电磁场数学方法总复习
电磁场知识总结
电磁场知识总结12一、麦克斯韦方程、本构关系、边界条件麦克斯韦方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD B t B E t D J H0 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰V SS SC S dV S dD S d B S d t B l dE Sd t D J l d H ρ0C 本构关系⎪⎩⎪⎨⎧===E J H B E D σμε ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=E J M H B PE Dσμε)(00 边界条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯=-⨯=⋅-=⋅-0)()(0)()(21212121E E e J H H e e B B e D D ns nn snρ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-021212121t ts tt n n sn n E E J H H B B D Dρ3二、静电场源与库仑力源：电荷，⎰=''')(x dx r q ρ，库仑力（库仑定律），()'13'04i Ni ii r r r r q q F --=∑=πε，电场强度，000lim q FE q→= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=→∆→∆→∆点电荷密度线电荷密度面电荷密度体电荷密度)()(lim )(lim )(lim )('''0'''0'''0''''r r q r dl dq l q r dSdq S q r dV dqV q r l lS S V δρρρρ ()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--------=∑⎰⎰⎰=点电荷线电荷面电荷体电荷'13'0'3'''0'3'''0'3'''041)(41)(41)(41)(iN i i i l l SS V r r r r q dl r r r r r dS r r r r r dV r r r r r r Eπερπερπερπε辅助函数ϕ-∇=E ，⎰⋅==Q Pl d r E r P)()()(ϕϕ4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-+-+-+-=⎰⎰⎰∑=线电荷面电荷体电荷点电荷系l l S S V N i iiC dl r r r C dS rr r C dV r r r Cr r q r '''''''''1')(41)(41)(4141)( ρπερπερπεπεϕ场方程 E E P E D r εεεε00==+=⎩⎨⎧=⨯∇=⋅∇0E D ρ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅⎰⎰⎰0lV S l d E qdV S d Dρ ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅∇0E E ερ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅⎰⎰⎰01lV S l d E q dV S d E ερε ερϕ-)(2=∇r 0)(2=∇r ϕ 边界条件⎩⎨⎧=-⨯=⋅-0)()(2121E E e e D D n snρ ⎩⎨⎧=-=-02121t t sn n E E D Dρ ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=S n nρϕεϕεϕϕ-2211215电容ϕqC = U qq C ==21-ϕϕ i ii nj j i ij i C C q ϕϕϕ+-=∑≠1)(能量与静电力⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∑⎰⎰⎰=多导体线电荷面电荷体电荷ni i i l l SS V e qdl dS dV W 121212121ϕϕρϕρϕρ ⎰⋅=Ve dV D E W 21 D E w e ⋅=21 常数=∂∂-=q er rW F 常数=∂∂=ϕrW F e r6三、静磁场源与安培力源：电流，⎰⎰⋅==S S S d J i d I ，安培力（安培定律），()⎰⎰⨯⨯=213212111220124C C R R l d I l d I Fπμ， 磁感应强度，()⎰--⨯=C rr r r l d I r B 3'''04)( πμ，毕奥—萨伐尔定律，()3''0'4)(r r rr l Id r B d --⨯=πμ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=→∆→∆面电流密度体电流密度dl di e l i e J ds di e s i e J t l t s n s n 00lim lim()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⨯--⨯=⎰⎰面电流密度体电流密度S s V dS r r r r r J dV r r r r r J r B '3'''0'3'''0)(4)(4)( πμπμ辅助函数磁矢位：A B ⨯∇=，0=⋅∇A （库伦规范），⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-+-+-=⎰⎰⎰线电流面电流体电流l S V C r r dl I Cd r r r J C dV rr r J r A ''0S '''0'''04S )(4)(4)( πμπμπμ7磁标位：m r H ϕ-∇=)(场方程 rBB M B H μμμμ00==-=⎩⎨⎧=⋅∇=⨯∇0B JH⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰0SS C S d B I S d J l d H ⎩⎨⎧=⨯∇=⋅∇J B B 00μ ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⋅⎰⎰I l d B S d B lS 00μJ A μ-=∇202=∇A 02=∇m ϕ边界条件⎩⎨⎧=-⨯=⋅-sn n J H H e e B B )(0)(2121⎩⎨⎧=-=-st t n n J H H B B 