北京大学数学分析考研试题与解答
判断无穷积分
1
sin sin(
)x
dx x +∞
?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62
u u u u π
-≤≤，
得到 33
sin sin 1sin 11
|sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x
dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛，
再根据1sin x
dx x +∞?是条件收敛的，
由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+
， 可知积分1sin sin()x
dx x
+∞?收敛，且易知是是条件收敛的。
例5.3.39 设2()1...2!!
n
n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞
=-∞。
证明 （1）任意*
m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>；
当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在，
又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P
x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x
n n P x e →+∞
=>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。
因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。
则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）；
21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞
→+∞
<=-≤=，矛盾。
例、 设(1)ln(1)n
n p a n -=+，讨论级数2
n n a ∞
=∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数
2
n
n a
∞
=∑发散；
由 20
01
1ln(1)
1lim
lim 2x x x x x x
x
→→-
-++=011lim 21x x →=+ 12=，
得
2
21ln(1)4
x x x x ≤-+≤，（x 充分小），
于是2211(1)1
4n n p p p
a n n n
-≤-≤，（n 充分大） （1） 当1p >时，221p n n ∞
=∑，2
(1)n
p
n n ∞
=-∑收敛， 2(1)n n p n a n ∞
=--∑
收敛，(1)1
n n n
p p
a a n n -≤-+， 2
n
n a
∞
=∑收敛，
2
n
n a
∞
=∑绝对收敛；
（2） 当1
12p <≤时，22
1p n n ∞
=∑收敛，2(1)n p
n n ∞=-∑收敛， 于是
2
(1)n
n p
n a n ∞
=--∑
收敛，从而2(1)()n n p n a n ∞=--∑收敛，2
n n a ∞
=∑收敛， 而21p n n ∞
=∑发散，由1(1)n n n p p
a a n n -≤-+，得2
(1)(||)n
n n p n a a n ∞=--+∑发散，所以2n n a ∞
=∑发散， 故此时
2
n
n a
∞
=∑条件收敛。
（3） 当1
02p <≤时，2(1)()n n p n a n ∞=--∑发散，而2(1)n p
n n ∞=-∑收敛，此时2
n n a ∞
=∑发散。
大学2007年数学分析考研试题及解答
1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。
证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。
命题：若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，那么必然存在一点(,)a b ξ∈， 满足()0f ξ=。
采用反正法，若对于任意点(,)x a b ∈，有()0f x ≠，那么显然对于任意[,]x a b ∈，仍然有()0f x ≠。
由于f 的连续性，我们对于任意一点[,]x a b ∈，可以找到一个邻域()x O x δ，使得()f x 在
()[,]x O x a b δ?中保号，那么[,]a b 区间被以上形式的()x O x δ，[,]x a b ∈开区间族所覆盖，
由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间1
2
12(),(),...,()x x x n
n O x O x O x δδδ就能覆盖闭区间
[,]a b ，再由覆盖定理的加强形式可得，存在0ε>，满足当12,[,]y y a b ∈，12y y ε-<时，
存在1
2
12(),(),...,()x x x n
n O x O x O x δδδ中的某个开集同时覆盖12,y y 。那么我们就证明了当
12y y ε-<时，有12(),()f y f y 同号；
现取正整数m ，满足
b a m ε-<，令()i b a i
z a m
-=+
，0,1,...,i m =，那么我们有1i i z z ε+-<，()i f z 与1()i f z +同号，从而证明了0()f z 与()m f z 同号，即()f a 与()f b 同
号，这与题目中的()()0f a f b <矛盾，证明完毕。
2、 设(),()f x g x 在有限区间(,)a b 一致连续，证明：()()f x g x 也在(,)a b 一致连续。
证明 首先证明(),()f x g x 都在(,)a b 上有界，因为()f x 在有限区间(,)a b 一致连续，从而存在10δ>，满足当此12,(,)x x a b ∈，121x x δ-<时，有 12()()1f x f x -<， 现取正整数m ，满足
