【学案】沪科版九年级数学第24章 圆24.2.5圆的确定
新泸科版数学九下优秀学案：24.2 第4课时 圆的确定
24.2 圆的基本性质第4课时圆的确定一．学习目标：1.知识与技能：①理解不在同一直线上的三个点确定一个圆；②掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法；③了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，提高应用数学知识解决实际问题的能力。
2.过程与方法：经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,体会归纳、类比以及由特殊到一般的数学思想方法。
3.情感态度与价值观：在探索活动中培养学生勇于探究的学习品质，体会解决问题的策略，学会数学地思考。
二．导学过程：（一）课前延伸：创设情境激发兴趣Array问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？问题3：如果店里师傅仅仅知道圆的半径，他可以画出多少个这样圆？为什么？（二）：课中探究活动一：过定点A是否可以作圆？如果能作？可以作几个？活动二：过两个定点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？活动三：过三点，是否可以作圆，如果能，可以作几个？(分两种情况讨论)归纳结论:_______________________________________________________________（三）例题示范已知：△ABC，求作⊙O，使它经过A、B、C三点。
（四）知识拓展经过4个(或4个以上的)点是不是一定能作圆?（五）合作交流形成概念：三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形。
自主探索：三角形的外心与三角形的位置关系。
（六）学以致用 发展能力1．直角三角形的两条直角边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆的半径等于 .2．①破镜重圆:利用所学知识,帮助玻璃店里的师傅找出残缺圆片所在的圆心,并把这个圆画完整.②实际操作:小明发现,店里师傅先在圆弧上顺次取三点A 、B 、C.(如图),使AB=BC.并测量得:AB=BC=5dm,AC=8dm,然后师傅计算了下，就很快划出与原来一样大小的圆形玻璃,你知道他计算的是什么？（七）回顾反思 交流收获本节课你学到了什么？（八）达标检测1．判断题：（1）三点确定一个圆 （ ）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆 （ ）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（ ）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点 （ ）（5）三角形的外心到三角形各顶点距离相等 （ ）２.已知点O 是△ABC 的外心，∠A=500,则∠BOC 的度数是 （ ）A.500B. 1000C.1150D. 650课后提升：习题24.2A B C。
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质-确定圆的条件》教案设计
义务教育课程标准实验教科书数学沪科版九年级下册第24章2.3确定圆的条件一、教学目标：1、知识目标:掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
2、能力目标:①经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力。
②通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。
3、情感与价值观：①形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
②学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
二、教学重点：1、经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论。
2、掌握过不在同一条直线的三个点作圆的方法。
3、了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
三、教学难点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程。
形成解决问题的一些策略。
四、教学方法：合作探究法五、教学流程：（一）类比联想，提出问题1．提问：同学们会画圆吗？学生回答：会．2．怎么画？作圆的关键是确定什么?学生回答：作一个圆，关键是确定圆心和半径。
3、提出问题，让学生思考，并进一步讨论：(1)经过一个点A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？学生讨论回答后，请一名学生说明(如图)，并得出：经过一个点A作圆很容易，只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个(2)经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？同样，在学生讨论回答的基础上，再让一名学生说明，并得出：经过两个点A，B作圆，只要以与点A，B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个.(如图)(以上两点由于有前边两节课的知识作铺垫，学生比较容易作出．) 二、动手实践，发现新知下面来研究，经过三个已知点作圆又会怎么样呢？仍然让学生讨论，自己动手作图，这时，学生会发现：由于两点确定一条直线，因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况．1．作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点．例1 已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)求作：⊙O，使它经过点A，B，C.分析：作圆的关键是确定圆心和半径．由于所作圆要经过已知点，所以如果圆心的位置确定了，那么圆的半径也就随之确定．因此，这个问题就转化为找圆心的问题．因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等．因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，显然这两条垂直平分线交于一点且到这三点的距离相等．可见圆心、半径都确定了，圆便可以作出．学生口述，多媒体展示．证明：因为⊙O的半径为OA，所以点A在⊙O上，即⊙O经过点A，又因为点O在AB的垂直平分线DE上所以OB＝OA则⊙O经过点B．同理可证⊙O经过点C．所以⊙O是所求的圆．结合以上作法和证明，请同学回答：师：经过不在同一直线上的三点A，B，C的圆是否存在？生：存在．师：是否还有其他符合条件的圆呢？生：没有．师：根据是什么？生：线段AB，BC的垂直平分线有且只有一个交点.这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作圆是唯一的．