21210⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∇-⨯∇⨯21221111AA J A A e S n μμ ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂=∂∂=n n m m m m 221121ϕμϕμϕϕ电感I I L L L i i ψ+ψ=+=00 ⎰⎰-⋅=ψ=211221112124C C r r l d l d I Mπμ （纽曼公式）8能量与静磁力∑=ψ=Ni i i m I W 121 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=∑⎰⎰⎰=多导体面电流体电流N i i i i i S S V m l d I A dSA J dV A J W 1212121 ⎰⋅=V m dV B H W 21 B H w m⋅=21常数=∂∂=I mrW F常数=ψ∂∂-=r WF m9四、恒定电场源恒定电流，dt dqt q i t =⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=→∆0lim ，⎰⎰⎰∂∂-=-=⋅=VV S dV t dV dt d S d J I ρρ ，0=∂∂+⋅∇t J ρ 辅助函数 ϕ-∇=E场方程 E Jσ=⎩⎨⎧=⨯∇=⋅∇00E J ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⎰⎰CS dl E S d J 0002=∇ϕ 边界条件⎩⎨⎧=-⨯=-⋅0)(0)(2121E E e J J e n n⎩⎨⎧=-=-02121t t n n E E J J ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂=∂∂=n n221121ϕσϕσϕϕ 电导⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅⋅==N PS N PS ld E S d E l d E dS J UI G PP σεσ=C G10五、时变电磁场源变化电场t D ∂∂ 和变化磁场tB∂∂辅助函数磁矢位：A B ⨯∇=，t A ∂∂-=⋅∇ϕεμ （洛伦兹规范） 磁标位：ϕ∇-∂∂-=tAE场方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=E J M H B P E D σμε)(00 ⎪⎩⎪⎨⎧===EJ H B E Dσμε ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂=⨯∇00D B t B E t D H ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰SS SC S S dD S d B S d t B l dE S d t D l d H 00C11边界条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅=-⋅=-⨯=-⨯s nn n sn D D e B B e E E e J H H e ρ)(0)(0)()(21212121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-s n nnn t t st t D D B B E E J H H ρ2121212100波动方程无源介质区：0-222=∂∂∇t E E εμ，0-222=∂∂∇tH H εμ 导电媒质中：0-222=∂∂∂∂-∇t E t E E εμμσ，0-222=∂∂∂∂-∇t H t H H εμμσ 有源空间：J t H H t J t E E ⨯-∇=∂∂∇∇+∂∂=∂∂∇222222-,-εμερμεμ 达朗贝尔方程：J t A A μεμ-=∂∂∇222- ερϕεμϕ-=∂∂∇222-t ，⎪⎩⎪⎨⎧-=∇-=∇ερϕμ22J A（场量不随时间变化） 电磁能量与波印亭矢量)],(),([21),(),(21),(),(21),(22t r H t r E t r H t r B t r E t r D t r w με+=⋅+⋅=12⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⋅⨯V V V V S dVJ E dV H E dt d dV J E dV H B E D dt d S d H E2221212121)(-με（坡印廷定理）坡印亭矢量：H E ⨯=S ，),(),(t)(r,S t r H t r E⨯=时谐电磁场⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t j m e r A t r A ω)(Re ),( )()()(r j m m e r A r A φ =t∂∂ωj ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇-=⨯∇+=⨯∇)()(0)()()()()()(r r D r B r B j r E r D j r J r H ρωω ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇-=⨯∇=⨯∇00E H H j E E j H ωμωε 理想介质中时谐电磁场的波动方程：022=+∇E k E ，022=+∇H k H ，εμω=k有耗媒质（导电媒质）：ωσεεjc -=，"'μμμj c -=13⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇-=⨯∇=⨯∇00E H H j E Ej H c ωμωε 022=+∇E k E c ，022=+∇H k H c ，c c c k μεω= 瞬时坡印廷矢量：])(Re[])(Re[),(t j tj e r H e r E t r S ωω ⨯= 平均坡印廷矢量：[])()(Re 21)(*r H r E r S av ⨯=平均能量密度：[][]⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=)()(Re 41),()()(Re 41),(**r H r B t r w r E r D t r w mav eav14六、基础与其它矢量代数θcos AB B A =⋅ ，θsin AB e B A n =⨯，)()()B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅（，)()()(B