空间平面方程
空间平面方程的求法_论文
空间平面方程的求法1、 用参数方程题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程.①矢量式参数方程 错误!=错误! + t 1错误!+t 2错误!其中错误!=｛X 1,Y 1，Z 1｝， 错误!={X 2，Y 2，Z 2｝②坐标式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=221102*********Zt Z t z z Y t Y t y y X t X t x x例1、 写出下面的参数方程:通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v解：所求的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧vu z u y vu x -+=-=++=313322例2、证明矢量},,{Z Y X v =平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX证明:不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ,把这平面的方程化为参数式:,,,v z u y v A C u A B A D x ==---=所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0,{A C-,从而知},,{Z Y X v =与已知平面共面的充要条件为v与}0,1,{A B -，}1,0,{A C-共面,或 01001=--AC A BZYX ,即0=++CZ BY AX 。
如果在直角坐标系下,那么由于平面的法矢量为},,{C B A n =,所以v平行于平面的充要条件为0=⋅v n，即0=++CZ BY AX 。
2、 用点位式方程题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。
222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=03、用三点式方程题目的条件是平面上的三个已知点。
131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------=0 例3、已知三角形顶点为),2,2,2(),1,1,2(),0,7,0(C B A --求平行于三角形ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.解：由已知，得02921627=+z y x， 所以三角形ABC 所在的平面方程为014623=-+-z y x 。
空间中平面及直线的方程(3)
1.平面的方程
设一平面通过已知点
P( x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C) , 求该平面的方程.
任取点 P(x, y, z) , 则有
P0P n
故
P0P n 0
z
P
n
P0
o
x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,
称 n 为平面 的法向量.
平面的点法式方程（1）可以化成
Ax By Cz D 0
其中D Ax 0 By0 Cz0 是常数，x, y, z的系数A，B，C依次 是法向量向量的三个坐标分向量.
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
C1C2 | A22 B22
C
2 2
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
两平面垂直的条件
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直
P1P2 P1P3
设 P x,是y,平z面上任一点, 显然
P1P2 P1P3 0,
垂直于
P1P
P1P2 P1P3
P1P P1P2 P1P3 0.
此混合积的坐标形式为:
x x1 x2 x1 x3 x1
第三节 空间平面及其方程
特别有下列结论：
n2
(1) π1 ⊥ π 2
n1 ⊥ n2
∏1
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0
n1
∏2
(2) π1 / /π 2
n1 // n2 A1 = B1 = C1 A2 B2 C2
n2 n1
∏2
∏1
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例1. 一平面通过两点O( 0 , 0, 0 ) 和 M ( 6 , − 3 , 2 ) , 且 垂直于平面π: 4x - y + 2z = 8, 求其方程 .
xO y
z
x2 + y2 a2
−
z2 c2
=1
x
O
y
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
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3、二次曲面
三元二次方程
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形统称为二次曲面. 其基本类型有:
第三节 空间平面及其方程
1、平面的点法式方程
量设nG一= 平{ A面, B通, 过C }已, 求知该点平M面0π(x的0 ,方y0程, z.0 任取 M ( x, y, z) ∈ π , 则有
M 0M ⊥ n
)
且垂直于非零向
zn
π
M M0
O
故
M 0M ⋅n = 0
x
y
