东南大学高数上03至期末试卷附答案

合集下载

东南大学高数复习题

1. 函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处 [ ] (A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在2. 交换积分次序0242000d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x +-+=⎰⎰⎰； 3.交换积分次序:()()1220010d ,d d ,d y y y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的隐函数，其中f 可微，则全微分d z =；5.设 (,)z z x y =是由方程e e e z y x z x y =+所确定的隐函数，求,z z x y ∂∂∂∂. 6. 计算二重积分2223d D x y x yσ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0,0D x y x y x y =+≤>>. 7. 求幂级数()()1211121n n n x n n ∞-=--∑的收敛域与和函数。

1.改变积分次序212d (,)d ________.x x f x y y -=⎰ 2.二次积分1120sin _____.ydy x dx =⎰⎰ 3.设12111(1)2,5,n n n n n u u +∞+∞--==-==∑∑则1______.n n u +∞==∑3.设212,x x y e y e -==是二阶常系数齐次常微分方程的两个解，求该方程。

4.求幂级数411 41n n x n ++∞=+∑的收敛域与和函数。

5.将函数21()12f x x x=+-展开为x 的幂级数。

6.将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数.7.求微分方程sin y y x x ''+=+的特解，使得该特解在原点处与直线32y x =相切。

东南大学高等数学(A)期末03-13试卷

f ( z) =
1 z ! 4z + 3
2
1< z < 3
Laurent
(cos x + 2 xy + 1)dx + ( x 2 ! y 2 + 3)dy
.
+! 0
"
1 dx 1 + x4
v( x, y, z) = { y3 ! z 3 , z 3 ! x3 , 2 z 3}
z = 1 + 1 ! x2 ! y 2
2
1< z ! 2 < 3
2 ydx + ( y 2 ! 6x)dy = 0
2 8 9
y!! + 4 y = 8 x " 4sin 2 x
y(0) = 0, y!(0) = 5
!
I = ## x2 dy " dz + y 2 dz " dx + ( z 3 + x)dx " dy
!
z = x2 + y 2 (0 ! z ! 1)
! n
!
"a x
k k =1
k +1
[0,1]
f ( x)
(f$ % &n'
n =1
!
"1#
2005
1+ 1! x2 x
A
"
1
0
dx "
f ( x, y)dy =
e z + z + xy = 3
M (2,1, 0) (2,1,1)
divA =
A = 3x 2 yz 2i + 4 xy 2 z 2 j + 2 xyz 3k

高等数学上期末试卷(含答案)

一．选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二．填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分（2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证：（1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分（2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。

东南大学10112高数期末试题有答

10-11-2高数期末试卷(150分钟)一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．2lim ()()a xbx x x a x b e +→∞⎛⎫= ⎪--⎝⎭；2．曲线sin()ln()(0,1)xy y x x +-=在点的切线方程是1y x =+；3．曲线3221x y x =+的斜渐近线方程是2y x=；4．若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则3b =；5．函数()ln(12)0(0)n y x x n y =-==在处的阶导数2(1)!n n --；6．设可导函数220()sin x yxt y y x e dt x t dt +-==⎰⎰是由方程所确定，则1 x dydx =-=； 7．2π=⎰4 π-；8．1x -=⎰23-； 9．微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的特解是1y x=。

二.按要求计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 10．求极限20(sin sin(sin ))sin lim1cos x x x x x →-- 13= 11. 求反常积分211 (1)dx x x +∞+⎰1ln 22= 12．求定积分1sin ln exdx ⎰()1sin1cos122e =-+ 13．求不定积分1sin 2cos dx x x ⎰ ()1sec ln csc cot 2x x x C =+-+三（14）．（本题满分7分）设sin , 02(),0,()0, 2x x f x x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=≥=⎨⎪>⎪⎩，分别求022x x ππ≤≤> 与时积分()()xf tg x t dt -⎰的表达式。

()()()() ()()()()sin , 021, 2x xx x xf tg x t dt f x u g u dux u g u du x g u du ug u du x x x x x ππ-=-=-=-⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰关键步骤：四（15）．（本题满分8分）求由sin , (0)2y x x y x x π==≤≤所围图形的面积及此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学

03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（）（A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆；（C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。

2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ）一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。

3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ）不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。

二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=xye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f.6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。

03工科数分期末分析试卷(下)答案

共6页第1页东南大学考试卷（A 卷）课程名称工科数学分析考试学期 03-04-3得分适用专业上课各专业考试形式闭卷考试时间长度 150分钟一．填空题（每个空格3分，共30分）1．已知32yz xy u -=，则==u grad A ()232,2,3--y xy z yz ，A div ＝26-x yz ， =A rot 0。

2．幂级数nn nx n ∑∞=131的收敛域是[)3,3-。

3．3)1(sin )(-=z e zz z f 在圆域1||<z 内的奇点是=z 2,∈n i n Z π，奇点的类型是00=≠n n 时是一级极点，时是三级极点。