A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯0)(=⨯∇⋅∇A ,0)(=∇⨯∇u ,B A A B B A ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇)(，A A A 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇坐标转换圆柱坐标与直角坐标转换：⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x φρφρsin cos ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛=+=z z x y y x arctan 22φρ直角坐标与球坐标转换：⎪⎩⎪⎨⎧===θφθφθcos sin sin cos sin r z r y r x ，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++=x y z y x z z y x r arctan arccos222222φθ15球坐标与圆柱坐标转换：⎪⎩⎪⎨⎧===θφφθρcos sin r z r ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛=+=φφρθρz z r arctan 22场论基础哈密顿算子：z e y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇ ，z e e e z ∂∂+∂∂+∂∂=∇ φρρφρ1，φθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r e r e r e r 普拉斯算子：2222222z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∇，2222221zu u u u ∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇φρρρρ， 2222222sin 1sin sin 11φθθθθθ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇ur u r r u r r r u 梯度: z u e y u e x u e u grad u z y x∂∂+∂∂+∂∂==∇ )(,z u e u e u e u z ∂∂+∂∂+∂∂=∇ φρρφρ1,φθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇ur e u r e r u e u r sin 11 散度:z A y A x A A div A z y x ∂∂+∂∂+∂∂==⋅∇ ,zA A A A z∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρρρρφρ1)(1 , φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r r A r rA r sin 1)(sin sin 1)(12216散度定理: ⎰⎰⋅∇=⋅VSdV A S d A旋度: zy x z y xA A A z y x e e e A ∂∂∂∂∂∂=⨯∇,zzA A A z e e e A φρφρρφρρρ∂∂∂∂∂∂=⨯∇1,φθφθθφθθθA r rA A r e r e r e r A r r sin sin sin 12∂∂∂∂∂∂=⨯∇ 斯托克斯定理: ⎰⎰⋅⨯∇=⋅SCS d A l d A 几个重要定理格林定理：()⎰⎰⎰⋅∂∂=⋅∇=∇⋅∇+∇S S VS d nS d dVψϕψϕψϕψϕ2()()⎰⎰⎰⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⋅∇∇=∇∇S S VS d n n S d dV ϕψψϕϕψψϕϕψψϕ--22唯一性定理：假设一个矢量场的散度和旋度在全区域内确定，且在包围区域的封闭面上的法向分量也确定，则这个矢量场在区域内是唯一。
电磁场复习纲要
《电磁场理论》知识点第一章 矢量分析一、基本概念、规律矢量微分算子在不同坐标系中的表达，标量场的梯度、矢量场的散度和旋度在不同坐标系中的计算公式，常用的矢量恒等式（见附录一1.和2.)、矢量积分定理（高斯散度定理、斯托克斯旋度定理及亥姆霍兹定理）。
二、基本技能练习1、已知位置矢量z y x e z e y ex r ˆˆˆ++=ρ，r 是它的模。
在直角坐标系中证明 （1）r r r ρ=∇ （2）3=•∇r ρ （3）∇×0=r ρ （4）∇×(0)=∇r （5）03=•∇r rρ2、已知矢量z y e xy e x eA z y x 2ˆˆˆ++=ϖ，求出其散度和旋度。
3、在直角坐标系证明0A ∇⋅∇⨯=r4、已知矢量y x e eA ˆ2ˆ+=ϖ，z x e eB ˆ3ˆ-=ϖ，分别求出矢量A ϖ和B ϖ的大小及B A ϖϖ⋅ 5、证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。
6、矢量函数z y x e x e y ex A ˆˆˆ2++-=ϖ，试求 （1）A ϖ⋅∇（2）若在xy 平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A ϖ穿过此正方形的通量。
第二章 静电场一、基本常数真空中介电常数0ε二、基本概念、规律静电场、库仑定律、电场强度、电位及其微分方程、电荷密度、电偶极子模型、高斯定理、环路定理、极化强度矢量、电位移矢量、场方程（真空中和电介质中）、介质性能方程，边界条件，场能及场能密度。
三、基本技能练习1、设非均匀介质中的自由电荷密度为ρ，试证明其中的束缚电荷密度为)(00εεερεεερ-∇•---=D b ρ。
2、证明极化介质中，极化电荷体密度b ρ与自由电荷体密度ρ的关系为：ρεεερ0--=b 。
3、一半径为a 内部均匀分布着体密度为0ρ的电荷的球体。
求任意点的电场强度及电位。
电磁场理论期末复习总结PPT课件
v
dS
4 S r r
(r , t) 1
4
l
r r
l r, t
v
dl
r
r
r r
A(r ,t)
I r,t
v
4 l r
dl
r
能量密度与能流密度矢量
电场能量密度 损耗功率密度
we (r,t)
1 2
E2
(r,t)
pl (r,t) E2 (r,t)
磁场能量密度
wm(r,
l
J dl 0
J1t J2t 1
E1t E2t
2
J dS 0 S J1t J2t 1 2