1b a m δ-<，令()i b a i
z a m
-=+
，1,2,...,1i m =-； 对任意(,)x a b ∈，存在j z ，使得 1j b a
x z m
δ--<
<， ()()()()j j f x f x f z f z ≤-+
1()j f z ≤+ 11
1max ()i i m f z ≤≤-≤+，
即得()f x 在(,)a b 上是有界的； 同理()g x 在(,)a b 上也是有界的；
下面证明，若(),()f x g x 在区间I 上有界，且都一致连续，则()()f x g x 在区间I 上一致连续。
设0M >，满足(),()f x M g x M ≤≤，x I ∈; 那么由(),()f x g x 得一致连续性得到，
对于任意0ε>，存在0δ>，使得当,x y I ∈，x y δ-<时，有 ()()f x f y ε-<，()()g x g y ε-<
从而
()()()()f x g x f y g y -
()()()()()()()()f x g x f x g y f x g y f y g y =-+- ()()()()()()f x g x g y f x f y g y ≤-+- 2M ε≤，
即得()()f x g x 在I 上一致连续。
3、 已知()f x 在[,]a b 上有四阶导数，且有(4)
(3)()0,()0,(,)f
f a b βββ≠=∈，
证明：存在12,(,)x x a b ∈，使得1212()()()()f x f x f x x β'-=-。 证明 不妨设()()0f f ββ'==
（这是因为否则可以考虑()()()()()g x f x f f x βββ'=---，而()g x 的三、四阶导数与()f x 的相同）
。从而我们要证明存在12,(,)x x a b ∈，使得12()()0f x f x -=。 下面分两种情形来证明之，
（1）()0f β''≠，当()0f β''>，由带Peano 余项的Taylor 展开式，我们得到 22()
()()()(())2
f f x f x o x ββββ''=+
-+-， 那么在β足够小的邻域有()0f x >，取12y y β<<，满足12()0,()0f y f y ><，不妨设
12()()f y f y <，由于()0f β=，那么存在22(,)x y β∈，使得21()()f x f y =，
从而取1122,x y x x ==，12()()0f x f x -=； 当()0f β''<时，同理可得； （2）()0f β''=，那么有(3)
()0f
β=，(4)()0f β≠，可以同样Taylor 展开，
(4)44()
()()()(())4!
f f x f x o x ββββ=+
-+-， 做法与（1）相同，证毕。
4 、构造一个函数在R 上无穷次可微，且(21)
(0)n f n +=，(2)(0)0n f =，0,1,2,...,n =并说明
满足条件的函数有任意多个。 解 构造函数项级数
()1
(0)!n n n f x n ∞
=∑
211(21)!
n n n
x n ∞
+==+∑，
显然此幂级数的收敛半径为+∞，从而可以定义函数： 21
1()(21)!n n n
f x x
n ∞
+==
+∑，
容易验证此函数满足：(21)
(2)(0),(0)0n n f
n f +==，0,1,2,...n =，
考虑到函数21,0()0,0
x e x g x x -??
≠=??=?，
由我们熟知的结论知，()g x 在R 上无穷次可微，且()
(0)0n g
=，(0,1,2,...)n =，
对任意()h x 在R 上无穷次可微的函数，从而()()()f x h x g x +也满足题目要求条件， 结论得证。
5 、设[0,1][0,1]D =?，(,)f x y 是D 上的连续函数，证明满足
(,)(,)D
f x y dxdy f ξη=??的
(,)ξη点有无穷多个。
证明 设 11min{(,):(,)}(,)m f x y x y D f x y =∈=，
22max{(,):(,)}(,)M f x y x y D f x y =∈= 。
那么我们有(,)D
m f x y dxdy M ≤
≤??，
(,)m f x y M ≤≤，(,)x y D ∈， 下面分两种情况讨论： （1） 若(,)D
m f x y dxdy =??或(,)D f x y dxdy M =??有一个成立时，
当(,)D
m f x y dxdy =
??，我们有((,))0D
f x y m dxdy -=??，(,)0f x y m -≥，
从而有(,)0f x y m -=，(,)x y D ∈，从而(,)f x y m =为常数，此时结论显然成立； 当
(,)D
f x y dxdy M =??时，我们有((,))0D
M f x y dxdy -=??，(,)0M f x y -≥，
从而(,)f x y M =为常数，此时结论显然成立； （2）(,)D
m f x y dxdy M <
我们可以选取无穷多条连接11(,)x y 和22(,)x y 的不相交的连续曲线
12(),(),x x t y y t t t t ==≤≤，((),())x t y t D ∈；
显然()((),())F t f x t y t =连续，111222()(,),()(,)F t f x y F t f x y ==，
由连续函数的介值定理，存在12(,)t t τ∈，((),())(,)x y ττξη=，使得 ()(,)D
F f x y dxdy τ=??，
即(,)(,)D
f f x y dxdy ξη=??，结论得证。
6 、求
42
sin y xdydz e dzdx z dxdy -∑
++??，其中∑是2221,0x y z z ++=>，方向向上。 解法1 设22
{(,):1,0}xz D x z x z z =+≤≥，
1:y ∑= (,)xz x z D ∈；
2:,)xz y x z D ∑=∈；
42sin y
xdydz e dzdx z dxdy -∑
++?? 1
2
42()(sin )y
xdydz e dzdx z dxdy -∑∑=+++????