M 0M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
书上第7页例题
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空间直线与平面的方程
空间直线与平面的方程空间中的任意一条直线和任意一个平面都可以通过方程来描述。
直线和平面的方程可以用于解决和分析几何问题，例如求直线与平面的交点、直线和平面的距离等。
本文将介绍空间直线与平面的方程的基本概念和求解方法。
一、空间直线的方程在空间中，直线可以由一个点和一个方向向量确定。
一个点可以用坐标表示，方向向量可以用直线上两点之间的向量表示。
假设已知直线上一点为P(x0, y0, z0)，方向向量为v(a, b, c)，则直线的参数方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，表示直线上的任意一点。
直线的对称方程可表示为：(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c通过参数方程和对称方程，我们可以得到空间中直线的方程。
二、空间平面的方程在空间中，平面可以由一个点和一个法向量确定。
一个点可以用坐标表示，法向量可以用平面上两个不共线向量的向量积表示。
假设已知平面上一点为P(x0, y0, z0)，法向量为n(a, b, c)，则平面的方程可以表示为：ax + by + cz + d = 0其中d = -(ax0 + by0 + cz0)。
平面的点法向式方程可表示为：(n·r) + d = 0其中r为平面上的任意一点。
通过方程和点法向式方程，我们可以得到空间中平面的方程。
三、直线与平面的方程在空间中，直线和平面的方程可以用来描述直线和平面的位置关系。
我们可以通过求解直线和平面的交点来得到它们的方程。
假设直线的方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct平面的方程为：ax + by + cz + d = 0将直线的方程代入平面的方程，可以得到直线与平面的交点。
解方程组即可求解交点的坐标。
四、实例应用现在我们通过一个实例来应用空间直线和平面的方程。
假设已知直线L上一点为A(1, 2, 3)，方向向量为v(2, 1, -1)；平面P 经过点B(2, -1, 4)，法向量为n(1, -2, 3)。
空间直线方程和平面方程
空间平面方程的参数形式
总结词
参数形式的空间平面方程可以表示为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、 c是常数，t是参数。
详细描述
参数形式的空间平面方程可以用来表示平面上的一条直线，其中x0、y0、z0是直 线上的一个点，a、b、c是直线的方向向量，t是参数。通过改变参数t的值，可 以得到直线上的其他点。
该方程表示通过点 (P(x_0, y_0, z_0)) 且沿着方向向量 (langle d_x, d_y, d_z rangle) 的直线。
空间直线方程的向量形式
空间直线方程的向量形式为 (vec{r} = vec{r}_0 + t*vec{d}) ， 其中 (vec{r}) 是空间向量，(vec{r}_0) 是直线上的一个点， (vec{d}) 是直线的方向向量。
航空航天
在航空航天领域，空间直线和平面 方程被用于描述飞行器的运动轨迹、 导航和控制等，例如飞机和火箭的 发射和回收等。
05
空间直线和平面方程的扩展知识
空间曲线和曲面
空间曲线
空间曲线是由三维空间中的点按 照某种规律形成的几何图形。常 见的空间曲线包括平面曲线和立 体曲线。
曲面
曲面是三维空间中由点按照一定 规律形成的二维图形。常见的曲 面包括平面、球面、旋转曲面等 。
该方程表示通过平面上的两点 (P_1(x_1, y_1, z_1)) 和 (P_2(x_2, y_2, z_2)) 的直线，其中 (D = -A*x_1 B*y_1 - C*z_1) 。
空间直线方程的参数形式
空间直线方程的参数形式为 ({begin{matrix} x = x_0 + t*d_x y = y_0 + t*d_y z = z_0 + t*d_z end{matrix}) ，其中 (t) 是参数，(d_x, d_y, d_z) 是直线的方向向量，(x_0, y_0, z_0) 是直线上的一个点。
向量与空间解析几何初步第四节 平面及其方程
即 yz5
二、平面的一般方程
将平面的点法式方程 ①
展开得 A x B y Cz (A x0 B y0 C z0 ) 0
令
D ( A x0 B y0 C z0 )
得平面的一般式方程
Ax B y C z D 0 ② ( A2 B2 C2 0)
面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 2x y 2z D 0,
z
即
x D
y D
z D
1,
2
2
x
o
y
由题意 1 D (D)( D) 1
62
2
D 2 3 3
平面方程为 2x y 2z 2 3 3 0
则与有 M0M n 故
n 垂直。
M0M n
o 0x
M
M0
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ① 称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
因为过空间内一点作与已知直线垂直的平面是 唯一的，所以已知平面上的一点及垂直于平面的 一个向量，那么这个平面的位置就完全确定。
例1. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4, 3, 1) 得
化简,得所求平面方程
例2. 求过点M ( 1, 0, 5) 且与xoy面平行的平面方程.