（如为极点应指明是几级极点）。

4．积分=⎰=dz zzz 1||3cos -i π.(积分路径取逆时针方向) 5．0122=++xy e ydx dy6．二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为xxe y =，则该方程为7．设)1(sin )(2-=z z zz f ，则]0),([Re z f s ＝-1。

二．单项选择题（每小题3分，共12分）1．设3||lim 1=+∞→n n n a a ，则级数∑∞=-112n n n x a 的收敛半径=R [ D ]共6页第2页(A) 3=R (B) 31=R (C) 3=R (D) 31=R2.方程x y y cos =+''的特解形式为=*y [ C ] (A)x Ax cos (B)x B x Ax sin cos + (C)x Bx x Ax sin cos + (D)x Bx x A sin cos + 3.设,sin 2,sin )(),10()(1212⎰∑==<≤=∞=xdx n x b x n b x S x x x f n n n ππ,,2,1 =n 则=-)21(S [ B ](A) 41 (B) 41- (C) 0 (D) 14.球体22224a z y x ≤++在柱面ax y x 222=+内的那一部分的体积=V [ C ](A) ⎰⎰-θπρρθcos 20222044a d a d (B) ⎰⎰-θπρρρθcos 20222048a d a d(C) ⎰⎰-θπρρρθcos 20222044a d a d (D) ⎰⎰--θππρρρθcos 2022224a d a d三.计算下列各题(每小题7分,共28分) 1. 求函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域+∞<<||1z 内的Laurent 展开式. 解：2212021321()(1)112 1112 112232∞-=∞-=-=-∞+=-⎛⎫=⋅+⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭=+=++∑∑∑z n n nn nn z f z z z z z z z z z z z z z共6页第3页2. 求微分方程xxe y y y 2182--=-'+''的通解.解：特征方程为220,r r +-=有两个单重根1和-2。

东南大学高数试卷及答案-06-07-3高数(B)期末考试

06-07-3高数B 期末试卷一。

填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x = ，0y = ，0z = ；2．已知三角形ABC ∆的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -，则ABC ∆的面积为；3．曲线22221025x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在点(1,3,4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为； 4．函数2u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k 的方向导数等于；5.交换积分次序⎰⎰-221x -1-11- ),(dx x dy y x f = ；6．设222},,,{z y x r z y x r ++== ，则3rr div= ；7. 设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分dy xy ydx x c 22+⎰= ；8.设2()e x f x =，则)0()2(n f= ；9．设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π= ；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为。

二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分()22d Dx y y σ+-⎰⎰，其中D 为由1,2y x y x ==及2y =围成的区域.12．计算三重积分zv Ω，其中Ω是yoz 平面上的直线121,3z y y =-=以及1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分d Lz s ⎰，其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤14．求全微分方程22(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解.四．（15）(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值.五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面1z =z = 所围立体表面的外侧的流量.六．（17）(本题满分9分)计算曲线积分(()ln d x y xy x y ++⎰，其中Γ是曲线1y =上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰06-07-3高数B 期末试卷参考答案及评分标准（A ）一。

东南大学考试试题及答案

东南大学考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 东南大学位于我国的哪个省份？A. 江苏B. 浙江C. 安徽D. 福建答案：A2. 下列哪项不是东南大学的主要学科领域？A. 工程学B. 医学C. 法学D. 管理学答案：C3. 东南大学的校训是什么？A. 厚德博学B. 求是创新C. 明德至善D. 笃学尚行答案：B4. 东南大学成立于哪一年？A. 1902年B. 1903年C. 1904年D. 1905年答案：A5. 东南大学校园内著名的历史建筑是？A. 鼓楼B. 钟楼C. 明孝陵D. 紫金山天文台答案：B二、填空题（每空1分，共10分）1. 东南大学是中国教育部直属的全国重点大学，也是“211工程”和“985工程”重点建设的高校之一。

2. 东南大学的主要校区位于江苏省南京市的_______区。

3. 东南大学在国内外享有良好的学术声誉，其_______学科在国内外具有较高的影响力。

4. 东南大学的校徽以_______颜色为主，象征着学校的学术精神和历史传统。

5. 东南大学注重培养学生的_______能力和_______能力，以适应社会的发展需求。

三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述东南大学的发展历程。

答案：东南大学起源于1902年创建的三江师范学堂，后经过多次更名和发展，于2000年由原东南大学、南京铁道医学院、南京交通高等专科学校合并组建成新的东南大学。

学校秉承“止于至善”的校训，致力于培养高素质人才，推动科学研究和社会服务。

2. 东南大学在国际交流与合作方面有哪些举措？答案：东南大学积极开展国际交流与合作，与世界各地的多所高校建立了合作关系，包括学生交换项目、联合研究项目和国际学术会议等。

此外，学校还设立了多个国际合作研究中心，以促进学术研究和人才培养的国际化进程。

四、论述题（每题20分，共40分）1. 论述东南大学在科技创新方面的主要成就。

答案：东南大学在科技创新方面取得了显著成就。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷2003级高等数学（A ）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程⎰+-=yx t x dt e12确定，则==0x dxdy（）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示，则导函数)(x f y '=的图形为（）4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===二、填空题（每小题3分，共18分）1．_____________________)(lim 21=-→x xx x e2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。

