导数应用—函数单调性
知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性
导数在函数性质中的应用——单调性编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤.2. 过程与方法通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.3. 情感、态度与价值观通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.【要点梳理】要点一：函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在这一区间具有单调性.f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()已知函数2=-+的图象如图所示，f x x x()43由函数的单调性易知，当2f x是增函数.现在我们看看各个单f x是减函数；当2x<时，()x>时，()调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()f x在改点的导数值，从图象可以看到：y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x =<时，()f x 为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x =>时，()f x 为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数；（2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数；（3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.注意：只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而()f x 在R 上递增.③当在某区间内恒有()0f x '=，这个函数()y f x =在这个区间上才为常数函数.要点二：利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.利用导数求函数()f x 单调区间的基本步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数'()f x ；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <；（4）确定()f x 的单调区间.或者：令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。
导数的应用--函数的单调性
普宁市第一中学数学组
一、复习
1、怎样利用导数的符号判断函数的单调性。 怎样利用导数的符号判断函数的单调性。 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f (x)>0， f(x)为 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f´(x)>0，则f(x)为 y=f(x)在某个区间内可导 增函数；如果f (x)<0， f(x)为减函数。 增函数；如果f´(x)<0，则f(x)为减函数。 为减函数 如果在某个区间内恒有f (x)=0， f(x)为常数。 如果在某个区间内恒有f´(x)=0，则f(x)为常数。 为常数 ☆值得注意的是：在判断函数的单调性时，如果出现个别点 值得注意的是：在判断函数的单调性时， (x)=0不会影响包含该点在某个区间上的单调性 不会影响包含该点在某个区间上的单调性， 使f´(x)=0不会影响包含该点在某个区间上的单调性， 例如： f )内 例如： ( x ) = x 3 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 内 是 增 函 数 ， 但 f ′(0)=0
年浙江理) 4、例题：(04年浙江理)设 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 例题：(04年浙江理
y o
y = f ′(x )
1 2
y 的导函数， 的图象如图(1)所示， (1)所示 的导函数， = f ′( x ) 的图象如图(1)所示，
x
的图象最有可能是( )。 则 y = f ( x ) 的图象最有可能是( C )。
y 2 1 -2 -1 0 1 -1 -2 2 x -2 -1
3 2 1 0 -1 -2 1 2 x
)。 )。
y y 4 3 2 1 2 x -2 -1 0 -1 -2 1 2 x
图(3)
y 4 3 2 -2 -1 1 0 -1 -2
高中数学知识重组、网络建构之函数与导数：专题三 导数应用之函数的单调性 含解析
● 主干知识互联，提纲挈领1．函数的单调性定义：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x xI x x ∀∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间．若对于1212,,x xI x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间． 2．导数与函数的单调性：在某个区间(),a b 内，如果()0f x '≥,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．●重点难点突破,抓住核心考向1 利用导数判断函数的单调性或求单调区间【例1】【2016北京高考，理18】设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I)求a ，b 的值；（II ）求()f x 的单调区间．【答案】(Ⅰ)2a =，b e =；（II ）●方法规律提升，融会贯通 求可导函数单调区间的一般步骤和方法（1）确定函数()f x 的定义域．（2)求()f x '，令()0f x '=，求出它们在定义域内的一切实数)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞． 【解析】（I ）()ea xf x x bx-=+，∴()e e (1)e a xa x a x f x xb x b---'=-+=-+．∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+，∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=-，即2(2)2e22(e 1)4a fb -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =． (II)由（I ）可知:2()ee xf x x x-=+，2()(1)e ex f x x -'=-+．令2()(1)e xg x x -=-,∴222()e(1)e (2)e xx x g x x x ---'=---=-根．（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间．（4）确定()f x '在各个开区间内的符号，根据()f x '的符号判定函数()f x 在每个相应小开区间内的增减性．∴()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=-，∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->,即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增,无减区间．综上可知，0)(>'x f ,),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞．【变式训练】已知函数22()2()ln 22f x x a x xax a a =-++--+，其中0a >．设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性;【答案】当104a <<时，()g x 在区间)+∞上单调递增， 在区间11(22上单调递减;当14a ≥时,()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．【解析】由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，。