在黑板上写出：定理:过不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．过同一直线上的三点能不能做圆呢？我们不妨试试看．教师和学生一起用圆规和直尺按照上面的作法作圆，看能否作出圆来，再看不按上面的作法是否有办法作圆．实践的结果是不能作圆．实际上，假定过A，B，C三点可以作圆，不妨设这个圆心为O．由点的轨迹可知，点O在线段AB的垂直平分线l′上，并且在线段BC的垂直平分线l″上，即点O为l′与l″的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．(如图所示)．所以，过同一直线上的三点不能作圆．（思考）经过四个点或四个以上的点是否能作一个圆？3．现在我们回过头来再看看，由于任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以由定理可知，经过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．介绍有关概念：(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.由上面作图方法还可以看出：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点．三、应用举例，巩固新知（一）抢答：填空：(投影打出)1、经过一个点可以作___ 个圆2、经过二个点可以作 ___ 个圆3、经过不在同一条直线上的三个点，可以作___个圆4、如右图：⊙O 是△ABC 的____圆， △ABC是⊙O 的____三角形，O 是△ABC 的____心(经过练习，巩固前边所学的知识)（二）判断：1、经过三个点一定可以作圆（ ）2、任意一个三角形有并且只有一个外接圆 （ ）3、每个三角形都只有一个外心（ ）4、任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（ ）5、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等（ ）（三）生活应用：如图，这是一块残缺的砂轮，同学们能去配制一块和原来完全相同的砂轮吗？分析：要想知道圆轮的半径，只要作出圆轮残片所在圆的圆心，而从本节所学定理可知，经过不在同一直线上的三个点可确定一个圆，于B是可在残片的圆弧上任取三点，作过此三点的圆，即可确定残片的圆心和半径．(此题实际上是一个作图题，可由学生口述，教师板演)（四）动手操作：1、画边长分别为 2cm 、2.5cm 、3cm 的三角形，再画出这个三角形的外接圆，并量出这个圆的直径（要求尺规作图，结果精确到0.1cm)2、锐角三角形的外心在三角形的___ 部； 直角三角形的外心在___ ;钝角三角形的外心在三角形的___ 部。
新泸科版数学九下教案：24.2 第4课时 圆的确定
24.2 圆的基本性质第4课时圆的确定1．理解并掌握确定圆的条件；2．理解三角形的外接圆，三角形外心的概念，能够运用其性质进行计算(重点，难点)；3．理解反证法的思想，能够运用反证法证明命题(难点).一、情境导入小明不慎把家中的一块圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃应该是哪一块？二、合作探究探究点一：确定圆的条件已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C.解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可．解：(1)连接AB、BC；(2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O 就是所求作的⊙O的圆心；(3)以点O为圆心，OC长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．方法总结：作经过三点的圆，即作这三点构成的三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的性质可知，其圆心为三边垂直平分线的交点，依据此作图即可求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 探究点二：三角形的外接圆【类型一】 与圆的内接三角形有关的坐标的计算如图，△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：由图可知△ABC 外接圆的圆心在BC 的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y ＝－1上，也在线段AB 的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y ＝x ＋1上，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，则两线交点坐标为(－2，－1)，故填(－2，－1)． 方法总结：解题时可根据外接圆的圆心的性质：三角形外接圆圆心为三角形三边的垂直平分线的交点，列出相应的等式关系求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 【类型二】 与圆的内接三角形有关线段的计算如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC ＝24cm ，O 到BC 的距离是5cm ，求△ABC的外接圆的半径．解：连接OB ，过点O 作OD ⊥BC ，则OD ＝5cm ，BD ＝12BC ＝12cm.在Rt △OBD 中，OB ＝OD 2＋BD 2＝52＋122＝13cm.即△ABC 的外接圆的半径为13cm.方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB ，过点O 作OD ⊥BC ，易得BD ＝12cm.由此可求它的外接圆的半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 探究点三：反证法用反证法证明：一个圆只有一个圆心．解析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此得出假设与已知定理矛盾，进而得出答案．证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，连结OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，O′P都垂直于AB，与垂线的性质矛盾，故一个圆只有一个圆心．方法总结：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计1．确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．3．反证法证明的一般步骤(1)反设；(2)推理；(3)结论．教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.。
九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质教案新版沪科版
