第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。
换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。
第三章矩阵的初等变换
3 2 0 0
2 1 0 0
R(A) 3
0 7 1 0
由于R ( A) 3，可知A的最高阶的非零子式为 3 3 阶，而 A 的三阶子式共有 C3 C5＝4 10＝40个 , 要 4 从 40 个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的， 但考察 A 的行梯矩阵，记：A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 2 1 7 2 3 5 则由矩阵 B (a1 , a2 , a5 ) 知, R ( B ) 3， 3 2 0 1 0 0 故 B中必有三阶非零子式。 中的三阶子式只有4个 B 2 1 7 显然 2 0 14 0 ，所以该子式便是 A 的最高 3 1 0 0 阶的一个非零子式。
x1 x3 x2 x3 4 3 x4 3 00
(1) r3 2r4 1 (2) r4 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
(1) r1 r2 r3 1 (2) r2 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT 经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可 知， R(AT)=R(BT) 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
☞上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用
办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变 换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩 阵的秩。
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的
初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成
“c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换。
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， 称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。 矩阵的等价关系有如下性质： ☞ 反身性： A～ A 对称性： A～B ，则B ～ A 传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C
矩阵的初等变换与矩阵的秩
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
高等代数§3.5矩阵的秩与初等变换
4 3 9 12
1 1 7 8
41
1121
1 6 4 1 4 r33r2 0 4 3 1 1
r44r2
0 0
0 0
0 0
4 4
8 8
r4r0
4 3 0 0
1 1 4 0
0841.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知: R(A)=3.
以下求A的一个最高阶非零子式. 由于R(A)=3.
1 0
0 0
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
01 01
=B1
1 1 1 2
例6:设
A
3 5
3
1
62,已知R(A)=2, 求与的值.
解:
A
r2-3r1 r3–5r1
1 0 0
1
3
8
1 4
5
244
1 1 1 2
r3-r2
0 0
3 5
4
1
04,
由R(A)=2,
得
5 1
00,
即
B
1 2 2 3
2 4
4 6
2 8 2 0
1 0 3
6
21 43
r2–2r1 r3+2r1
r4–3r1
1 0
0 0
2 0 0 0
2 4 2 6
1 2 1
3
01 51
r22 1 2 2 1 1
r3–r2 r4+3r2
0
0 0
02 00 00
1 0 r35
0 0
51
r4–r3
所以, R(A)=2, R(B)=3.
即 A B, 则 R(A) = R(B).
高等数学(下) 第3版课件-矩阵的初等变换与矩阵的秩
美丽的外表，并不一定有美丽的内在；台上的光辉，台下的 汗水；地球是一个球体，并非天圆地方；苹果落地的表象蕴含着 万有引例定律的奥秘。
透过生活的表象，认识其本质的真相，这会令我们更清晰、 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
0 0
3 0
1 0
所以 rA 3
思政小课堂 矩阵的秩是矩阵的基本性质，不论对矩阵做怎样的初等变换
矩阵的秩不变。——这就是透过现象看本质。 同学们要养成透过现象看本质的习惯，不要被事物的表象所
蒙蔽，要多看、多听、多思考、多看书、多学习，做一个大格局 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
1 0 0 8
0 1 0 3
如：
C
0
0
1
5
0 0 0 0
0
0
0
0
结论：
（1）矩阵A通过初等行（列）变换为行阶梯形矩阵B，则 rA rB n ；
（2）因为线性方程组与它的增广矩阵 A 一 一对应，当 A经初等行变换 变为行最简形矩阵 C 时，有rA rC n(n为C中不为零的行的个数），
2 2 1
解
A
E
1 1
1 1
1 2
1 0
0 1
0 0
1 ((32))2(1)(1) 0
1 2
1 3
1 1
0 1
0 0
2 2 1 0 0 1
0 0 3 2 0 1
13(3)
1 0
0
1 2 0
1 3 1
1
1 2
3
1 0 0 5
1 ( 2 )
6
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
山东大学《线性代数》课件01-5矩阵的初等变换与矩阵的秩
2
3
1 3 0 6
0 0
8 2
2 12 1 4
1 4 1 3 1 4
2 12 0 6 4 4
8
2
0 9 6 6
1 4 4 4 0 0
r( A) 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2.B
1 13
0 1 2
1 1 0
2 05
0 0 0
2 7 0
2 10 3
2 192
1
0 0 0
2 1 7 0
3 1 10 3
4 1 192
1
0
0 0
2 1 0 0
3 1 3 3
4
1
95
1 2 3 4
0 00
1 0 0
1 3 0
1
45
r(B) 4
1 A 4
2 t
2 3
3 12
t为何值时， r( A) 3？
3
1
1
9
1 A 0
2 t 8
a1n
ai1
ka j1
ai2 kaj2
ain
kajn
B
a j1
a j2
a jn
am1
am2
amn
由此可以推出:
r( A) r(B) r( A) r(B) r( A) r(B)
例:求矩阵的秩:
2 3 1.A 2 12 1 3
1 3
A 2 12
r1r3
1 2 2 3
1
2
2 3
B 4 3 3 12 0 11 11 0
3 1 1 9 0 7 7 0
1 0
2 1
2 1
西北工业大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的初等变换
1 0 0 0
1 0 0 0
c2
1 4
1
1
0
0
c2 c1
0
1
0 0
3 2 0 0
1 2 0 0
列 最 简 形
定理秩3.为3 r的 矩阵m A，n 经过有限次初等变
换，总可化为如下等价标准形
O(
Er
mr
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
mn
即有
A
Er O
O O
推论1 设A是n阶方阵，A满秩 A En
24
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
2
①
2
x1
③
1①
2
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
2 x1 x2 3x3 1 ①″
③'
1 8
②'
4 x2 x3 2 ②″
3 8
x3
9 4
③″
x1 x2
则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
规定：零矩阵的秩为0,即 rankO 0 .
