《动态几何---圆》综合练习(精选.)
动态几何综合测试(二)(含答案)
动态几何综合测试（二）试卷简介:调用前期讲解的动点问题处理框架及图形运动处理框架，检测学生在复杂背景下对各种知识的调用组合能力，如图形往返，放缩运动下的面积问题、存在性问题，要求在掌握题目本身套路的同时，能够对知识间的组合，模块间的组装有所感触。
一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形：通过作双高研究梯形，求出高的长，得到两侧三角形的性质；②研究运动状态：通过对动点运动的研究，得到点P，Q的运动状态，如图所示，由线段图可知；③分析目标，当点P与点A重合时，时间为10s，此时点Q恰好在点D的正下方，即射线QK经过点D（点D与点E重合），所以当点P落在射线QK上时，点P在线段AD上；④画出点P落在射线QK上时的大致位置，从动点运动表达起，建立等式进行求解．2．解题过程如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，易得MN=AD=75，BM=CN=30，AM=DN=40，当点P落在射线QK上时，如图所示，由题意得，，∴AD=，解得．∴当点P落在射线QK上时，t的值为．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架2.（上接第1题）（2）记△PEQ的面积为S，则点P落在射线QK上之前的S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①分析引起目标三角形变化的状态转折点，如图所示，要求S的表达式，显然需要分两段，即．②分段画图，设计方案表达面积（公式法）．2．解题过程当时，过点P作PF⊥BC于点F，各点位置如图所示，∵BP=5t，CQ=3t，∴BF=3t，PF=4t，QE=4t．易知四边形PFQE是矩形，∴PE=FQ，∴，∴．当，各点位置如图所示，由题意得，，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架3.（上接第1，2题）在整个运动过程中，满足△PEQ是直角三角形的时间t的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点充分利用前两题的分析（运动状态和图形性质），整个运动可分为四段：，在每一段内对目标进行研究．在求出结果时，需要对端点时刻的状态进行验证，判断是否满足题意．2．解题过程①当时，点P在AB上，点E在CD上，如图所示，由第2题的分析可知∠PEQ=90°，△PEQ始终是直角三角形，∴符合题意．②当时，点P，E都在线段AD上，始终满足∠PEQ=90°，△PEQ是直角三角形，∴满足题意．③当时，点E在AD上，点P在CD上，若△PEQ是直角三角形，只能是∠EPQ=90°，所以只需要判断以EQ为直径的圆是否与线段CD有交点．此时，∵，∴，∴以EQ为直径的圆与线段CD无交点，∴不满足题意．④当时，满足题意，如图所示，综上所述，满足题意的t的取值范围是．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架4.如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在BC边上，腰DH落在AC边上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3．固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位长度的速度沿CB向右移动，当点D与点B重合时停止．设移动的时间为t秒，移动后的直角梯形为（如图2），△ABC与直角梯形重叠部分的面积为S（这里规定点是面积为0的几何图形），则S与t之间的函数关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①研究基本图形，各线段长如图所示，EF始终与AB平行．②分析运动状态，如图所示，在找状态转折点时，找边与顶点碰撞的时刻，∴．③分段画图，设计方案求解面积．2．解题过程由题意得，DH=2，DE=4，过点F作FG⊥BC于点G，得到各线段长如下图所示，①当时，重叠部分即为直角梯形，如图所示，∵DE=4，，∴．②当时，如图所示，设与AB交于点M，则重叠部分为直角梯形，∵CE=t+4，BC=8，∴BE=t-4．∵重叠部分的面积S=梯形的面积-平行四边形MBEF的面积，∴．③当时，如图所示，设与AB交于点N，则重叠部分为△BDN，∵CD=t，BC=8，∴BD=8-t．△BDN是三边之比为3:4:5的直角三角形，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架。
圆动态问题50例
《动态数学问题50例》1．如图，已知⊙O1经过⊙O2的圆心O2，且与⊙O2相交于A、B两点，点C为弧AO2B上的一动点（不运动至A、B），连结AC，并延长交⊙O2于点P，连结BP、PC（1）当点C在运动时，观察图中有哪些角的大小没有变化？（2）请猜想△BCP的形状，并证明你的猜想P2．如图，已知AB是⊙O的直径，直线MN与⊙O相交于点E，F，AD⊥MN，垂足为D。
（1）求证：∠BAE=∠DAF（2）若把直线MN向上平行移动，使之与AB相交，其他条件不变，请把变化后图形画出来，并指出∠BAE=∠DAF是否仍然相等（直接回答，不必证明）- 1 -- 2 -3．如图，课本中曾要我们证明“已知平行四边形ABCD 及形外一直线L ，AA 1⊥L ，BB 1⊥L ，CC 1⊥L ，DD 1⊥L 。
求证：AA 1+CC 1=BB 1+DD 1”。
现将L 向上平移，则以上的结论还成立吗？LD 1C 1B 1A 1DCBA4．如图，AD 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于D ，AB ，AC 交⊙O 于E ，F （1）求证：AE ·AB=AF ·AC （2）如果将直线BC 向上或向下平移（与AD 仍然垂直）且AB ，AC 交⊙O 于E ，F ，则AE ·AB=AF ·AC 还成立吗？AB 。
OEDCF- 3 -5．已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形，则图（1）中存在结论AN=BM（1）现将△ACM 绕C 点按逆时针方向旋转1800，使A 点落在CB 上，请在画出符合题意的图(2).（2）在（2）中所得的图形中，结论“AN=BM ”是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）在（2）得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并证明你的结论图（1）6．已知，如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ，过点A 的直线CD 与⊙O 1交于C ，与⊙O 2交于D ，过点B 的直线EF 与⊙O 1交于E ，与⊙O 2交于F ，求证：CE ∥DF当上例的图形变为如下几个图时，仍有CE ∥DF 吗？如何证明？A M NC B 。
专题十九 圆与动态几何问题
专题十九 圆与动态几何问题知识聚焦以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，这是圆与动态几何的基本表现形式．解这类问题需运用到分类讨论、数形结合、方程与函数等思想方法，关键是动中觅静、以静制动、以动制动． 例题导航【例1】 如图①，直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P 与y 轴相切于点O.若将⊙P 沿x 轴向左移动，则当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5点拨：根据直线与坐标轴的交点，得出A 、B 两点的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标.解答：Θ直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P的坐标为∴),0,1(点A 的坐标为(-3,0)，点B 的坐标为),3,0(⊙O 的半径为.32.1=∴AB如图②，将()P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相切于点1C 时，,111=C P 根据~11C AP ∆,ABO ∆得.2313211111=∴⋅=∴⋅=AP AP BO C P AB AP ∴点1P 的坐标为(-1，0)．将⊙P 沿x 轴继续向左移动，当⊙P 与该直线相切于点2C 时，,122=C P 根据,~22ABO C AP ∆∆得=∴=32.2222AP BO C P AB AP .2312=∴⋅AP 点2p 的坐标为（-5，0）．从-1到-5，整数点有-2、-3、-4，故当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是3．故选B ．点评：此题主要考查了直线与坐标轴交点的求法以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键．