24.2 圆的基本性质第1课时圆的概念和性质教师：大豕看教材，你能用自己的语言口述圆的定义吗？学生看教材•学生：将线段0P的一个端点0固定,使线段0P绕着点0在平面内旋转一周，另一个端点P 运动所形成的封闭曲线叫做圆•看教材练习第1题•教师：你能举出一些圆形物体的实例吗？学生甲：太阳、盘子等•学生乙：车轮、表盘等•活动：利用圆规画一个O Q使O O的半径r = 3cm.教师：在平面内任意取一点P,点与圆有哪几种位置关系？学生：圆内、圆上和圆外•教师：分别在圆内、圆上、圆外各取一个点，量出这些点到圆心的距离，并比较它们与圆半径的大小.你有什么发现？学生小组讨论，教师参与•师生共同努力完成：如果O 0的半径为r,点P到圆心0的距离为d,那么点P在圆内？d v r,点P在圆上？d= r,点P在圆外？d＞】教师：请大豕看教材内容，我们来认识一下弧、弦、直径等与圆有关的概念•请你把重要用师生共同探究的方法来唤起学生的参与意识，通过学生的自我学习或者小组学习完成对定义的深化•I教学小结丨【板书设计】圆的概念和性质1.圆的概念：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形2•点与圆的位置关系：⑴点P在O O上? OP= r;(2)点P在O O内？0代r;(3)点P有O 0外? 0P>r.3.圆的相关概念24.2 圆的基本性质第2课时垂径定理及其逆定理I教学过程设计丨教学过程一、创设情境，导入新课你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国建造的,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出桥拱所在圆的半径吗？结合赵州桥资料向学生进行爱国主义教育和美育渗透，并引入新知识.通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题.二、师生互动，探究新知1.实验发现实验：用纸剪一个圆（课前让学生做好），沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了设计意图让学生亲自动手，进行实验、探究，得出圆的轴对称性什么？由此你得到了什么结论?结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线2.探究活动1 :垂径定理如下图，在圆形纸上任意画一条垂直于直径思考：①上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么?②你能发现图中有哪些等量关系？与同伴说一说你的想法• 通过讨论，可得下面定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧•验证：你能用逻辑的方法验证垂径定理吗？例1已知，如图，在O O中，CD是直径，AB是弦，CDL AB垂足为E通过该问题引导学生探究、定理，初步感知.发现垂径引导学生自主、合作探究辑推理能力•，培养学生逻求证：AE=EB A D = D B（或A C = C B）分析：如图，连接OA OB则OA= OB可通过证明Rt△ OAE和Rt△ OBE全等，结合轴对称证明•题吗？这个逆命题正确吗?平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧•若AB是O 0的一条弦,且Al BP过点P作直径CD则ABL CD A C = Be, A D = ?D .思考：平分弧的直径垂直于平分这条弧所对的弦吗？教师引导学生先写出垂径定理的逆命题，再判断出此逆命题是正确的.根据逆命题画出图形，写出已知，求证. 引导学生仿照垂径定理的证明来证明这个命题.指出思考的问题是正确的，也是垂径定理的逆定理.最后教师归纳垂径定理及其逆定理.例2出示教材例3,并让学生解决•让学生亲自动手，进行实验、探究，得出圆的轴对称性.三、运用新知，解决冋题2.如图，AB是O 0的直径，弦CD L AB于点M(1) ?C = 1cm，A D = 1cm，那么B D =cm，A C = cm，O O的周长是学会用类比的方法解决问题径定理的逆定理.，掌握垂会利用垂径定理解决问题进一步巩固所学知识，加深对定理的理1.教材练习第I教学小结I垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧解题方法：连接一条半径，半径、弦心距、弦的一半构成直角三角形（如图）.24.2 圆的基本性质第3课时弦、弧、圆心角、弦心距间的关系【教学目标】1. 了解圆是旋转对称图形及圆心角的概念 •2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 .【重点难点】重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理难点：“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解 及定理的证明.丨教学过程设计丨教学过程设计意图一、 导入新课教师引导，学生自学教材知识•二、 师生互动，探究新知1. 教师出示两张透明纸，指导学生分别作半 径相等的O O 和o O ,然后把两张纸叠在一 起,使O o 与oO 重合,用图钉钉住圆心,将 上面一个圆旋转任意一个角度 •指出问题：两个圆还能重合吗？归纳：圆是旋转对称图形，对称中心为圆心.2. 将O O 绕圆心O 旋转任意角度以后，出现一 个角/ AOB 请同学们观察一下这个角有什么 特点？如图：通过教师和学生的共同努力 ，得到定 理,充分体现合作的价值.学生感受知识之间 的密切联系. 圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角 3. 教师用多媒体课件出示教材图 24- 25.4. 提问：当/ AO 申/ A O B'时，根据圆的 旋转对称性，你能推测出，两个圆心角所对的通过学生自己的操作，充分感受圆是旋 转对称图形，并且也是中心对称图形.24.2 圆的基本性质第4课时圆的确定【教学目标】1.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用2.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念3.了解反证法的证明思想.【重点难点】重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用难点：讲授反证法的证明思路•3•作圆,使它经过已知点A、B、QA、B C三点不在同一条直线上）.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？引导学生得出：不在冋一直线上的三个点确定一个圆•连接3中的三个点，可得一个三角形，它叫做圆的内接三角形，圆叫做三角形的外接圆•三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等•学生作直角、锐角、钝角三角形的外接圆，分别观察外心的位置•教师多媒体出示动画《王戎不摘李》片段•教师引导学生假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？教师引导学生归纳反证法的定义，根据学生总结的情况补充兀善•思考：经过同一直线上的三点能作出一个圆吗？教师出示问题，引导、点拨、分析•学生在教师的引导下，小组合作交流完成证明过程•教师总结：反证法的一般步骤先假设命题不成立一一从假设出发一一矛盾一一得出假设命题不成立通过该问题引导学生学会探究、发现结论，亲自体验经历数学发生发展的过程•教师通过引导学生自主、合作探究，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力，养成良好的分析问题、解决问题的习惯•【板书设计】圆的确定1.圆的确定条件：不在同一直线上的三点确定一个圆2.三角形的外接圆及外心.3.反证法.。