42(sin xz
D x e z dxdz =+??
4
2(sin 1)xz
D x e
z dxdz ++-+??
32xz
D =??
cos 33sin 1
2x r y r dr rd θθ
π
θ===??
41
30
2sin dr d π
θθ=?
?
4220
2sin (1cos )(cos )tdt d π
π
θθ=--??
220
cos 214
2(
)23
t dt π
-=?? 20114
2[12cos 2(cos 41)]423
t t dt π
=-++??
342823π=???2
π=。
解法2 记2
2
{(,,):1,0}D x y z x y z =+≤=，
222{(,,):1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥，
利用高斯公式，得
42sin y
xdydz e dzdx z dxdy -∑
++?? ()D D ∑
=++
??????
下侧
上侧
3[4sin cos (sgn )2]0y
x x e y z dxdydz -Ω
=?+-++???
2zdxdydz Ω
=???21
220
2cos sin d dr r r d π
πθ???=????
22011
22(sin )42
d ππ??'=????
112242π=???2
π
=。
7、 设(,)f x y 是2R 上的连续函数，试作一无界区域D ,使(,)f x y 在D 上的广义积分收敛。 解 首先取10y >，使得11[0,1][0,]D y =?，满足
1
1(,)2
D f x y dxdy ≤
??
； 再选取20y >，使得22[1,2][0,]D y =?，满足
2
21(,)2
D f x y dxdy ≤
??
； 依次选取0n y >，使得[1,][0,]n n D n n y =-?，满足
1(,)2
n
n D f x y dxdy ≤
??
， 取1
i i D D +∞
==?，D 是一个无界区域，可以验证(,)f x y 在D 上的广义积分收敛。
8、 设sin ()ln(1)p
x
f x x =+
，讨论不同的p 对()f x 在(1,)+∞上积分的敛散性。 解 显然在0p ≤时，1sin ln(1)p x
dx x
+∞+?发散，下面只对0p >时讨论。
由2222sin sin 1sin sin ln(1)()2p p p
p x x x x o x x x x
+=-+， 当0p >时，
1
sin p
x
dx x +∞
?
收敛， 1
02
p <≤时，2
21sin p x dx x +∞?发散，
当01p <<时，
1
sin p
x
dx x
+∞
?
发散； 1
2
p <时，2
21sin p x dx x +∞?收敛； 当1p >时，
1
sin p
x
dx x
+∞
?
收敛； 所以（1）当1p >时，由2222sin 1sin 1sin ()24p p p
x x x
f x x x x ≤++， 得
1
()f x dx +∞
?
绝对收敛；
（2） 当1
12
p <≤时，2222sin 1sin 1sin ()24p p p x x x f x x x x -≤+，（x 充分大），
1
sin ()p x f x dx x +∞
-
?
收敛，sin sin ()()p p x x
f x f x x x ≤-+，由于1sin p x dx x
+∞?发散， 此时，
1
sin (()|()|)p x
f x f x dx x +∞
-+?
发散，于是1()f x dx +∞?发散，
而
1
sin (())p x
f x dx x +∞
-
?
，1sin p x dx x
+∞?收敛，1()f x dx +∞?收敛； 故当
1
12
p <≤时，1()f x dx +∞?条件收敛；
（3）1
02
p <≤时，2222sin 1sin 1sin ()((1))24p p p
x x x f x o x x x -+=+>，（x 充分大）； 由于
221
sin p x dx x +∞
?
发散，于是0sin (())p x
f x dx x +∞-+?发散，而1sin p x dx x +∞?收敛，
故此时0
()f x dx +∞
?
