2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合，，则A. B. 2，C. 2，3，D. 2，3，4，2.已知复数z满足，则A. 1B.C. 2D. 33.已知，则A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 7B. 9C. 10D. 115.已知向量，，，若，则与夹角是A. B. C. D.6.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为A. 6B. 21C. 27D. 547.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.8.设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是注：若，则，A. 7539B. 6038C. 7028D. 65879.设函数满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是A. B. C. D.10.若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为A. B. C. D. 211.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则的面积为A. 或B.C.D.12.，对于，均有，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若抛物线的准线经过直线与坐标轴的一个交点，则______．14.已知二项式展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．15.关于函数，有下列命题：由可得必是的整数倍；在区间上单调递增；的图象关于点对称；的图象关于直线对称．其中正确的命题的序号是______把你认为正确的命题序号都填上16.在几何体中，是正三角形，平面平面ABC，且，，则外接球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：Ⅰ求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度不要求计算出具体值，给出结论即可；Ⅱ若规定分数在的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．18.已知正项数列的前n项和满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，设数列的前n项和为求证：．19.如图所示，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，，M，N分别是CD，PB的中点．证明：平面PAM；若直线PA与平面ABCD所成角等于，求二面角的余弦值．20.已知的两个顶点坐标是，，的周长为，O是坐标原点，点M满足．Ⅰ求点M的轨迹E的方程；Ⅱ设不过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的最大值．21.已知函数，．Ⅰ求函数在上的最值；Ⅱ若对，总有成立，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；Ⅱ设点M是曲线C上任意一点，求面积的最大值．23.已知不等式对于任意的恒成立．Ⅰ求实数m的取值范围；Ⅱ若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：0，1，；．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：，故，故选：B．求出z，求出z的模即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式，求得的值．【解答】解：，即，平方可得，，则，故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查程序框图，考查循环语句，是基础题．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出．故选B．5.答案：C解析：解：由题意可得，因为，所以，即，所以，设向量与夹角，所以，因为，所以．故选：C．由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．6.答案：C解析：解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：，，故选：C．直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.答案：A解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．8.答案：D解析：【分析】本题考查了正态分布、几何概型，属于基础题．根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．【解答】解：，，，则，则，阴影部分的面积为：．正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选D．9.答案：C解析：解：函数函数的定义域为，函数是增函数，满足，说明，，，有1个是负数一定是两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在，在，在，不可能在．故选：C．利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查，基础题．10.答案：D解析：解：设双曲线C：的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得，即．故选：D．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．11.答案：D解析：解：，，，，即，或．若，则，，故，与，矛盾．，由余弦定理得，，．故选：D．根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A的值，利用余弦定理计算bc，代入面积公式即可求出三角形的面积．本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．12.答案：A解析：【分析】本题考查函数的导数的应用，切线斜率的求法，函数与方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．对于，均有，在坐标系中，画出函数与的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，推出结果．【解答】解：对于，则，在坐标系中，画出函数与的图象，如图：对于，均有，就是函数的图象都在图象的上方，则可得，设切点坐标，可得，可得，此时，解得，所以切线的斜率为：．可得．故选：A．13.答案：2解析：解：抛物线的准线：，经过直线与坐标轴的一个交点，可得：，解得．故答案为：2．判断抛物线的准线方程，利用直线与x轴的交点在抛物线的准线上，求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.答案：16解析：解：由题意，展开式中第项的二项式系数最大，故．故．该式中前一项的常数项为：，后一项展开式的常数项为．故原式展开式中的常数项为．故答案为：16．因为只有第四项的二项式系数最大，所以第四项是唯一中间项，由此求出n的值；然后再将拆成两个式子，求出展开式中的常数项．本题考查二项式系数的性质，通项法求常数项的方法．属于基础题．15.答案：解析：解：函数，特例：，，满足，但是不是的整数倍；所以不正确；的周期为，，可得是函数的单调增区间，所以函数在区间上单调递增；所以正确；可知时，，所以函数的图象关于点对称；所以正确；时，，所以函数的图象关于点对称；所以的图象不关于直线对称．所以不正确；故答案为：．利用特殊值判断；函数的单调性判断；函数的对称中心判断；函数的对称轴判断．本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的图象与性质的判断，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查平面与平面垂直的判断与性质，几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力和计算能力．通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．【解答】解：是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB的过中心的垂线上，作出的中心G，作平面PAB，因为，取AC的中点为E，外接球的球心也在过E 点的垂线上，，O为外接球的球心，由题意可知，，外接球的半径为：．外接球的表面积为：．故答案为：．17.答案：解：Ⅰ根据茎叶图得：甲班抽出同学分数的中位数：，乙班抽出同学分数的中位数：．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．Ⅱ根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人．设“抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A，则．故抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为．解析：Ⅰ先由茎叶图得到分数的中位数，由茎叶图看出甲乙的平均水平和分散程度，加以分析即可；Ⅱ用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人，再由排列组合确定出概率．本题考查由茎叶图求中位数，排列组合求概率，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ，，由得，，即，因为，所以又由解得，故数列为等差数列，公差故；Ⅱ证明：，，所以．解析：Ⅰ由，两式相减得，再由得，然后求出，说明数列为等差数列，进而求得通项公式；Ⅱ由，进而证明结论．本题主要考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法在数列求和中的应用、不等式的放缩等基础知识，属于中档题．19.答案：证明：取线段AP的中点E，连接EN，EM，则且．在正方形ABCD中，是CD的中点，且．，且，则四边形CNEM为平行四边形．，平面PAM，平面PAM，平面PAM；过P作，垂足为O，平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，平面ABCD．又平面，从而AO为直线PA在平面ABCD内的射影，故为直线PA与平面ABCD所成角等于，如图，以O为坐标原点，分别以过O点且平行于AD的直线、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，0，，1，，3，，，，．设，分别为平面APM与APC的一个法向量，则，取，得；，取，得．．即二面角的余弦值为．解析：取线段AP的中点E，连接EN，EM，由已知可知四边形CNEM为平行四边形，得到，再由线面平行的判定可得平面PAM；过P作，垂足为O，可得为直线PA与平面ABCD所成角等于，以O为坐标原点，分别以过O点且平行于AD的直线、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面APM与APC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．20.答案：解：Ⅰ已知，所以，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆不含左右顶点．因为，，，所以，，．所以，点A的轨迹方程为．设，，由得，，又．故，点M的轨迹E的方程为，即．Ⅱ由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，由，消去y得，则，即，且，，故．直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，，即，又，所以，即．由，及直线OP，OQ的斜率存在，得，，点O到直线l的距离．，当时取等号，此时直线l的方程为，的最大值为1．解析：Ⅰ通过，说明点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆不含左右顶点求出a，b即可得到点A的轨迹方程为设，由，转化求解点M的轨迹E的方程．Ⅱ直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，，，由，消去y得，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出直线的斜率，求出弦长，通过点到直线的距离表示三角形的面积求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ因为，单调递增；令得，．当时，，单调递减；当时，，单调递增．当时，满足条件的t不存在；当即时，；当即时，．Ⅱ因为，等价于，令，因为，总有成立，所以，在上单调递增．问题化为对恒成立．即对恒成立．令，则由得，．当时，，递增，当时，，递减，，故m的取值范围是：．解析：Ⅰ先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；Ⅱ由等价于，构造函数，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．本题主要考查了导数研究函数的最值及取得的条件及由不等式的恒成立求解参数范围问题，分离常数是常见的处理方法．22.答案：解：Ⅰ曲线C的直角坐标方程为，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，设A，B的参数分别为，，由韦达定理得：，于是设，则故，点P的直角坐标为．Ⅱ由Ⅰ知：，所以，又直线l的普通方程为，圆心到直线l的距离为，圆半径所以，点M到直线l的距离的最大值为．因此，面积的最大值为：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：Ⅰ解：，不等式对于任意的恒成立转化为，解得，的取值范围是；Ⅱ证明：，，又a，b，c均为正实数，配凑使用柯西不等式，得．当且仅当时上式等号成立．．解析：Ⅰ利用绝对值不等式的性质得，把不等式对于任意的恒成立转化为，求解绝对值的不等式得答案；Ⅱ由Ⅰ可得，配凑使用柯西不等式，得，则结论得证．本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用柯西不等式求最值，是中档题．。
云南省2020年高考理科数学模拟试题及答案(二)
云南省2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（ ）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （ ）。
A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（ ） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届云南省曲靖市高三上学期第二次月考数学(理)试题word版含解析
2020届云南省曲靖市高三上学期第二次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}31≤≤=x x B ，则=B A （ ）A ．]3,1(-B ．]1,1(-C ．)2,1(D ．)3,1(- 2.下列函数中，与函数122log +=x y 是同一个函数的是（ ）A ．2)1(+=x y B ．133+=x y C ．12+=xx y D ．12+=x y3.设命题12:,0log 1:21><<-x q x p ，则p 是q 成立的是（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设100cos ,5log ,2331===-c b a ，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >> 5.下列函数中，是偶函数且在区间),0(+∞上单调递增的是（ ）A ．xy 3-= B ．31x y = C ．23log x y = D ．2x x y -= 6.已知幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ）A ．13<<-aB ．3-<a 或1>a C.1<a D ．1>a 7.若12log 3-≥x ，则函数324)(1--=+x xx f 的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．932-D ．0 8.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，若对任意R x ∈，都有)()4(x f x f -=+，且当]2,0[∈x 时，12)(-=xx f ，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期为4B ．)3()1(f f <C ．0)2016(=fD ．函数)(x f 在区间]4,6[--上单调递减9.函数4127ln 4)(2-+-+-=x x x x x f 的定义域为（ ）A ．)3,4(-B ．]3,4(-C ．]4,3(D ．)4,3( 10.已知函数m x x g x x x f +=+=22log )(,1)(，若对]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥， 则m 的取值范围是（ ） A ．45-≤m B ．2≤m C ．43≤m D ．0≤m 11.已知b a ,为正实数，直线a x y -=与曲线)ln(b x y +=相切，则22a b+的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．(0,1)C ．)21,0( D ．),1[+∞12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=)0(431),0(3)(3x a x x x x x f x 在定义域上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3160<<aB ．316<aC ．0<a 或316>aD ．316≤a第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若命题“02,0200<+-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是______.14.=++-⎰dx x x x )1(312______.15.已知曲线x x y ln 2-=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 也相切，则=a _____. 16.若曲线x x x f ln 21)(2+-=在其定义域内的一个子区间)2,2(+-k k 内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知0)12(:,0132:222≤++-≤+-a x a x q x x p . （1）若2=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数)32(log )(221+-=ax x x f .（1）当1-=a 时，求函数的值域；（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P （单位：吨）与销售价格x （单位：万元/吨）满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<+-=,96,784,63,172x xx x ax P （其中a 为常数），已知销售价格为4万元/吨时，每天可售出该产品9吨. （1）求a 的值；（2）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大？并求出最大值.20.（本小题满分12分）已知函数13)(3-+=ax x x f 的导函数为)(x f '，3)()(--'=ax x f x g . （1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若对满足11≤≤-a 的一切a 的值，都有0)(<x g ，求实数x 的取值范围； （3）若0ln )(>+'x x g x 对一切2≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(，)(x f 恒过点)1,1(，且2)(=e f . （1）求)(x f 的解析式；（2）若kx x f ≤)(对0>∀x 都成立，求实数k 的取值范围； （3）当112>>x x 时，证明：121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-.考点：1、利用导数函数的单调性及求最值；2、不等式恒成立问题及不等式证明问题.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者构造新函数进一步利用导数证明.本题（3）就是构造函数后利用单调性证明的.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 6=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,233,213t y t x （t 为参数）.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比.23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲若关于x 的不等式01252≥--++t x x 的解集为R . （1）求实数t 的最大值s ；（2）若正实数b a ,满足s b a =+54，求ba b a y 33421+++=的最小值.2020届云南省曲靖市高三上学期第二次月考数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}31≤≤=x x B ，则=B A （ ）A ．]3,1(-B ．]1,1(-C ．)2,1(D ．)3,1(- 【答案】A【解析】试题分析：因为{}{}(1)(2)0|12A x x x x x =+->=-<<， {}13B x x =<≤，所以，=B A {}13x x -<≤=(]1,3-，故选A.考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.2.下列函数中，与函数122log +=x y 是同一个函数的是（ ）A ．2)1(+=x y B ．133+=x y C ．12+=xx y D ．12+=x y【答案】B考点：函数的定义及“三要素”.3.设命题12:,0log 1:21><<-x q x p ，则p 是q 成立的是（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、充分条件与必要条件.4.设100cos ,5log ,2331===-c b a ，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >> 【答案】B【解析】试题分析：因为()()()13320,1,log 51,,cos100,0a b c -===∈+∞=∈-∞，所以，c a b >>，故选B.