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思(精选15篇)
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思〔精选15篇〕篇1：《导数在函数中的应用——单调性》教学反思本节课是一节新授课，教材所提供的信息很简单，假如直接得出结论学生也能承受。
可学生只能进展简单的模拟应用，为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课。
设计思路如下以便学生会考虑解决问题。
1、首先从同学们熟悉的过山车模型入手，将实际问题转化为数学模型，提出如何刻画函数的变化趋势，引出课题。
研究从学生熟悉的一次函数，二次函数入手，寻找导数和单调性的`关系，用几何画板演示特殊的三次函数的图像，研究单调性和导数。
在此根底上提出问题：单调性和导数到底有怎样的关系？学生通过考虑、讨论、交流形成结论。
也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
2、在结论得出后，继续引导学生考虑，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。
3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开场引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾照应。
4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。
虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深化。
5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切时机去施行，在例1的教学中，我让学生先纯熟法那么，再从形上分析^p ，加深印象，这样在后面紧接的高考题中〔没有给解析式〕，学生会迎刃而解。
为了培养学生的自主学习、自主考虑的才能，激发学习兴趣，在教学中采取引导发现法，利用多媒体等手段引导学生动口、动脑、参与数学活动，发挥主观能动性，主动探究新知。
让学生分组讨论，合作交流，共同讨论问题。
但是，真正做到以学生为中心，学生100%参与，表达三维目的，培养学习才能还是比拟困难。
导数在函数单调性中的应用
导数在函数单调性中的应用利用导数判断函数的单调性是高考必考内容之一，是高考考查的重点，其主要题型以函数单调区间的求解，单调性的证明，求参变量的取值范围为主。
而熟练掌握导数与函数单调性的关系是解题的突破口。
题型一、函数单调性的证明例1：已知a>0，且a ≠1，证明函数y=a x -xlna 在（-∞，1）内是减函数。
分析：此题是利用导数证明单调性的问题，直接利用导数的符号与函数单调性的关系证明即可。
解：y`=a x lna-alna当a>0时因为y`=lna(a x -a)，lna>0，a x <a所以y`<0，即y 在（-∞，1）上是减函数当0<a<1时因为lna<0，a x >a所以y`<0，即y 在（-∞，1）上是减函数点评：在求解一个函数单调区间时，函数的导数往往可以化成两个基础函数的积或商的形式，我们要在基础函数成立的基础上加以讨论。
题型二、确定函数的单调区间例2：确定函数f （x ）=x 2-x 3的单调区间分析：根据求函数的单调区间的步骤，先求出f ’（x ），然后解不等式f ’（x ）>0，可得单调递增区间，再解不等式f ’（x ）<0得单调递减区间。
解：因为f ’（x ）=2x-3x 2，令2x-3x 2>0，解得320<<x 所以，函数f （x ）的单调递增区间为（0，32） 令2x-3x 2<0，解得x>32或x<0 所以，函数f （x ）的单调递减区间为（-∞，0），（32，+∞） 点评：使y ’>0的取值区间如为一个，则此区间为其单调区间，如为两个或两个以上，在各自区间上均为单调函数，在这里不能将这两个区间并起来。
如：此函数单调递减区间写成 （-∞，0）∪（32，+∞）就错了，这是一个取值范围，而在其上函数不具有单调性。
题型三、求参变量的范围例3：已知函数f （x ）=ax 3-x 2+x-5在（-∞，+∞）上是单调递增函数，求a 的取值范围。
导数应用-含参函数的单调性讨论
导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。
二、典例讲解例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。
变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。
即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号。
一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。
变式练习2. 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。
对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用在数学中，单调性是由函数的变化来衡量的，根据函数的变化特征可以判断函数的单调性特点。
若函数在某一区间上单调递增或单调递减，则称该函数为单调函数。
这种函数的单调性有着十分重要的意义，它可以帮助我们更好地理解数学问题，因此，单调性研究是数学中一个重要的课题。
在研究函数单调性时，导数可以发挥重要作用。
导数表示函数在某一点变化率，如果函数在某一区间上单调递增或单调递减，那么该函数在该区间上的导数都应该是正数或负数，而不能是零。
因此，导数可以用来判断函数的单调性特点。
另外，导数也可以用来求解函数的极值问题，极值是指函数在某一区间上的最大值或最小值，如果函数在某一点处的导数为零，这就表明该点处可能是函数的极值点，也就是说，该函数在该点可能是最大值或最小值。
同时，导数还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值，如果函数在某一点处的导数为正，表明该点处可能是函数的最大值，反之，函数在某一点处的导数为负，表明该点处可能是函数的最小值。
总之，导数在研究函数单调性中发挥着重要的作用，它可以用来判断函数的单调性特点，也可以用来求解函数的极值问题，同时还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值。
因此，导数在研究函数单调性中有着十分重要的作用，是必不可少的数学工具。
导数在函数单调性中的应用
导数在函数单调性中的应用
随着科学技术和互联网的进步，导数在函数单调性中的应用受到了人们的广泛
关注。
导数是求解函数单调性的关键，其扮演了重要的技术作用。
导数可以描述函数及其变化的趋势，更精确地了解函数的单调性。
在求解单调
函数的时候，可以借助导数来鉴定函数的最值问题，即函数有极大值和极小值时，导数一定为零。
当导数恒大于等于零时，函数为单调递增；当导数恒小于等于零时，函数为单调递减。
导数在函数单调性中的应用也使得函数单调性更容易理解。
当函数满足单调性
条件时，就可以得到函数的最大值和最小值，有利于准确反映函数的特点。
此外，导数在函数单调性中的应用还使得求解函数的过程更为简易。
根据导数
的定义，对导数进行进一步处理，就可以获得单调函数的解析解法。
总之，导数在函数单调性中的应用为求解函数单调性提供了有用的信息，有利
于提高函数求解的准确性和效率，从而在互联网技术的发展道路上发挥着重要的作用。
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应用一：确定函数的图像大致形状
例题1、已知导函数 f '( x ) 的下列信息： 当1<x<4时，f '( x ) >0;
当x>4,或x<1时，f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时，f '( x ) =0.则函数f(x)图象的大致
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研 究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数 的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数 的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的 了解.正是因科学家们对数量的变化规律进行了长期的 研究,导致了微积分的创立.
