2 ,C2 },
实际上两平面的夹角就是二面角
(2) 计算公式
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
两平面夹角余弦公式
(3) 两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
z
n
M0 M
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C} 0, M0( x0 , y0 , z0 ) ,
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
必有 M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面
的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为
z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
M1(0, y1, z1 )
o
y
z x2 y2 cot
4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例8 求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐标
面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 x y z 1,
z
a bc
V 1, 1 1 abc 1, 32
只含x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线 C. （其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面母线 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面母线
// z 轴
x2 2 pz 抛物柱面母线 // y轴
1绕
y
轴和
z
轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2