发散。
9、 记()
1
(,)n x y n F x y nye
+∞
-+==
∑，是否存在0a >以及函数()h x 在(1,1)a a -+上可导，
且(1)0h =，(,())0F x h x =。 解 设()
(,)n x y n u x y nye
-+=
()3332
3!6||1||||
()()n x y y nye ny n x y x y n -+≤=++，
知级数
()
1
n x y n nye
+∞
-+=∑在0x y +>是收敛的，
从而()
1
(,)n x y n F x y nye
+∞
-+==
∑在0x y +>有定义；
显然(1,0)0F =；
由于
1
(,)n n u x y +∞
=∑，
2()
11(,)()n x y n n n u x y n ye x +∞
+∞-+==?=-?∑∑，()2()11
(,)()n x y n x y n n n u x y ne n ye y +∞
+∞-+-+==?=-?∑∑ 都在x y α+≥，y β≤（,αβ为任意大于0的常数）都是一致收敛的。
所以
2()11
(,)(,)()n x y n n n u x y F x y n ye x x +∞+∞
-+==??==-??∑∑， ()2()11
(,)(,)()n x y n x y n n n u x y F x y ne n ye y y +∞+∞
-+-+==??=-??∑∑ 从而(,)F x y 在(1,0)的某个邻域D 上偏导数
,F F
x y
????都存在，且是连续的， 又有
()
2()
(1,0)
(1,0)
1
()
n x y n x y n F ne
n ye
y
+∞
-+-+=?=-?∑10n n ne +∞
-==>∑，
到这里我们已经验证了隐函数定理的三条件：
（1）1
(,)()F x y C D ∈，D 为刚刚解答中(1,0)的某个邻域， （2）(1,0)0F =，
（3）
(1,0)
0F y
?≠?，
从而根据隐函数定理可知存在这样的()h x 满足题目中的条件，结论得证。
事实上，()
1(,)[]n x y n F x y y nye x +∞-+=?=-?∑()
1[1]1x y y x e
-+?=--?-()()2(1)x y x y e y e -+-+=-， 显然()0y h x =≡，是方程(,)0F x y =的唯一解。
10 、设(),()f x g x 在[,]a b 上黎曼可积，证明：(),()f x g x 的傅里叶展开式有相同系数的
充要条件是
()()0b
a
f x
g x dx -=?
。
证明 在这里我们只证明,a b ππ=-=的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）。 记,n n a b 为()f x 的傅里叶系数；
,n n A B 为()g x 的傅里叶系数，
先证充分性：设
()()0f x g x dx π
π
-
-=?，那么显然
1
()cos ()cos n n a A f x nx g x nx dx π
π
π-
-≤-? 1
()()f x g x dx π
π
π-
≤
-? 0=，
从而n n a A =，同理n n b B =；
再证必要性：若(),()f x g x 的傅里叶展开式有相同的系数，从而()()f x g x -得傅里叶系数都为0，因为(),()f x g x 在[,]ππ-上黎曼可积，从而()()f x g x -，2
(()())f x g x -在
[,]ππ-上黎曼可积。
由Parseval 等式，我们得到
2
()()0f x g x dx π
π
-
-=?，
而又由Cauchy Schwarz -不等式得到 2
2(()())2()()0f x g x dx f x g x dx π
π
π
π
π-
--≤-=??
