高中数学 平面方程式 范本例题

cos 45＝ n1 ．n2 1 ＝
12
｜n1｜｜n2｜
2 （4a）2＋（3a）2＋122． 1
25a2＋122＝2．122 a2＝144 a＝ 12（負不合）
故 a＝12
25
5
上一题
5
下一题
范例 9 两平面垂直，则法矢量互相垂直
设平面 E 过点（1 , 1 , 1），且垂直于 E1：3x＋y－z－1＝0 与 E2：
解■ (2) E1 与 E2 的法矢量分别为 n1 ＝（2 , －3 , 1）与 n2 ＝（3 , 1 , －3）
令 n1 与 n2 的夹角为θ
cos ＝ n1．n2 ＝ 6－3－3 ＝0
｜n1｜｜n2｜ 14． 19 故 E1，E2 两平面题
范例 6 平面的垂直与平行
(2)已知点 A（1 , 3 , －1）与点 B（－1 , 5 , 8）在平面
E：3x＋2y－z－7＝0 的两侧，若AB 交平面 E 于点 C，试求
AC：BC 。 解■ (2)设 A' 为 A 在平面 E 上的投影点
(2)
若
E1
//
E2

2 ＝ m ＝－1 10 －5 －5
∴m＝－1
∴m＝5
上一题 下一题
范例 7 平行平面
设平面 E 与 3x－2y＋4z－1＝0 平行，且过点（2 , 1 , －2），则平
面 E 的方程式为
。
解■ 3x－2y＋4z－1＝0 的法矢量为（3 , －2 , 4）
∵平面 E 与 3x－2y＋4z－1＝0 平行
将 C（0 , 0 , 4）代入平面方程式，得 4c＝d c＝d 4
∴平面方程式可写成 d x＋d y＋d z＝d 234
因平面不通过原点，故 d＝\ 0，方程式等号两端同除以 d
可得平面方程式为 x＋ y＋z＝1 234
上一题 下一题
主题 2 两平面的夹角
例题 5 两平面的夹角
试求两平面 E1：x＋2y－z＝2 与 E2：x－y＋2z＝4 的夹角。
n1 ＝（1 , 1 , 0）与 n2 ＝（2 , 1 , －2） 令 n1 与 n2 的夹角为θ
cos ＝ n1．n2 ＝2＋1＋0＝ 1 ∴ ＝45
｜n1｜｜n2｜ 2．3 2 故 E1，E2 两平面的夹角为 45°与 135°
范例 5 两平面的夹角
试求下列各组平面之间的夹角：
(2) E1：2x－3y＋z＝1，E2：3x＋y－3z＝7。
主题 1 平面方程式
范例 1 利用平面上一点及法矢量求平面方程式
试求通过点 A（1 , 3 , －5），法矢量 n ＝（3 , －4 , 7）的平面方
程序为
。
解■ 设平面 E：3x－4y＋7z＝k 又 A（1 , 3 , －5）在平面 E 上 k＝3－12－35＝－44 ∴平面 E：3x－4y＋7z＝－44， 即平面 E：3x－4y＋7z＋44＝0
∵Q 点在平面 E 上 2（3＋2t）－（8－t）＋2（－2＋2t）－12＝0
6＋4t－8＋t－4＋4t－12＝0
t＝2
故投影点 Q（7 , 6 , 2）
范例 12 点关于平面的对称点
空间中，点 P（3 , 8 , －2），平面 E：2x－y＋2z－12＝0，试求：
(2) P 点对平面 E 的对称点 R 坐标为
22＋22＋42
24 12
上一题 下一题
范例 11 距离公式的应用
试求与平面 x＋y＋z＝1 平行且与 A（3 , －5 , 1），B（－1 , 3 , 7）
两点等距离之平面方程式 E 为
。
解■ 令平面 E 为 x＋y＋z＝k
∵d（A , E）＝d（B , E）
∴ 3－5＋1－k ＝ －1＋3＋7－k
∴（3 , －2 , 4）亦为平面 E 的一个法矢量
设平面 E 的方程式为 3x－2y＋4z＋d＝0
又平面 E 过点（2 , 1 , －2）
∴3×2－2×1＋4×（－2）＋d＝0 d＝4
故平面 E 的方程式为 3x－2y＋4z＋4＝0
上一题 下一题
范例 8 求平面方程式
在空间中，已知平面 E 通过（3 , 0 , 0），（0 , 4 , 0）及正 z 轴上一
∴设平面为 ax＋by＝d ∵过（3 , 0 , 0） 3a＝d a＝ d
3 过（0 , 4 , 0） 4b＝d b＝ d
4 ∴平面为 d x＋d y＝d 4x＋3y＝12
34
上一题 下一题
主题 2 两平面的夹角
范例 5 两平面的夹角
试求下列各组平面之间的夹角： (1) E1：x＋y＝1，E2：2x＋y－2z＝2。 解■ (1) E1 与 E2 的法矢量分别为
＝（－4 , 4 , －2）//（2 , －2 , 1）
∵ AB AC 是 AB 和 AC 的公垂矢量 ∴ AB AC 与平面垂直，是平面的一个法矢量，
又平面通过 A（0 , 1 , 2）
故可求得平面方程式为 2x－2（y－1）＋（z－2）＝0
即 2x－2y＋z＝0
上一题 下一题
范例 3 平面的截距式
下一题
范例 2 不共线三点恰可决定一个平面
已知 A（0 , 1 , 2），B（1 , 3 , 4），C（2 , 3 , 2），则包含 A，B，
C 三点的平面方程式为
。
解■ AB＝（1 , 2 , 2），AC＝（2 , 2 , 0）
AB AC＝
2 2
22 ,
00
11 ,
22
2 2