考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、三角函数的基本性质.5.下列函数中，是偶函数且在区间),0(+∞上单调递增的是（ ）A ．xy 3-= B ．31x y = C ．23log x y = D ．2x x y -= 【答案】C【解析】试题分析：因为31x y =、2x x y -=不是偶函数，所以排除B 、D,又因为xy 3-=在区间),0(+∞上单调递减，所以A 也不合题意，而23log x y =是偶函数且在区间),0(+∞上单调递增，故选C. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.6.已知幂函数n x x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ）A ．13<<-aB ．3-<a 或1>a C.1<a D ．1>a 【答案】B【解析】试题分析：因为幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(， 所以321282243n n n -=⇒=⇒=-，23()f x x -= 是偶函数，且在()0,+∞递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，12,a +>解得，3-<a 或1>a ，故选B.考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.7.若12log 3-≥x ，则函数324)(1--=+x xx f 的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．932- D ．0 【答案】A考点：1、指数的运算与性质；2、配方法求最值.8.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，若对任意R x ∈，都有)()4(x f x f -=+，且当]2,0[∈x 时，12)(-=xx f ，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期为4B ．)3()1(f f <C ．0)2016(=fD ．函数)(x f 在区间]4,6[--上单调递减 【答案】B【解析】试题分析：因为函数)(x f 是定义在R 上的偶函数， 所以)()4(x f x f -=+()f x =，可得函数)(x f 的最小正周期为4，A 正确；()()0(2016)50440210f f f =⨯==-=，C 正确；而()()()311f f f =-=，B 错；故选B.考点：1、函数的周期性及函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性.9.函数4127ln 4)(2-+-+-=x x x x x f 的定义域为（ ）A ．)3,4(-B ．]3,4(-C ．]4,3(D ．)4,3( 【答案】D考点：1、函数的定义域；2、不等式的解法.10.已知函数m x x g x x x f +=+=22log )(,1)(，若对]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥， 则m 的取值范围是（ ） A ．45-≤m B ．2≤m C ．43≤m D ．0≤m 【答案】C【解析】试题分析：因为]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥等价于()()min min f x g x ≥，又因为21()x f x x +=22111113244x x x ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭，（2x =时等号成立），22()log log 1g x x m m m =+≥+=，所以34m ≥，即43≤m ，故选C.考点：1、全称量词与存在量词的应用；2、对数函数的性质及配方法求最值.【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用，属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥()min g x .11.已知b a ,为正实数，直线a x y -=与曲线)ln(b x y +=相切，则22a b+的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．(0,1)C ．)21,0( D ．),1[+∞ 【答案】C考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性进而求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的取值范围即可.12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=)0(431),0(3)(3x a x x x x x f x 在定义域上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3160<<a B ．316<a C ．0<a 或316>a D ．316≤a 【答案】A【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象；2、函数的零点几数形结合思想. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象、函数的零点及数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图象解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度. 本题就是将复杂的零点问题转化为形象函数图象问题解答的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若命题“02,0200<+-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】]22,22[-考点：1、全称命题与特称命题；2、不等式恒成立问题及一元二次不等式的解法. 14.=++-⎰dx x x x )1(312______.【答案】43+π【解析】试题分析：因为1133000)()x x dx x x dx +=++⎰⎰⎰，13()x x dx +⎰2410113|244x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，⎰dx 等于以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，即为4π，所以=++-⎰dx x x x )1(31243+π，故答案为43+π.考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.15.已知曲线x x y ln 2-=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 也相切，则=a _____. 【答案】1【解析】试题分析：因为x x y ln 2-=()f x =，所以()()1'2,'11f x x f x=-=得()f x 点)1,1(处的切线斜率为1，方程为11,y x -=-即为y x =，又因为y x =与抛物线1)2(2+++=x a ax y 相切，所以方程2(2)1ax a x x +++=只有一个根，即2(2)1ax a x x +++=有唯一解，()2140a a =+-=，得1a =，故答案为1.考点：1、利用导数求切线方程；2、直线与抛物线的位置关系.【方法点晴】本题主要考查利用导数求切线方程以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程.本题就是根据这种方法求出曲线x x y ln 2-=在点)1,1(处的切线方程后，再根据其与抛物线相切，求解a 的值的.16.若曲线x x x f ln 21)(2+-=在其定义域内的一个子区间)2,2(+-k k 内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是______.【答案】32<<k考点：1、函数的定义域及子集的应用及转化与划归思想；2、利用导数研究函数的单调性以及函数的极值. 【方法点睛】本题主要考查函数的定义域及子集的应用及转化与划归思想、利用导数研究函数的单调性以及函数的极值，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将函数区间)2,2(+-k k 内不是单调函数转化为函数在)2,2(+-k k 必有极值点，然后利用导数这一工具解答是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知0)12(:,0132:222≤++-≤+-a x a x q x x p . （1）若2=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1=x ；（2）2210+≤≤a .考点：1、充分条件与必要条件；2、数形结合思想及子集的应用. 18.（本小题满分12分）已知函数)32(log )(221+-=ax x x f .（1）当1-=a 时，求函数的值域；（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由. 【答案】（1）]1,(--∞；（2）不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. 【解析】试题分析：（1）先求得2223(1)22x x x ++=++≥，再根据对数函数的性质可得函数的值域；（2）根据二次函数的单调新、对数函数的单调性、复合函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组可得结论. 试题解析：（1）当1-=a 时，)32(log )(221++=x x x f ，设22)1(32)(22≥++=++=x x x x h ，∴1)(-≤x f ，∴)(x f 的值域为]1,(--∞.（2）要使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，只需32)(2+-=ax x x h 在)2,(-∞上单调递减且0322>+-ax x 在)2,(-∞上恒成立，所以⎩⎨⎧>>,0)2(,2h a 此不等式无解， 故不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增.考点：1、二次函数的单调性、对数函数的单调性；2、复合函数的单调性以及对数函数的定义域. 19.（本小题满分12分）某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P （单位：吨）与销售价格x （单位：万元/吨）满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<+-=,96,784,63,172x xx x ax P （其中a 为常数），已知销售价格为4万元/吨时，每天可售出该产品9吨. （1）求a 的值；（2）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大？并求出最大值. 【答案】（1）2=a ；（2）该产品每天的利润最大且为15万元.设商品所获得的利润为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<--=-=,96),3)(784(,63),3)(217()3(2x x x xx x x P x y当63≤<x 时，)3)(217(--=x x y ，当且仅当6=x 时，取得最大值15；当96≤<x 时，16175)811(252252637)784)(3(222+--=-+=+-=x x x x x x y ， 当8=x 时，取得最大值1516175<. 综上可得6=x 时，取得最大值15，即当销售价格为6万元/吨时，该产品每天的利润最大且为15万元. 考点：1、阅读能力及建模能力；2、分段函数的解析式及利用导数研究函数的单调性. 20.（本小题满分12分）已知函数13)(3-+=ax x x f 的导函数为)(x f '，3)()(--'=ax x f x g . （1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若对满足11≤≤-a 的一切a 的值，都有0)(<x g ，求实数x 的取值范围； （3）若0ln )(>+'x x g x 对一切2≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数)(x f 的单调递增区间为),2[],2,(+∞--∞，单调递减区间为)2,2(-；（2）310<<x ；（3）ln 2122a <+.考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求最值；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题(2)是利用方法①求得a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(，)(x f 恒过点)1,1(，且2)(=e f . （1）求)(x f 的解析式；（2）若kx x f ≤)(对0>∀x 都成立，求实数k 的取值范围； （3）当112>>x x 时，证明：121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-. 【答案】（1）1ln )(+=x x f ；（2）1≥k ；（3）证明见解析. 【解析】考点：1、利用导数函数的单调性及求最值；2、不等式恒成立问题及不等式证明问题.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者构造新函数进一步利用导数证明.本题（3）就是构造函数后利用单调性证明的.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 6=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,233,213t y t x （t 为参数）.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比. 【答案】（1）9)3(22=+-y x ；（2）2:1.考点：1、极坐标方程化直角坐标的方程；2、参数方程化普通方程及点到直线距离公式. 23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲若关于x 的不等式01252≥--++t x x 的解集为R . （1）求实数t 的最大值s ；（2）若正实数b a ,满足s b a =+54，求ba b a y 33421+++=的最小值. 【答案】（1）6=s ；（2）23. 【解析】试题分析：（1）不等式01252≥--++t x x 的解集为R 等价于t x x ≥-++1252恒成立，而621521252=-++≥-++x x x x ，所以6≤t ；（2）b a b a y 33421+++=14()[(2)(33)]233a b a b a b a b =++++++16⨯，利用柯西不等式可得结果.试题解析：（1）因为01252≥--++t x x ，所以t x x ≥-++1252， 又因为621521252=-++≥-++x x x x ，所以6≤t ，考点：1、基本不等式求最值；2、柯西不等式的应用.。
2020年云南省曲靖一中高考(理科)数学二模试卷 含解析
2020年高考（理科）数学二模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|≤2x≤4}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．定义运算：，则函数f（x）＝1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0 5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4B．5C．6D．78．已知x，y满足，则的取值范围为（）A．[，4]B．（1，2]C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）9．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6B．C．3D．10．已知双曲线Γ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若AF⊥FB，|CF|＝3|FB|，则双曲线Γ的离心率是（）A．B．C．D．11．已知的值域为[m，+∞），当正数a，b满足时，则7a+4b的最小值为（）A．B．5C．D．912．已知函数（x∈R），若关于x的方程f（x）﹣m+1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．（x2+）5的展开式中x4的系数为14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1．则的值为．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱ABC﹣A1B1C1外有一个外接球Q2．若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球Q2的表面积为16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．已知函数．（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝，AC⊥BC．（1）证明：面PAB⊥面ABC；（2）求二面角C﹣PA﹣B的余弦值．19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：研发费用x（百万元）2361013151821销量y（万盒）112 2.5 3.5 3.5 4.56（Ⅰ）求y与x的相关系数r（精确到0.01），并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：|r|≥0.75时，可用线性回归方程模型拟合）；（Ⅱ）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型A1，A2，A3，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后A1，A2，A3三类剂型合格的种类数为X，求X的数学期望．附：（1）相关系数（2），，，．20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．21．设函数f（x）＝（1+e﹣2）e x+kx﹣1，（其中x∈（0，+∞）），且函数f（x）在x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0平行．（1）求k的值；（2）若函数g（x）＝﹣xlnx，求证：f（x）＞g（x）恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中a＞0，b＞0）．（1）求函数f（x）的最小值M．（2）若2c＞M，求证：．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．已知集合A＝{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|≤2x≤4}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}【分析】求出集合的等价条件，利用交集的定义进行求解即可．解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜2}，故选：C．2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．解：复数＝＝（a+1）+（﹣a+1）i，该复数是纯虚数，∴a+1＝0，解得a＝﹣1；所以复数2a+2i＝﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2，2），它在第二象限．故选：B．3．定义运算：，则函数f（x）＝1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题需要明了新定义运算a⊗b的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函数f（x）＝1⊗2x就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．解：由已知新运算a⊗b的意义就是取得a，b中的最小值，因此函数f（x）＝1⊗2x＝，因此选项A中的图象符合要求．故选：A．4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得到，所以直线AB 的斜率为2，又过点（1，1），再利用点斜式即可得到直线AB的方程．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝2，又，两式相减得：，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴，∴直线AB的斜率为2，又∴过点（1，1），∴直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，故选：A．5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A．，，B．，，C．，，D．，，【分析】设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{a n}是公比为2的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食．解：设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{a n}是公比为2的等比数列，∴a1+a2+a3＝a1+2a1+4a1＝7a1＝50，解得，∴羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿升，升，升粮食．故选：D．6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．解：由p是¬q的充分不必要条件知“若p则¬q”为真，“若¬q则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则¬p”为真，“若¬p则q”为假，故选：B．7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4B．5C．6D．7【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选：B．8．已知x，y满足，则的取值范围为（）A．[，4]B．（1，2]C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【分析】设k＝，则k的几何意义为点（x，y）到点（2，3）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解：设k＝，则k的几何意义为点P（x，y）到点D（2，3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D的直线平行与OA时是个临界值，此时k＝K OA＝1不成立，需比1小；当过点A时，k＝取正值中的最小值，⇒A（1，1），此时k＝＝＝2；故的取值范围为（﹣∞，1）∪[2，+∞）；故选：D．