，
从而
()()0f x g x dx π
π
-
-=?，这就证明了必要性。
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； , 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，
数学分析期末考试题
数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ）
数学分析1-期末考试试卷(A卷)
数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。
数据分析期末试题及答案
数据分析期末试题及答案 一、人口现状.sav数据中是1992年亚洲各国家和地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)的数据，试用多元回归分析的方法分析各国家和地区平均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的关系。(25分) 解： 1.通过分别绘制地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间散点图初步分析他们之间的关系 上图是以人均GDP(x1)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系。尝试多种模型后采用曲线估计，得出 表示地区平均寿命(y)与人均GDP(x1)的对数有线性关系
上图是以成人识字率(x2)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间基本呈正线性关系。 上图是以疫苗接种率(x3)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系 。 x）为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，上图是以疫苗接种率(x3)的三次方（3 3 由图可知，他们之间呈正线性关系 所以可以采用如下的线性回归方法分析。
2.线性回归 先用强行进入的方式建立如下线性方程 设Y=β0+β1*（Xi1）+β2*Xi2+β3* X+εi i=1.2 (24) 3i 其中εi（i=1.2……22）相互独立，都服从正态分布N（0，σ^2）且假设其等于方差 R值为0.952，大于0.8，表示两变量间有较强的线性关系。且表示平均寿命(y)的95.2%的信息能由人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)一起表示出来。 建立总体性的假设检验 提出假设检验H0：β1=β2=β3=0，H1,：其中至少有一个非零 得如下方差分析表 上表是方差分析SAS输出结果。由表知，采用的是F分布，F=58.190，对应的检验概率P值是0.000.，小于显著性水平0.05，拒绝原假设，表示总体性假设检验通过了，平均寿命(y)与人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间有高度显著的的线性回归关系。
数学系一年级《数学分析》期末考试题
（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题 学号 姓名 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ） A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ? ???>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、' 'f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; C. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)(' =ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)(' ≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)(' x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ；
数学分析(2)期末试题
数学分析（2）期末试题 课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业 一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、 下列级数中条件收敛的是（ ）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1n n ∞ = C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n n n ∞ =+∑ 2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数 在 它的间断点x 处 （ ）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原函 数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 (0)1dx k kx +∞ >+? 收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． 2 D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<<
二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+?? L 的聚点为 ． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ． 65
浙江大学数学分析考研试题
浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：数学分析 科目代号：427 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ 111(20)1...log ,log 23111lim(...)122n n x n e n n n n →∞=++++-+++++一、分(1)证明数列收敛其中表示以为底的对数；(2)计算2 (15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的， 证明:为线性函数. (15)()(),()h x f x f x 三、分假设函数为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数使仅在两点可导，并说明理由。 22222221()sin ,0(20)(,)0,0(1)(,),(,)(2),(,)x y x y x y f x y x y f f x y x y x y f f f x y x y ?++≠?+=??+=? ????????四、分二元函数求 是否在原点连续，在原点是否可微，并说明理由。 0 000 (15)()[,]()1 lim ()()xy y f x a b f x dx a a f x dx f x dx ∞ ∞ ∞-→+>=???五、分在任意区间黎曼可积，收敛，证明： 2222223/21 (15),0,0,0.()x y z xdydz ydzdx zdxdy a b c ax by cz ++=++>>>++??六、分计算 222(15):1cos().V V x y z I ax by cz dxdydz ++==++???七、分计算在单位球上的积分 2()01!(20)(),12(0)n n n f x x x f ∞==--∑八、分设函数证明级数收敛。 (15)()(0)0,'()(),[0,)()0.f x f x f x Af x f x =≤∞=九、分设可微，对于任意的有证明在上注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16
数学分析 期末考试试卷
中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。
数学系第三学期数学分析期末考试题及答案
第三学期《数学分析》期末试题 一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2、 =??),(00|) ,(y x x y x f （ ） A x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 ； B x y x x f x ??+→?) ,(lim 000； C x y x x f y y x x f x ??+-?+?+→?),(),(lim 00000 ； D x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ） A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ； B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续； C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。 4、2 222 2) (),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。 5、设y x e z =，则=??+??y z y x z x （ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。 二、计算题（50分，每小题10分） 1、 证明函数?? ? ??=+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导， 但它在该点不可微； 2、 设 ??'=-x x t x f x f dt d e x f 0) (),(,)(2 求ττ； 3、 设有隐函数,0 x y F z z ??= ???,其中F 的偏导数连续,求z x ??、z y ??； 4、 计算 (cos sin ) x C e ydx ydy -? ，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点 的光滑曲线； 5、 计算 zdS ∑ ??，其中∑为22 z x y =+在 1 4z ≤ 的部分； 三、验证或解答（满分24分，每小题8分）