J1n J2n
J1nJ2n
1E1n 2 E2n
J1n1 J2n 2
J1t
J2t
分界面上的自由电荷面密度为
s en • (1 E1 2 E2 ) en •
(
1
J1
1
2
J2
2
)
J
US
U
2, 2
d2 电容器漏电导
G I2σ 1 1 1 2 S U d1 2
若d1=d2=d/2则 计算平板电容器在静电场中的电容：
d21
G 121 2S2 d
C q
q
q
1 2
U E1d1 E2 d2 D d D d (12q
1 2 2 2 2 )Dd
存在比拟关系：
1 2 (12q
0 dWm Fdl
由于各个回路的磁通未变，因此，各个回路位移过 程中不会产生新的电动势，因而外源
作的功为零。即
求得常磁通系统中广义力为
FWm l
常数
12 12
电磁场电磁波复习重点
电磁场电磁波复习重点第一章矢量分析1、矢量的基本运算标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。
2、叉乘点乘的物理意义会计算3、通量源旋量源的特点通量源：正负无旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。
4、通量、环流的定义及其与场的关系通量：在矢量场F中，任取一面积元矢量dS,矢量F与面元矢量dS的标量积F.dS定义为矢量F穿过面元矢量dS的通量。
如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外；环流：矢量场F沿场中的一条闭合路径C的曲线积分称为矢量场F沿闭合路径C的环流。
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。
如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。
电流是磁场的旋涡源。
5、高斯定理、stokes定理静电静场高斯定理：从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。
Stokes定理：从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。
6、亥姆霍兹定理若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。
第二章电磁场的基本规律1、库伦定律（大小、方向）说明：1）大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；2）方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；3）满足牛顿第三定律。
电磁场与电磁波总结期末复习用
电磁场与电磁波总结第一章一、矢量代数 A ∙B =AB cos θA B⨯=ABe AB sin θ A ∙(B ⨯C ) = B ∙(C ⨯A ) = C ∙(A ⨯B )()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++le e e d x y z矢量面元=++Se e e x y z d dxdy dzdx dxdy体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ体积元dz d d dVϕρρ=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系 矢量线元d l = e r d r e θr d θ + e ϕr sin θ d ϕ 矢量面元d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ体积元ϕθθd drd r dVsin 2=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r rr θϕθϕϕθ三、矢量场的散度和旋度1. 通量与散度=⋅⎰A S Sd Φ 0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γ maxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x zA A A x y z11()zA A A zϕρρρρρϕ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕxy z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y zx y z A A A1z zz A A A ρϕρϕρρϕρ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A21sin sin rr zr rA r A r A ρϕθθθϕθ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A4. 矢量场的高斯定理（散度定理）与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SV d dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度 标量函数u 的梯度是矢量，其方向为u 变化率最大的方向00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u llcos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P uu u ulx y zαβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u uu x y z1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u uu zρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e ru u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A A 为无散场F 的矢量位 2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u -u =∇F u 为无旋场F 的标量位六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y z u u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu z A A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ 1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第二章一、麦克斯韦方程组 1. 静电场 真空中：001d ==VqdV ρεε⋅⎰⎰SE S （高斯定理） 0∇⋅=E ρε （高斯定理微分形式）d 0⋅=⎰lE l 0∇⨯=E （无旋场）场强计算：3'1'()(')'4'V dV ρπε-=-⎰r r E r r r r介质中：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E EE r χεεεε电介质中高斯定律的微分形式表明电介质内任一点电位移矢量的散度等于该点自由电荷体密度，即D 的通量源是自由电荷，电位移线始于正自由电荷终于负自由电荷。