9．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6B．C．3D．【分析】曲线表示单位圆x2+y2＝1的下半部分，，直线AB的方程为x﹣y+3＝0，设出点P的坐标，求出点P到直线AB的最小距离，即可三角形PAB 面积的最小值．解：依题意，，直线AB的方程为x﹣y+3＝0，曲线表示单位圆x2+y2＝1的下半部分，要使△PAB面积的最小，则需点P到直线AB的距离最小，不妨设P（cosθ，sinθ）（π≤θ≤2π），∴点P到直线AB的距离为，∵π≤θ≤2π，∴，∴，∴．故选：C．10．已知双曲线Γ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若AF⊥FB，|CF|＝3|FB|，则双曲线Γ的离心率是（）A．B．C．D．【分析】记双曲线的左、右焦点分别为F'、F，设双曲线的实半轴长为a，半焦距为c．连接AF'、BF'、CF'．由双曲线的对称性和定义，运用勾股定理，离心率公式可得所求．解：记双曲线的左、右焦点分别为F'、F，设双曲线的实半轴长为a，半焦距为c．连接AF'、BF'、CF'．∵AF⊥FB，结合双曲线的对称性可知四边形AFBF'是矩形，∴．设|FB|＝x，则|CF|＝3x，|BF'|＝2a+x，|CF'|＝2a+3x．在Rt△CBF'中，|BF'|2+|BC|2＝|CF'|2，即（2a+x）2+16x2＝（2a+3x）2可得x＝a，从而|BF'|＝2a+x＝3a，|FB|＝a，在Rt△BFF'中，|BF'|2+|FB|2＝|FF'|2，即（3a）2+a2＝（2c）2，∴10a2＝4c2，即有e＝＝．故选：D．11．已知的值域为[m，+∞），当正数a，b满足时，则7a+4b的最小值为（）A．B．5C．D．9【分析】利用的值域为[m，+∞），求出m，再变形，利用1的代换，即可求出7a+4b的最小值．解：∵＝的值域为[m，+∞），∴m＝4，∴+＝4，∴7a+4b＝[（6a+2b）+（a+2b）]（+）＝[5++]≥＝，当且仅当＝时取等号，∴7a+4b的最小值为．故选：A．12．已知函数（x∈R），若关于x的方程f（x）﹣m+1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】讨论x的范围，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．解：当x≤0时，为减函数，f（x）min＝f（0）＝0；当x＞0时，，，则时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，即f（x）在上递增，在上递减，．其大致图象如图所示，若关于x的方程f（x）﹣m+1＝0恰好有3个不相等的实数根，则，即，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13．（x2+）5的展开式中x4的系数为40【分析】运用二项展开式的通项可得结果．解：根据题意得，T r+1＝（x2）5﹣r（）r＝2r x10﹣3r令10﹣3r＝4，得r＝2∴（x2+）5的展开式中x4的系数为22＝40；故答案为40．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1．则的值为﹣3．【分析】根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．解：∵AB＝2，AD＝1，∴＝＝＝1﹣4＝﹣3．故答案为：﹣3．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱ABC﹣A1B1C1外有一个外接球Q2．若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球Q2的表面积为29π【分析】三棱柱的内切圆的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的内切圆的半径，可知三棱柱的高为内切圆的直径，求出三棱柱的高，然后将三棱柱放在长方体内，求出长方体的对角线，再根据长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的表面积．解：由题意知内切球的半径为R与底面三角形的内切圆的半径相等可得，而三角形ABC 为直角三角形，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，所以AC＝5，设三角形内切圆的半径为r，由面积相等可得：r（3+4+4）＝3•4，所以r＝，所以R＝＝1，由题意可知三棱柱的高h为2R＝2，将该三棱柱放在长方体中，设三棱柱的外接球的半径为R'则（2R）2＝32+42+22＝29，所以外接球的表面积S＝4πR'2＝29π，故答案为：29π．16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝．【分析】由题意可得a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又a1＝1，数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n分奇数和偶数两种情况，分别求出a n，从而得到数列{a n}的通项公式．解：∵a n+1＝2n﹣a n，∴a n+1+a n＝2n①，a n+a n﹣1＝2（n﹣1）（n≥2）②，①﹣②得：a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又∵a1＝1，∴数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，∴当n为奇数时，a n＝n，当n为偶数时，则n﹣1为奇数，∴a n＝2（n﹣1）﹣a n﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）＝n﹣1，∴数列{a n}的通项公式，故答案为：．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．已知函数．（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．（2）由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得ab的最大值，可得AB 边上的高h的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝sin x+﹣＝sin x+﹣＝sin（x+），当x∈[0，π]时，x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣，1]．（2）△ABC中，＝sin（C+），∴C＝．由余弦定理可得c2＝3＝a2+b2﹣2ab•cos C＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当a＝b时，取等号，即ab的最大值为3．再根据S△ABC＝••h＝ab•sin，故当ab取得最大值3时，h取得最大值为．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝，AC⊥BC．（1）证明：面PAB⊥面ABC；（2）求二面角C﹣PA﹣B的余弦值．【分析】（1）由已知可得三角形ABC为直角三角形，取AB中点O，再由PA＝PB＝PC，可得PO⊥底面ABC，从而得到面PAB⊥面ABC；（2）在平面PAB内，过O作OE⊥PA，垂足为E，连接EC，由平面与平面垂直的性质证明OC⊥PA，进一步得到PA⊥EC，可得∠OEC为二面角C﹣PA﹣B的平面角，然后求解三角形得答案．【解答】（1）证明：由AC⊥BC，得△ABC是以AB为斜边的直角三角形，取AB的中点O，则O为△ABC的外心，连接PO，∵PA＝PB＝PC，可得△POA≌△POB≌△POC，可得∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，则PO⊥AB，PO⊥OC，又AB∩OC＝O，∴PO⊥底面ABC，而PO⊂平面PAB，则面PAB⊥面ABC；（2）解：在平面PAB内，过O作OE⊥PA，垂足为E，连接EC，∵面PAB⊥面ABC，面PAB∩面ABC＝AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB，得OC⊥PA，∵OE∩OC＝O，∴PA⊥平面OEC，则PA⊥EC．即∠OEC为二面角C﹣PA﹣B的平面角．在Rt△ACB中，由CA＝CB＝，得OC＝1，在Rt△POA中，由PA＝，OA＝1，PO＝，求得OE＝，在等腰三角形PAC中，由PA＝PC＝，AC＝，求得EC＝．由余弦定理可得：cos∠OEC＝＝．∴二面角C﹣PA﹣B的余弦值为．19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：研发费用x（百万元）2361013151821销量y（万盒）112 2.5 3.5 3.5 4.56（Ⅰ）求y与x的相关系数r（精确到0.01），并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：|r|≥0.75时，可用线性回归方程模型拟合）；（Ⅱ）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型A1，A2，A3，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后A1，A2，A3三类剂型合格的种类数为X，求X的数学期望．附：（1）相关系数（2），，，．【分析】（I）由题意分别求出＝11，＝3，由公式＞0.75，从而y与x的关系可用线性回归模型拟合．（II）求出药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率，推导出，由此能求出X的数学期望．解：（I）由题意可知＝（2+3+6+10+21+13+15+18）＝11，＝（1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+4.5）＝3，由公式，∵|r|≈0.98＞0.75，∴y与x的关系可用线性回归模型拟合．（II）药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为：，，，由题意，，∴．20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．（Ⅱ）|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．解：由a2﹣b2＝c2与，得a2＝2b2，，l的方程为设则由得①（Ⅰ）由，得②③由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4故（Ⅱ）证明：|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2当且仅当或时，|MN|取最小值此时，故与共线．21．设函数f（x）＝（1+e﹣2）e x+kx﹣1，（其中x∈（0，+∞）），且函数f（x）在x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0平行．（1）求k的值；（2）若函数g（x）＝﹣xlnx，求证：f（x）＞g（x）恒成立．【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+e﹣2）e x+x+xlnx﹣1，原问题转化为证明函数F （x）＞0恒成立，再根据导数和函数的最值的关系，即可证明．解：（1）∵f（x）＝（1+e﹣2）e x+kx﹣1，x∈（0，+∞），∴f′（x）＝（1+e﹣2）e x+k，x∈（0，+∞），∵函数f（x）在x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0平行，∴f′（2）＝e2+1+k＝e2+2，解得k＝1．（2）由（1）得f（x）＝（1+e﹣2）e x+x﹣1，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+e﹣2）e x+x+xlnx﹣1，原问题转化为证明函数F（x）＞0恒成立，∴F′（x）＝（1+e﹣2）e x+lnx+2，x＞0，令h（x）＝F′（x）＝（1+e﹣2）e x+lnx+2，则h'（x）＝（1+e﹣2）e x+＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．∵h（e﹣4）＝（1+e﹣4）＞0；当x→0时，h（x）→﹣∞，∴∃x0∈（0，e﹣4），使得h（x0）＝0即，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即F′（x）＞0，函数F（x）单调递增；∴F（x）min＝F（x0）＝＝x0+x0lnx0﹣lnx0﹣3，令t（x0）＝x0+x0lnx0﹣lnx0﹣3，x0∈（0，e﹣4），则，∵y＝lnx和y＝在（0，e﹣4）上均为增函数，∴t'（x0）在（0，e﹣4）上单调递增，又t'（e﹣4）＝﹣e4＜0，∴t'（x0）＜t'（e﹣4）＜0，即t（x0）在（0，e﹣4）上单调递减，∴t（x0）＞t（e﹣4）＝e﹣4+e﹣4lne﹣4﹣lne﹣4﹣3＝1﹣＞0，故f（x）＞g（x）恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程；把ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，代入ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，可得圆C的直角坐标方程；（2）化直线方程为参数方程的标准形式，代入圆的方程，化为关于t的一元二次方程，再由此时t的几何意义即根与系数的关系求解|MA|+|MB|的值．解：（1）把直线l的参数方程（t为参数）消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x+1；将ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，得x2+（y﹣1）2＝1，∴圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1；（2）经检验点M（1，3）在直线l上，化直线方程为，代入圆C的直角坐标方程x2+（y﹣1）2＝1，得，即．设t1，t2是方程的两根，则．∵t1t2＝4＞0，∴t1与t2同号，由t的几何意义得|MA|+|MB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中a＞0，b＞0）．（1）求函数f（x）的最小值M．（2）若2c＞M，求证：．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M；（2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合2c＞a+b，a＞0即可得证．解：（1）f（x）＝|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|＝a+b，当且仅当（x+a）（x ﹣b）≤0时取等号，∴f（x）的最小值M＝a+b；（2）证明：依题意，2c＞a+b＞0，要证，即证，即证a2﹣2ac+c2＜c2﹣ab，即证a2﹣2ac+ab＜0，即证a（a﹣2c+b）＜0，又2c＞a+b，a＞0可知，a（a﹣2c+b）＜0成立，故原不等式成立．。
2020年云南省曲靖市高考(理科)数学二模试卷 (解析版)
2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．33．已知cos （π4−α）=45，则sin2α＝（ ） A ．−725B ．725C ．−15D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．115．已知向量a →，b →，|a →|=2，b →=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a →+2b →|=2√3，则a →与b →夹角是（ ） A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π66．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ē，n ào ）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（ ）A ．6B ．21C ．27D ．547．已知实数x ，y 满足{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0，z ＝ax +by （a ＞b ＞0）的最大值为2，则直线ax +by﹣1＝0过定点（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，3）D ．（﹣3，1）8．设X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.44%）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65879．设函数f （x ）=2xx+1+lnx 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ） B ．x 0∈（a ，b ） C ．x 0∈（b ，c ） D ．x 0∈（c ，+∞）10．若双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．211．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√3412．f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1e2，+∞） B ．[1e，+∞）C ．[1，+∞）D ．[1e2，1e） 二、填空题13．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点，则p ＝ ． 14．已知二项式（1+x ）n 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(1+1x2)(1+x)n 展开式中常数项为 ．15．关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题： ①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1﹣x 2必是π的整数倍； ②y ＝f （x ）在区间(−5π13，π13)上单调递增； ③y ＝f （x ）的图象关于点(−π6，0)对称； ④y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于 ． 三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[120，150）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝a n2+2a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=1(a n+1)2，设数列{b n}的前n项和为T n．求证：T n＜14．19．如图所示，平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠APB＝90°，M，N分别是CD，PB的中点．（1）证明：CN∥平面PAM；（2）若直线PA与平面ABCD所成角等于60°，求二面角M﹣AP﹣C的余弦值．20．已知△ABC的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC的周长为8+4√3，O是坐标原点，点M满足OA→=−2AM→．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）＝xlnx，g(x)=12x2．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最值；（Ⅱ）若对b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．参考答案一、选择题1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．解：B ＝{x |﹣5＜x ＜3，x ∈Z}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：A ．2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3【分析】求出z ，求出z 的模即可． 解：z =21+i=1﹣i ， 故|z |=√2， 故选：B ．3．已知cos （π4−α）=45，则sin2α＝（ ）A ．−725B ．725C ．−15D ．15【分析】由题意利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得sin αcos α的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．解：∵cos （π4−α）=45，即 √22cos α+√22sin α=45，平方可得12+sin αcos α=1625，∴sin αcos α=750， 则sin2α＝2sin αcos α=725， 故选：B ．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A．7B．9C．10D．11【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S＝﹣lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．解：模拟程序的运行，可得：i=1，S=lg13=−lg3＞−1，否；i=3，S=lg13+lg35=lg15=−lg5＞−1，否；i=5，S=lg15+lg57=lg17=−lg7＞−1，否；i=7，S=lg17+lg79=lg19=−lg9＞−1，否；i=9，S=lg19+lg911=lg111=−lg11＜−1，是，输出i＝9，故选：B．5．已知向量a→，b→，|a→|=2，b→=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a→+2b→|=2√3，则a→与b→夹角是（）A．5π6B．2π3C．π3D．π6【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．解：由题意可得|b→|＝1，因为|a→+2b→|=2√3，所以a2+4a→⋅b→+4b→2=12，即8+4a→⋅b→=12，所以a→⋅b→=1，设向量a→与b→夹角θ，所以cosθ=a→⋅b→|a→||b→|=12，因为θ∈[0，π]，所以θ=π3．故选：C．6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（）A．6B．21C．27D．54【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：S=12⋅3⋅5+12⋅3⋅4+12⋅3⋅5+12⋅3⋅4，＝27，故选：C．