【例2】 (2012．聊城)如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，P BC AC AB ,12,10===是上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D.(1)当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由； (2)当DP 为⊙O 的切线时，求线段DP 的长．点拨：(1)根据当点P 是的中点时，得出得出PA 是⊙O 的直径，再利用//DP BC ，得出,PA DP ⊥问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出~ABE ∆△ADP，即可得出DP 的长． 解答：(1)如图②，当点P 是的中点时，DP 是⊙O 的切线，理由：是⊙O 的直径，又,AC AB =Θ.BC PA ⊥∴又DP PA DP BC DP ∴⊥∴.,//Θ是⊙0的切线．(2)如图②，连接OB ，设PA 交BC 于点E ．由垂径定理，得,621==BC BE 在Rt△ABE 中，由勾股定理，得.86102222=-=-=BE AB AE 设⊙O 的半径为,r 则.8r OE -=在Rt△OB E '中，由勾股定理，得,)8(6222r r -+=解得//425DP r Θ⋅=.,D ABE BC ∠=∠∴又~,11ABE ∆∴∠=∠Θ,.AP EDP BE ADP =∴∆即⋅⨯=425286DP解得⋅=875DP点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，根据已知得出ADP ABE ∆∆~是解题关键，【例3】某课题小组进行了如下探索，请逐步思考并解答：(1)如图①，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(2)改变图形的数量，如图②，将传动轮增加到3个，每个传动轮的直径是,3m 每两个传动轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(3)将静态问题升华为动态问题：如图③，一个半径为cm 1的⊙P 沿边长为cm π2的等边三角形ABC 的外沿无滑动地滚动一周，求圆心P 经过的路径长；⊙P 自转了多少周？(4)拓展与应用：如图④，一个半径为cm 1的⊙P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周，则⊙P 自转了多少周？点拨：(1)利用传送带的长等于两个传送轮中心的距离×2+圆的周长即可求出；(2)可仿照(1)进行解答；(3)利用圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为1 cm 的圆的周长”即可求出；(4)利用⊙P 的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿作无滑动滚动一周的路径长为π2)13(⨯+即可求出，解答：(1)这条传送带的长为=⨯+⨯3102πm )320(π+.)330(323180120310)2(m ππ+=⨯⨯+⨯(3)圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为cm 1的圆的周长”，∴圆心P 经过的路径长为).(826cm πππ=+⊙p 自转的周数一圆心P 经过的路径长÷⊙p 的周长，∴⊙p 自转的周数为.428=÷ππP )4(的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周的路径长为=⨯+π2)13(∴),(8cm π⊙P 自转的周数为.428=÷ππ点评：此题主要考查了扇形的弧长公式以及等边三角形的性质等，根据已知条件得出点P 经过的路径是解题的关键．【例4】 （2013．宜昌）半径为cm 2的⊙O 与边长为cm 2的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，⊙O 与l 相切于点-F ，DC 在l 上．(1)过点B 作00的一条切线BE ，E 为切点．①填空：如图①，当点A 在⊙0上时，EBA ∠的度数是 ； ②如图②，当E 、A 、D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；(2)以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（如图③），当边BC 与OF 重合时结束移动，M 、N 分别是边BC 、AD 与⊙0的公共点，求扇形MON 的面积的范围．点拨：(1)①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出EBA ∠的度数；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=OE OA ,OBOF进而求出OA 的长；(2)设,︒=∠n MON 得出),(90236022cm n n S MON ππ=⨯=扇形进而利用函数增减性分析：当点N 、1VI 、A 分别与点D 、B 、0重合时，MN 最大；当cm DC MN 2== 时，MN 最小，分别求出即可.解答：(1)①Θ半径为cm 2的⊙O 与边长为2 cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，当点A 在⊙O 上时，,90,2,4o OEB cm FO cm OB =∠=-=EBA ∠∴的度数.30o Θ②直线l 与⊙O 相切于点=∠∴OFD F ,Θο.90在正方形ADCB 中，//,90OF ADC o ∴=∠∴==,2.cm AD OF AD Θ四边形OFDA 为平行四边形，∴=∠,90o OFD Θ平行四边形OFDA 为矩形．Θ.AO DA ⊥∴在正方形ABCD 中，⊥DA ∴,AB 点O 、A 、B 三点在同一条直线上．⊥∴EA =∠=∠OAE OEB OB Θ.,,90BOE EOA o ∠=∠..~2OA OE OBOEOE OA BOE EOA =∴⋅=∴∆∆∴.4)2(.2cm OA cm OA OB =+∴解得±-=1(OA .)15(,0.)5cm OA A O cm -=∴>-Θ (2)如图④，设=⨯=︒=∠2,2360πn S n MON MON 扇形οS cm n ),(902π随n 的增大而增大，MON ∠取最大值时，MON S 扇形最大，当MON ∠取最小值时，OMN S 扇形最小．过点0作MN OK ⊥于点K ，=∠∴MON .2,2NK MN NOK =∠在Rt△ONK 中，=∠NOK sin NOK nNKON NK ∠∴=,2α随NK 的增大而增大．MON ∠∴随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时MON ∠最大．当MN 最小时MON ∠最小．①当点N 、M 、A 分别与点D、B、重合时，MN最大，==∠=∠=最大扇形MON S BAD MON BD MN ,90,οcm DC MN cm 2②;2==≡π时，MN 最小，=∴ON .32,60.2cm S NOM OM MN MON π==∠∴=最小扇形ο.32ππ≤≤∴MON S 扇形点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON 的面积的最大值与最小值是解题关键， 培优训练能力达标1．如图，⊙1O 的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点2O 为正方形ABCD 的中心，AB O O ⊥21于占.8,21=O O P 若将⊙1O 绕点P 按顺时针方向旋转,360O 在旋转过程中，⊙1O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( ) A. 3次 B ．5次 C ．6次 D ．7次2．（2012．遵义）如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O上一个动点（不与A 、B 重合），过点0作AP OC ⊥于点C ，PB OD ⊥于点D ，则CD 的长为 .3．（2012．宁波）如图，在△,AI3C 中，,60ο=∠BAC D AB ABC o ,22,45==∠是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ， 连接EF ，则线段EF 的最小值为 ．4．（2012．镇江）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A （-4，0）、B(O ，4)，⊙O 的半径为1(0为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为 . 5．如图，⊙O 的直径MN=1，点A 在⊙O 上，且B AMN O ,30=∠是的中点，点P 在直径MN 上运动，求AP BP +的最小值．6．（2012．