第五节曲面平面及其方程
高等数学教案：平面及其方程
本授课单元教学目标或要求：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本章中非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：平面方程的几种形式，平面的夹角重点：1.平面方程的求法2.两平面的夹角难点：平面的几种表示及其应用对学生的引导及重点难点的解决方法：首先通过提问过空间一点且与一条直线垂直的平面是否存在这一具体问题，引出空间平面的点法式方程.紧接着对点法式进行变形得出一般式方程，引导学生分析常见的几个特殊平面及其面面间的夹角.平面方程有四种类型：点法式方程，三点式方程，截距式方程和一般式方程，但我们常用的是点法式和一般式。
求点法式方程的关键点往往是法向量，法向量通常采用向量的代数运算求得。
例题：例1：求过三点（2，-1，4）、（-1，3，-2）和（0，2，3）的平面方程。
例2：设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。
例3：研究以下各组里两平面的位置关系：其他例题参见PPT本授课单元教学手段与方法：讲授教学与多媒体教学相结合，结合几何辅助。
本授课单元思考题、讨论题、作业：高等数学（同济五版）本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）P325---P329注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
曲面及其方程总结
曲面及其方程总结曲面是数学中的一个重要概念，它是一个二维的、有界的、有形的几何形体。
曲面可以由多个平面片拼接而成，也可以通过参数方程进行描述。
在数学中，曲面的研究与计算具有广泛的应用，涉及到多个学科领域，如微分几何、微分方程、物理学等。
本文将对曲面及其方程进行总结，主要从曲面的定义、分类、表示、性质以及在实际应用中的相关问题进行讨论。
首先，曲面的定义。
曲面可以被理解为三维空间中的一个平面形体，它有长度、宽度和厚度。
曲面可以由平面片拼接而成，每个平面片都是一个二维平面，它可以由一个或多个方程来表示。
曲面的形状可以是平坦的，如平面、球面，也可以是弯曲的，如圆柱面、抛物面等。
曲面的形状取决于其方程的具体形式。
其次，曲面的分类。
曲面可以根据其方程的特点进行分类。
常见的曲面包括平面、球面、二次曲面等。
平面是最简单的曲面，它的方程形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为实数常数。
球面是由一个点到空间中所有点的距离相等的曲面，其方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a, b, c)为球心的坐标，r为球的半径。
二次曲面是由二次方程来表示的曲面，常见的二次曲面有椭球面、双曲面、抛物面等。
然后，曲面的表示。
曲面的表示可以通过参数方程或隐式方程来进行。
参数方程是指用参数来表示曲面上的点的坐标，其中参数可以是一个、二个或三个，具体取决于曲面的维度。
例如，球面可以由两个参数θ和φ来表示，其参数方程为x=r·sinθ·cosφ，y=r·sinθ·sinφ，z=r·cosθ，其中r为球的半径，θ和φ为参数的取值范围。
隐式方程是指用一个或多个变量的关系式来表示曲面的方程，例如，平面的隐式方程为Ax+By+Cz+D=0，球面的隐式方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²。
曲面方程及其方程
o y
将 z z, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z) 0
f ( y,z) 0
x
0
得旋转曲面 的方程： f ( x2 y2 , z) 0,
即为 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
由此可见：绕 z 轴旋转，z 坐标不动，将 y 换成 x2 y2.
z x2 y2 cot
o y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
z2
1
双叶双曲面
绕z轴旋转而成的曲面：
x
2
a2
y2
z2 c2
1
单叶双曲面
x2 a2
y2 c2
z
母线 L
oo
x
准线C'
y
准线C
(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程的特征
方程中缺少一个变量 (该坐标轴的变量)
如：F ( x, y) 0
z
表示母线 // z 轴的柱面. 事实上， M( x, y, z) 过点M 作垂直于 xoy 面 的垂线，则此垂线与 C 的交点M1(x, y, 0)的坐标 必满足 ：F ( x, y) 0.
F(x, y, z) 0
z
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
S
曲面的实例：
oy
水桶的表面、台灯的罩子面等． x
第五节 平面及其方程
G ( x, y , z ) 0
F ( x, y , z ) 0
z
S O y
x
S2
C F ( x, y , z ) 0
S1
则方程组(1)叫做空间曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程组(1) 的图形.
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两个基本问题 : (1) 已知一曲面(曲线)作为点的几何轨迹时, 求曲面(曲线)方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C2
目录
2
2
2
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结束
1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故
O
M0
y
因此所求球面方程为
x
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结束
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
第五节曲面及其方程
1. 一个几何图形的方程应满足什么条件？ 2. 平面、直线的一般方程分别是什么？
一、曲面方程的概念
课前 准备
如果曲面 S 上任意一点的坐标 都满足方程 F( x ,y ,z)=0，同时 不满足方程 F( x ,y ,z)=0的点都
z F x, y, z 0
S
不在曲面 S 上，则称三元方程
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R z
即 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
——称为球面方程的标准形式。 o
M M0
y
x
2、旋转曲面
一平面曲线绕着该平面内一定直线L旋转一周而成的曲面
叫做旋转曲面，其中定直线L叫做旋转曲面的轴。 z
如：XOY面内的椭圆
过点M作垂直于x轴的平面, 交x轴于点Q，交曲线C于点P，则有
Q x,0,0, Px, y1,0, QM PQ ,
M
o
y
Q
x
•
P
C
小结旋转曲面方程的规律
1 xoy面内的曲线
f
x,
y
0 ,
z 0
绕x轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x, y2 z2 0；
绕y轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x2 z2 , y 0.