7．已知实数x，y满足{x−2≥0y−2≥0x+y−8≤0，z＝ax+by（a＞b＞0）的最大值为2，则直线ax+by﹣1＝0过定点（）A．（3，1）B．（﹣1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1）【分析】由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线ax+by﹣1＝0由直线系方程得答案．解：画出不等式组{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解， 联立{y −2=0x +y −8=0，解得C （6，2），所以6a +2b ＝2，即3a +b ＝1； 所以b ＝1﹣3a ，代入ax +by ﹣1＝0，得ax +y ﹣3ay ﹣1＝0， 即a （x ﹣3y ）+y ﹣1＝0， 由{x −3y =0y −1=0，解得{x =3y =1．所以直线ax +by ﹣1＝0必过定点（3，1）． 故选：A ．8．设X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.44%）A ．7539B ．6038C ．7028D ．6587【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算． 解：∵X ～N （1，1），∴μ＝1，σ＝1．μ+σ＝2∵P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，∴则P （0＜X ＜2）＝68.26%， 则P （1＜X ＜2）＝34.13%， ∴阴影部分的面积为：0.6587．∴正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587． 故选：D ． 9．设函数f （x ）=2xx+1+lnx 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ）B ．x 0∈（a ，b ）C ．x 0∈（b ，c ）D ．x 0∈（c ，+∞）【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 解：函数函数f （x ）=2x x+1+lnx ＝2+lnx −2x+1的定义域为{x |x ＞0}，函数是增函数， 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），说明f （a ），f （b ），f （c ），有1个是负数一定是f （a ）两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a ，c ），在（a ，b ），在（c ，+∞）， 不可能在（b ，c ）． 故选：C ． 10．若双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．2【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 解：设双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线不妨为：bx +ay ＝0，圆（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=2b√a 2+b ，解得：4c 2−4a 2c 2=3，可得e 2＝4，即e ＝2．故选：D ．11．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√34【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积．解：∵c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，∴sin C sin A cos B +sin A sin B cos C =√32sin A ，∵sin A ≠0，∴sin C cos B +sin B cos C =√32，即sin （B +C ）＝sin A =√32，∴A =π3或A =2π3． 若A =2π3，则a ＞b ，a ＞c ，故2a ＞b +c ，与a ＝1，b +c ＝2矛盾． ∴A =π3，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ＝1， ∴bc ＝1，∴S =12bc sin A =12×1×√32=√34．故选：D ．12．f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1e，+∞） B ．[1e，+∞）C ．[1，+∞）D ．[1e，1e） 【分析】对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），在坐标系中，画出函数y ＝f （x ）﹣1与y ＝a （x +1）的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，推出结果． 【解答】解：f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），则f （x ）﹣1={x 2−1，−1≤x ≤0ln(x +1)−1，x ＞0，在坐标系中，画出函数y ＝f （x ）﹣1与y ＝a （x +1）的图象，如图： 对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），就是函数y ＝a （x +1）的图象都在y ＝f （x ）﹣1图象的上方， 则y ＝ln （x +1）﹣1可得y ′=1x+1（x ＞0），设切点坐标（m ，n ）， 可得1m+1=nm+1，可得n ＝1，此时ln （m +1）﹣1＝1，解得m ＝e 2﹣1，所以切线的斜率为：1e 2−1+1=1e 2．可得a ≥1e 2． 故选：A ． 二、填空题13．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点，则p ＝ 2 ． 【分析】判断抛物线的准线方程，利用直线与x 轴的交点在抛物线的准线上，求解即可． 解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线：x =−p2，经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点（﹣1，0），可得：−p2=−1，解得p ＝2． 故答案为：2．14．已知二项式（1+x ）n 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(1+1x2)(1+x)n 展开式中常数项为 16 ．【分析】因为只有第四项的二项式系数最大，所以第四项是唯一中间项，由此求出n 的值；然后再将(1+1x2)(1+x)n 拆成两个式子，求出展开式中的常数项． 解：由题意，（1+x ）n 展开式中第n 2+1=4项的二项式系数最大，故n ＝6． 故(1+1x 2)(1+x)n =(1+1x 2)(1+x)6=(1+x)6+1x2⋅(1+x)6． 该式中前一项的常数项为：C 60=1，后一项展开式的常数项为1xC 62⋅x 2=C 62=15． 故原式展开式中的常数项为1+15＝16． 故答案为：16．15．关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题： ①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1﹣x 2必是π的整数倍； ②y ＝f （x ）在区间(−5π13，π13)上单调递增； ③y ＝f （x ）的图象关于点(−π6，0)对称； ④y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 ②③ ．（把你认为正确的命题序号都填上）【分析】利用特殊值判断①；函数的单调性判断②；函数的对称中心判断③；函数的对称轴判断④．解：函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，①特例：x 1=−π6，x 2=π3，满足f （x 1）＝f （x 2）＝0，但是x 1﹣x 2不是π的整数倍；所以①不正确；②y ＝f （x ）的周期为π，−π2≤2x +π3≤π2，可得−5π12≤x ≤π12是函数的单调增区间，所以函数在区间(−5π13，π13)上单调递增；所以②正确； ③y ＝f （x ）可知x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以③正确；④x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以y ＝f （x ）的图象不关于直线x =−π6对称．所以④不正确； 故答案为：②③．16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于28π3．【分析】通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．解：△PAB 是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB 的中心的垂线上，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以作GO ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ，外接球的球心也在平面ABC 的重心的垂线上，作OE ⊥平面ABC 交AC 于E ，O 为外接球的球心，由题意可知EC =√2，GD =13×√32×2=√33，外接球的半径为：OC =(√33)2+(√2)2=√73．外接球的表面积为：4π×(√73)2=28π3．故答案为：28π3．三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[120，150）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．【分析】（Ⅰ）先由茎叶图得到分数的中位数，由茎叶图看出甲乙的平均水平和分散程度，加以分析即可；（Ⅱ）用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人，再由排列组合确定出概率．解：（Ⅰ）根据茎叶图得：甲班抽出同学分数的中位数：122+1142=118，乙班抽出同学分数的中位数：128+1282=128．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．（Ⅱ）根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人．设“抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A，则P(A)=C22⋅C83C105⋅C33⋅C114C147=5234．故抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为5234．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝a n2+2a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n =1(a n +1)2，设数列{b n }的前n 项和为T n ．求证：T n ＜14．【分析】（Ⅰ）由4S n =a n 2+2a n ⇒4S n+1=a n+12+2a n+1，两式相减得（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，再由a n ＞0得a n +1﹣a n ＝2，然后求出a 1，说明数列{a n }为等差数列，进而求得通项公式； （Ⅱ）由a n ＝2n ⇒b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1＜14n(n+1)=14(1n −1n+1)，进而证明结论． 解：（Ⅰ）∵4S n =a n 2+2a n ①，∴4S n+1=a n+12+2a n+1②，由②﹣①得，4a n+1=a n+12−a n 2+2a n+1−2a n ，即（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，因为a n +1+a n ＞0，所以a n +1﹣a n ＝2．又由4S 1=a 12+2a 1解得a 1＝2，故数列{a n }为等差数列，公差d ＝2．故a n ＝2（n ﹣1）×2＝2n ； （Ⅱ）证明：∵a n ＝2n ，∴b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1＜14n(n+1)=14(1n −1n+1)，所以T n ＜14(1−12)+14(12−13)+14(13−14)+⋯+14(1n −1n+1)=14(1−1n+1)＜14． 19．如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，∠APB ＝90°，M ，N 分别是CD ，PB 的中点． （1）证明：CN ∥平面PAM ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，求二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值．【分析】（1）取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM ，由已知可知四边形CNEM 为平行四边形，得到CN ∥EM ，再由线面平行的判定可得CN ∥平面PAM ；（2）过P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，可得∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面APM 与APC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM ，则EN ∥AB 且EN =12AB ．在正方形ABCD 中，∵M 是CD 的中点，∴CM ∥AB 且CM =12AB ． ∴CM ∥EN ，且CM ＝EN ，则四边形CNEM 为平行四边形． ∴CN ∥EM ，∵CN ⊄平面PAM ，EM ⊂平面PAM ， ∴CN ∥平面PAM ；（2）过P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ， ∴PO ⊥平面ABCD ．又PA ∩平面ABCD ＝A ，从而AO 为直线PA 在平面ABCD 内的射影， 故∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，如图，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），P （0，0，√3），M （4，1，0），C （4，3，0）， AM →=(4，2，0)，AP →=(0，1，√3)，AC →=(4，4，0)．设m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)分别为平面APM 与APC 的一个法向量， 则{m →⋅AM →=4x 1+2y 1=0m →⋅AP →=y 1+√3z 1=0，取y 1=2√3，得m →=(−√3，2√3，−2)； {n →⋅AC →=4x 2+4y 2=0n →⋅AP →=y 2+√3z 2=0，取y 2=√3，得n →=(−√3，√3，1)． ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=3+6+2√7×√19=11√133133． 即二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值为11√133133．20．已知△ABC 的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC 的周长为8+4√3，O 是坐标原点，点M 满足OA →=−2AM →． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l 与曲线E 交于P ，Q 两点，若直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）通过|AB |+|AC |＝8＞|BC |，说明点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．求出a ，b 即可得到点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0）．由OA →=−2AM →，转化求解点M 的轨迹E 的方程．（Ⅱ）直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，利用韦达定理，结合直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求出直线的斜率，求出弦长，通过点到直线的距离表示三角形的面积求解即可．解：（Ⅰ）已知|AB |+|AC |＝8＞|BC |，所以，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．因为，2a ＝8，c =2√3，所以，a ＝4，b ＝2． 所以，点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0），由OA →=−2AM →得，{x 0=2x y 0=2y ，又x 0216+y 024=1． 故，点M 的轨迹E 的方程为(2x)216+(2y)24=1，即x 24+y 2=1(y ≠0)．（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0， 则△＝64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）＝16（4k 2﹣m 2+1）＞0， 即4k 2﹣m 2+1＞0，且x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2，故y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2． ∵直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， ∴y 1x 1⋅y 2x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k 2，即−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，又m ≠0，所以k 2=14，即k =±12．由△＞0，及直线OP ，OQ 的斜率存在，得0＜m 2＜2，∵|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10−5m 2， 点O 到直线l 的距离d =√1+k=5．S △OPQ =12|PQ|⋅d =√m 2(2−m 2)=√1−(m 2−1)2≤1，当m 2＝1时取等号， 此时直线l 的方程为y =±12x ±1，S △OPQ 的最大值为1．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，g(x)=12x 2．（Ⅰ）求函数f （x ）在[t ，t +1]（t ＞0）上的最值；（Ⅱ）若对b ＞a ＞0，总有m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；（Ⅱ）由m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）等价于mg （b ）﹣f （b ）＞mg （a ）﹣f （a ），构造函数h(x)=mg(x)−f(x)=m2x 2−xlnx ，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．解：（Ⅰ）因为，f '（x ）＝lnx +1单调递增；令f '（x ）＝lnx +1＝0得，x =1e． 当x ∈(0，1e)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x∈(1e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①当0＜t＜t+1＜1e时，满足条件的t不存在；②当0＜t＜1e＜t+1即0＜t＜1e时，f(x)min=f(1e)=−1e；③当1e≤t＜t+1即t≥1e时，f（x）min＝f（t）＝tlnt．（Ⅱ）因为，m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）等价于mg（b）﹣f（b）＞mg（a）﹣f（a），令h(x)=mg(x)−f(x)=m2x2−xlnx，因为b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，所以，h（x）在（0，+∞）上单调递增．问题化为h'（x）＝mx﹣lnx﹣1≥0对x∈（0，+∞）恒成立．即m≥lnx+1x对x∈（0，+∞）恒成立．令φ(x)=lnx+1x，则φ′(x)=−lnxx2．由φ′(x)=−lnxx2=0得，x＝1．当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）递增，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）递减，φ（x）max＝φ（1）＝1，故m的取值范围是：[1，+∞）．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，将直线l的参数方程{x=3+√32ty=12t代入曲线C的直角坐标方程得：(3+√32t−2)2+(12t)2=4，化简得t2+√3t−3=0，设A，B的参数分别为t1，t2，由韦达定理得：t1+t2=−√3，于是t P=t1+t22=−√32．设P（x0，y0），则{x0=3+√32×(−√32)=94y0=12×(−√32)=−√34故，点P的直角坐标为P(94，−√34 )．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t1+t2=−√3，t1•t2＝﹣3所以，|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√15又直线l的普通方程为x−√3y−3=0，圆心C（2，0）到直线l的距离为d=|2−3|√1+(√3)2=12，圆半径r＝2．所以，点M到直线l的距离的最大值为h max=d+r=52．因此，△MAB面积的最大值为：S=12|AB|⋅h max=12√15×52=5√154．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得|2x+1|+|2x﹣1|≥2，把不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，求解绝对值的不等式得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a+b+c＝1，配凑使用柯西不等式，得12a+b+3b+2c=12[(2a+b)+(b+2c)](12a+b +32b+c)，则结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵|2x+1|+|2x﹣1|≥|（2x+1）﹣（2x﹣1）|＝2，∴不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1，∴m的取值范围是[﹣3，1]；（Ⅱ）证明：∵M＝1，∴a+b+c＝1，又a ，b ，c 均为正实数，配凑使用柯西不等式， 得12a+b +3b+2c=12[(2a +b)+(b +2c)](12a+b+3b+2c)≥12(√2a +b ⋅√12a+b +√b +2c ⋅√3b+2c )2 =12(1+√3)2=2+√3． 当且仅当3(2a+b)b+2c =b+2c 2a+b时上式等号成立．∴12a+b+3b+2c≥2+√3．。