湘潭）如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点,21,AB AC P =点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于点D ．(1)如图①，求证：;~ABC PCD ∆∆(2)当点P 运动到什么位置时，≅∆PCD ?ABC ∆请在图②中画出△PCD 并说明理由；(3)如图③，当点P 运动到AB CP ⊥时，求BCD ∠的度数．7．（2012．张家界）如图，⊙O 的直径C AB ,4=为圆周上一点，,2=AC 过点C 作的切线DC ，⊙O 点P 为优弧CBA 上一动点（不与A 、C 重合）． (1)求与APC ∠的度数；ACD ∠(2)当点P 移动到的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；(3)点P 移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等？请说明理由．8．（2012．无锡）如图，菱形ABCD 的边长为点P 从点A 出发，以,2cm .60o DAB =∠的速s cm /3度，沿AC 向点C 匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以的速度，沿射线AB 匀速运s cm /1动．当点P 运动到点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为 (1)当点P 异于A 、C 时，请说明.ts(2)以点P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在;//BC PQ 整个运动过程中，为怎样的值时，t 与边BC ⊙P 分别有1个公共点和2个公共点？拓展提升9．（2012．兰州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦=BC F cm ,2是弦BC 的中点，.60o EC =∠若动点E 以s cm /2的速度从点A 出发沿着A B A →→方向运动，设运动时间为),30(<≤t ts 连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为 ( )47.A1.B47.C 或147.D 或1或4910.（2012．无锡）如图，以M(-5，0)为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于点C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长( )A ．等于24B ．等于34C ．等于6D.随点P 位置的变化而变化11．（2013．广州）已知AB 是⊙O 的直径，,4=AB 点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动（不与点B 重合），连接CD ，且.OA CD = (1)当22=OC 时（如图），求证：CD 是⊙O 的切线；(2)当22>OC 时，CD 所在直线与⊙O 相交，设另一交点为E ，连接AE ． ①当D 为CE 中点时，求△ACE 的周长； ②连接OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE ．ED 的值；若不存在，请说明理由．12.（2013．上海改编）在矩形ABCD 中，P 是AD 边上的动点，连接BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，连接QP(如图)．已知,5,13==AB AD 设⋅==y BQ x AP ,(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；(2)点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果,4==EC EF 求x 的值．【例】 如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点),84(<<OA 以0为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD 于点M ，连接OM ，过点M 作⊙O 的切线交边BD 于点N ．(1)求证：;~MCN ODM ∆∆(2)设,x DM =求OA 的长（用含x 的代数式表示）；(3)在点O 的运动过程中，设△CMN 的周长为P ，试用含x 的代数式表示P ，你能发现怎样的结论？点拨：(1)依题意可得,MNC OMD ∠=∠然后可证得)2(;~(/)MCN DM ∆∆设==OA x DM ,,8,R OA AD OD R OM -=-=-=根据勾股定理求出OA 的长；(3)由(1)知,~MCN ODM ∆∆利用线段比求出MN CN 、的长．然后代入可求出△CMN 的周长．也可利用相似三角形的周长比等于相似比来进行求解．解答：(1)MN Θ切⊙O 于点M ，=∠∴OMN =∠+∠=∠+∠MNC CMN CMN OMD οοΘ90.90οΘ90,.90=∠=∠∠=∠⋅C D MNC OMD O 又.~MON ODM ∆∆∴(2)在Rt△ODM 中，,x DM =设==OM OA .8,R OA AD OD R -=-=∴由勾股定理得-8(=∴=---∴=+OA R R R R x R .x 1664,)222222)80(16642<<+=x x R (3)解法一：,8x DM CD CM -=-=Θ又,166416648822x x R OD -=+-=-=Θ且~ODM ∆.,DM CN OD MC MCN =∴∆代人得到⋅+=816x x CN 同理,OMMN OD MC =代人得到CMN x x MN ∆∴⋅++=8642.的周长为+++-=++=816)8(x x x MN CN CM P .16)8()8(8642=++-=++x x x x 发现：在点0的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．解法二：在Rt△ODM 中，-=-=88R OD ⋅-=+1664166422x x 设△ODM 的周长++='DM OD P .81646166422+=⋅+++-=x x x x OM 而~MCN ∆,ODM ∆且相似比=-⋅-==2x6416)8(x OD CM k MCN x P ODM P MCN x ∆∴+='∆∆+,816,816的周长的周长Θ的周长为.16816).8(=++=x x P 发现：在点O 的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．点评：本题考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、勾股定理、切线性质等有关知识，思考题如图①，在⊙O 中，点P 在直径AB 上运动，但与A 、B 两点不重合，过点P 作弦,AB CE ⊥在上任取一点D ，直线CD 与直线AB 交于点F ，弦DE 交直线AB 于点M ，连接CM ．(1)如图①，当点P 运动到与点0重合时，求FDM ∠的度数；(2)如图②、③，当点P 运动到与点0不重合时，求证：.MC DF OB FM ⋅=⋅。
动态几何综合训练二(含答案)
动态几何综合训练二1. (2009 内蒙古呼和浩特市) 如图，在直角梯形ABCD 中，9012cm AD BC ABC AB ∠==∥，°，，8cm AD =，22cm BC =，AB 为O ⊙的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动．P Q 、分别从点A C 、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为(s)t ． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ 与O ⊙相切？2. (2009 江西省) 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PM N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.CA D E BF C图4（备用）A D E BF C图5（备用）A D E BF C 图1 图2 A D E B F C P N M图3 A D E B F C P NM3. (2009 山东省淄博市)如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ =x cm （0x ），则AP =2x cm ，CM =3x cm ，DN =x 2cm ．（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．4. (2010 广东省佛山市) 如图，是一个匀速旋转(指每分钟旋转的弧长或圆心角相同)的摩天轮的示意图，O 为圆心，AB 为水平地面. 假设摩天轮的直径为80米，最低点C 离地面为6米，旋转一周所用的时间为6分钟. 小明从点C 乘坐摩天轮(身高忽略不计)，请问：（1） 经过2分钟后，小明离开地面的高度大约是多少米？