九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第1课时与圆有关的概念及点与圆的位置关系学案沪科版
24.2 圆的基本性质第1课时 与圆有关的概念及点与圆的位置关系［学习目标］1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念，能够从图形中识别；（学习重点）2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、 “等弧与长度相等的弧”等模糊概念；（学习难点）3．能应用圆的有关概念解决问题.［学法指导］通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题． ［学习流程］一、导学自习（一）知识链接1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？2．结合教材图24.1-1，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？（二）自主学习1．理解圆的定义：（阅读教材并自己动手画圆）（1）描述性定义：______________________________________________________________________。
从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于____ __； ②到定点的距离等于定长的点都在____ _. （2）集合性定义：______________________________________________________________________。
（3）圆的表示方法：以O 点为圆心的圆记作______，读作______.（4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____确定圆的位置，______确定圆的大小.2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧。
如图1，弦有线段 ，直径是 ，最长的弦是 ，优弧有 ；劣弧有 。
二、研习展评活动1．判断下列说法是否正确，为什么？（1）直径是弦.（ ） （2）弦是直径.（ ）（3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( )(5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( ) 活动2．⊙O 的半径为2㎝，弦AB 所对的劣弧为圆周长的61，则∠AOB ＝ ，AB ＝ 活动3．已知：如图2，OA OB 、为O e 的半径，C D 、分别为OA OB 、的中点，求证：（1）;A B ∠=∠ (2)AE BE =（图1） E D CBA活动4．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 中不过圆心的任意一条弦，求证：AB ＞CD 。
九年级数学下册 24.2 圆的基本性质教案4 沪科版
第24章圆24.2圆的基本性质（4）【教学内容】圆的确定。
【教学目标】知识与技能了解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．了解反证法的证明思想过程与方法通过引导学生添加辅助线，培养学生的创造能力。
情感、态度与价值观在运用数学知识解决问题的过程中，建立学习数学的自信心。
【教学重难点】重点：圆的确定条件。
难点：圆的确定条件、反证法。
【导学过程】【知识回顾】1、圆的两种定义是什么？2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。
他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。
如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？【情景导入】自学教材内容，尝试自主解决以下问题：思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？各部分的点与圆有什么共同特征？【新知探究】探究一、探究、实践、交流：（1）、平面上有一点A，经过已知A点的圆有个，圆心为（2）、平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有个，它们的圆心分布的特点是（3）、平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆分为两类：一种是三点在一条直线上，这时的圆有个，圆心为；三点不在一条直线上，这时经三点作圆。
上述结论用于三角形，可得：经过三角形的三个顶点作圆。
3有关概念：①经过三角形的三个顶点可以做一个圆，并且只能画一个圆，这个圆叫做．②外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的．③三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的离、相等。
4、想一想①一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？②什么是反证法？用反证法证明的第一步是什么？5教师提示：可根据本班的具体情况而定。
【知识梳理】本节课你有哪些收获？请与同学们分享。
【随堂练习】1、已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？2、判断下列说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ).(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )(3)经过三点一定可以确定一个圆( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )。
沪科版数学九年级下册24.2.4圆的确定优秀教学案例
5.作业小结：设计具有针对性的作业，让学生巩固所学知识，提高学生的应用能力。同时，引导学生对作业进行自我检查和修改，培养学生的自主学习和自我纠错的能力。教师对学生的作业进行批改和评价，及时了解学生的学习情况，为下一步教学提供参考。
3.引导学生通过观察、操作、思考等途径，自主探索圆的确定方法，提高学生的解决问题的能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，共同探讨圆的确定方法，培养学生的合作意识和团队精神。
2.设计具有挑战性的任务，让学生在合作中共同解决问题，提高学生的综合运用知识的能力。
3.鼓励学生相互倾听、交流、反馈，培养学生的沟通能力和批判性思维。
在教学过程中，我以生活实例导入，让学生思考在实际生活中如何确定一个圆的位置和大小。接着，我引导学生通过观察和动手操作，发现圆的确定方法。在学生理解圆的确定方法后，我设计了一系列练习题，让学生在实际问题中运用所学知识，巩固和提高对圆的确定的理解。
