武汉中考数学24题专题2

F E A P B C D 图2武汉中考第24题专项训练研讨一、内容分析：培养数学逻辑推理能力是新课标的要求，第24题便是近年来考查这种能力的一种新题型,它不仅开阔同学们的视野,而且发展了同学们发散思维,创新探索和逻辑推理能力和动手能力，这种题型考查学生逻辑推理的方式主要注意如下几方面:① 图形由特殊到一般;② 图形的位置由特殊到一般；③ 结论由特殊到一般.解决方法主要由“特殊到一般”的思路,结合旋转,全等或相似的相关性质，以及实践操作，观察猜想加以解决. 二、主要知识考点： 1、图形旋转的性质；2、三角形全等或相似；3、实践作图；三、结论类型：1、 角度大小关系；2、 线段大小和位置关系；3、 其它； 四、题型变化 引例：（08届4月调考题）如图所示，ABCD 为正方形。

(1)如图1，点P 为△ABC 的内心，问：DP 与DA 有何数量关系？证明你的结论；(2)如图2，若点E 在CB 边上（不与点C 、B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 为△FBE 的内心，则DP 与DF 有何数量关系？证明你的结论；(3)如图3，若点E 在CB 的延长线上（不与点B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P是△FEB 中与∠FEB 、∠FBE 相邻的两个外角平分线的交点。

完成图3，判断DP 与DF 之间的数量关系（直接写出结论，不证明）。

对照练习：1、如图1，正方形ABCD 中，∠FOE=90°顶点O 于D 点重合，交BC 边于E ，交BA 的延长线于F.(1)求证：OF=OE;(2)若O 点在直线BD 上运动，其它条件不变，上述结论是否仍然成立？试画图直接写出结论。

（ （3）如图4，O 为正方形ABCD 对角线的中点，∠FOE=90°交BC 、CD 边于F 、E 点。

求证OE=OF 。

（ （4）如图5、6，O 点在直线BD 上运动，OD ：OB=1：n ，其它条件不变，（3）中结论是否还成立？若不成立，请直接写出OE ：OF= 。

2、如图，已知△ABC 为⊙O 的内接三角形，I 为△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于E ，交⊙O 于D 。

(1)求证：BD=ID=CD;(2)若点I 为∠ABC 和∠ACB 的外角平分线的交点，其它条件不变，问(1)中的结论是否仍然成立？请画图并直接写出结果（不必证明）。

EA B C D 图3图1E O A B C D 图2 E O A BC D图3 O F E A 图4 O F E D图5 OF E D C 图6FE C B A(P)图2P F E D C B A3、(1)如图1，P 为正方形ABCD 的AD 边上一点，PE ⊥AD 交BD 于E 点，将△PCD 绕C 点逆时针方向旋转90°到△FCB 的位置，连接PF 交BD 于Q 点。

①求证：BQ=EQ; ②探究线段PQ 与线段CQ 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)再将△PED 绕D 点顺时针方向旋转45°，将△PDC 绕C 点逆时针方向旋转90°至△FBC 处（如图2），（1）中你探究的结论：线段PQ 与线段CQ 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，写出结论并予以证明；若不成立，请说明理由。

（3）若将△PED 绕D 点顺时针方向旋转α（0°<α<90°）,其它条件不变，试画图并判断线段PQ 与线段CQ 的关系（直接写出结论，不证明）。

4、点P 在正方形ABCD 的边AD 所在的直线上，以BP 为对角线作正方形BEPF ，连结CE 。

(1)如图1，当点P 与点A 重合时，则∠BCE 的度数为 ； (2)如图2，当点P 在正方形ABCD 的边AD 上（不与D 重合）时，∠BCE 的度数为多少？证明你的结论；(3)当点P 在正方形ABCD 的边AD 所在的直线上运动时，请画出图形并求∠BCE 的度数（不必证明）。

5、将正方形ABCD ，正方形BEFG ，如图1摆放，连DF ，则DF/CG= . （1）如图2，将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转90°，连DF 、CG 相交于M ，则DF/CG= ，∠DMC= . （2）如图3，将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转45°，DF 的延长线交CG 于M ，则DF/CG= ，∠DMC= . （3）如图4，将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转β（0°<β<90°），则DF/CG= ，∠DMC= . （4）如图5，将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转β（0°<β<90°），则DF/CG= ，∠DMC= .从（3）、（4）两题中任选一个给予证明。