解:由题意设所求平面为 Cz D 0
n ( A, B,C)
9.1空间平面方程
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
即
2x y z 0
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内容小结
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
x y z 1 a b c
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程
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练习：求经过 y 轴，和点（1.2.-5）的平面方程
x x1 x2 x1 x3 x1
(abc 0)
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
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三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
9.1 空间平面方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程
第七章
三、两平面的夹角
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一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
z
M
任取点 M ( x, y, z ) , 则有
高等数学：第六讲 空间平面点法式方程
目录
01
点法式方程
02
例题讲解
03
内容小结
空间平面的点法式方程
※法向量： 垂直于平面的非零向量称为该平面的法向量。
记作： n A, B,C
n
※平面法向量的基本特征：
1.一个平面有多无少穷个多法个向法量向？量。
2.一个平面法的向法量向的量方的向方有向几有个两？个。
3.平面的法向量与垂平直面于上平的面向上量任位意置向关量系。如何？
即
x - 4 y + 9 z+1 = 0 .
a
b
例题讲解
例3. 求过三点M1(2,-1,4)， M2(-1,3,-2)， M3(0,2,3)的平面 的方程。
解
取该平面 的法向量为
n M1M 2 M1M3
i jk
3 4 6 14, 9, 1
n
M1
2 3 1
又M1 ， 利用点法式方程公式得平面 的方程
a( n )
例题讲解
例2. 求过点M0(2,3,1)且平行于向量 a 1, 2, 1 和 b 3, 3,1 的平面方程。
解
所求平面的法向量可取 n a b
n
ijk
1 2 1 1, 4,9
33 1
又因为平面过M0 ( 2, 3, 1 )，所以由点法式方程公式可得
该平面方程为 (x 2) 4( y 3) 9(z 1) 0,
——平面 的点法式方程
例题讲解
例1. 求过点M0(2,1,1)且垂直于向量a {1,2,3} 的平面方程。
解 所求平面的法向量 n a {1,2,3}
又因为平面过M0 (2,1,1)，所以由点法式方程公式可得
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取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0,
化简得 14 x 9 y z 15 0.
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三、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
该平面方程为
( x 2) 2( y 1) 3( z 1) 0,
即
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x + 2y + 3z－7 = 0 .
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例5-11 求过三点 A (2, 1, ) B (-1, , 2)和 - 4、 323 C (0, , ) 的平面方程 .
解 AB {3,4,6},
A ( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0,
该方程称为平面 的点法式方程.
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例 5-10
求过点(2, 1, 1)且垂直于向
量 i + 2j + 3k 的平面方程 . 解
所求平面的法向量n = i + 2j + 3k ， 又因为平面过( 2, 1, 1 )，所以由公式可得
空间平面方程
一、平面的确定条件 二、点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面夹角
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一、平面的确定条件
由立体几何知道，过空间一点可以而 且只可以作一个垂直于一条已知直线的平 面．利用这个结论，若平面经过一定点 M0(x0,y0,z0), 且与向量n={A,B,C}垂直,则 这个平面就唯一确定了． 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向 量．那么，可以确定平面的两个条件是：
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(1)经过定点 0 ( x0 , y0 , z0 ). M
(2)平面的法向量 { A, B, C }. n
下面我们利用以上结论建立平面的方程．
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二、 点法式方程
设平面 过点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) , n A , B , C .
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0 平面的一般方程 法向量 n { A, B , C }.
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平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面平行于 x 轴； 类似地可讨论 B 0, C 0 情形
是平面 的法向量. 现在来建立平面 的方程.在平面 上 任取一点 M(x, y, z)，则点 M 在平面 上的充要条件是
n M
M0 M n , 即 M0 M n 0 .
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M
0
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因为M0 M x x0 , y y0 , z z0 ,
n A , B , C, 所以有
(3) A B 0, 平面平行于 xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0情形.
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例 5-12 设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)，试求该平面的方程. 所以可设 解 因为所求平面通过 x 轴， 它的方程为 By + Cz = 0 . ④ 因此有 由于点 M 在所求的平面上， 3B C = 0 ， 将 C = 3B 代回方程 ④，并简化，即得 所求平面方程为 y 3z = 0
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例 5-13 求两平面 x y + 2z + 3 = 0 与 2x + y + z 5 = 0 的夹角 . 解
cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由公式 ④ 得 21 2
1 (1) 2 2 1 1
2 2 2 2 2
2
1 , 2
所以
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. 3
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四、两平面的夹角
两平面法向量的夹角称为两平面的夹角. 设平面 1 A1 x B1 y C1 z D1 0 ,
2 A2 x B2 y C2 z D2 0 .
它们的夹角为 . n1 n 2 cos cos (n1 , n 2 )
A1 A2 B1 B2 C1C 2
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n1 n 2
④
A12 B12 C12 A22 B22 C 22
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则平面1、2 垂直的充要条件是
A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0； 平行的充要条件是
A1 B1 C 1 . A2 B2 C 2
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