（2） 若小明到了最高点，在视线没有阻挡的情况下能看到周围3公里远的地面景物，则他看到的地面景物有多大面积？(精确到1平方公里)A B DC P Q M NABD5. (2010 广东省广州市) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D 是线段BC上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E. （1）记ODE △的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ，试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.6. (2010 山东省东营市) 如图，在锐角三角形ABC 中，12=BC ，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；（2）设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.A D E FGC （备用图（1））A C（备用图（2））AC7. (2010 辽宁省大连市) 如图，在△ABC 中，AB AC ==5，BC =6，动点P 从点A 出发沿AB 向点B 移动，（点P与点A B 、不重合），作PD BC ∥交AC 于点D ，在DC 上取点E ，以DE DP 、为邻边作PFED ，使点F 到PD 的距离16FH PD =，连接BF ，设AP x = （1）△ABC 的面积等于（2）设△PBF 的面积为y ，求y 与x 的函数关系，并求y 的最大值； （3）当BP BF =时，求x 的值. (2010 辽宁省抚顺市) 如图所示，在Rt ∆ABC 中，∠C=90,∠BAC=600，AB=8.半径为3的⊙M 与射线BA 相切，切点为N ，且AN=3.将Rt ∆ABC 顺时针旋转1200后得到Rt ∆ADE ，点B 、C 的对应点分别是点D 、E. (1)画出旋转后的Rt ∆ADE ；(2)求出Rt ∆ADE 的直角边DE 被⊙M 截得的弦PQ 的长度;(3)判断Rt ∆ADE 的斜边AD 所在的直线与⊙M 的位置关系，并说明理由.9. (2010 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形AOCB 是梯形，AB OC ∥，点A的坐标为(08)，，点C 的坐标为(100)，，OB OC =． （1）求点B 的坐标；（2）点P 从C 点出发，沿线段CO 以5个单位/秒的速度向终点O 匀速运动，过点P 作PH OB ⊥，垂足为H ，设HBP △的面积为(0)S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点P 作PM CB ∥交线段AB 于点M ，过点M 作MR OC ⊥，垂足为R ，线段MR 分别交直线PH OB 、于点E G 、，点F 为线段PM 的中点，连接EF ．当t为何值时，EF EG =？ADCP BFHE备用图备用图动态几何综合训练二答案第1题答案.（1）解：∵直角梯形ABCD ，AD BC ∥ PD QC ∴∥∴当PD QC =时，四边形PQCD为平行四边形．由题意可知：2AP t CQ t ==，82t t ∴-=38t = 83t =∴当83t s =时，四边形PQCD 为平行四边形．（2）解：设PQ 与O ⊙相切于点H ， 过点P 作PE BC ⊥，垂足为E 直角梯形ABCD AD BC ，∥PE AB ∴=由题意可知：2AP BE t CQ t ===，222BQ BC CQ t ∴=-=-222223EQ BQ BE t t t =-=--=-AB 为O ⊙的直径，90ABC DAB ∠=∠=° AD BC ∴、为O ⊙的切线AP PH HQ BQ ∴==，22222PQ PH HQ AP BQ t t t ∴=+=+=+-=-在Rt PEQ △中，222PE EQ PQ +=22212(223)(22)t t ∴+-=-即：28881440t t -+=211180t t -+= (2)(9)0t t --=1229t t ∴==，因为P 在AD 边运动的时间为8811AD ==秒 而98t =>9t ∴=（舍去）BQBQE∴当2t =秒时，PQ 与O ⊙相切．第2题答案.（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =︒∠， ∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==．如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴122PH PM ==．∴3cos302MH PM =︒= ．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图1A D E BFCG图2A D E BF CPNMG H此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan 301MC PM =︒= ．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形．第3题答案.解：（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P 与点N 重合时，21222011x x x x +===由，得，（舍去）．因为BQ +CM =31)20x x +=<，此时点Q 与点M 不重合．所以1x 符合题意． ②当点Q 与点M 重合时， 320,5x x x +==由得．此时22520DN x ==>，不符合题意．故点Q 与点M 不能重合．所以所求x 1． （2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧， ①当点P 在点N 的左侧时， 由220(3)20(2)x x x x -+=-+， 解得120()2x x ==舍去，．当x =2时四边形PQMN 是平行四边形． ②当点P 在点N 的右侧时， 由220(3)(2)20x x x x -+=+-， 解得1210()4x x =-=舍去，．当x =4时四边形NQMP 是平行四边形．所以当24x x ==或时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ． 由于2x >x ，所以点E 一定在点P 的左侧．若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 一定在点N 的右侧，且PE =NF ， 即223x x x x -=-．解得120()4x x ==舍去，．由于当x =4时， 以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形．第4题答案.（1） 从点C 乘坐摩天轮，经过2分钟后到达点E ， 1分则︒=∠120COE 2分延长CO 与圆交于点F ，作EG ⊥OF 于点G . 3分 则︒=∠60GOE ， 4分在Rt EOG △中，2060cos 40=︒=OG 米， 5分∴小明2分钟后离开地面高度66=++=OG CO DC DG 米. 6分 （2） F 即为最高点，他能看到的地面景物面积为26)π28s =≈平方公里. 8分注：若理解为23π28s =≈平方公里不扣分. 不写答句不扣分.第5题答案.解： (1) 当直线12y x b =-+过点C （0,1）时，1b =； 当直线12y x b =-+过点A （3,0）时，32b =；当直线12y x b =-+过点B （3,1）时，52b =.∵点D 不与点C 、点B 重合，∴当312b <≤时, 点E 在线段OA 上（如图1）, 在12y x b =-+中, 令0y =, 得2x b =.∴ 点E 的坐标为()2,0b .∴ 112122S OE OC b b =⋅⋅=⨯⨯=.当3522b <<时, 点E 在线段AB 上（如图2）,在12y x b =-+中, 令3x =, 得32y b =- .∴ 点E 的坐标为33,2b ⎛⎫-⎪⎝⎭. 求△ODE 的面积给出以下两种方法：解法1： 在12y x b =-+中, 令0y =,得2x b =. ∴直线12y x b =-+与x 轴的交点为F ()2,0b .∴ ODF OEF S S S ∆∆=- 1122OF OC OF EA =⋅⋅-⋅⋅ 113212222b b b ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭ 252b b =-+. 解法2：在12y x b =-+中, 令1y =, 得22x b =-.∴点D 的坐标为()22,1b -.OCD BDE OAE OABC S S S S S ∆∆∆=---矩形111222OA AB OC CD BD BE OA AE =⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅()11513311(22)52322222b b b b ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯--⨯-⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭252b b =-+.