4．若dt t t x f x ⎰+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxey -=的拐点是__________6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1．计算积分dx x x⎰+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ⎰5cos sin 3. 计算积分dx e x x ⎰-2324. 计算积分⎰π+0cos 2xdx5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim 3⎰⎰→6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解四.（8分）求微分方程xxe y y y 223-=+'-''满足条件0,000='===x x y y的特解五.（8分）设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。

六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:⎩⎨⎧-=+=tt y tt x 2522与x 轴所围成，试求其质量m 七.（7分）设函数)(x f 在],[a a -上有连续的二阶导数，且0)0(=f ，证明：至少存在一点],[a a -∈ξ，使得)(3)(3ξ''=⎰-f a dx x f aa2004级高等数学（A ）（上）期末试卷一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点是第类间断点.2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21xx xF x f +=,则()=x f . 3.()()=-+⎰--x x x x xd e e1112005.4. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f .5. 设函数()()01d 23>+=⎰x tt x f x x,则当=x 时,取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ](A)()()x x βα2 (B)()()x x x 1sin 22βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln (D)()()x x βα+2. 曲线()()211arctane 212+-++=x x x x y x的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条3. 微分方程xx y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*y [ ] (A) ()xx b ax 22e+ (B) xax 2e (C) ()xb ax 2e+ (D) ()xx b ax 2e+4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()32d cos ln limxtt t xx ⎰+→2. 设函数()x y y =是由方程2e 22=-+xyy y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点()2,0处的切线方程.3.x x x x d cos cos 042⎰-π4. ⎰∞+13d arctan x xx5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解.1Yxy ln =四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小.五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f 且()10=f ,试证: 当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .2005级高等数学（A ）（上）期末试卷一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1． 2206sin d limx x t t x→=⎰ ；2．曲线322(1)x y x =+的斜渐近线方程是；3．设()y y x =是由方程ln ln y y x =所确定的隐函数，则d d yx= ； 4．设f 在区间[0,]π上连续，且0()sin ()d f x x f x x π=+⎰，则()f x = ；5．设21,0()e ,0x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则31(2)d f x x -=⎰ ；6．2sin d cos xx x xππ-=+⎰ ； 7．曲线ln y x =相应于13x ≤≤的一段弧长可用积分表示；8．已知1e x y -=与22e xy =分别是微分方程0y ay by '''++=的两个特解，则常数a = ，常数b = ；9．0()0f x ''=是曲线()y f x =以点00(,())x f x 为拐点的条件。

二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．设220()sin d x f x t x t t =-⎰，求()f x '2．2e 1d e 4x xx -+⎰ 3．240sin sin d x x x x π-⎰4．21d 221x x x x +∞-+⎰三．（本题满分9分）设有抛物线2:(0,0)y a bx a b Γ=->>，试确定常数a 、b 的值，使得（1）Γ与直线1y x =-+相切；（2）Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大。

四．（本题共2小题，满分14分） 1．（本题满分6分）求微分方程()222e 1d e d 0x x x y x y -+=的通解。

2．（本题满分8分）求微分方程22e xy y x '''-=+满足初始条件9(0)2,(0)4y y '==的特解。

五．（本题满分7分）第4页试证：（1）设e u >，方程ln x x u =在e x >时存在唯一的实根()x u ；（2）当u →+∞时，1()x u 是无穷小量，且是与ln uu等价的无穷小量。

六．（本题满分6分）证明不等式：111ln 2111ln 213521n n n +<++++<+--，其中n 是大于1的正整数。

2006级高等数学（A ）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．2e d lim(cos 1)xt x x tx x →-=-⎰ ；2．曲线231x ty t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩在2t =对应的点处的切线方程为； 3．函数()ln(1)f x x x =-+在区间内严格单调递减；4．设()y y x =是由方程ln 1xy y -=所确定的隐函数，则(0)y '= ；5． 512224111d 1x x x x x x x -⎛⎫--+-= ⎪++⎝⎭⎰ ； 6．设)(x f 连续，且201(2)d arctan 2xtf x t t x -=⎰，已知1)1(=f ,则21()d f x x =⎰ ； 7．已知)(x y y =在任意点x 处的增量α++∆=∆21x xy y ，当0→∆x 时，α是x ∆的高阶无穷小，已知π=)0(y ，则_____)1(=y ；8．曲线1ln e y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的斜渐近线方程是； 9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解312e ,e x xy y ==，则该方程为.二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．计算不定积分2arccos d x x x x-⎰ 2．计算定积分20sin d x x x π⎰3．计算反常积分()211d 1x x x +∞+⎰4．设 31()d 1x t G x t t=+⎰，求 10()d G x x ⎰三．（本题满分7分）求曲线ln cos 1sin 2x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩自0t =到4t π=一段弧的长度。