2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷(理科)(含解析)
2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1.若复数z=i1−i（i是虚数单位），则|z|＝（）A.12B.√22C.1D.√22.已知集合A＝{0, 1, 2}，集合B={x|x−1x−2≤0}，则A∩B＝（）A.{0, 1}B.{1, 2}C.{1}D.{2}3.已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A.若m // β，则m // lB.若m // l，则m // βC.若m⊥β，则m⊥lD.若m⊥l，则m⊥β4.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝a n+a（n∈N∗，a为常数），若平面内的三个不共线的非零向量OA→，OB→，OC→满足OC→=a1005OA→+a1006OB→，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（）A.1005B.1006C.2010D.20125.执行如图所示的程序框图，令y＝f(x)，若f(a)>1，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 2)∪(2, 5]B.(−∞, −1)∪(1, +∞)C.(−∞, 2)∪(2, +∞)D.(−∞, −1)∪(1, 5]6.已知m ∈R ，“函数y =2x +m −1有零点”是“函数y =log m x 在(0, +∞)上为减函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知某班学生的数学成绩x （单位：分）与物理成绩y （单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：∑=i=15 xi 475,∑=i=15 yi 320，设其线性回归方程为：y ^=0.4x +a ^．若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（ ） A.66 B.68 C.70 D.728.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 3＝−6，则S 5＝（ ） A.18 B.10 C.−14 D.−229.函数f(x)＝2x −4sinx ，x ∈[−π2, π2]的图象大致是（ ） A.B.C.D.10.已知直线x +y −a ＝0与圆x 2+y 2＝2交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA →、OB →满足条件|OA →+OB →|＝|OA →−OB →|，则实数a 的值为（ ）A.√2B.−√2C.±√2D.±111.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，设双曲线的离心率为e．若在双曲线的右支上存在点M，满足|MF2|＝|F1F2|，且esin∠MF1F2＝1，则该双曲线的离心率e等于（）A.54B.53C.√5D.5212.定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)=1，且2f′(x)>1，当x∈[−π2, 3π2]时，不等式f(2cosx)+2sin2x2>32的解集为()A.(π3, 4π3) B.(−π3, 4π3) C.(0, π3) D.(−π3, π3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13.已知二项式(x2+ax)5展开式所有项的系数和为−1，则展开式中x的系数为________．14.已知x>0，y>0，且x+2y＝xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy 的最小值为________，实数m的取值范围为________．15.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是________．16.如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=√2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′−BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′−BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.已知向量a→=(sinx, cosx)，b→=(√3cosx, cosx)，f(x)=a→⋅b→．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.a=√7,sinB=3sinC，若f(A)＝1，求△ABC的周长．18.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数．（2）由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ, σ2)，其中μ近似为样本平均数，经计算得σ=√142.75≈11.95，求Z落在(14.55, 38.45)内的概率．（3）将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于(10, 30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．附：若Z∼N(μ, σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)＝0.6826，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)＝0.9974．19.如图直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC＝CC1＝2，AB＝BC，D是BA1上一点，且AD⊥平面A1BC．（1）求证：BC⊥平面ABB1A1；（2）在棱BB1是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60∘，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由．20.已知P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点，F2(1, 0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点M(−√3,0)的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．21.已知函数f(x)＝(x−1)lnx，g(x)=x−lnx−3．e(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)令ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1+e >x 2+1e ．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C:{x =2cosθy =2sinθ （θ为参数），点P 在直线l:x +y −4＝0上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (Ⅰ)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(Ⅱ)射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足|OP|2＝|OR|⋅|OQ|，求Q 点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分） 23.已知函数f(x)＝|x −1|−|x +2|．(Ⅰ)若不等式f(x)≥|m −1|有解，求实数m 的最大值M ；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正实数a ，b 满足3a 2+b 2＝M ，证明：3a +b ≤4．2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1.若复数z =i 1−i（i 是虚数单位），则|z|＝（ ） A.12 B.√22C.1D.√2【解答】z =i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i 2=−12+12i ．所以|z|=√(−12)2+(12)2=√22． 2.已知集合A ＝{0, 1, 2}，集合B ={x|x−1x−2≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{0, 1} B.{1, 2} C.{1} D.{2}【解答】∵集合A ＝{0, 1, 2}，集合B ={x|x−1x−2≤0}， ∴B ＝{x|1≤x <2}， ∴A ∩B ＝{1}．3.已知平面α∩β＝l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ）A.若m // β，则m // lB.若m // l ，则m // βC.若m ⊥β，则m ⊥lD.若m ⊥l ，则m ⊥β 【解答】A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 综上D 选项中的命题是错误的4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n+1＝a n +a （n ∈N ∗，a 为常数），若平面内的三个不共线的非零向量OA→，OB→，OC→满足OC→=a1005OA→+a1006OB→，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（）A.1005B.1006C.2010D.2012【解答】由a n+1＝a n+a得，a n+1−a n＝a；∴{a n}为等差数列；由OC→=a1005OA→+a1006OB→，所以A，B，C三点共线；∴a1005+a1006＝a1+a2010＝1，∴S2010=12×2010＝1005．5.执行如图所示的程序框图，令y＝f(x)，若f(a)>1，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 2)∪(2, 5]B.(−∞, −1)∪(1, +∞)C.(−∞, 2)∪(2, +∞)D.(−∞, −1)∪(1, 5]【解答】执行该程序的功能是计算并输出分段函数f(x)={x2,x≤22x−3,2<x≤51x,x>5，当a≤2时，由f(a)＝a2>1，解得：a∈(−∞, −1)∪(1, 2]，当2<a≤5时，由f(a)＝2a−3>1，解得a∈(2, 5]；当a>5时，由f(a)=1a>1，解得a∈⌀；综上所述，a的取值范围是(−∞, −1)∪(1, 5]．6.已知m∈R，“函数y=2x+m−1有零点”是“函数y=log m x在(0, +∞)上为减函数”的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y=2x+m−1有零点，即y=2x的图象与y=1−m的图象有交点，则1−m>0，即m<1，当m≤0时，函数y=log m x在(0, +∞)上为减函数不成立，即充分性不成立；若y=log m x在(0, +∞)上为减函数，则0<m<1，此时函数y=2x+m−1有零点成立，即必要性成立.故“函数y=2x+m−1有零点”是“函数y=log m x在(0, +∞)上为减函数”的必要不充分条件.故选B.7.已知某班学生的数学成绩x（单位：分）与物理成绩y（单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：∑= i=15xi 475,∑=i=15yi320，设其线性回归方程为：y^=0.4x+a^．若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（）A.66B.68C.70D.72【解答】由题意知，x=15∑5i=1x i=15×475＝95，y=15∑5i=1y i=15×320＝64，代入线性回归方程y^=0.4x+a^中，得64＝0.4×95+a^，解a^=26；所以线性回归方程为y^=0.4x+26，当x＝105时，y^=0.4×105+26＝68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68．8.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S3＝−6，则S5＝（）A.18B.10C.−14D.−22【解答】根据题意得，q≠1∴a1+a 2＝2①a 3＝−8②又a 1(1+q)＝2，a 1q 2＝−8 ∴q 2＝−4−4q 解得q ＝−2，a 1＝−2 ∴S 5＝−229.函数f(x)＝2x −4sinx ，x ∈[−π2, π2]的图象大致是（ ） A.B.C.D.【解答】∵函数f(x)＝2x −4sinx ，∴f(−x)＝−2x −4sin(−x)＝−(2x −4sinx)＝−f(x)，故函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)＝2x −4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ，函数f′(x)＝2−4cosx ，由f′(x)＝0得cosx =12，故x ＝2kπ±π3(k ∈Z)， 所以x ＝±π3时函数取极值，排除C ，10.已知直线x +y −a ＝0与圆x 2+y 2＝2交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA →、OB →满足条件|OA →+OB →|＝|OA →−OB →|，则实数a 的值为（ ） A.√2 B.−√2 C.±√2D.±1【解答】由|OA →+OB →|＝|OA →−OB →|，两边平方，得OA →⋅OB →=0， 所以∠AOB ＝90∘，则△AOB 为等腰直角三角形，而圆x 2+y 2＝2的半径AO =√2，则原点O 到直线的x +y −a ＝0的距离为1， 所以1+1=1，即a 的值为√2或−√2．11.已知F 1，F 2是双曲线x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足|MF 2|＝|F1F2|，且esin∠MF1F2＝1，则该双曲线的离心率e等于（）A.54B.53C.√5D.52【解答】依题设，|MF2|＝|F1F2|＝2c，∵esin∠MF1F2＝1，∴sin∠MF1F2=1e =2a2c，∴等腰三角形MF1F2底边上的高为2a，∴底边MF1的长为2√(2c)2−(2a)2= 4b，由双曲线的定义可得4b−2c＝2a，∴2b＝a+c，∴4b2＝(a+c)2，即4b2＝a2+2ac+c2，∴3e2−2e−5＝0，解得e=53（−1舍去）．12.定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)=1，且2f′(x)>1，当x∈[−π2, 3π2]时，不等式f(2cosx)+2sin2x2>32的解集为()A.(π3, 4π3) B.(−π3, 4π3) C.(0, π3) D.(−π3, π3)【解答】解：令g(x)=f(x)−12x−12，则g′(x)=f′(x)−12>0，∴g(x)在定义域R上是增函数，且g(1)=f(1)−12−12=0，∴g(2cosx)=f(2cosx)−cosx−12=f(2cosx)−cosx−12，令2cosx>1，则g(2cosx)>0，即f(2cosx)>12+cosx，又∵x∈[−π2, 3π2]，且2cosx>1，∴x∈(−π3, π3 ).故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13.已知二项式(x2+ax)5展开式所有项的系数和为−1，则展开式中x的系数为________．【解答】在(x2+ax)5的展开式中，令x＝1，可得所有项的系数之和为(1+a)5＝−1，∴a＝−2，∴展开式的通项为T r+1＝(−2)r C5r x10−3r，令10−3r＝1，解得r＝3，∴展开式中x的系数为(−2)3C53＝−80，14.已知x>0，y>0，且x+2y＝xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy的最小值为________，实数m的取值范围为________．【解答】∵x>0，y>0，x+2y＝xy，∴2x +1y=1，∴1=2x +1y≥2√2x⋅1y，∴xy≤8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，∴x+2y≥2√≥8（当x＝2y时，等号成立），∴m2+2m<8，解得−4<m<215.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是________．【解答】由于甲已经选中，故需从剩余的5个人中再选出2个，问题转化为古典概率来求．所有的选法有∁52=10种，则女生乙被选中的选法有∁11⋅∁41=4种，故在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率等于410=25，16.如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=√2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′−BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′−BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为________√32π．【解答】平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=√2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′−BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′−BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A′BC都是直角三角形，BC的中点就是球心，所以BC=√3，球的半径为：√32；所以球的体积为：4π3×(√32)3=√32π；三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.已知向量a→=(sinx, cosx)，b→=(√3cosx, cosx)，f(x)=a→⋅b→．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.a=√7,sinB=3sinC，若f(A)＝1，求△ABC的周长．【解答】因为a→=(sinx, cosx)，b→=( √3cosx, cosx)，f(x)=a→⋅b→=√3sinxcosx+cos2x=√32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+π6)+12，由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，可得：−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间是：[−π3+kπ, π6+kπ]，k∈Z，由题意可得：sin(2A+π6)=12，又0<A<π，所以π6<2A+π6<13π6，所以2A+π6=5π6，解得A=π3，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2＝b2+c2−2bccosA，所以a ＝BC =√7，又sinB ＝3sinC ，可得b ＝3c ， 故7＝9c 2+c 2−3c 2，解得c ＝1， 所以b ＝3，可得△ABC 的周长为4+√7．18.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数．（2）由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N(μ, σ2)，其中μ近似为样本平均数，经计算得σ=√≈11.95，求Z 落在(14.55, 38.45)内的概率．（3）将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于(10, 30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X)．附：若Z ∼N(μ, σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)＝0.6826，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)＝0.9974． 【解答】所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：x =5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5． ∵Z 服从正态分布N(μ, σ2)，且μ＝26.5，σ=√142.75≈11.95，∴P(14.55<Z <38.55)＝P(26.55−11.95<Z <26.5+11.95)＝0.6826， ∴Z 落在(14.55, 38.45)内的概率为0.6826． 根据题意得：X ∼B(3, 12)，P(X ＝0)=C 30(12)3=18；P(X ＝1)=C 31(12)3=38； P(X ＝2)=C 32(12)3=38；P(X ＝3)=C 33(12)3=18．∴X的分布列为：E(X)=3×12=32．19.如图直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC＝CC1＝2，AB＝BC，D是BA1上一点，且AD⊥平面A1BC．（1）求证：BC⊥平面ABB1A1；（2）在棱BB1是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60∘，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由．【解答】证明：∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC∴AD⊥BC．∵ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．∵AD∩AA1＝A，AD⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．∵BC⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1∴BC⊥AB．又BB1⊥AB，BB1⊥BC，于是可建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，∴AB=BC=√2．