直角三角形中的成比例线段射影定理
三角形射影定理
三角形射影定理几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C =90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=B D·DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（B D+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c 在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为B D、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。
11直角三角形的射影定理
1 2
证明：在△CDA和△BDC中，
∵点C在AB上的射影为D， ∴CD⊥AB ∴∠CDA＝∠BDC＝90° 又∵CD2＝AD ·DB ∴AD:CD＝CD:DB ∴△BCD∽△CAD ∴∠2＝∠3 在△ACD中，∵∠1＋∠3＝90° ∴∠1＋∠2＝90° 即∠ACB＝90° ∴△ABC是直角三角形
A
作业：
P26、2
不要忘了
哦！！
思考：如何用 勾股定理证明 射影定理？
C
具体题目运用：
BC BD AB AC BC AC 2 AD AB CD AB 2
2
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
B
CD AD DB
根据应用选取相应的乘积式。
例1:如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D， 若AD=2,DB=8，求CD、AC和BC的长。
分析：利用射影定理和勾股定理
C
解:
∵∠ACB是半圆上的圆周角
O 8 B
∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形 A 2D 又CD为斜边上的高，由射影定理可得 CD2＝AD·BD＝2×8＝16，解得CD＝4 AC2＝AD·AB＝2×10＝20，解得AC＝2 5 BC2＝BD·AB＝8×10＝80，解得BC＝8 5
射影定理只能用在直角三角形中,且必须 有斜边上的高
（1）一锐角对应相等 （2）两直角边对应成比例
（3）斜边和一条直角边对应成比例
探究：如图，△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。
在这个图形中，由于线段AD与CD、BD与CD、BC与AC等相互 垂直。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ 提示：通过寻找图形中的相似三角形来探究这些线段间的关系 考察RT△ACD和RT△CBD ∵∠1＝90°－∠2， ∠B＝90°－∠2， ∴∠B＝∠1 ∴△ACD∽△CBD ∴AD:CD＝CD:BD 考察RT△BDC和RT△BCA ∵∠B是公共角 ∴BD:BC＝BC:AB ∴△BDC∽△BCA 即BC2 ＝BD ·AB （2）
三角形射影定理
几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理直角三角形射影定理〕：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，那么有射影定理如下：〔1〕〔AD〕2=BD·DC，〔2〕〔AB〕2=BD·BC ，〔3〕〔AC〕2=CD·BC 。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠D AC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即〔A D〕^2=BD·DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式〔2〕+〔3〕得：〔AB〕2+〔AC〕2=BD·BC+CD·BC =〔BD+CD)·BC=〔BC〕2即〔AB〕2+〔AC〕2=〔BC〕2。
任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理〞：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，那么有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB〞为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，那么AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。
射影定理
射影定理：
所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
（1）(BD)^2=AD•DC，（2）(AB)^2=AD•AC ，（3）(BC)^2=CD•CA 。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心
角的度数的一半.
顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
切割线定理示意图几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD。
射影定理
射影定理所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD·DC，（2）(AB)²=AD·AC ，（3）(BC)²=CD·CA。
直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。
其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD·AC，BC²=CD·CA两式相加得：AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC²。
二、用勾股证射影∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD²=BD×CD.运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。
初三数学知识点剖析—期末冲刺：射影定理
即 DE2 = BE CE ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1 是解题关键．
例 4：【分析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相 似，须根据已知与图形找条件就可．
【解答】 证明：连接 PC， ∵AB=AC，AD 是中线， ∴AD 所在直线是△ABC 的垂直平分线． ∴PC=PB，∠PCE=∠ABP． ∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP， ∴∠PCE=∠PFC 又∵∠CPE=∠EPC， ∴△EPC∽△CPF ∴ PC = PF
2.证明过程： ∵ CD ⊥ AB ∴ DCA + CAB = 90 又∵ Rt ABC 中 CBA + CAB = 90 ∴ DCA = CBA 又∵ CDA = BDC ∴ ACD CBD ∴ CD = BD 即 CD2 = AD BD
DA DC
∵ Rt ABC 中 BCD + DCA = 90 , A + DCA = 90 ∴ A = BCD 又∵ CDA = BCA ∴ ACD ABC ∴ AC = AB 即 AC2 = AB AD
例 3：【分析】利用垂直平分线的性质得出 AE=DE，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACE∽ △BAE，即可得出答案．
【解答】证明：连接 AE， ∵AD 的垂直平分线交 AD 于 E， ∴AE=DE， ∴∠1+∠2=∠4， ∵∠B+∠3=∠4， ∠2=∠3，
∴∠B=∠1， ∵∠AEB=∠CEA， ∴△ACE∽△BAE， ∴ AE = CE ，
AD AC
∵ ACD ABC ， ACD CBD ∴ ABC CBD ∴ BC = BD 即 BC2 = AB BD .