数学分析报告考研试题
高数考研试题2 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设,0,0,0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】 当1>λ时，有 ,0, 0,0,1sin 1cos )(21 =≠?????+='--x x x x x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有) 0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续. 【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形）. （2）已知曲线b x a x y +-=2 33与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6 4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2 b 与a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 0332 2=-='a x y ，有 .220a x = 又在此点y 坐标为0，于是有 030023 0=+-=b x a x , 故 .44)3(6 422202202a a a x a x b =?=-= 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.36第一大题第（3）小题. （3）设a>0， ，x a x g x f 其他若, 10,0,)()(≤≤?? ?==而D 表示全平面，则??-=D dxdy x y g x f I )()(= 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域积分即可. 【详解】 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ??≤-≤≤≤1 0,102 =. ])1[(21 02101 2a dx x x a dy dx a x x =-+=??? + 【评注】 若被积函数只在某区域不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 . （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a E B αα1+=，
上海财经大学 数学分析 测试题 (大一)
《数学分析》考试题 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ， （ ） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则 （ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 （ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；
数学分析考研试题 (1)
南京理工大学2005年数学分析试题 一、（10分）设0>n a ，n=1,2， )(,0∞→≠→n a a n ,证 1lim =∞→n n n a 。 二、（15分）求积分 ??∑?ds n F ??其中），，＝（x y yz x y F ?，∑为半球面，0z 1z y x 222≥，＝＋＋和圆1y x 0z 22≤＋， ＝的外侧 三、（15分）设f 为一阶连续可微函数，且） （0f ''存在，f （0）＝0， 定义?????≠'0 x x f x 10 x 0f x g ）（＝）（）＝（ 证 g 是一个可微，且g '在0点连续。 四、（15分）证明 级数 ∑∞1n x n 2e ＝－ 在），＋（∞0上不一致收敛，但和函数在） ，＋（∞0上无穷次可微。 五、（15分）设〕，〔b a C f ∈，证明，0>?ε存在连续折线函数g ，使得 ε<）（）－（x g x f ，〕〔b a,x ∈ ?。 六、（15分）设），（t x u 为二元二阶连续可微函数且u 的各一阶偏导关于x 是以1为周期 函数，且2222x u t u ????＝，证明?????E 1022dx x u t u 21t ））＋（）（（）＝（是一个与t 无关的函数。 七、（15分）设f 为〕 ，＋〔∞1上实值函数，且f （1）＝1，）（）（＋）＝（1x x f x 1x f 22≥'，证明）（＋x f lim x ∞→存在且小于4 1π＋。 八、（15分）设∑∞1n n n x a ＝为一幂函数，在（－R ，R ）上收敛，和函数为f ，若数列{}j x 满足 0x x R 21>>>>Λ且0lim =∞ →j j x ，Λ1,2j 0x f j ＝，）＝（，证明 Λ210n 0a n ，，＝，＝ 九、（15）设f 是 〕〔〕，〔b a b a ??上的二元连续映射，定义 {}〕 ，〔），（）＝（b a y y x f max x g ∈，证明 g 在〔a ，b 〕上连续。 十、（20分）讨论二元函数连续、可偏导、可微三个概念之间的关系，要有论证和反例。
(汇总)数学分析3试卷及答案.doc
数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
数学分析各校考研试题与答案
2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤?
数学分析试题及答案
（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
2015年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
2015年考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学
2014年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
数学分析期末考试题
数学分析期末考试题 一、叙述题：(每小题5分，共10分） 1、 叙述反常积分 a dx x f b a ,)(? 为奇点收敛的cauchy 收敛原理 2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ 2、求摆线]2,0[)cos 1() sin (π∈? ??-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求?∞+∞-++dx x x cpv 211) ( 4、求幂级数∑∞ =-12 )1(n n n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =， 求y x u ???2 三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、y x y x y x f +-=2 ),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为 什么？ 2、讨论反常积分 ? ∞ +0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论∑∞ =-+1 33))1(2(n n n n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题10分，共20分） 1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>? b a dx x f 2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu
参考答案 一、1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<?>?δε使得 D x x x x ∈<-?2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f 二、1、由于 x +11 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ=2ln 11)11211111( 1lim 10=+=+++++?∞→dx x n n n n n n Λ（6分） 2、 、所求的面积为：220 23)cos 1(a dx x a ππ =-? （8分） 3、 解：π=++=++??-+∞→∞ +∞-A A A dx x x dx x x cpv 2 211lim 11) ( (3分） 4、解：11 lim 2=∞ →n n x ，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： y u ??=221y x f x f -（3分）3 22112212y x f xy f y f f y x u -++=???（5分） 三、1、解、 0lim lim lim ,1lim lim lim 2 02000200==+-==+-→→→→→→y y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k +11 所以重极限不存在（5分） 2、解：???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对?10arctan dx x x p ，由于 )0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p 收敛（4分）；?∞+1arctan dx x x p ，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π （4分）故p >1?∞+1arctan dx x x p 收敛，综上所述1
北京大学数学分析考研试题及解答复习进程
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分1sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞， （m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列 0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，
2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)
北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页