从而，A(√2,,0,0),B(0,0,0),C(0,√2,0)设存在满足条件的点E坐标为(0, 0, a)(0<a<2)由（1）知平面ABB 1A 1的法向量BC →=(0,√2,0)，令平面ACE 的法向量n ⇀=(x,y,z)，由{n ⇀⋅AC ⇀=0n ⇀⋅AE ⇀=0，可得{−√2x +√2y =0−√2x +az =0 令z =√2得n ⇀=(a,a,√2)．∵平面AEC 与平面ABB 1A 1的夹角等于60∘ ∴|cos⟨n,⇀BC ⇀⟩|=√2a√2√2a 2+2=12，解得a ＝1所以当E 为棱BB 1中点时平面AEC 与平面ABB 1A 1的夹角等于60∘．20.已知P 是圆F 1:(x +1)2+y 2=16上任意一点，F 2(1, 0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点M(−√3,0)的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程． 【解答】由已知|QF 1|+|QF 2|＝|QF 1|+|QP|＝|PF 1|＝4， 所以点Q 的轨迹为以为F 1，F 2焦点，长轴长为4的椭圆， 则2a ＝4且2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，则b 2＝3， 所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1；设直线l 的方程为x ＝ty −√3与椭圆x 24+y 23=1交于点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2−6√3ty −3＝0，则y 1+y 2=6√33t 2+4，y 1y 2=−33t 2+4，则S △AOB =12|OM|⋅|y 1−y 2|=√32⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√32⋅√(6√33t 2+4)2+4⋅33t 2+4=63t 2+4√3t 2+1，令3t 2+2＝u ，则u ≥1，上式可化为6uu 2+3=6u+3u≤2√3=√3，当且仅当u =√3，即±√63时等号成立，因此△AOB 面积的最大值为√3，此时直线l 的方程为x ＝±√63y −√3．21.已知函数f(x)＝(x −1)lnx ，g(x)=x −lnx −3e ． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)令ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1+e >x 2+1e ． 【解答】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0， 当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0； 因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知 由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知， 当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0； 即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0， 可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点； 因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C:{x =2cosθy =2sinθ （θ为参数），点P 在直线l:x +y −4＝0上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)求圆C和直线l的极坐标方程；(Ⅱ)射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|⋅|OQ|，求Q 点轨迹的极坐标方程．【解答】（1）圆C:{x=2cosθy=2sinθ（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝2．点P在直线l:x+y−4＝0上，直线l的极坐标方程ρ=4sinθ+cosθ．（2）设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1, θ)，(ρ, θ)，(ρ2, θ)，因为ρ1=4sinθ+cosθ,ρ2=2，又因为|OP|2＝|OR|⋅|OQ|，即ρ12=ρ⋅ρ2，∴ρ=ρ12ρ2=16(sinθ+cosθ)2×12，∴ρ=81+sin2θ．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23.已知函数f(x)＝|x−1|−|x+2|．(Ⅰ)若不等式f(x)≥|m−1|有解，求实数m的最大值M；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【解答】（1）若不等式f(x)≥|m−1|有解，只需f(x)的最大值f(x)max≥|m−1|即可．∵|x−1|−|x+2|≤|(x−1)−(x+2)|＝3，∴|m−1|≤3，解得−2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（2）根据(Ⅰ)知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知(3a2+b2)(3+1)≥(3a+b)2，∴(3a+b)2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．。
云南省曲靖市高考数学二模试卷(理科)解析版
高考数学二模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x（x-3）≥0}，B={x|x≥-1}，则A∩B=（ ）A. （-∞，0]∪[3，+∞）B. [-1，0]∪[3，+∞）C. [-1，0]D. [3，+∞）2.已知复数z满足（2-i）Z=|3+4i|，则Z=（ ）A. -2-iB. 2-iC. -2+iD. 2+i3.设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）的值为（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.64.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）A. 6B. 10C. 7D. 165.已知α∈（，π），且sinα+cosα=-，则cos2α=（ ）A. B. C. D.6.已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（ ）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. b＜a＜cD. b＜c＜a7.设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（ ）A. f（x）在单调递减B. f（x）在（，）单调递减C. f（x）在（0，）单调递增D. f（x）在（，）单调递增8.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线M，N两点，若∠MF2N是钝角，则双曲线离心率的范围是（ ）A. （2，+∞）B.C. （1，2）D.9.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（）A. B. C. D.10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.已知点及抛物线x2=2y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A. B. C. 1 D.12.已知关于x的方程e-|x|+kx-1=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A. （-1，0）∪（0，1）B. （-1，0）C. （-2，0）D. （-2，0）∪（0，2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式（2x2-）6的展开式中的常数项是______．（用数字作答）14.如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=______，AC=______15.若点M（x，y）（其中x，y∈Z）为平面区域内的一个动点，已知点A（3，4），O为坐标原点，则的最小值为______．16.已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1x2+x3+x4=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是各项为正数的等比数列，a1+a2=20，a3=64，数列{b n}的前n项和为S n，b n=log2a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：对任意的n∈N*，数列{}为递减数列．18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．20.设F1，F2分别为椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．21.已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值；（Ⅱ）求证：当a＞0时，函数f（x）在定义域上的极小值大于极大值．22.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）=a，且点A在直线l上（Ⅰ）求a的值和直线l的直角坐标方程及l的参数方程；（Ⅱ）已知曲线C的参数方程为，（α为参数），直线l与C交于M ，N两点，求的值23.设函数f（x）=|x-a|+|2x-a|（a＜0）．（1）证明：f（x）+f（-）≥6；（2）若不等式f（x）＜的解集为非空集，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|x≤0，或x≥3}；∴A∩B=[-1，0]∪[3，+∞）．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：由（2-i）Z=|3+4i|=5，得Z=．故选：D．把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），∴μ=1，得对称轴是x=1．∵P（ξ＜2）=0.8，∴P（ξ≥2）=P（ξ＜0）=0.2，∴P（0＜ξ＜2）=0.6 ∴P（0＜ξ＜1）=0.3．故选：B．根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜1）=P（0＜ξ＜2），得到结果．本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．4.【答案】B【解析】解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10．故选：B．模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，从而得解．本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题．5.【答案】A【解析】解：∵α∈（，π），且sinα+cosα=-，∴1+2sinαcosα=，2sinαcosα=-＜0，…（4分）∴sinα＞0，cosα＜0．cosα-sinα＜0．…（6分）又∵（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=，从而有：cosα-sinα=-，…（9分）∴cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=（-）×（-）=．…（12分）故选：A．首先将所给式子平方求出2cosαsinα，进而结合α的范围得出cosα-sinα＜0，然后求出cosα-sinα，再利用二倍角的余弦公式求出结果．本题考查了二倍角的余弦，解题过程中要注意根据角的范围判断角的符号，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．本题考查了指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（-x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．【解析】【分析】由已知条件，结合双曲线性质推导出|MF|=|NF|=，|F1F2|=a+c，∠MF2F1＞45°，所以2c＜，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．【解答】解：如图：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2，过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线渐近线于M，N两点，∴|MF1|=|NF1|=，|F1F2|=2c，∵∠MF2N是钝角，∴∠MAF2＞45°，∴2c＜，∴2ac＜bc，4a2=c2-a2，解得e＞，或e＜-舍去故选B．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查动点F的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，推导出平面EMNGQP∥平面A1BC1，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积．【解答】解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，易得：平面EMNGQP∥平面A1BC1，∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=，PN=，∴E到PN的距离d==，∴动点F的轨迹所形成的区域面积：S=2S梯形PNME=2×=．【解析】【分析】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体、确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力，为中档题．由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形，AC⊥BC，D是AB的中点，PD⊥平面ABC，且AC=2、BC=2，PD=2，∴AB==4，AD=BD=CD=2，∴几何体的外接球的球心是D，则球的半径r=2，即几何体的外接球表面积S=4πr2=16π，故选：B．11.【答案】C【解析】解：抛物线的准线是y=-，焦点F（0，）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d-+|PQ|=|PF|+|PQ|-≥|FQ|-，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，故y+|PQ|的最小值是：=1．故选：C．抛物线的准线是y=-，焦点F（0，）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|≥|FQ|-，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．本小题主要考查抛物线的定义、不等式的性质等基础知识，考考查数形结合思想、化归与转化思想，解答关键是合理利用定义，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由e-|x|+kx-1=0得e-|x|=1-kx，做出y=e-|x|和y=1-kx的函数图象如图所示：设y=e-x在（0，1）处的切线斜率为k1，则k1=-e0=-1，∴当-1＜-k＜0或0＜-k＜1时，直线y=1-kx与y=e-|x|有两个交点，解得0＜k＜1或-1＜k＜0．故选：A．做出y=e-|x|和y=1-kx的函数图象，利用导数求出曲线在（0，1）处的切线斜率，即可得出直线斜率的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：（2x2-）6的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•26-r•x12-3r，令12-3r=0，求得r=4，∴展开式中的常数项是•22=60，故答案为：60．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知及余弦定理可求cos∠ADB=-，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利用正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===-，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π-∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为，．15.【答案】13【解析】解：∵点A坐标为（3，4），点M坐标为（x，y）∴z==3x+4y，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的区域，其中，可得A（3，1），将直线l：z=3x+4y进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值，z最小值=3×3+4×1=13．故答案为：13．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．根据题意z==3x+4y，将目标函数z=3x+4y对应的直线进行平移，由此可得本题的答案．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．16.【答案】13【解析】【分析】本题考查分段函数的应用问题，属于中档题目．先作图然后根据图象的特点（对称性）进行求解．【解答】解：如图所示，由图象可知，-log2x1=log2x2，即log2（x1x2）=0，所以x1x2=1，由对称性可知，x3+x4=2×6=12，所以x1x2+x3+x4=13，故答案为13．17.【答案】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则，解得q=4或（舍去），a1=4；故．（Ⅱ）证明：∵，∴{b n}是以b1=2为首项，以2为公差的等差数列．∴，；∵==；∵，∴，∴数列为递减数列．【解析】（Ⅰ）由题意知，从而求通项公式；（Ⅱ）化简，从而可得，；从而利用作差法判断为递减数列．本题考查了对数运算的应用及等比数列与等差数列的性质，同时考查了作差法的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，a=0.03，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.035，学生人数约为0.35×1200=420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2，故X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 1 2 3P∴E（X）=1×+2×+3×=．【解析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；（3）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，分布列和期望求法，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．（2）解：取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．因为GB平面ABCD，所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G-xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为=（x，y，z），则有所以，令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．【解析】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．（1）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（2）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G-xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．20.【答案】解：（Ⅰ）∵点P（1，）和F1关于点C（0，）对称，∴F1（-1，0），F2（1，0），∴c=1，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，b=，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分．理由如下：如图，设A，B，Q三点的横坐标分别为x1，x2，x3，直线AB的方程为：y=k（x-1），PQ的方程为：，由AB方程与椭圆方程联立消去y，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，得，，由PQ方程与椭圆方程联立消去y，得（3+4k2）x2-（8k2-12k）x+4k2-12k-3=0，得x3+1=，，∵四边形PABQ的对角线互相平分，∴PB，AQ的中点重合，∴，∴x1-x2=1-x3，平方可得，=，∴=（1-x3）2，∴-4×=，解得k=，故直线l为3x-4y-3=0时，四边形PABQ对角线互相平分．【解析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，性质即可得解；（Ⅱ）设AB，PQ的斜率为k，利用AB，PQ的方程分别于椭圆方程联立，得到根与系数关系，再结合对角线互相平分即AQ，BP中点重合，可得关于k的方程，解得k值，得解．此题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的综合，难度较大．21.【答案】解：（Ⅰ）由函数．得：f′（x）=，所以：f（1）=ae+1，f′（1）=1，所以切线方程为：y-（ae+1）=（x-1），由斜率相等得：f′（1）=，得：ae=1，即：a=；（Ⅱ）当a＞0时，令g（x）=ae x（x-1）+x2，则g′（x）=x（ae x+2），g′（x）及g（x）随x的变化情况如下表：x（-∞，0）0（0，+∞）g'（x）-0+g（x）↓极小值↑①下面研究f（x）在（0，+∞）上的极值情况：因力g（0）=-a＜0，g（1）=1＞0，所以存在实数为x1∈（0，1），使得g（x1）=0，且x∈（0，x1）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（0，x1）上递减，x∈（x1，+∞）时，g（x）＞0，即：f′（x）＞0，f（x）在（x1，+∞）上递增；所以在（0，+∞）上f（x）的极小值为f（x1），无极大值．②下面考查f（x）在（-∞，0）上的极值情况：当0≤a＜1时，g（-1）=1-＞0，当a＞1时，g（-1+ln）=（ln）2+（-2）ln+1-，令ln=t，则：t＜0，令h（t）=t2+（-2）t+1-，因为h（t）在（-∞，0）上递减；所以h（t）＞h（0）=1-＞0，即：g（-1+ln）＞0；综上，因为g（0）=-a＜0，所以存在实数x2∈（-∞，0），g（x2）=0，且x∈（x2，0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（x2，0）上递减；x∈（-∞，x2）时，g（x）＞0，f（x）＞0，f（x）在（-∞，x2）上递增；所以在（-∞，0）上f（x）的极大值力f（x2），无极小值；又因为x2＜0＜x1，且a＞0，所以f（x2）＜0＜f（x1），所以，当且仅当a＞0时，函数f（x）在定义域上的极小值大于极大值．【解析】（Ⅰ）求曲线y=f（x）的导数，切点和斜率，由斜率相等可得实数a的值；（Ⅱ）当a＞0时，构造新函数g（x）=ae x（x-1）+x2，则g′（x）=x（ae x+2），讨论研究f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）上的极值情况，可得函数f（x）在定义域上的极小值大于极大值．考查利用导数研究函数的切线，函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵点A∈l，∴；由，得．于是l的直角坐标方程为l：x+y-2=0，l的参数方程为：；（Ⅱ）由C：，消去参数α，得（x-4）2+（y-3）2=25，将l的参数方程代入（x-4）2+（y-3）2=25，得，设该方程的两根为t1，t2，由直线l的参数t的几何意义及曲线C知，|AM|•|AN|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，∴，∴．【解析】（Ⅰ）把点A的坐标代入直线l求得a值，代入直线l的极坐标方程，展开两角差的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式得直线l的直角坐标方程，进一步化为参数方程；（Ⅱ）求出曲线C的直角坐标方程，把直线l的参数方程代入，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）f（x）+f（-）=（|x-a|+|2x-a|）+（|--a|+|--a|）=（|x-a|+|--a|）+（|2x-a|+|--a|）≥|（x-a）-（--a）|+|（2x-a）-（--a）| =|x+|+|2x+|=|x|++|2x|+≥6（当且仅当x=±1时取等号）（2）函数f（x）=（x-a）+（2x-a）=，图象如图所示：当x=时，y min=-，依题意：-＜，解得：a＞-1，∴a的取值范围是（-1，0）．【解析】（1）根据绝对值的性质证明即可；（2）求出f（x）的解析式，画出图象，求出a的范围即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查函数最值问题，是一道中档题．。