∴ 当312b <≤时，S b =；当3522b <<时, 252S b b =-+.(2) ∵ 矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形111O A B ∴ 四边形1111O A B C 也为矩形, 且11113,1O A OA OC OC ====,11C B 与CB 相交于点D ,11O A 与OA 相交于点E .设11C B 与OA 相交于点F ,11O A 与CB 相交于点G , ∴ 矩形OABC 与矩形1111O A B C 重叠部分为四边形∵ //,//DG FE DF GE ,∴ 四边形DFEG 为平行四边形,且1DFO GEO OGD ∠=∠=∠. 证明平行四边形DFEG 为菱形给出以下两种证法：证法1：过点D 作11DM O A ⊥于点M ,DN OA ⊥于点N （如图11）,在R t DMG ∆和R t DNF ∆中,111DM C O CO DN ====, 90,DNF DMG DFN DGM ︒∠=∠=∠=∠,∴ R t DMG ∆≌ R t DNF ∆. ∴ DF DG =.∴ 平行四边形DFEG 为菱形.证法2：由轴对称的性质知.GDE FDE DEF DEG ∠=∠∠=∠， 又DE=DE ，∴DFE ∆≌ DGE ∆. ∴ DF DG =. ∴ 四边形DFEG 为菱形. 在12y x b =-+中, 令0y =,得2x b =; 令1y =, 得22x b =-. ∴点E 的坐标为()2,0b , 点D 的坐标为()22,1b -.在R t DNE ∆中,()2222,1EN b b DN =--==, ∴DE ==.过点F 作FH DE ⊥于H ,则H 为DE 的中点, 122EH DE ==, ∵DEN FEH ∠=∠,∴R t DNE ∆∽Rt FHE ∆. ∴12DN FH EN EH ==,得124FH EH ==, 455452122122=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=∆DE FH S S DFE DFEG 菱形.∴菱形DFEG 的面积不变，面积为54.第6题答案.解：（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图 （1），过点A 作BC 边上的高AM ，交DE 于N ，垂足为M .∵S △ABC =48，BC =12，∴AM =8.∵DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC , ………1分∴AMANBC DE =， 而AN=AM －MN=AM －DE ，∴8812DEDE -=. ……………………2分 解之得8.4=DE .∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为4.8.…3分 （2）分两种情况：①当正方形DEFG 在△ABC 的内部时，如图（2），△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积，∵DE =x ，∴2x y =，此时x 的范围是x <0≤4.8…4分B（ 图（2））A D E FGC（图(1)）ADECN②当正方形DEFG 的一部分在△ABC 的外部时， 如图（2），设DG 与BC 交于点Q ，EF 与BC 交于点P ， △ABC 的高AM 交DE 于N ，∵DE =x ，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC , …………5分即AM ANBC DE =，而AN =AM －MN =AM －EP , ∴8812EP x -=，解得x EP 328-=.………6分 所以)328(x x y -=, 即x x y 8322+-=.………7分由题意，x >4.8，x <12,所以128.4<<x .因此△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=)128.4(83222x x x x y ……………………………………8分 当x <0≤4.8时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04 当128.4<<x 时，因为x x y 8322+-=，所以当6)32(28=-⨯-=x 时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24)32(480)32(42=-⨯-⨯-⨯.因为24>23.04，所以△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24. …………………10分第7题答案.解：（1）121分（2）作AM BC ⊥于M ，分别交PD FE 、于点N S 、， PD BC PD FE ∥，∥90AMB ANP ASF APD ABC ∴∠=∠=∠=︒，△∽△HF PD ⊥∴四边形HFSN 是矩形2分6PDNS FH ∴==APD ABC △∽△AP PDAB BC∴=，得65x PD =3分 5xNS FH ∴==4分PFED PBCD FBCE y S S S -∴=- 梯形梯形5分=11()()22PD BC NM PD NS FE BC SM +---+··N =1()-2PD BC NS PD NS +··M B（ 图(3)）AD EFGCNP Q(0< x ≤4.8) A DCP BF H EMS=2116133()62255255BC PD NS x x x x ⎛⎫--⨯=-+ ⎪⎝⎭·= 6分23532524y x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭，当52x =时，34y =最大值7分（3）延长HF 交BC 于Q由（2）知四边形HQMN 和四边形FQMS 均为矩形FQ SM AM AN NS QM HN PN PH ∴==--==-，由56AB AC BC AM BC ===⊥，，，得43AM BM ==，由（2）知AP AN PN AB AM BM ==，得4355x xAN PN ==， 414455FQ x x x ∴=--=-8分四边形PFED 是平行四边形133tan tan 5420DPF DEF CFH FH PH x xDPF C ∴∠=∠=∠∴====∠∠·339()3352020BQ BM QM BM PN PH x x x ∴=-=--=-+=-9分在Rt FBQ △中，2222BP BF FQ BQ ==+，即2229(5)(4)320x x x ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭10分12280081x x ∴==，（舍去） 11分第8题答案.（1）如图Rt ∆ADE 就是要画的(图形正确就得分) .----------------------------------2分 (2) 22--------------------------------------------------------------------------------------------------5分 (3)AD 与⊙M 相切. -------------------------------------------------------------------------------------6分 证法一：过点M 作MH ⊥AD 于H ，连接MN , MA ,则MN ⊥AE 且MN=3在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=AN MN =33∴∠MAN=30°---------------------------------------------7分 ∵∠DAE=∠BAC=60° ∴∠MAD=30°∴∠MAN=∠MAD=30°∴MH=MN （由△MHA ≌△MNA 或解Rt △AMH 求得MH =3从而得MH=MN 亦可）------------9分 ∴AD 与⊙M 相切. --------------------------------------------------------------------------------------10分 证法二：连接MA 、ME 、MD ，则S ADE ∆=DME AME AMD S S S ∆∆∆++-----------------------------8分 过M 作MH ⊥AD 于H, MG ⊥DE 于G, 连接MN , 则MN ⊥AE 且MN=3,MG=1∴21AC ·BC =21AD ·MH +21AE ·MN +21DE ·MG 由此可以计算出MH =3 ∴MH=MN ---------------------------------------------------------------9分 ∴AD 与⊙M 相切----------------------------------------------------------------------------------------10分第9题答案.