名师导学2018届高三数学理二轮复习课件：专题2第4讲三角恒等变换 精品

减；
当 2x＋π4 ∈3π2 ，9π4 即 x∈5π8 ，π时，f(x)递
增．
综上，函数 f(x)在区间0，π8 ，5π8 ，π上递增， 在区间π8 ，5π8 上递减．
②由 f(α)＝－5132，即 2sin2α＋π4 ＝－5132， 得 sin2α＋π4 ＝－153， 因为π4 <α<π2 ，所以3π4 <2α＋π4 <5π4 ，
sin β＝ 1－cos2β＝ 1100，
所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝
255×31010－ 55× 1100＝ 22，又 0<α＋β<π，所以 α π
＋β＝ 4 ，故选 A.
【点评】给值求角时，注意角的范围．
(2)已知 A∈(0°，180°)，且满足 2sin2A2 ＋
可得 cos2α＋π4 ＝－1123， 则 sin 2α＝sin2α＋π4 －π4 ＝ 22sin2α＋π4 － 22cos2α＋π4
＝ 22×－153－ 22×－1123＝7262.
〔备选题〕例4已知向量 a＝sinα＋π6 ，3，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π)．
(1)若 a⊥b，求 tan α的值；
π
象，再将 y＝2cos x 的图象向右平移 2 个单位长度后得到 y
π
＝2cos(x－ 2 )的图象，故 f(x)＝2sin x. 从而函数 f(x)＝2sin x 图象的对称轴方程为
x＝kπ＋π2 (k∈Z)．
(2)①f(x)＋g(x)＝2sin x＋cos x
＝
5(
2 5sin
x＋
1 5cos
3．三角函数求值综合问题
例3(1)已知 α，β∈0，π2 ，满足 tan(α＋β)＝4tan
β，则 tan α的最大值是( )
1
3
32
3
A.4 B.4 C. 4
D.2
【解析】选 B. tan α ＝ tan[(α ＋ β) － β] ＝
tan（α＋β）－tan 1＋tan（α＋β）·tan
ββ＝1＋3ta4ntanβ2β≤34ttaann
【命题立意】本题主要考查诱导公式及三角恒等变 换，考查学生运算求解能力与推理论证能力．
考题 3(2015 福建)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x) ＝cos x 的图象经如下变换得到：先将 g(x)图象上所有点的 纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，再将所得到的图
π
象向右平移 2 个单位长度． (1)求函数 f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程．
φ＝ba.
3．倍角公式及其变形公式——可实现三角函数式的升
幂或降幂的转化，同时也可以完成角的形式的转化．
1．给值(式)求角
例1(1)已知锐角 α，β满足 sin α＝ 55，cos β＝
31010，则 α＋β＝( )
πБайду номын сангаас
3
A.4
B.4π
C. π4 或34π
π
D. 2
【解析】选 A.
由已知 cos α＝ 1－sin2 α＝255，
(2) 已 知
α∈R ， 2sin
α － cos
α＝
10 2
，
则
tan2α－π4 ＝(
)
4 A.3
B．－7
C．－34
1 D.7
【解析】选 B.
条件中的式子两边平方，得 4sin2α－4sin αcos α＋
cos2α＝52， 即 3sin2α－4sin αcos α＝32，所以 3sin2α－4sin α
φ＝ba，这个公式称为辅助角
公式，它在解决三角函数问题中具有广泛的应用．
3．三角恒等变换常用方法：正切化弦、常数代换、 角的变换、降幂转化、逆用公式、变形后用公式等．
(1)要注意拆角、拼角技巧．例如：2α＝(α＋β)＋(α
－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋2 β－α－2 β，α－2 β＝α＋β2
【命题立意】本题主要考查两角差的正切公式，考查 转化思想与运算求解能力．
考 题 2(2015 四 川 )sin 15 ° ＋ sin 75 ° 的 值 是 ________．
【解析】 26. 首先利用诱导公式化简，再运用两角和与差的三角公 式进行求值． sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝ 2( 22sin 15°＋ 22cos 15°) ＝ 2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝ 2sin 60°＝ 2× 23＝ 26.
