平面及其方程

取法向量 n n 1 n 2 {1,0 1,5},
所求平面方程为
1 ( x 1 ) 0 1 ( y 1 ) 5 5 ( z 1 ) 0 ,
化简得 2 x 3 y z 6 0 .
二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
由 平 面 过 点 (6 , 3 ,2 )知 6 A 3 B 2 C 0 n { 4 , 1 , 2 }, 4 A B 2 C 0
AB2C,
： 备注 两个方程求三个未知
3
数可以将其中一个当做已知， 到最后约掉
所求平面方程为 2 x 2 y 3 z 0 .
例4 设 平 面 与 x,y,z三 轴 分 别 交 于 P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、 R(0,0,c)（ 其 中 a0， b0， c0） ，
A C { 2 ,3 , 1 } 取 n A A B {1C ,4 9,1}, 所求平面方程为 1 ( x 2 4 ) 9 ( y 1 ) ( z 4 ) 0 ,
化简得 1 x 4 9 y z 1 0 5 .
例 2求 过 点 (1,1,1)， 且 垂 直 于 平 面 xyz7和 3x2y1z2 50的 平 面 方 程 . 解 n 1 { 1 , 1 ,1 },n 2 { 3 ,2 , 1}2
(2)
1//
2 A A12 B B12
C1. C2
例6 研究以下各组里两平面的位置关系：
( 1 ) x 2 y z 1 0 , y 3 z 1 0 ( 2 ) 2 x y z 1 0 , 4 x 2 y 2 z 1 0 ( 3 ) 2 x y z 1 0 , 4 x 2 y 2 z 2 0
n P0
Pjn r P 1P 0P 1P 0n 0 P1
N
P 1 P 0 { x 0 x 1 ,y 0 y 1 , z 0 z 1 }
n 0 A 2 A B 2 C 2 ,A 2 B B 2 C 2 ,A 2 C B 2 C 2
Pjn r P 1 P 0P 1 P 0n 0 A ( x 0 x 1 )B ( y 0 y 1 )C ( z 0 z 1 ) A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 A 0 x B 0 y C 0 z (A 1 x B 1 C y1 ),z A 2 B 2 C 2
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
平面的点法式方程 其中法向量 n { A ,B ,C }已,知点 (x0, y0,z0).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
例 1求 过 三 点 A (2 , 1 ,4 )、 B ( 1 ,3 , 2 )和 C (0 ,2 ,3 )的 平 面 方 程 . 解 A { B 3 ,4 , 6 }
两平面平行但不重合．
( 3 ) 2 11, 两平面平行 4 2 2
M ( 1 , 1 , 0 ) 1 M ( 1 , 1 , 0 ) 2 两平面重合.
例7 设P0(x0, y0,z0)是平面AxByC zD0
外一点， 求P0到平面的距 离.
解 P 1 (x 1 ,y 1 ,z1 ) d |Pjn r P 1P 0|
五、x 3y 0.
六、2x y 2z 23 3 .
x轴上截距 y轴上截距 z轴上截距
备注：平行于一个平面也可以先设 为6x+y+6z+a=0，然后再去求解
例5 求 平 行 于 平 面 6xy6z50而 与 三 个 坐
标 面 所 围 成 的 四 面 体 体 积 为 一 个 单 位 的 平 面 方 程 .
解 设平面为 x yz 1,
z
a bc
V1, 11abc1, 32
1
n 2 { A 2 ,B 2 ,C 2 },
按照两向量夹角余弦公式有
co s |A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2| A 1 2 B 1 2 C 1 2 A 2 2 B 2 2 C 2 2 两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) 1 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ;
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , 6t
b 1, t
c 1, 6 t 代入体积式
11 11 1 6 6t t 6t
t
1, 6
a 1 , b 6 , c 1 ,
一、平面的点法式方程 z
如果一非零向量垂直
M0
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
n
M y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A ,B ,C },M 0(x0,y0,z0),
设平面上的任一点为 M (x,y,z)
必有 M 0M n M 0 M n 0
M 0 M { x x 0 , y y 0 , z z 0 }
坐标面所构成的四面体体积为1 的平面方程 .