2020届云南省曲靖市高三第二次教学质量监测数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届云南省曲靖市高三第二次教学质量监测数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}0A x x =>，{}22150,B x x x x Z =+-<∈，则A B =I （ ）A ．{}1,2B ．{}1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5 答案：A本题先计算集合B,然后结合集合交集运算性质,即可.解： ()(){}{}=3504,3,2,1,0,1,2B x x x x Z x -+<∈=----，,所以 {}1,2A B =I ,故选A.点评：本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.2．若复数z 满足：(1)2z i ⋅+=，则||z =（ ）A ．1B C D ．2 答案：B根据复数满足的等式化简变形，结合复数除法运算即可化简得z ，根据复数模的定义及运算即可求解.解：复数z 满足(1)2z i ⋅+=， 则21iz =+， 由复数除法运算化简可得()()()2121111i z i i i i -===-++-，由复数模的定义及运算可得z ==故选：B.点评：本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题.3．已知4cos45aπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2a=（ )A．7-25B．725C．1-5D．15答案：B分析：利用诱导公式与二倍角的余弦公式，即可得结果.详解：4 cos-45πα⎛⎫=⎪⎝⎭Q所以2247 2cos-22cos-12124525sinππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.点睛：本题主要考查诱导公式以及二倍角的余弦公式，属于中档题. 解答给值求值问题时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11答案：B列出循环的每一步，根据条件1S≤-成立，循环结束，可得出输出结论.解：运行该程序，输入1i =，0S =，则110lg lg 33S =+=； 11lg lg 1310S =>=-，不满足判断框，则1313,lg lg lg 355i S ==+=； 11lg lg 1510S =>=-，不满足判断框，则1515,lg lg lg 577i S ==+=； 11lg lg 1710S =>=-，不满足判断框，则1717,lg lg lg 799i S ==+=； 11lg lg 1910S =>=-，不满足判断框，则1919,lg lg lg 91111i S ==+=； 11lg lg 11110S =<=-，满足判断框，输出9i =. 故选：B.点评：本题考查程序框图，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.5．已知向量,a b r r ，2a =r ，()()cos ,sin b R ααα=∈r ，若2a b +=r r 则a r 与b r 夹角是（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 答案：C首先根据b r 的坐标计算b r ，根据2a b +=r r 1a b =r r g ，再代入夹角公式计算即可. 解：1b ==r ，222(2)4412a b a a b b +=++=r r r r r r g ，即44412a b ++=r r g ，解得1a b =r rg . 设a r 与b r 夹角为θ，则1cos 2a b a b θ==r r g r r ， 又因为0θπ<<，所以3πθ=.点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，同时考查了平面向量的模长，属于中档题.6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（bi ē n ào ）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A ．6B ．21C ．27D ．54答案：C 结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可.解：结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 点评：本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.7．已知,x y 满足202080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，()0z ax by a b =+>>的最大值为2，则直线10ax by +-=过定点（ ）A ．()3,1B ．()1,3-C ．()1,3D ．()3,1- 答案：A。
云南省曲靖市2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题 含答案
曲靖市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=4241x xB ，则B A ⋂=（ ） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x xC ．{}22<≤-x xD ．{}2<x x 2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777 B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3[,4]2B ．(1]，2 C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞， 9. 已知点(30),(03)A B -，，，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．22329+ C ．3 D ．22329- 10．已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ-=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ） A ．173B ．32C ．53D ．10211. 已知)172(log 22+-=x x y 的值域为),[+∞m ,当正数b a ,满足m ba b a =+++2132时,则b a 47+的最小值为（ ） A ．49B ．5C ．4225+ D ．912. 已知函数)()(R x e x x f x∈=,若关于x 的方程01)(=+-m x f 恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．），（122e e B ．），（e e 220 C ．），（111+e D ．)1221(+e e ，第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为______.14. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.15. 在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的1O ，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为______. 16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+= (1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,BC AC CB CA ⊥==,2(1) 证明：ABC PAB 面面⊥； (2) 求二面角B PA C --的余弦值．19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒）1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑，178542.25≈．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F .(1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21.（本小题满分12分）设函数）），（（其中∞+∈-++=0,1)1()(2-x kx e e x f x，且函数)(x f 在2=x 处的切线与直线0)2(2=-+y x e 平行. (1) 求k 的值；(2) 若函数x x x g ln )(-=，求证：)()(x g x f >恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 已知直线l 的参数方程：12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） (1) 求函数)(x f 的最小值M .(2) 若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.曲靖市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.40 14. -3 15. 29π 16. ⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0 ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)18.（本小题满分12分）解：(1)取AB 中点O ，连结PO ，OC . ∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ， ∵PB=AP ＝ 3∴PO ＝2，CO ＝1 ∴∠POC 为直角 ∴PO ⊥0C∴PO ⊥平面ABC ，∴面PAB ⊥面ABC （6分）(2)如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,0,0)，P (0,0，2)，C (0,1,0)，可取m ＝OC →＝(0,1,0)为平面PAB 的一个法向量．设平面PAC 的一个法向量为n ＝(l ，m ，n )．则PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，其中PA →＝(1,0，－2)，AC →＝(－1,1,0)，∴⎩⎨⎧l －2n ＝0，－l ＋m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝22l ，m ＝l .不妨取l ＝2，则n ＝(2，2，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝0×2＋1×2＋0×102＋12＋02·22＋22＋12＝105. ∵C －PA －B 为锐二面角， ∴二面角C －PA －B 的余弦值为105.（12分） 19.（本小题满分12分）【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式0.983402121785r ==≈⨯，0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ， ()26355E X ∴=⨯=.20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M→与F 1F 2→共线.（12分）21.（本小题满分12分）解：(1)k e e x f x++='-)1()(22)1()2(222+=++='-e k e e f ，解得1=k .(4分)(2) )()(x g x f >得x x x e e xln 1)1(2-->-++，变形得x x x e e x ln 1)1(2--->+令函数x x x x h ln 1)(--=x x h ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减∴221)()(--+=≤e e h x h而函数xe e x F )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e F x F∴x x x x h e F x F ln 1)()1()0()(2--=≥+=>-即x x x e e xln 1)1(2-->+- 即x x x e e x ln 1)1(2->+-+-∴)()(x g x f >恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， 将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为1535x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得2212155t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(- 11 - b a M +=∴(2)证明：为要证c a c <<+只需证a c <-<即证a c -<， 也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+，∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a b c +>≥，故2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴所求不等式c a c -<<+成立．。
2020届云南省曲靖一中高三二模数学(理)试题(解析版)
x ex
，故
f
'(x)
1 2x 2 xex
，函数在
0,
1 2
上单调递增，在
1 2
,
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上单调递减，且
f
1 2
2e ； 2e
当 x 0 时， f 0 0；
当 x 0 时， f (x)
x ， f '(x) 1 2x 0 ，函数单调递减；
ex
2 xex
如图所示画出函数图像，则 0
2020 届云南省曲靖一中高三二模数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 A
x y lg 2 x
，集合 B
x
1 4
2x
4 ，则
A
B（
）
A．x x 2
B．x 2 x 2 C．x 2 x 2 D．x x 2
【答案】C 【解析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图可知当过点 D 的直线平行于 x 轴时，此时 k y 3 0 成立； x2
k y 3 取所有负值都成立； x2
当过点
A 时， k
y3 x2
x 1 取正值中的最小值， x y
0
A(1,1)
，此时
k y 3 13 2； x 2 12
故 y 3 的取值范围为 (, 0] [2, ) ； x2
10．已知双曲线 :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,
b 0) 的右焦点为 F ，过原点的直线 l 与双曲
线 的左、右两支分别交于 A, B 两点，延长 BF 交右支于 C 点，若
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2020届云南省曲靖一中高三二模(理科)数学试题(含解析)
2020年高考（理科）数学二模试卷一、选择题1.已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A. {}2x x >- B. {}22x x -<<C. {}22x x -≤<D. {}2x x <2.若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）． A .B.C.D.4.抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ---=5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A.2550100,,777B.252550,,1477C.100200400,,777D.50100200,,7776.若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A. 4B. 5C. 6D. 78.已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32y x --的取值范围为（ ） A. 3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. (1,2]C. (,0][2,)-∞+∞UD. (,1)[2,)-∞⋃+∞9.已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--PAB △面积的最小值为（ ） A. 6B. 3C.93222D.93222+10.已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A.17B.32C.53D.10 11.已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A.94B. 5C.5224+ D. 912.已知函数||()()x f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A. (21),e B. (20,)e C. (11,1)e+D. 21,1()e+ 二、填空题（共4小题）13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．14.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_____.15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为 ______.16.在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知函数231()cos ,()222x f x x x R =+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域； （2）ABCV 角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且3c =()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.18.如图，三棱锥P ABC -中，3,2,PA PB PC CA CB AC BC =====⊥（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下： 研发费用x （百万元） 2 3 6 10131518 21 销量y （万盒） 1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308ii x ==∑，82193i i y ==∑178542.25≈20.设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，右准线为l ，,M N 是l 上的两个动点，120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r． （Ⅰ）若1225F M F N ==u u u u r u u u u r，求,a b 的值；（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．21.设函数()2()11xf x eekx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线2(2)0e x y +-=平行.（1）求k 的值；（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程：12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >). （1）求函数()f x 的最小值M .