解：（1）如图1 过点B 作BN OC ⊥，垂足为N由题意知 10OB OC == 8B N O A==6ON ∴== ····················································· 1分 (68)B ∴， ················································································· 1分 （2）如图1 90BON POH ONB OHP ∠=∠∠=∠= °BON POH ∴△∽△BO ON BNPO OH PH∴== 5PC t = 1056384O P t O H t P H t∴=-∴=-=- 10(63)34BH OB OH t t ∴=-=--=+ ·········································································· 1分 21(34)(84)6416(02)2S t t t t t ∴=+-=-++<≤ ·························································· 2分 （3）①当点G 在点E 上方时如图2 过点B 作BN OC '⊥，垂足为N '84BN CN CB ''==∴==BM PCBC PM ∥∥∴四边形BMPC 是平行四边形5PM BC BM PC t OC OB∴=====OCB OBC ∴∠=∠PM CB OPD OCB ODPOBC∴∠=∠∠=∠ ∥ OPD ODP ∴∠=∠ 9090O P D R M P O D P D P H ∠+∠=∠+∠= °RMP DPH EM EP ∴∠=∠∴= ······················································································ 1分点F 为PM 的中点 E F P M∴⊥ 90EMF PMR EFM PRM ∠=∠∠=∠= ° MEF MPR ∴△∽△ME MF EF MP MR PR ∴== 其中2PMMF == 84MR PR === ····················································································· 1分 5ME EF ∴==2EF EG =2523E G M G E M E G ∴=∴=-=-= ············································· 1分xyOBPAHN图1xy OBP AHN ' EFDG R C 图2AB OC MBG BON '∴∠=∠ ∥又90GMB ON B '∠=∠= °94MG MB MGB N BO BM N B N O '∴∴=∴=''△∽△ 995420t t ∴=∴= ·············································································································· 1分 ②当点G 在点E 下方时 如图3 同理可得 527MG ME EG =+=+=21215420BM t t ∴==∴= ·············································· 1分∴当920t =或2120时，2EF EG =．x yO B PAH EF DG RC M图3。
解读与圆有关的动态型试题
解
动 点 Ｐ从 圆心 ０出 发 ， ０一Ｃ— 沿 Ｄ一０ 的路 线
作匀速运动过程中 ， 开始 时点 Ｐ与 点 ０重合 此时 Ａ ｝
：９ ０。，
在Ａ Ｃ上 移动 ， 设移 动时 间为 ｔ （ 单位 ：） ｓ．
图２
点评
变式 ３ ４的出现说 明除 以直角三 角形 的三 ，
的面积为一
（） ｔ １ 当 为何值时 ， ＱＰ与 Ａ Ｂ相切 ；
中‘擞 － （１年 １期・ 中 ） ？ ７ ２０ 第 ２ 初 版 ０
（一 ，） 以点 ０ ４０ ， 为 圆心 ， ８
ｆ
・ 解题研究 ・
（） Ｐ ２ 作 Ｄ上Ａ Ｃ交 Ａ 于 点 Ｄ， 果 ＱＰ和 线 段 Ｂ Ｂ 如 Ｃ 交 于点 Ｅ， 明 ： ￡ 证 当 ：
点评
勾 股 图 中 的 正 方 形 变 式 成 为 等 腰 直 角 三 角
边 为 边 向外 作正 方 形 之 外 ， 近 年 中考 题 中 还 出 现 了 以 在 直 角 三 角 形 三 边 为 直 径 作 半
形． 变式 ５中只要抓住 已知等腰直角 三角形 的斜 边求其
Ｄ
圆的考题 ， 解答 时 ， 要抓 住 需 面积 之 间 的关 系 ， 也 是 勾 这
动 ． 运 动 时 问 为 ｔ ， Ａ Ｂ 的度 数 设 秒 Ｐ 为 Ｙ度 ， 下 列 图 象 中表 示 Ｙ与 ｔ 则 之
图 １
关 系与其 相应 的函数图象有机地结合 起来 ， 入了数形 融
结 合 、 类 讨 论 、 数 建 模 思 想 在 解 题 过 程 中 的灵 活 应 分 函 用 ． 决 本 题 的 关 键 是 确 定 ｐ 点 在 运 动 过 程 中 根 据 解 ＡＡ Ｂ 的度 数 变 化 情 况 ， Ｐ 建立 Ｙ与 ｔ 函数 关 系 ， 而 根 的 进
动态几何问题 --圆的综合1
动态几何问题---圆的综合11（2014•江苏苏州,第28题9分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O 的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．2（2014•江苏徐州,第28题10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．3.（2014•江苏苏州,第27题8分）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．4. （2014•上海，第25题14分）如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（1）当圆C 经过点A 时，求CP 的长；（2）联结AP ，当AP∥CG 时，求弦EF 的长；（3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．45⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2，分别求出即可． 解：（1）∵l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都相切， ∴∠OAD=45°，∵AB=4cm ，AD=4cm ， ∴CD=4cm ，AD=4cm ，∴tan ∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105；（2）如图位置二，当O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上时，设⊙O 1与l 1的切点为E ，连接O 1E ，可得O 1E=2，O 1E ⊥l 1，在Rt △A 1D 1C 1中，∵A 1D 1=4，C 1D 1=4， ∴tan ∠C 1A 1D 1=，∴∠C 1A 1D 1=60°， 在Rt △A 1O 1E 中，∠O 1A 1E=∠C 1A 1D 1=60°， ∴A 1E==，∴t ﹣2=，∴t=+2，∴OO 1=3t=2+6；（3）①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1，如图，此时⊙O 移动到⊙O 2的位置，矩形ABCD 移动到A 2B 2C 2D 2的位置， 设⊙O 2与直线l 1，A 2C 2分别相切于点F ，G ，连接O 2F ，O 2G ，O 2A 2， ∴O 2F ⊥l 1，O 2G ⊥A 2G 2，由（2）得，∠C 2A 2D 2=60°，∴∠GA 2F=120°， ∴∠O 2A 2F=60°，在Rt △A 2O 2F 中，O 2F=2，∴A 2F=，∵OO 2=3t ，AF=AA 2+A 2F=4t 1+， ∴4t 1+﹣3t 1=2，∴t 1=2﹣， ②当直线AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2，记第一次相切时为位置一，点O 1，A 1，C 1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t 2﹣（+2），解得：t 2=2+2，综上所述，当d ＜2时，t 的取值范围是：2﹣＜t ＜2+2．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论2专题：分析： （1）只要证到三个内角等于90°即可． （2）易证点D 在⊙O 上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S 矩形ABCD =2S △CFE =．