练习题答案
一、1、(0,0,0)； 2、平行于； 3、通过；
4、3x 7y 5z 4 0； 6、1, 2, 2.
33 3 二、1、平行于z 轴的平面；
5、x y z 1； a bc
2、平行于x 轴 的平面；
3、通过原点的平面 .
三、x 3y 2z 0. 四、x y 3z 4.
A B C x ( A y 0 z B 0 x C 0 ) y 0 z
D
A B x C y D z 0 平面的一般方程
法向量 n { A ,B ,C }.
平面一般方程的几种特殊情况：
(1)D0, 平面通过坐标原点；
D 0 , 平面通过 x轴；
(2)A0,
D
0,
平面平行于 x轴；
求 此 平 面 方 程 .
解 设平面为 A B x C y D z 0 ,
aA D 0 ,
将三点坐标代入得
bB
D
0,
cC D 0 ,
A D , B D , C D .
a
b
c
将A D, B D, C D,
a
b
c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
A 1 B 1 x C 1 y D z 0 (P1) PjrnP1P0A0xA 2B0B y2C C 0z 2 D,
d|A0 xB0 yC0 zD |. A 2B 2C 2 点到平面距离公式
四、小结
点法式方程. 平面的方程 一般方程.
截距式方程.
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角.（注意两平面的位置特征）
三 、 求 过 点 ( 1 , 1 ,1 ) ,(2 ,2 , 2 )和 ( 1 ,1 , 2 ) 三 点 的 平面方程 .
四 、 点 ( 1 , 0 ,1 ) 且 平 行 于 向 量 a 2 , 1 , 1 和 b 1 ,1 , 0 的 平 面 方 程 .
五、求通过Z 轴和点(3 , 1 ,2 )的平面方程 . 六、求与已知平面2x y 2z 5 0平行且与三
所求平面方程为 6 x y 6 z 6 .
三、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的
夹角.（通常取锐角）
n2 n1
1 : A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 , 2 2 : A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ,
n 1 { A 1 ,B 1 ,C 1 },
类似地可讨论 B0,C0情形.
(3 )A B 0 ,平面平行于xoy坐标面；
类似地可讨论 A C 0 ,B C 0 情形.
例 3设 平 面 过 原 点 及 点 (6,3,2)， 且 与 平 面
4xy2z8垂 直 ， 求 此 平 面 方 程 .
解 设平面为 A B x C y D z 0 , 由平面过原点知 D0,
点到平面的距离公式.
思考题
若平面xky2z0与平面 2x3yz0的夹角为 ，求k?
4
思考题解答
c o s 1 2 k ( 3 ) 2 1 , 4 1 2 k 2 ( 2 )2 2 2 ( 3 )2 1 2
1
3k
2
5k2
14, k
70 .
2
练习题
一、填空题： 1、平面Ax By Cz 0 必通过_______，（其中 A , B , C 不全为零）； 2、平面By Cz D 0__________x 轴； 3、平面By Cz 0_______x 轴； 4、通过点( 3 , 0 ,1 ) 且与平面3x 7 y 5z 12 0 平 行的平面方程为 _________； 5、通过( a , 0 , 0 )、( 0 , b , 0 )、( 0 , 0 , c )三点的平面方 _______________；
6、平面2x2yz50与xoy面的夹角余弦为___ ________，与yoz面的夹角余弦为____出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： 1、 2x 3 y 6 0； 2、 y z 1； 3、6x 5 y z 0.
解 (1) c o s | 1 02 1 1 3|
( 1 )22 2( 1 )2 1 23 2
cos
1 60
两平面相交，夹角
arcco1s . 60
( 2 ) n 1 { 2 , 1 ,1 },n 2 { 4 ,2 , 2 } 2 1 1, 两平面平行 4 2 2 M ( 1 , 1 , 0 ) 1 M ( 1 , 1 , 0 ) 2