（2）若2c M >，求证：22c c ab a c c ab -<<+-2020年高考（理科）数学二模试卷一、选择题1.已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A. {}2x x >- B. {}22x x -<<C. {}22x x -≤<D. {}2x x <【答案】C 【解析】 【分析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<, 故选：C.【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 2.若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．3.定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.4.抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A. 210x y --= B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ---=【答案】A 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1212422y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程.【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，∴1212422y y x x -==-， ∴直线AB的斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A .【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A.2550100,,777B.252550,,1477C.100200400,,777D.50100200,,777【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D .【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 6.若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ． 考点：逻辑命题7.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】 考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案． 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选B．8.已知,x y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32yx--的取值范围为（）A.3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. (1,2]C. (,0][2,)-∞+∞U D. (,1)[2,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】【分析】设32ykx-=-，则k的几何意义为点(,)x y到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论.【详解】解：设32ykx-=-，则k的几何意义为点(,)P x y到点(2,3)D的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D的直线平行于x轴时，此时32ykx-==-成立；32ykx-=-取所有负值都成立；当过点A时，32ykx-=-取正值中的最小值，1(1,1)xAx y=⎧⇒⎨-=⎩，此时3132212ykx--===--；故32yx--的取值范围为(,0][2,)-∞+∞U；故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．9.已知点(3,0),(0,3)A B-，若点P在曲线21y x=--上运动，则PAB△面积的最小值为（）A. 6B. 3C.93222- D.93222+【答案】B【解析】【分析】求得直线AB的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线21y x=--表示以原点O为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB的方程为30x y-+=，可得||32AB=，由圆与直线的位置关系知P在(1,0)-时，P到直线AB距离最短，即为22=，则PAB△的面积的最小值为132232⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A.173B.32C.53D.102【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11.已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A.94B. 5C.54+ D. 9【答案】A 【解析】 【分析】 利用()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞,求出m ,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.【详解】解：∵()()2222log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦的值域为[),m +∞, ∴4m =, ∴414622a b a b+=++,∴()()141746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()4216219554426244a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当()4262262a b a b a b a b++=++时取等号, ∴74a b +的最小值为94. 故选：A.【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.12.已知函数())f x x R =∈，若关于x 方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）A. 1)B. (C. (11,1)e+D. 1() 【答案】D 【解析】 【分析】讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x >时，()xx f x e =，故'()2x f x xe =，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且1222e f e⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =； 当0x <时，()xx f x e-=，'()02x f e x x =-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则12012e m f ⎛⎫<-<= ⎪⎝⎭，故()21,1e m +∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题（共4小题）13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．【答案】40 【解析】 【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得()521035522rrrr r rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1034r -= ，解得2r =所以系数225240C ⨯=【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．14.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_____.【答案】-3 【解析】 【分析】根据ABCD 是平行四边形可得出22AC BD AD AB ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，然后代入AB ＝2，AD ＝1即可求出AC BD ⋅u u u r u u u r的值．【详解】∵AB ＝2，AD ＝1，∴()()AC BD AB AD BA BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()AB AD AD AB =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22AD AB =-u u u r u u u r＝1﹣4 ＝﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为 ______. 【答案】29π 【解析】 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2O 的半径，即得球2O 的表面积. 【详解】解：AB BC ⊥Q ,3AB =，4BC =222AC AB BC ∴=+, 5AC ∴=，设球O 1的半径为r ，由题得11345)3422r r r ++=⨯⨯（，1r ∴= 所以棱柱的侧棱为22r =.所以球2O的表面积为2429ππ⋅=. 故答案为：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.16.在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____. 【答案】,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数【解析】 【分析】由题意可得112(2)n n a a n +--=…，又11a =，数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n 分奇数和偶数两种情况，分别求出n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.【详解】解：∵12n n a n a +=-，∴12n n a a n ++=①，12(1)(2)n n a a n n -+=-…②， ①﹣②得：112(2)n n a a n +--=…，又∵11a =， ∴数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，则1n -为奇数，∴12(1)2(1)(1)1n n a n a n n n -=--=---=-，∴数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故答案为：,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出112(2)n n a a n +--=…，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知函数21()cos ,()222x f x x x R =+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域；（2）ABC V 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）32【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得ab 的最大值，可得AB 边上的高h 的最大值.【详解】解：（1）∵函数211cos 1()cos sin 22226x x f x x x x π+⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭， 当[0,]x π∈时，7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（2）ABC V 中，c =，()1sin 6f C C π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴3c π=.由余弦定理可得2222232cos c a b ab C a b ab ab ==+-⋅=+-…，当且仅当a b =时，取等号， 即ab 的最大值为3.再根据11sin 223ABC S h ab π==⋅V ，故当ab 取得最大值3时，h 取得最大值为32.【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．18.如图，三棱锥P ABC -中，PA PB PC CA CB AC BC =====⊥（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（210【解析】 【分析】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，证明PO ⊥平面ABC 得到答案.（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，(0,1,0)m OC ==u r u u u r为平面PAB 的一个法向量，平面PAC 的一个法向量为2,2,1)n =r，计算夹角得到答案.【详解】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，,PAPB PO AB ∴⊥Q ＝，22AB ==，3PB AP ==Q 2,1PO CO ∴==，POC ∴∠为直角，PO OC ∴⊥，PO ∴⊥平面ABC ，PO ⊂平面PAB ，∴面PAB ⊥面ABC .（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，则(1,0,0),2),(0,1,0)A P C ， 可取(0,1,0)m OC ==u r u u u r为平面PAB 的一个法向量.设平面PAC 的一个法向量为(,,)n l m n =r.则0,0PA n AC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ，其中(1,0,2),(1,1,0)PA AC ==-u u u r u u u r，120,10.n m ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩2,.n m l ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，不妨取2l =，则2,2,1)n =r . cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=u r ru r r u r r 22222202120110010221⨯+⨯+⨯==++⋅++. C PA B --Q 为锐二面角，∴二面角C PA B --10【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下： 研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒） 1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）65【解析】 【分析】（1）根据题目提供的数据求出,x y r u r，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:,，利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==r ， 112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==u r ，由公式0.98r ==≈，0.980.75r ≈>Q ，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:, ，()26355E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题. 20.设椭圆()22221,0x ya b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，右准线为l ，,M N 是l 上的两个动点，120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r ． （Ⅰ）若12F M F N ==u u u u r u u u u r,a b 的值；（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．【答案】（Ⅰ）2,2a b ==（Ⅱ）证明见解析．【解析】由222a b c -=与2a e c ==222a b =， 12220022F a F a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，l 的方程为2x a =． 设))1222M a y N a y ，，，， 则112232222F M a y F N a y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r ，，，，由120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r 得 212302y y a =-＜． ① （Ⅰ）由1225F M F N ==u u u u r u u u u r22132252a y ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， ② 2222252a y ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， ③ 由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得24a =，故2,22a b === （Ⅱ）()2222212121212121222246MN y y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=， 当且仅当126y y =-=或216y y =-=时，MN 取最小值62a ，此时，()()12121212,,0222F M F N a y y y y F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r ，，，故12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．21.设函数()2()11x f x e e kx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线2(2)0e x y +-=平行.（1）求k 的值；（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立.【答案】（1）1k =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到222(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得答案.（2）变形得到-2(1)1ln x e e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，求导得到函数单调区间得到22()()1h x h e e --≤=+，2()(0)(1)F x F e ->=+，得到证明.【详解】（1）2()(1)x f x e e k -'=++，222(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得1k =.（2）()()f x g x >得-2(1)1ln x e e x x x ++->-，变形得-2(1)1ln x e e x x x +>--， 令函数()1ln h x x x x =--，()2ln h x x '=--，令2ln 0x --=解得2x e -=，当2(0,)x e -∈时()0h x '>，2(,)x e -∈+∞时()0h x '<. ∴函数()h x 在2(0,)e -上单调递增，在2(,)e -+∞上单调递减，∴22()()1h x h e e --≤=+，而函数-2()(1)x F x e e =+在区间(0,)+∞上单调递增，∴2()(0)(1)F x F e ->=+， ∴2()(0)(1)()1ln F x F e h x x x x ->=+≥=--，即2(1)1ln x e e x x x -+>--，即2(1)1ln x e e x x x -+-+>-，∴()()f x g x >恒成立.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ= （1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.【答案】（1）l ： 21y x =+， C ：()2211x y +-=；（2）【解析】【分析】（1）消去参数t 求得直线l 的普通方程，将2sin ρθ=两边同乘以ρ，化简求得圆C 的直角坐标方程. （2）求得直线l 的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得MA MB +的值.【详解】（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=， ∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=； （2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为135x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①， 将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得2212155⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =，∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >).（1）求函数()f x 的最小值M .（2）若2c M >，求证：c a c <<+【答案】（1）+a b .（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M ；（2）利用分析法，只需证明||a c -<，两边平方后结合2 , 0c a b a >+>即可得证.【详解】（1）()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b a b =++-+--=+=+…，当且仅当()()0x a x b +-„时取等号，∴()f x 的最小值M a b =+；（2）证明：依题意，20c a b >+>，要证c a c <<+||a c -<，即证2222a ac c c ab -+<-，即证220a ac ab -+<，即证(2)0a a c b -+<，又2 , 0c a b a >+>可知，(2)0a a c b -+<成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．。