然后只需求出CF 的范围就可求出S 矩形ABCD 的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G 的移动的解答：解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．连接OD，如图2①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE =（）2•S△DAB=××3×4=．∴S矩形ABCD =2S△CFE=．∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D （G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如图2③所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．∴4×3=5×CF″′∴CF″′=．∴≤CF≤4．∵S矩形ABCD =，∴×（）2≤S矩形ABCD≤×42．∴≤S≤12．∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．（1）利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式求出劣弧的长；（2）利用三角形中位线定理得出BF=AC，再利用圆心角定理得出=，进而得出BF=BD；（3）首先过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，得出BP⊥AE，进而证明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，∵cosB=，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，∴当∠AEG=∠B时，A、E、G重合，∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．点评：4 5。
13《动态几何---圆》综合练习分析
《动态几何---圆》综合练习姓名：1.如图，射线0A丄射线0B,半径r=2cm的动圆M与0B相切于点Q (圆M与0A?没有公共点)，P 是0A上的动点，且PM=3cm，设OP=xcm，OQ=ycm.(1 )求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围.(2)当厶MOP为等腰三角形时，求相应的x的值.O P A2.已知：如图，在Rt△ ABC中，/ A = 90° AB= 3, AC = 4 . O A与O B外切于点D,并分别与BC、A C边交于点E、F .(1)设EC = x, FC = y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域;(2)如果O C与O A、O B都相切，求AD : BD .3.在平行四边形ABCD中，AB=2，/ A=60o,以AB为直径的O O过点D，点M是BC 边上一点（点M不与B、C重合），过点M作BC的垂线MN，交CD边于点N .以CN为直径作O P,设BM = x , O P的半径为y .①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;②当BM为何值时，O P与O O相切.4.已知菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，点-BAD =60，点A的坐标为（-2,0），动点Ar Dr Cr Br A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动的时间为何值时，以P点为圆心，1为半径的圆与对角线A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，P从点A出发，以每秒1个单位的速度，按照t秒，求t为5. （2011年南京）如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90°, AC=6 cm,BC=8 cm, P 为BC 的中点.动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm /s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.⑴当t=1.2时，判断直线AB与O P的位置关系，并说明理由；⑵已知O OABC的外接圆，若O P与O O相切，求t的值.6.等腰直角厶ABC和O O如图放置，已知AB=BC =1,/ ABC=90 ° ,O O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5 .现△ ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.⑴ 当厶ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？⑵ 若在△ ABC移动的同时，O O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？⑶ 在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ ABC与O O的公共部分等于O O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由.OABC 的边所在直线相切的t 的值.7. ( 2005南京)如图所示，形如量角器的半圆 O 的直径DE=12cm ，形如三角板的" ABC中，/ ACB=90。
九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的动态问题试题新版青岛版
与圆有关的动态问题与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。
解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。
在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。
3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
例题1如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。
根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值。
所以在Rt△AOP中，利用直角三角形可以求得此时∠OAP的值。
解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴OA ＝2OP，∴∠OA P＝30°。
故选A。
答案：A点拨：在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线。
例题2 （北京中考）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）解析：考虑用特殊值验证的方法。
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AB CD E F《动态几何---圆》综合练习 姓名：1.如图，射线OA ⊥射线OB ，半径r =2cm 的动圆M 与OB 相切于点Q （圆M 与OA •没有公共点），P 是OA 上的动点，且PM=3cm ，设OP=xcm ，OQ=ycm ． （1）求x 、y 所满足的关系式，并写出x 的取值范围． （2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的x 的值．2.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4 ．⊙A 与⊙B 外切于点D ，并分别与BC 、A C 边交于点E 、F ．（1）设EC ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）如果⊙C 与⊙A 、⊙B 都相切，求AD ：BD ．3.在平行四边形ABCD 中，AB =2，∠A =60º，以AB 为直径的⊙O 过点D ，点M 是BC 边上一点（点M 不与B 、C 重合），过点M 作BC 的垂线MN ，交CD 边于点N ．以CN 为直径作⊙P ，设x BM =，⊙P 的半径为y ． ①求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当BM 为何值时，⊙P 与⊙O 相切．4.已知菱形ABCD 的顶点B A ,在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，︒=∠60BAD ，点A 的坐标为)0,2(-，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，按照A B C D A →→→→的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动的时间为t 秒，求t 为何值时，以P 点为圆心，1为半径的圆与对角线AC 相切？NMP ODCBNM O D C BA5.（2011年南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．6.等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．⑴当△ABC的边(BC边除外)与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？⑵若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？⑶在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．7.（2005南京）如图所示，形如量角器的半圆O 的直径DE =12cm ，形如三角板的⊿ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，BC =12cm 。