。
解■ (1) 令投影点 Q（a , b , c） PQ ＝（a－3 , b－8 , c＋2）
又平面 E 之法矢量 n ＝（2 , －1 , 2）
∵PQ // n ∴a－3＝b－8＝c＋2＝t a＝3＋2t，b＝8－t，c＝－2＋2t
2 －1 2 ∴投影点 Q（3＋2t , 8－t , －2＋2t）
若平面 E 分别交 x、y、z 轴于 A（2 , 0 , 0）、B（0 , 3 , 0）、
C（0 , 0 , 4）三个点，试求平面 E 的方程式。
解■ 设平面 E 的方程式为 ax＋by＋cz＝d
将 A（2 , 0 , 0）代入平面方程式，得 2a＝d a＝d 2
将 B（0 , 3 , 0）代入平面方程式，得 3b＝d b＝d 3
3
3
｜－1－k｜＝｜9－k｜
－1－k＝9－k（不合）或－1－k＝－（9－k）
k＝4
故平面 E 的方程式为 x＋y＋z－4＝0
上一题 下一题
范例 12 点关于平面的对称点
空间中，点 P（3 , 8 , －2），平面 E：2x－y＋2z－12＝0，试求：
(1) P 点对平面 E 的投影点 Q 坐标为
解■ E1 与 E2 的法矢量分别为 n1＝（1 , 2 , －1）与 n2＝（1 , －1 , 2） 令 n1 与 n2 的夹角为θ，则由
cos＝ n1 ． n2 ＝ 11＋2 （－1）＋（－1） 2 ＝－1
｜n1｜｜n2｜ 12＋22＋（－1）2 12＋（－1）2＋22
2
∴θ＝120°
故 E1，E2 两平面的夹角为 120°与（180°－120°）＝60°
点（0 , 0 , a）。若平面 E 与 xy 平面夹角成 45°，则 a＝
。
解■ 由题意知平面 E 的 x、y、z 截距分别为 3、4、a，其中 a＞0 则令平面 E 的方程式为 x＋ y＋z＝1，即 4ax＋3ay＋12z＝12a 34a 平面 E 与 xy 平面的法矢量分别为
n1 ＝（4a , 3a , 12）与 n2 ＝（0 , 0 , 1）
点到平面 E 的距离为
。
(2) 两平行平面 E1：x＋y＋2z－5＝0 与 E2：2x＋2y＋4z＋13＝0 的距
离为
。
解■ (1) d＝
2＋2－1－7
＝4
22＋（－2）2＋（－1）2 3
(2) EE12：：22xx＋＋22yy＋＋44zz－＋1103＝＝00
d＝ 13－（－10）＝ 23 ＝23 6
两平面 E1：2x＋my－z－1＝0，E2：10x－5y－5z－8＝0，试求：
(1) 若 E1⊥E2，则 m＝
。
(2) 若 E1 // E2，则 m＝
。
解■ E1 与 E2 的法矢量为
n1 ＝（2 , m , －1）与 n2 ＝（10 , －5 , －5）
(1) 若 E1⊥E2 n1 ．n2 ＝0 20－5m＋5＝0
2 3
,
2 3
－1 －1

＝（1 , 2 , 1）
∵ AB AC 是 AB与 AC 的公垂矢量
∴ AB AC为平面 E 的一个法矢量，又平面 E 通过 A（－1 , 0 , 1）
可得平面方程式为 1×（x＋1）＋2×（y－0）＋1×（z－1）＝0
整理得 x＋2y＋z＝0
上一题 下一题
例题 4 平面的截距式
平面 E 的方程式为 x＋ y＋ z ＝1 4 6 12
3x＋2y＋z＝12
上一题 下一题
范例 4 特殊平面
平行 z 轴且 x 轴截距为 3，y 轴截距为 4 之平面为
。
解■ ∵设平面法矢量 n ＝（a , b , c）
∵平行 z 轴 ∴（a , b , c）．（0 , 0 , 1）＝0 c＝0
上一题 下一题
主题 3 点到平面的距离
例题 6 点到平面的距离
(1) 试求点 P（1 , 2 , 3）到平面 E：2x＋3y－6z＝4 的距离。 解■ (1) 利用点到平面的距离公式，得所求的距离为
21＋3 2－6 3－4 ＝ －14 ＝2
22＋32＋（－6）2