直角三角形射影定理证明
直角三角形射影定理证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直角三角形射影定理是数学中一个重要的定理，它描述了一个直角三角形中的射影关系，即在一个直角三角形中，三角形的三个顶点和三边的中点之间存在一种特殊的关系。
证明这个定理可以帮助人们更深入地理解三角形的性质，为解决与直角三角形相关的问题提供了理论基础。
让我们来看一下直角三角形射影定理的表述：在一个直角三角形ABC中，设直角在顶点C处，点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，那么有CF=AD=BE。
为了证明这个定理，我们可以采用不同的方法，例如利用几何知识、向量方法或三角学等。
这里我们选用向量方法进行证明。
我们设定三角形ABC的顶点A、B、C的坐标分别为向量a、b、c，根据题设可以知道D的坐标为(a+b)/2，E的坐标为(b+c)/2，F的坐标为(a+c)/2。
由于CF=AD=BE，我们可以用向量表示来证明这一关系。
首先计算CF的向量表示：CF = F - C = (a+c)/2 - c = a/2接着我们计算AD的向量表示：通过以上计算过程我们可以得出CF=AD=BE，即直角三角形射影定理成立。
通过向量方法证明直角三角形射影定理，我们可以清晰地看出三角形中各点之间的关系，加深自己对其性质的理解。
这也展示了数学中向量方法在解决几何问题中的应用。
直角三角形射影定理在几何学、物理学等领域中都有广泛的应用，因此了解和掌握这个定理的证明方法对我们的学习和研究都具有重要意义。
直角三角形射影定理是数学中的一个重要定理，通过向量方法对其进行证明可以帮助我们更深入地理解三角形的性质，提高数学思维能力。
希望以上证明过程能够帮助大家更好地理解和应用直角三角形射影定理。
第二篇示例：直角三角形射影定理是初中数学中重要的定理之一，它告诉我们直角三角形中的射影性质。
直角三角形射影定理的证明是通过几何知识和简单的代数运算来完成的。
下面将详细介绍直角三角形射影定理的证明过程。
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
直角三角形的射影定理
02
三角函数方程求解
通过射影定理可以将某些三角函 数方程转化为代数方程进行求解 。
03
三角函数不等式求 解
通过射影定理可以将某些三角函 数不等式转化为代数不等式进行 求解。
05
射影定理在物理学中的应用
力学中的平衡问题
01 02
力的分解
在力学中，当一个力作用于一个物体时，该力可以分解为两个分力，这 两个分力分别与物体的两个直角边相对应。根据射影定理，可以通过已 知的两个分力求出原力的大小和方向。
在高级数学中，射影定理可以通过向量和矩阵的知识进行 更深入的理解和拓展。例如，可以通过向量投影的概念解
释射影定理，或者利用矩阵运算解决相关问题。
对未来学习的建议
深入学习相似三角
形
相似三角形是射影定理的基础， 建议深入学习相似三角形的性质 、判定和应用，以便更好地理解 和应用射影定理。
掌握三角函数知识
三角函数是解决三角形问题的重 要工具，建议熟练掌握三角函数 的定义、性质和计算方法，以便 在解三角形问题时灵活运用。
拓展数学视野
除了射影定理和相似三角形外， 数学中还有许多其他有趣且实用 的概念和定理。建议广泛涉猎数 学知识，拓展数学视野，提高数 学素养。
感谢您的观看
THANKS
06
总结与拓展
射影定理的重要性总结
1 2
揭示直角三角形性质
射影定理揭示了直角三角形中边与角之间的特殊 关系，是理解直角三角形性质的重要工具。
沟通相似三角形与三角函数
射影定理将相似三角形与三角函数联系起来，为 解三角形问题提供了更多思路和方法。
3
应用于实际问题
射影定理在测量、建筑、物理等领域有广泛应用 ，掌握该定理有助于解决实际问题。
直角三角形的射影定理
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A
D
B
如图， ABC 中，C 90, CDAB. C 由母子相似定理，得 ADC ∽ ACB
推出：
D
CDB
AC CD DA AB BC CA
A 同理，得：
B
2 所以： AC AB DA
∽
CD DB CB ACB CB 2 AB DB AC CB AB
你知道吗？
使学生了解射影的概念，掌握射影 定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题 和实际计算中有较多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我 们进一步学习直角三角形的特性。
大家先回忆一下：
C ,有_____________________. 在Rt ABC 中， =90
射影定理只能用在直角三角形中,且必须
有斜边上的高
这里犯迷糊，可 不行！
利用射影定理证明勾股定理:
AC BC AD AB BD AB AB
2 2 2
利用勾股定理证明射影定理:
AB =(AD＋DB) =AD ＋2AD · DB ＋DB
2 2 2 2
AC ＋BC =AB
AC －AD =CD BC －BD =CD
2 2 2 2
2
2
2
C
2 2
A
D
B
探究：△ ABC 是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射 射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影 影的角度来考察 AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些 的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例 线段之间的某些关系吗？ 中项。