本节课,我们就来探究函数的单调性与导数的关 系.
5、导数的四则运算法则
(uv)uv (uv)uvuv
u' v
u'vu'v
v2
(v0)
6、复合函数的导数
fx ((x ) )f( u )(x )
7、对数函数的导数
（1） (lnx) 1 x
8、指数函数的导数
（2）
(logax)
1 xlna
(ex)' ex
(ax)'ax lna
2020/9/15
形状是( D ）。
y
y f (x)
y
y
y
y f (x) y f (x)
y f (x)
o1 4 x o 1 4 x o1 4 x o 1 4 x
A
B
C
D
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
练习1
已知函数 f (x的) 导函数 f (x的) 图像
如图所示，那么函数 f 的(x图) 像最
有可能的是 下图中的( A ).
x
-2 o 2 x
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
应用二：证明函数单调性或求单调区间
问题 1.求证:函数 f ( x) 法一:可用定义证明.
x2
2x
3
在 1,
上是增函数. 哪
由证明定：义任证取明x1函<x2数∈的1,单调 ，性的一般步骤：
(1)f设(x1x)－1、f(xx22)是=（给x1定2－区2x间1－的3）任－意（两x22个－值2x2,－且3x）1<x2.
y
2020/9/15
a 0b
若有错误请批评指正谢谢！
cx
预备知识
2．函数的单调性
如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或 减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具 有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的 单调区间．
在单调区间上增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的．
2020/9/15
3、导函数的定义
f(x)limf(xΔ x)f(x)
Δ x 0
Δ x
4、四个常见函数的导数公式
公式1 C 0（C 为常数） 公式2 ( xn ) n xn1(n Q)
公式3
2020/9/15
(sin x) cos x. 公式4 (cos x) sin x.
若有错误请批评指正谢谢！
课前复习
y
点 ( x, f ( x)) 处的切线的
斜率.(如图)
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大
小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你
发现了什么规律? 2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
我们发现,当曲线上升时, f ( x) 0 ;
当曲线下降时, f ( x) 0 , y
反之也成立.
导数的符号显示了函
数值变化的增减情况a.
f (x) 0若有限在个某点个f使区(xf间)’(x上)0=有0,
0
其f b’(x余)>0的，则点c函数恒
有
f(xx)
仍为增函数
函数的单调性与导数的符号有如下关系: 在 某 个 区 间 (a ,b) 内 , 如 果 f ( x) 0 , 那 么 函 数 y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ( x) 0 ，那么 函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减．
y x2
函数 单调区间
f (x) 符号
y x3 增区间 R
0
y 1
x
减区间
减区间
(,0) (0,)
—
—
2020/9/1这5 里是具体函数，若那有错么误请一批评般指正情谢谢况！ 是否满足呢？
导数的几何意义:
导数 f (x) lim f (x x) f (x) 的几何意义是:
x0
x
函数 y f ( x) 的图象在
若有错误请批评指正谢谢！
预备知识
3 . 单调函数图像特征
直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x) 在区间(a,b)上是增函数;
从b到c曲线是下降的,
y
说函数f(x)在区间(b,c)上
是减函数.
y f(x)
a
0b
cx
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
探究一：函数单调性与导数符号的关系
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
导数的应用 —函数的单调性
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
课前复习
1、函数f(x)在点x0处的导数定义
f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
2、某点处导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x)在点 M(x0,y0)处的切线的斜率.
f (x)
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
练习2
已知函数y=xf’(x)的图像如左图所示，其中f’(x)是
函数f(x)的导函数，则函数f(x)的图象大致是(C ).
y
A 2 1
-2 -1 o 1 2 3 x
-2
y
y
2
Bห้องสมุดไป่ตู้
1
-1 o 1 2 x
-2
y
C4
4D
2
2
2020/9/15
-2 1 若有错误请批评指正o谢谢！
若有错误请批评指正谢谢！
预备知识
1．增函数、减函数的定义
一般地，设函数 f(x) 的定义域为 I：如果对 于属于定义域 I 内某个区间上的自变量任意两个 值 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么 就说 f(x)在这个区间上是增函数．
当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．
2020/9/15
t 0 ,a ,h (t)递h 增 (t) 0， 若有错t误请 批评a 指正,谢b 谢！,h (t)递h 减 (t) 0，
y 1
y 2x
函数
yx
y x2
单调区间
增区间 R
增区间
(0,)
f (x) 符号
2020/9/15
+
+
若有错误请批评指正谢谢！
减区间
(,0)
—
y 3x2