➢ 矩阵秩的含义 A的所有r＋1阶子式都为0
1 1 2
A
2
2
4
3
6
DAr的2 所?有r＋2阶子式也都为0 1 1 2 3
A的所有大于r＋2阶的子式也都为0
数r=rankA是矩阵A中子式不为0子式的最高阶数
0 0 1 1 3
A有一个三阶子式
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§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性2. 相抵标准形的唯一性3. 矩阵秩的性质4. 满秩矩阵的性质一、矩阵的秩定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。
定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩2 1 03 123 1 2 1 01A4 1 6 3 582 2 2 6 162 1 03 1 23 1 2 1 0 1A4 1 6 35 82 2 2 6 1 6R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 10 3 6 9 3 40 1 2 3 2 81 2 2 2 1 1R2 R1 2 1 0 3 1 20 3 6 9 3 40 1 2 3 2 81 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 40 3 6 9 3 40 1 2 3 2 81 2 2 2 1 1R2 R4 0 1 2 3 2 80 3 6 9 3 40 5 4 7 3 4所以秩(A) = 4 o |性质(1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n}(3)初等行变换不改变矩阵的秩。
定义设A 是n 阶方阵。
若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。
定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。
R 4 ( 5)R 2R3 3R 21 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 200 0 6 8 13 4401 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 320R3、 矩 阵的初等变换 矩阵初等行变换的推广： ( 1)用一个非零数乘某一列的全部元素 (2) 一列的倍数加到另一列上(3) 互换两列的位置 称上述对矩阵列的处理为 矩阵的初等列变换定义 设 A 和 B 是两个同类型矩阵。
若 A 可通 过有限次初等变换化为 B ,则称A 相抵于B ,记为 A B 。
性质 矩阵的相抵满足：(1) 自反性： A A (2) 对称性： A B B A(3) 传递性： A B, B C A C矩阵相抵是同型矩阵之间的一个等价关系矩阵的初等变换矩阵的初等行变换定理设A是mx n 矩阵，且秩（A）= r，贝9 相抵于下述矩阵10 0 001 0 0 r行00 1 000 0 000 0 0m n称之为A 的相抵标准型例用初等变换化下述矩阵为相抵标准型1 12 12 1 2 4A=1 2 0 34 1 6 2解112 1R4 ( 4)R11 12 1 R3 ( 1)R12A= 1 2 4 R2 ( 2)R1 0 3 2 21 2 0 3 0 3 2 24 1 6 2 0 3 2 21 12 1R3 ( 1)R2R4 ( 1)R2 0 3 2 20 0 0 00 0 0 41 12 1R4 R30 3 2 20 0 0 40 0 0 0（护 1 1 2 12 2(；)R4 0 14 3 30 0 0 10 0 0 0R2 3R3R1 ( 1)R2 1 00 10 00 043231C3 ( 3)C24C3 ( 3)C110 0 00 10 00 0 0 10 0 0 0R i ( 1)R3分别计算P i 、P 2、P 3与A 的乘积 解1 0 0a 1 a 2 a 3 a1a2a3P 1A 02 0 b 1b 2b 3= 2b 12b 2 2b 30 0 1c1 c2 c3 c1 c2c3C3C41000 0100 0010 0000三、 初等矩阵例 已知矩阵a1A= b 1 c1 构造三个矩阵1 0 01 P 1 0 20 , P 20 0 0 1a2 a 3b 2 b 3c 2 c 30 0 0 1 0 1 0 , P 3 1 0 0 2 1 0 0 110 0 a1 a2 a3 P 2A 01b1b2b32 1c1 c2c3a1a 2a3 b 1b2b3c12b 1c 2 2b2c3 2b 30 1 0 a 1 a 2 a 30 0 