电磁场高分复习笔记知识点
电磁场高分复习笔记知识点1.什么是电磁场？1)由带电物体产生的物理场，带电物体在电磁场内会受到电磁场的作用力。
2)电磁场是有内在联系、相互依存的电场和磁场的统一体的总称。
变化的磁场生电场，变化的电场生磁场。
3)带电物体与电磁场之间的相互作用可以用麦克斯韦方程组和洛伦兹力定律来描述。
2.静电场（不运动、量不变化电荷产生的电场）1)库仑定律：无限大真空中，两带电体距离远大于本身尺寸时，两带电体之间的相互作用力●2)电场强度 E：用来表示电场强弱和方向的物理量，试探电荷在电场内所受力的方向就是电场方向（N/C）3)电位移矢量 D：在静电场存在介质时，用以描述电场的辅助量（C/平方米）4)静电场环路定理：静电场中，沿闭合路径移动电荷，电场力做功恒为零。
5)高斯定律：不管是在真空中还是电介质中，任意闭曲面S上电通密度D的面积分，等于该曲面内的总自由电荷，而与一切极化电荷及曲面外的自由电荷无关6)基本方程●高斯定律（库伦定律+叠加原理）●积分形式：电位移矢量闭合面积分=面内总自由电荷（静电场有源）●微分形式：静电场是有散场●环路定理●积分形式：电场强度环路积分=0（静电场能量守恒）●微分形式：静电场是无旋场7)边界条件：分界面两侧D法向量不连续且= 分界面上自由电荷面密度，E的切向量连续8)静电能量：静电场不为0的空间都储存着静电能量9)电位：由于静电场无旋性，用电位函数φ描述，电位是标量（V）10)泊松方程、拉普拉斯方程：（求解静电场边值问题下的电位函数或电场强度分布）●表达了场中各点电位的空间变化与该点自由电荷体密度之间的普遍关系，本质都是电位函数的微分方程，拉普拉斯方程是在无引力源的情况下的泊松方程。
11)静电场中导体：在导体表面形成为一定面积的电荷分布，使得导体内部的电场为零，每个导体都成为等位体，导体的表面均为等位面。
12)电介质的极化：在外加静电场的作用下，电介质分子由中性转而呈现正负电荷在分子范围内的极化，其作用中心不再重合，形成一个小小的电偶极子，形成附加电场，引起原先电场分布的变化3.恒定电场（电流恒定的场）1)电流密度 J：按体密度ρ分布的电荷，以速度v作匀速运动时，产生电流密度矢量J（A/m²）2)基本方程（积分——高斯散度定理+斯托克斯定理——微分）●电流连续性方程●积分形式：导电介质维持恒定电场，任一闭合面流出的传导电流=0●微分形式：电流面密度线是闭合曲线，因此恒定电流只在闭合电路流动●电场强度的环路线积分●积分形式：积分路线不经过电源，则只存在库伦场强●微分形式：场强的旋度=0，恒定电场是保守场3)边界条件：分界面两侧电流密度J的法向量连续，电场强度E的切向量连续4)恒定电场与静电场的比拟（表格）●对应物理量满足的方程形式上一样，若两个场边界条件相同，只要通过一个场的求解，再利用对应量关系置换，即可得到另一个场的解4.恒定磁场（恒定电流引起的磁场）1)奥斯特发现电流的磁效应，法拉第发现电磁感应现象，亨利发表自感应现象论文2)磁感应强度 B：描述磁场强弱和方向的矢量（特斯拉 T）3)磁场强度矢量 H：在磁场存在磁介质时，用以简化安培环路定理引入的描述磁场的辅助矢量（A/m）4)基本方程●磁通连续性原理——表明磁感应线连续，是磁场中的高斯定律●积分形式：磁路中磁通量守恒●微分形式：恒定磁场是一个无散场●安培环路定律——毕奥沙伐定律+磁场叠加性●积分形式：磁场强度H的线积分=穿过该回路包围面积的自由电流●微分形式：磁场是有旋场5)边界条件：6)电感：将电能转化为磁能储存起来的元件●自感：回路的电流与该回路交链的磁链的比值●互感：回路的电流与另一个回路产生的磁链的比值7)磁场能量：●磁场能量是建立回路电流过程中外源做的功，分布于磁场所在的整个空间8)矢量磁位：●由于磁场无散性，用矢量磁位A来描述。
电磁场与电磁波期末复习知识点
电磁场期末复习知识点第一章1、熟悉三种坐标系。
基本题型：1）圆柱坐标系中单位矢量 ， 。
2）对于矢量A ，若 ，则=+∙y x a y x a x )(2 ，=⨯x z a y a x 2 。
3） 习题1.2 1.32、直角坐标系中散度、旋度、方向导数、梯度的计算公式及求解。
基本题型：习题1.9 1.15 1.16 1.23 1.25第二章1、真空中和介质中的场方程。
2、介质极化的过程3、高斯定理的应用（求解对称性问题）基本题型：1）球面对称问题：计算空间任一点的电场强度、电通密度、极化强度、极化电荷等（例如：空心介质球、导体球）2）圆柱对称问题：同轴线单位长度的电容、电感、漏电的计算。
4、电场的边界条件I 要能判断出不同分界面的满足的边界条件是什么，准确写出来。
5、电动势和接地电阻的基本概念，减小接地电阻的方法。
5、课件上的例题、课堂练习。
第三章1、镜像法的概念、依据，四种情况下镜像电荷的大小和位置（要描述清楚）；电荷运动时，其镜像电荷如何运动。
2、分离变量法：给定区域满足的方程、满足的边界条件（用数学表达式表示出来）第四章1、真空中、磁介质中磁场的基本方程（安排环路定理的应用，圆柱对称，参看教材和课件例题）2、磁化过程的描述=⋅ϕρρa z a =⨯ϕρa a z z y y x x A a A a A a ++=3、边界条件第五章1、麦克斯韦方程组及其物理含义（一定要记清楚）（含瞬时值和向量相量形式）2、时变电磁场的边界条件（两种特殊情况的边界面边界条件）3、坡印廷矢量的计算（含瞬时值和向量形式，平均坡印廷矢量）4、时谐电磁场瞬时值和向量形式的转换。
基本题型：1、“变化的电场可以产生磁场，变化的磁场可以产生电场”具体指麦克斯韦方程组的哪一个？2、例题5- 2 ；例题5-3 例题5-4 例题5-53、课后习题：5.6 5.7 5.8 5.9第六章1、无耗媒质中均匀平面波的特征。
2、相速、波长、传播常数、波阻抗等计算公式及相互关系（真空中的值）3、导电媒质中均匀平面波特征。
电磁波与电磁场(总复习).