2．高考真题
考题 1(2015 江苏)已知 tan α＝－2，tan(α＋β)＝17， 则 tan β的值为________．
【解析】3 将 β 化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．
tan
β
＝
tan[(α
＋
β)
－
α]
＝
tan（α＋β）－tan 1＋tan（α＋β）tan
α α
＝
1＋17－17×（（－－2）2）＝3.
tan(α±β)
＝1tantaαn ±αttaann ββα，β，α±β≠kπ＋π2 ，k∈Z；
sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝12－tatnanα2α；
asin α＋bcos α＝
a2＋b2sin(α＋φ)其中tan
cos 50°
50°
＝2sin
70°·sin（30°－50°） cos 50°
＝－2sin
20°·cos sin 40°
20°＝－1.
2．给值求值
例2(1)若 sinπ3 －α＝14，则 cosπ3 ＋2α的值为
() A．－78 B．－14 C.14 D.78
【解析】选 A.
cosπ3＋2α＝－cosπ－π3 ＋2α＝－cos2π3 －α ＝－1－2sin2π3 －α＝－1－2×116＝－78，故选 A.
当 1≤m< 5时，α＋β＝2(π2 －φ)，即 α－β＝π－2(β＋φ)； 当－ 5<m<1 时，α＋β＝2(3π 2 －φ)，即 α－β＝3π－2(β＋φ)．
所以 cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1 ＝2( m5)2－1＝2m5 2－1.
解法二：(1)同解法一． (2)①同解法一．
②因为 α，β是方程 5sin(x＋φ)＝m 在[0，2π)内的
两个不同的解，
所以
sin(α＋φ)＝
m5，sin(β＋φ)＝
m 5.
当 1≤m< 5时，α＋β＝2(π2 －φ)，即 α＋φ＝π－(β
＋φ)；
当－ 5<m<1 时，α＋β＝2(3π2 －φ)，即 α＋φ＝3π
－(β＋φ)．
所以 cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．
2α的值．
【解析】①f(x)＝sin 2x－sin2x＋cos2x＝sin 2x＋
cos 2x＝ 2sin2x＋π4 ， 由 x∈[0，π]得 2x＋π4 ∈π4 ，9π4 ， 当 2x＋π4 ∈π4 ，π2 即 x∈0，π8 时，f(x)递增； 当 2x＋π4 ∈π2 ，3π2 即 x∈π8 ，5π8 时，f(x)递
β β＝34，当
且仅当 tan β＝12时等号成立．
【点评】本题考查角度之间的变换思想，利用不 等式求最值问题．
(2)已知函数 f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x.
①讨论函数 f(x)在[0，π]上的单调性；
ππ
②设 4 <α< 2 ，且
f(α)＝－5132，求
sin
如两角和与差的正切公式可变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 余弦二倍角公式有多种形式，即 cos 2α＝cos2α
－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，变形公式 sin2α＝
(2)若 a∥b，求 α 的值． 【解析】(1)因为 a⊥b，所以 sinα＋π6 ＋12cos α
＝0，
即
3 2 sin
α＋12cos
α＋12cos
α＝0，
即
3 2 sin
α＋225cos
α＝0，
又 cos α≠0，所以 tan α＝－253 3.
(2)若 a∥b，则 4cos αsinα＋π6 ＝3，
【点评】在使用三角恒等变换公式解决问题时，
“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各
π
种形式的变换，也有角之间的变换，如把 2 ＋2α 变换
成 2π4 ＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)
＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋2 β，α＋2 β ＝α－β2－α2－β等．
1．同角三角函数关系——可实现函数名称的转化．
sin2α＋cos2α＝1，tan
α＝sin
cos
α α.
2．诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可实现
角的形式的转化．
诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限．
和、差、倍角公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β；
则 cosA2 ＞0，故 cosA2 ＝ 23. 从而A2 ＝30°，故 A＝60°. ②由①sin(A＋10°)·[1－ 3tan(A－10°)]
＝sin 70°·(1－ 3tan 50°)
＝sin
70°·cos
50°－ 3sin cos 50°