半圆O 以2cm /s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上。
设运动时间为t (s)，当t =0s 时，半圆O 在⊿ABC 的左侧，OC =8cm .当t 为何值时，⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？8.如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？9.如图，已知点A 从(10)，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限内，且60AOC ∠=；以(03)P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： （1）点C 的坐标（用含t 的代数式表示）； （2）当点A 在运动过程中，所有使⊙P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．ADABN10.(2000年上海)如图,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P ,PH ⊥OA ,垂足为H,△OPH 的重心为G .(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.HMNG POAB图10xy10.如图，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由； （3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．11.如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，CD ⊥BC ，已知AB =5，BC =6，cos B =35．点O 为BC 边上的动点，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 交边AB 于点P ．（1）设x OB =，y BP =，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）当⊙O 与以点D 为圆心，DC 为半径⊙D 外切时，求⊙O 的半径； （3）联结OD 、AC ，交于点E ，当△CEO 为等腰三角形时，求⊙O 的半径．图1图2A B CDOPA B CDOPE运动型问题中与圆有关的位置关系1.2.5.6. 解:⑴直线AB 与⊙P 相切．如图，过点P 作PD ⊥AB , 垂足为D ．在Rt △A BC 中，∠ACB ＝90°，∵AC =6cm ，BC =8cm ， ∴2210AB AC BC cm =+=．∵P 为BC 的中点，∴PB =4cm ．∵∠P DB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC ．∴△PBD ∽△ABC ． ∴PD PB AC AB =,即4610PD =，∴PD =2.4(cm) ．当 1.2t =时，2 2.4PQ t ==(cm)∴PD PQ =，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径． ∴直线AB 与⊙P 相切．⑵ ∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径．∴152OB AB cm ==． 连接OP ．∵P 为BC 的中点，∴132OP AC cm ==． ∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切 ∴523t -=或253t -=，∴t =1或4． ∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4．7. ⑴假设第一次相切时，△ABC 移至△A ’B ’C ’处，A ’C ’与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B ’C ’于F ．设⊙O 与直线l 切于点D ，连OD ，则OE ⊥A ’C ’，OD ⊥直线l ． 由切线长定理可知C ’E = C ’D ，设C ’D =x ，则C ’E = x ，易知C ’F =2x∴2x ＋x =1 ∴x =2－1 ∴CC ’=5－1－(2－1)=5－2∴点C 运动的时间为22(52)(20.5)25-÷+=-”B”C”DE∴点B运动的的距离为(224⨯=⑵∵△ABC 与⊙O 从开始运动到最后一次相切时，路程差为6，速度差为1 ∴从开始运动到最后一次相切的时间为6秒⑶∵△ABC 与⊙O 从开始运动到第二次相切时，路程差为4，速度差为1∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒， 此时△ABC 移至△A ”B ”C ”处，A ”B ”=1＋4×12=3连接B ”O 并延长交A ”C ”于点P ，易证B ”P ⊥A ”C ”，且OP＜1∴此时⊙O 与A ”C ”相交 ∴不存在．8.t=1s重叠部面积为9πcm 2t=7s t=16s重叠部分面积为（93+6π）cm 2（2000上海）解:(1)当点P 在弧AB 上运动时中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt△POH中,22236x PH OP OH -=-=,∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.BCB EO2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 9.（1）在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，，210AC BC ∴==． AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中，AB =，15AE =，tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，，BE ∴与⊙A 相切． （3）因为5AD AB ==，，所以r的变化范围为5r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R的变化范围为105R -<；图1图2当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R 的变化范围为151053R <<+ 11. 解：（1）过C 作CD x ⊥轴于D ， 1OA t =+，1OC t ∴=+，1cos602tOD OC +∴==，3(1)sin 60t DC OC +==，∴点C 的坐标为13(1)2t t ⎛++ ⎝⎭，．（2）①当P 与OC 相切时（如图1），切点为C ，此时PC OC ⊥， cos30OC OP ∴=，3132t ∴+=，3312t ∴=-． ②当P 与OA ，即与x 轴相切时（如图2），则切点为O ，PC OP =， 过P 作PE OC ⊥于E ，则12OE OC =，133cos3022t OP +∴==，331t ∴=． ③当P 与AB 所在直线相切时（如图3），设切点为F ，PF 交OC 于G ， 则PF OC ⊥，3(1)2t FG CD +∴==， 3(1)sin 30t PC PF OP +∴==+． 过C 作CH y ⊥轴于H ，则222PH CH PC +=，22213(1)33(1)32222t t t ⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫∴+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简，得2(1)183(1)270t t +-++=，解得19366t +=，936610t =-<， 93661t ∴=． ∴所求t 的值是3312-，331和93661． 12.BA D O PCy y BC P O AE图2 yA FCB P OG H。