5.电容C
q q U 1 2 1 1 q2 2 （We qU CU ） 2 2 2C We
V
1 n 电场能量：We qii 2 i 1
1 E DdV 2
二、计算
1.基本计算：均匀媒质、2种媒质中带电体周围的 D、E、 ? 分析方法：使用高斯定律
C
0 4
B(r )
0 4
V
J ( r ') R dV ' 3 R
J mS M n
3.基本方程： H dl I H J 本构关系： B H 矢量磁位： B A 4.边界条件：B2 n B1n 5. 电感：L I M 12
一主要知识点概念主要结论第五章时变电磁场一主要知识点
第 1章
矢量分析要点
一 、概念 1.“场”：定义、分类、几何描述方法？ 2. 亥姆霍兹定理？ 二、标量场 G e e e
l
x
x
y
y
z
z
P0
cos cos cos G l 0 x y z
3.瞬时矢量与复矢量之间的转换规则？
( x, y, z)e jt ] E( x, y, z, t ) Re[E
波动方程的2种形式?复数波动方程的推导？ 二、计算： 1.场的瞬时形式与复矢量之间的转换？ 2.已知磁场，求电场： 已知电场，求磁场：
第六章
平面电磁波
一、主要知识点 均匀平面波传播特性；波的极化 1.均匀平面波定义 2.无耗介质中 E ex E0 e jkz E( z, t ) ex E0m cos(t kz 0 )
计算： ?
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电磁场数学方法第一章 场论1 方向导数定义：方向导数是在一个点M 处沿方向l 的函数()u M 当0ul∂>∂时，函数u 沿l r 方向增加。
当0ul∂<∂时，函数u 沿l r 方向减少。
定理1. 函数(,,)u u x y z =在点0000(,,)M x y z 处可微；cos α，cos βcos γ为l 方向的方向余弦，则函数u 在点0M 处沿l 且由如下公式给出：cos cos cos u u u ul x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 其中,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂是在点0M 处的偏导数。
2 梯度方向导数解决了函数()u M 在给定点处沿某个方向的变化率问题。
梯度则解决了函数()u M 在给定点处沿哪个方向的变化率最大的问题。
考察方向导数公式：cos cos cos ||cos(,)u u u uG l G G l l x y zαβγ∂∂∂∂=++=⋅=∂∂∂∂r r r r r 式中u u u G i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂r r r r ，cos cos cos l i j k αβγ=++r r r r。
梯度的定义：若在数量场()u M 中的一点M 处，存在这样一个矢量G r，其方向为函数()u M 在M 点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量G ϖ为函数()u M 在点M 处的梯度，记作grad u ，即：()u u u grad u G i j k x y z∂∂∂==++∂∂∂rr r r3 矢量场的通量及散度 通量通量的定义：设有矢量场()A M r ，沿有向曲面S 某一侧的曲面积分n ssA ds A dsΦ==⋅⎰⎰⎰⎰r r称为该矢量穿过曲面S 的通量。
散度的定义：lim lim s M M A dsdivA V v∆∆Ω->∆Ω->⋅∆Φ==∆∆⎰⎰r r r Ò。
物理意义：散度表示场中一点处通量对体积的变化率。
计算公式：在直角坐标系中，矢量场(,,)(,,)(,,)A P x y z i Q x y z j R x y z k =++r r r r在任一点(,,)M x y z 处的散度为P Q RdivA x y z∂∂∂=++∂∂∂r 4 矢量场的环量及旋度 环量环量的定义：设有矢量场()A M r，则沿场中某一封闭的有向曲线l 的曲线积分lA dl Γ=⋅⎰r r Ñ叫做此矢量场按积分所取方向沿曲线l 的环量。
旋度旋度的定义：若在矢量场A r 中的一点M 处存在这样的一个矢量R r，矢量场A r 在点M 处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是||R r ，则称矢量R r为矢量场A r 在点M 处的旋度，记作rotA r ，即rotA R =r r。
物理意义：旋度矢量在数值和方向上表示了最大的环量面密度。
其在任一方向的投影就等于该方向上的环量面密度。
计算公式：在直角坐标系中旋度表示为：()()()y z z x x y rotA R R Q i P R j Q P k ==-+-+-r r r r r 或ij k rotA R x y z P Q R∂∂∂==∂∂∂r rr r r 5 几种重要的矢量场 有势场定义：设有矢量场()A M r ，若存在单值函数()u M 满足()A grad u =r，则称此矢量场为有势场；令v u =-，并称v 为这个场的势函数。
矢量()A grad v =-r。
有势场，无旋场，保守场是等价的。
管形场定义：设有矢量场()A M r ，若其散度0divA ≡r，则称此矢量场为管形场，也称无源场。
为何将其称为管形场？定义：如果在矢量场A r中恒有0divA =r 与0rotA =r r ，则称此矢量场为调和场，即既无源又无旋的矢量场。