转曲面、母线平行于坐标轴的柱面等曲面方程 的建立方法
Exercises
1. P192 1，3，4 2. 复习第一章
柱面
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x2 a2
y2 b2
1
绕Y轴旋转一周而形成的曲面。
XOY面内的曲线C： f x, y 0 绕Y轴旋转
z 0
x
o
曲面、曲线及其方程
03
曲面与曲线的联系
曲面与曲线的几何关系
曲面与曲线在三维空间中相互依存
01
曲面是由曲线在某些方向上无限延伸形成的，而曲线则可以看
作是曲面上的一个特定区域。
曲面与曲线的形状和变化
02
曲线的形状和变化可以影响其所在的曲面形状，反之亦然。
曲面与曲线的交线
03
曲面与另一个曲面或平面相交，交线是一条曲线；曲面与曲线
曲面、曲线及其方程
contents
目录
• 曲面及其方程 • 曲线及其方程 • 曲面与曲线的联系 • 曲线和曲面在几何和工程中的应用
01
曲面及其方程
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面位置关系的数学表达式，通常 由代数方程表示。
曲面方程的形式
曲面方程的一般形式为 $F(x, y, z) = 0$，其中 $F$ 是一个多项式函数，$x, y, z$ 是空间坐标。
息。
THANKS
感谢观看
曲面方程的解
求解曲面方程可以得到曲面上点的坐标集合，即曲 面的几何形状。
几种常见的曲面
平面
平面是一个无限延展且没有弯曲的二维表面，其方程为 $Ax + By + Cz = D$。
球面
球面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，其中 $R$ 是球半径。
圆柱面
圆柱面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 = R^2$（或 $y^2 + z^2 = R^2$）。
通过使用曲线和曲面，工程师可以更好地描述和设计物体的外
03
观，提高设计的准确性和美观性。
物理和科学计算中的应用
高等数学(下) 第5讲 理论-2课时
z
y o xz
交
2
线
o
y
为：
oy
3 x
x
z a2 x2 y2
例2
方程组
(
x
a )2 2
y2
a2 表示怎样的曲线？ 4
解 z a2 x2 y2
表示上半球面,
(x
a )2
y2
a
2
表示圆柱面,
2
4
交线如图：
例3
曲线
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z) 0 S1
G(x, y,z) 0 S2
空间曲线的一般方程 x
z
S1
S2
C
o
y
例1
方程组
x2
y2 1 表示怎样的曲线？
2x 3z 6
z
解 x2 y2 1 表示母线
平行于z轴的圆柱面：
o
y
x
3. 双曲柱面（一支）
y2 x2 1
z
b2 a2
b
o
y
x
六、空间区域简图
例1 由曲面 z 6 x2 y2 与 z x2 y2 围成一个 空间区域, 试作出它的简图.
例2 由曲面 x 0, y 0, z 0, x y 1, y2 z2 1 围 成一个空间区域(在第I卦限部分), 试作出它的简图.
定义3 平行于某定直线的直线L并沿定曲线 C 移动 所 形成的轨迹叫做柱面.
下面我们来分析一下方程
在空间表示怎样的曲面 .
大学高数第七章7-5曲面方程
x z （1）双曲线 2 2 1分别绕 x 轴和 z 轴； a c
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
( hyperboloid )
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-1 -0.5 0
1
0.5 1
0
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
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z z1 , y1 x 2 y 2 代入 f ( y1 , z1 ) 0 将
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线C叫 柱面的准线 (directrix) ,动直 线L叫柱面的母 线(generatrix).
观察柱面的形 成过程:
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柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
x
y x
抛物柱面
( Cylinder of the second order parabolic )
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
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与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y 轴上. a c y y 1
高数讲义第五节 曲面及其方程(二)
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来
（1）将球面 x2 y2 z2 a2
沿 z 轴方向伸缩 c 倍：z a z, 得旋转椭球面：
a
c
x2
y2
a2 c2
z2
a2,
或
x2 a2
y2向伸缩 b 倍： y a y,
a
b
即得椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
x2 a2
y2 b2
z
其图形不可由旋转曲面伸缩变形而来
可用截痕法讨论其图形的形状。
（三）双曲面
（1）单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
可由旋转单叶双曲面伸缩变形得到
（2）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
可由旋转双叶双曲 面伸缩变形得到
（四）椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
又称二次锥面
倍而得到平面曲线 C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F(x, y) 0
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F(x, y) 0
结论2：将平面曲线C ：F ( x , y ) = 0 沿 x 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
第五节 曲面及其方程（2）
四、二次曲面
了解一般空间曲面形状的两种常用方法： （1）截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？