基本图形： 分析小结：1、构造三角形全等或相似2、利用基本图形或证明四点共圆进行角度转换。

3、根据题意绘制图形，利用工具度量写出结果。

五、分类研究： 1、角度演变引例1：（07届4月调考题）已知等腰三角形ABC 和ADE 的顶角共顶点，∠BAC=∠DAE 。

线段BD和EC 的垂直平分线相交于点P ，连接PB ，PC ，PD ，PE.（1）B 、A 、E 依次在同一条直线上。

若∠BAC=90°（图1），则∠BPC+∠DPE= ；若∠BAC=60°（图2），则∠BPC+∠DPE= ；（2）B 、A 、E 依次在同一条直线上。

若∠BAC=α°（图3），猜想∠BPC+∠DPE 的值，并写出你的结论； （3）在图1的基础上，若Rt △ABC 绕点A 旋转角度β，图4，试探究∠BPC+∠DPE 的值，并写出你的结论（不必证明）. 图1A CB P 图3A EC B P 图2A DP B C DEB AC P分析小结：如果两相似等腰三角形共顶角顶点，那么由两等腰三角形腰分别组成的三角形全等。

对照练习：1、已知△ABC 中，∠BAC = 45°，以AB 、AC 为边在△ABC 外作等腰△ABD 和△ACE ，AB = AD 、AC = AE ，且∠BAD =∠CAE ，连CD 、BE 并交于F ，连AF ． （1）①如图1，若∠BAD = 60°，则∠AFE = ． ②如图2，若∠BAD = 90°，则∠AFE = ． ③如图3，若∠BAD = 120°，则∠AFE= ．（2）如图4，若∠BAD = α°，猜想∠AFE 的度数，并予以证明． （3）如图5，将图2中的△ABD 绕点A 顺时针旋转β°（45°＜β＜90°），直接写出∠AFE 的度数（不必证明）．2、锐角△ABC 中 ，AB ＞AC ，分别以AB 、AC 为边向外作△ABD 和△ACE ，且△ABD ∽△AEC 连DE.P 、Q 、M 、N 分别为BC 、CE 、DE 、BD 的中点. ①如图1，若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，则∠QMN= ，四边形MNPQ 的形状是 ；②如图2，若△ABD 和△AEC 均为等腰直角三角形，则∠QMN= ，四边形MNPQ 的形状是 ；③如图3，若∠BAD=∠CAE=90°，试探究四边形MNPQ 的形状，并予以证明.引例2：（07届中考题) 点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F 。

(1)如图①，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_________；如图②，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_________；(2)如图③，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC 绕点C 旋转(点F 不与点A 、B 重合)，得图④或图⑤。

在图④中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________。

请你任选其中一个结论证明。

分析小结：如果两相似等腰三角形共底角顶点，那么由两等腰三角形的底和腰分别组成的三角形相似。

对照练习：1、如图1，已知CA=CB ，FE=FB, ∠ACB=∠EFB=α，M 、N 、G 分别为AC 、CE 、EF 的中点，则∠MNG= .(1)如图2，当α=90°时，将△EFB 绕B 点顺时针旋转45°，则∠MNG= .如图3，当α=60°时，将△EFB 绕B 点逆时针旋转60°，则∠MNG= .（2将图1中的△EFB 绕B 点旋转一个锐角β得图4，则∠MNG= .（3将图1中的△EFB 绕B 点旋转一个钝角β得图5，则∠MNG= .选择图4或图5中的一个给予证明。

（4）在图5中，MN/NG= （用含α 的式子表示），不必证明。

B CD E P M N Q A B C D E P MN Q A AQ N M PED C B 图1 图2图3 A A A D D D F FF 图① 图② 图③A AB B CDD E E FF 图④ 图⑤2、已知：两个三角形△ABC和△ADE，顶点A重合，当两个三角形△ABC和△ADE绕着顶点A旋转任意角度时，连接BE、DC，分别取BE、ED、DC、CB的中点得到一个四边形PQMN；（1）、如图：（图1），若两三角形△ABC和△ADE都是等边三角形，则四边形PQMN的形状是，∠NPQ=（2）、如图：（图2），若两三角形△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，则四边形PQMN的形状是，（3）、如图：（图3），若两三角形△ABC和△ADE是两个全等的直角三角形，且AB=AD、AC=AE，则四边形PQMN的形状是特殊平行四边形；如（图4）若两三角形△ABC和△ADE是两个相似的三角形，且∠ABC=∠ADE、∠ACB=∠AED，则四边形PQMN的形状是特殊四边形；请选择其中一种情况证明你的猜想。

二、线段问题引例1：△ACD中，点P是CD的中点，分别以AC、AD为边在△ACD外作直角三角形ABC和ADE，∠ABC=∠AED=90°，锐角∠BAC=∠DAE，连PB、PE。

（1）如图1，分别取AC、AD的中点M、N，连PM、PN、BM|、EN，若∠BAC=30°，则PB和PE的数量关系为，∠BPE= ,如图2，若∠BAC=45°，则∠BPE= 。

（2）如图3，若∠BAC=α°，猜想∠BPE的度数，并证明你的结论。

（3）如图4，若将图1中的“直角三角形ABC和ADE”换为“等边三角形ABC和ADE”，其余条件不变，要使∠BPE=90°，则△ACD应满足什么条件？请写出来（不必证明）。