第二章、数学建模－数学物理定解问题1、数学物理方程的导出数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来，与定解条件无关。
而物理规律反映的是某个物理量在邻近地点和邻近时刻之间的联系，因此数学物理方程的导出步骤为：(1) 首先确定所研究的物理量u ；(2) 从所研究系统中选定微元，根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要影响，忽略次要影响)，这种相互作用在一个短时间段里如何影响物理量u ； (3) 用算式表达这种相互影响，经简化整理就是数学物理方程。
波动方程20tt xx u a u -= 2(,)tt xx u a u f x t -=输运方程220t u a u -∇= 22(,,;)t u a u f x y z t -∇=恒定场方程2u ρε∇=-——的泊松方程 20u ∇=——拉普拉斯方程2、定解条件定解条件包括初始条件、边界条件，还有衔接条件。
有时衔接条件也称为边界条件，只是与下面我们介绍的三类边界条件有些差别而已。
初始条件所谓的初始条件某个物理量在“初始”时刻的状态，而这个“初始”时刻也是相对的。
从数学角度看，对泛定方程中出现一阶导数t u ，方程为一阶微分方程，只需要初始条件，比如输运方程；而对泛定方程中出现二阶导数tt u ，方程为二阶微分方程，需要两个初始条件。
边界条件第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；);,,();,,(0001),,(),,(000t z y x f t z y x u z y xz y x ==第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；0002000(,,)(,,)(,,;)(,,;)x y z x y z u x y z t f x y z t n =∂=∂第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。
);,,()(0003),,(),,(000t z y x f Hu u z y xz y x n =+=式中);,,(0001t z y x f 、);,,(0002t z y x f 和);,,(0003t z y x f 为已知函数，H 为常数系数。
衔接条件电场强度和电位的边界条件：静电场中不同电介质分界面上，电场强度的切向分量和电位移的法向分量均必然连续(分界面上无源)⎪⎩⎪⎨⎧∂∂=∂∂=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==nu n u u u E E E E D D E E n n t t n n t t 2211212211212121 εεεε 式中t E 1、n E 1和t E 2和n E 2分别为介质1和介质2的切向和法向电场强度，为1u 和2u 分别为介质1和介质2的电位，1ε和2ε分别为介质1和介质2的介电常数。
定解问题的提法定解条件：初始条件和边界条件(包括衔接条件)；定解问题：泛定方程(偏微分方程)和相应的定解条件结合在一起为定解问题； 初值问题：又称柯西问题，只有初始条件，没有边界条件的定解问题为初值问题； 边值问题：只有边界条件，没有初始条件称为边值问题； 混合问题：既有初始条件，又有边界条件，称为混合问题。
定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
3、数学物理方程的分类 两个自变量的方程的分类两个自变量的偏微分方程为022*******=++++++f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx 式中c b b a a a ，，，，，21221211和f 只是x 和y 的函数，且假设为实数。
作自变量的代换⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==)()( ),(),(x,y x,y y y x x ηηξξηξηξ 根据特征方程解的根号下符号划分偏微分方程的类型椭圆型抛物型双曲型 0 0 0221121222112122211212<-=->-a a a a a a a a a4、达朗贝尔公式泛定方程2000()()()tt xx t t t u a u u x x u x ϕψ==-=⎧=⎪-∞<<∞⎨=⎪⎩该方程的解为达朗贝尔公式⎰+-+-++=-++=atx atx d aat x at x at x f at x f t x u ττψϕϕ)(21)]()([21)()(),(21第三章、分离变量(傅立叶级数)法基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。
本征函数：本征函数为三角函数，后面会用到本征函数为贝塞尔函数等特殊函数。
1、齐次方程的分离变量法2、非齐次泛定方程此时讨论和研究非齐次泛定方程只考虑泛定方程为非齐次，而边界条件为齐次的，初始条件数值也为零。