1 c 1 c 2 c 3a1 a2 a3 1 0 0a1 2a2 a3 AP 1b 1b2b 3 0 2 0=b12b 2 b3c1 c2 c3 0 0 1c12c 2c3a 1 a 2 a 3 1 0AP 2b 1b 2b 3 0 1c1 c2 c3 02 1a1 a2 2a3 a 3b1b 22b 3 b 3c1 c22c 3c3P 3A 1 0 0 b1 b2 b 3b 1 b 2 b 3c1 c2 c 3Ia 1 a 2 a 3 0 1 0 a 2 a 1 a 3 AP 3b 1 b 2 b 3 1 0 0 = b 2 b 1 b 3c 1 c 2 c 3 0 0 1 c 2 c 1 c 3定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩 阵称为 初等矩阵 。
1I cRiE i (c)c1111c1R j cR iE ij (c)01R i R j EE ij101定理对m x n矩阵A作一次初等行变换，等同于在A 的左边乘上一个对应的作一次初等列变换，等同于在应的n 阶初等矩阵。
例已知矩阵m 阶初等矩阵；对A A 的右边乘上一个对a1 b1 c 1 b1 3c1a2 b2 c2 a2 b2 3c2c1 b1 a1 a1 2b1 b1 c1 c2 b2 a2 a2 2b2 b2 c2问A 与B、C、D 之间有何联系？解因为3C3 B，与之相对应，I33C3 E3(3)，3AE 3 (3) B同理可得AE12 C。
因为R1 ( 2)R2 D，R1 I3 2)R2E12( 2) ，1AE12( 2)例已知矩阵a1 a2 a3b1 b2 b3A b1 b2 b3 ,B a1 a2 a3c1 c2 c3c1 2a1 c2 2a2 c3 2a30 1 0 100P 1 0 0 ，Q 0 1 00 0 1 021问P 与Q 如何与A 相乘可得到B ？解因为对A 作两次初等行变换可得B ，而P 与Q 均为初等矩阵，所以应有PQA=B 或QPA=B。
A a1b1c1a2b2c2a3b3c3R1b1R2 a a1c1b2a2c2b3a3c3 b1 b2 b3R3 2R2a1 a2 a3 Bc1 2a1 c2 2a2 c3 2a3又R1 R2对应P, R3 2R2对应QQPA Q(PA) B |性质(1)初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是满秩方阵；(2 )对任一初等矩阵P,均存在初等矩阵Q,使PQ = QP = I 。
定理满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积。
推论满秩方阵的乘积也是满秩方阵。
定理设A与B是两个m x n矩阵，则A相抵于B 的充分必要条件是：存在m 阶满秩矩阵P 与n 阶满秩矩阵Q,使PAQ = B。
定理同型矩阵A 与B 相抵的充分必要条件是秩(A)=秩(B)。
推论矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。
定理(1 )秩(A)=秩(A T)( 2)设A 是m x n 矩阵, P 是m 阶满秩方阵, Q 是n 阶满秩方阵,则秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ) 例设A是4 X 5矩阵且秩(A) =3,12342340B=34004000求秩(BA)。
例对任一满秩方阵P，均存在同阶的满秩方阵Q, 使PQ = QP = I。
证因为P 满秩，故存在初等矩阵P1,P2, ,P s 使P P1P2 P s 。
已知对初等矩阵P i ，存在初等矩阵Q i，满足P i Q i Q i P i I , i 1,2, , S。
于是，令Q Q S Q S1 Q2Q I，贝9 Q 满秩且PQ = QP = I o |1.4 可逆矩阵定义设A是n阶方阵。
若存在n阶方阵B,使AB = BA = I贝称A 是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵。
例讨论n 阶零方阵0 与n 阶单位矩阵I 的可逆例 初等矩阵都是可逆矩阵， 且它们的逆矩阵也 是初等矩阵例设方阵A 满足A 23A 10I0，证明A,A 3I 都可逆。
证由已知得A(A 3I )101 且(A 3I )A 101，于是有1 口 1 (―A)(A 3I ) I 且 (A 31)(—A) I 10 101 口 1 A[—(A 3I )] I 且[―(A 3I )]A I 10 10 由⑴得A 3I 可逆，且(A 3I)110A ； 由⑵得A 可逆，且A 1盒(A 3I) ol定理 设A 是方阵，则A 是可逆矩阵的充分必 要条件是A 满秩。
(1)⑵a bA= c d则当ad be时，A可逆，并且d bA 1 1ad be e a。