在教学过程中，我注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考，从而达到理解圆的确定的目的。同时，我关注学生的个体差异，根据学生的实际情况给予有针对性的指导，使他们在原有基础上得到提高。通过本节课的学习，学生不仅掌握了圆的确定方法，而且培养了学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为后续学习打下了坚实的基础。
5.注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考，从而达到理解圆的确定的目的。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和好奇心，激发学生学习数学的内在动力。
2.引导学生感受数学与实际生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
2024-2025学年沪科版初中数学九年级(下)教案第24章圆24.2圆的基本性质(第1课时)
第24章圆24.2 圆的基本性质第1课时圆的定义及与圆有关的概念教学目标教学反思1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题.教学重难点重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学过程导入新课问题情境：观察下列图片，从图片中找出共同的图形.教师追问：你还能举出生活中的圆形吗？师生活动：学生列举生活中的圆形，教师适当引导.思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？师生活动：如果把车轮做成圆形，车轴安装在圆心上，当车轮在地面滚动的时候，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径长.因此车厢里坐的人都将平稳地被车子拉着走.假设车轮是个破的，已经不成圆形了，轮缘上高一块低一块的，也就是说从轮缘到轮子圆心的距离不相等，那么这种车子行驶起来一定很颠簸.同样道理，如果车轮设计成三角形或是正方形，因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以行驶起来也一定会很颠簸！探究新知1.圆的定义教师提问：同学们，你们知道怎样画一个圆吗？你有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，教师圆规演示画圆的过程，总结圆的定义.1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；教学反思3.旋转一圈（使铅笔在纸上画出封闭曲线）；4.用字母表示圆心、半径、直径.【归纳总结】圆的旋转定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.问题情境：1.以1 cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？师生活动：学生独立思考并回答，教师引导.教师追问：从画圆的过程可以看出什么呢？【归纳总结】①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于半径.②平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上.【归纳总结】圆的集合定义：平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.探究：确定一个圆的要素.教师提问：当圆的圆心确定时，这个圆唯一确定吗？当圆的半径确定时，这个圆唯一确定吗？师生活动：学生小组讨论，举出反例，思考确定圆的要素，教师引导.①②【解】如图①，圆心相同，半径不同，能画出无数个同心圆；如图②，半径相同，圆心不同，能画出无数个等圆.【归纳总结】确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.圆的基本性质：同圆的半径相等.【新知应用】例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.师生活动：（学生思考，教师引导）要使A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，点A ，B ，C ，D 与点O 的距离有什么关系？【证明】∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴ OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴ A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上.【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）. 2.点与圆的位置关系圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是到圆心的距离小于圆的半径r 的所有点的集合； （2）圆的外部是到圆心的距离大于圆的半径r 的所有点的集合. 【新知讲解】点与圆的位置关系： 1.点P 在圆上⇔OP ＝r （如图①）. 2.点P 在圆内⇔OP <r （如图②）. 3.点③练一练：1.正方形ABCD 的边长为3 cm ，以A 为圆心，３cm 长为半径作⊙A ，则点A 在⊙A ，点B 在⊙A ，点C 在⊙A ，点D 在⊙A .2.一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远距离为10 cm ，则这个圆的半径是 cm.3.与圆有关的概念 （1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB ）叫做弦.图中的弦还有 .经过圆心的弦（如图中的AC ）叫做直径.注意：①弦和直径都是线段.②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A ，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. （3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.教学反思（4）劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC .大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC .（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆. （6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.概念辨析（1）长度相等的弧是等弧吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.（2）直径是弦吗？弦是直径吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才叫直径，因此直径是圆中最长的弦.（3）半圆是弧吗？