如果初始条件数值不是零，那么可以令w v u +=，使得下式成立2000(,)00()()tt xx x x l t t t u a u f x t u u u x u x ϕψ====-=⎧=⎪⎨=⎪⎩⎧=⎪⎨=⎪⎩ = 200000()()tt xx x x l t t t v a v v v v x v x ϕψ====-=⎧=⎪⎨=⎪⎩⎧=⎪⎨=⎪⎩ + 2000(,)000tt xx x x l t t t w a w f x t w w w w ====-=⎧=⎪⎨=⎪⎩⎧=⎪⎨=⎪⎩傅立叶级数法非齐次泛定方程的定解问题也可以傅立叶级数求解，也即把所求的解展开为傅立叶级数∑=nn n x X t T t x u )()(),(式中傅立叶级数的基本函数族)(x X n 为该定解问题齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数。
冲量定理法冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用力引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加。
格林函数法 特解法3、齐次泛定方程和非齐次边界条件的处理第四章、二阶常微分方程级数解法-本征值问题1、特殊函数常微分方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程的一般形式为02=∇u 。
(1) 球坐标系222222221110 sin 0sin sin u u uu r r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=⇒++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 211(1)0 ()ll d dR r l l R R r Cr D dr dr r +⎛⎫-+=⇒=+ ⎪⎝⎭ 2220 ()cos sin (0,1,2,)d A m B m m m d λϕϕϕλϕΦ+Φ=⇒Φ=+==L 22cos 2221sin [(1)]0(1)[(1)]0sin sin 1x d d m d d m l l x l l d d dx dx x θθθθθθ=ΘΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ=-++-Θ= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⇒ 若极轴为对称轴，则0=m ，那么连带勒让德方程变成0)1(2)1(222=Θ++Θ-Θ-l l dxd xdx d x(2) 柱坐标系222222110 0u u uu zρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇=⇒++=⇒ ⎪∂∂∂∂⎝⎭2222222220 ()cos sin (0,1,2,)00 () 01(1)0 1()0A m B m m m DeZ Z Z z C D d R dR m R d R dR m dx x dx xR d d λϕϕϕλμμμμρρρρ''Φ+Φ=⇒Φ=+==⎧+>⎪''-=⇒=⎨+<⎪⎩++-=++-=⇒L 2222 0 1(1)0 0d R dR m R dx x dxx μμ⎧>⎪⎪⎨⎪+-+=>⎪⎩ 波动方程三维波动方程为22222200tt T k a T u a u v k v ''⎧+=⎪-∇=⇒⎨∇+=⎪⎩输运方程三维输运方程为22222200t T k a T u a u v k v '⎧+=⎪-∇=⇒⎨∇+=⎪⎩亥姆霍兹方程(1) 球坐标系22222222221110sin 0sin sin v v vv k v r k v r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇+=⇒+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2222222122[(1)]0 [()]0x kr R r x d dR d y dy r k r l l R x x x l y dr dr dx dx =⎛⎫+-+=++-+= ⎪⎝⎭2220 ()cos sin (0,1,2,)d A m B m m m d λϕϕϕλϕΦ+Φ=⇒Φ=+==L 22cos 2221sin [(1)]0(1)[(1)]0sin sin 1x d d m d d m l l x l l d d dx dx x θθθθθθ=ΘΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ=-++-Θ= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⇒(2) 柱坐标系222222221100v v vv k v k v zρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇+=⇒+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭22||||222222, 2222220 ()cos sin 00 cos sin 0110 1v z v z kx A m B m Ce De Z Z C vz D vz d R dR d R dR m k R d d dx x dx x μνλϕϕϕνννλνρρρρ-=-''Φ+Φ=Φ=+⎧+<⎪''+=⎨+>⎪⎩⎛⎫⎛⎫++--=++- ⎪⎝⎭⎝⎭⇒0R =⎪4.2、常点邻域上的级数解法常微分形式：线性二阶常微分方程100022)( )(0)()(C z w C z w w z q dz dwz p dzwd ='==++ 式中z 为复变函数，0z 为选定的点，0C 、1C 为复常数。