A A B
M
A´
A
N
M
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影 直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
线段的两个端点在这条
讨论：
1．线段在直线上的射影结果
点或线段
2．直线在直线上的射影结果 点或直线
各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’
A B’
B l
A’ 如图,CD是
B’
A’
B B’
A
D
B
用文字如何叙述？
直角三角形中,斜边上的高线是两条
直角边在斜边上的射影的比例中项,
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项.
这就是射影定理
C
1．直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项; 2．每一条直角边是这 条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中 项;
A
D
B
CD AD DB
2
AC AD AB
2
BC BD AB
2
具体题目运用：
AC BC CD AB
BC BD AB 2
2
C
AC AD AB CD 2 AD DB
A
D
B
根据应用选取相应的乘积式。
C
利用射影定理证明勾股定理:
2 2
A
D
2
B
AC BC AD AB BD AB AB
AC BC AB
2 2
2
(1)一锐角相等
(2)任意两边对应 成比例.
已知直角三角形ABC，CD垂直AB 问：1．图中有几个Rt△? 2．有几对△相似？
2
C
3．CD =？
AC =？ BC =？
2 2
AD· DB AD· AB BD· BA
A D
B
求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三 角形相似。 已知：在RtΔABC中，CD是斜AB上的高。
BC,由 BD AB 同理 CDA ∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
2 用勾股定理能证明吗 ? 有AC AD AB
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
( 3) 同理可证得 BC² = BD· AB A D
B
总结： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可
以求出其余四条线段，有时需要用到方程的
思想。
C
A
D
B
1.
直角△ABC中已知:CD=60 AD=25
求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
例1
如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD 2 AD DB 2 6 12, CD 12 2 3 cm;
1.射影： （1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子 B 应是什么？ （2）线段留在MN上的影子是什么？ 定义： 过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 直线l上的正射影，简称射影。 M B’ A
.
A
A’ N B
l
A’
B’
1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂 足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
l
Rt ABC 的斜边AB的高线
C
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
A D
B
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
BC BD AB 2 AC AD AB 2 CD AD DB
2
C
ACD
∽
AC CD AD CBD CD 2 BD AD CB BD CD
在RtABC 中，CD是高，则有
C AC是AD,AB的比例中项。 BC是BD,AB的比例中项。 CD是BD,AD的比例中项。 A D B
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
即CD AD BD (1) ∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD² A D B 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ B是公共角 , BDC BCA BC AB ∴ CD² = AD· BD C 2 2 AC 即 BC AD BD AB AB (2)
ACD 90 BCD,∴ (AD+BD)² B 90 =AC² BCD . AD CD +BC² ACD B ACD ∽ CBD CD 即2AD· BD=AC² -AD² +BC² -BD² BD 2
0 0
CACD和RtCBD 考察Rt ∵AB² =AC² +BC²