弧是半圆吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧才是半圆.【新知应用】例2 下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦.其中正确的是________.（填序号）师生活动：（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关概念可知，连接圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧.例3 如图.（1）请写出以点B 为端点的劣弧及优弧； （2）请写出以点B 为端点的弦及直径； （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.师生活动：发对优弧、劣弧概念的思考.【解】（1）劣弧：BD ，BF ，BC ，BE .优弧：BFE ，BFC ，BCD ，BCF .（2）弦BD ， AB ， BE .其中弦AB 又是直径.（3）答案不唯一.如：弦DF ，它所对的弧是DF 和DEF . 【归纳总结】大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.要按照一定的顺序书写，不要遗漏.【拓展延伸】 例4 下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm ，且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个.其中错误的有（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个师生活动：（引发学生思考）结合圆的定义分析怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A教学反思【归纳总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小.两者缺一不可.例5A，B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10师生活动：（引发学生思考）连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.【答案】D【归纳总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长.课堂练习1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍.（2）如图所示，图中有条直径，条非直径的弦.2.一点和⊙O上的点最近距离为6 cm，最远距离为12 cm，则这个圆的半径是 .3.判断下列说法的正误.（1）弦是直径. （）（2）过圆心的线段是直径. （）（3）半圆是弧. （）（4）过圆心的直线是直径. （）（5）直径是最长的弦. （）（6）半圆是最长的弧. （）（7）长度相等的弧是等弧. （）（8）同心圆也是等圆. （）4.给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是.（填序号）5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？第5题图6.如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.参考答案1.（1）直径半径（2）两三2.9 cm或3 cm3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√（6）×（7）×（8）×4.①5.解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.6.证明：如图，连接ON，OA.∵点A，N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 教学反思第6题答图课堂小结学生独立思考，进行总结，教师补充概括. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的旋转定义圆的定义圆的集合定义弦—直径劣弧圆弧半圆圆的有关概念优弧等圆等弧 布置作业教材第14页练习板书设计24.2 圆的基本性质第1课时 圆的定义及与圆有关的概念1.圆的定义（1）圆的旋转定义 （2）圆的集合定义2.与圆有关的概念：弦；直径；弧；半圆；等圆；等弧.3.点与圆的位置关系： 点P 在圆上⇔OP ＝r ； 点P 在圆内⇔OP <r ； 点P 在圆外⇔OP >r. 教学反思。
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圆的确定
教学目标
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
教学过程：
一、知识连接：
1、线段的垂直平分线有什么性质？
2、如何用尺规做线段的垂直平分线？
3、确定圆的两要素是什么？
二、探索新知：
1、做一做：
(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
友情提示：以点A以外的______点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
友情提示：在AB的_________上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
友情提示：要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的________，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的_________，这两条垂
直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
作法图示
1．连结AB、BC
2．分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG，DE和
FG相交于点O
3．以O为圆心，OA为半
径作圆
⊙O就是所要求作的圆
回思：过已知一点可作_____个圆；过已知两点也可作______个圆，圆心在______；过不在同一条直线上的三点只能作____个圆，圆心在________________。
由此可得到定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
2、有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．
巩固新知：
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．
O为外接圆的圆心，即外心．
回思：锐角三角形的外心在三角形的____部，直角三角形的外心在____上，钝角三角形的外心在三角形的_____部．
应用新知:
1、已知：在直角三角ABC中，0
∠A,AC=3cm,BC=4cm，则直角三角形
=
90
ABC外接圆的半径为_______。
2、如下图，小马虎设计了一圆形图形，忘记点出所画圆的圆心，你能用所学的知识帮他画出圆的圆心吗？
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