高中数学必修一函数性质的应用练习题测试题及答案解析
北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离()m s 与速度()km/h v 之间有如下关系式：2s k M v =⋅⋅，其中k 是比例系数，且0,k M >是汽车及其载重质量之和.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以36km/h 的速度行驶时，从刹车到停车需要走20m .当这辆卡车装载等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20m 处有障碍物时能在离障碍物5m 及以外处停车，则最高速度是（设司机发现障碍物到踩刹车经过1s ）（ ） A ．36km/hB ．30km/hC ．24km/hD ．18km/h2．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)- C ．(1,0)- D ．[1,0)-3．已知函数24,?0()7,?0x f x x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，()()g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a的取值范围是（ ） A ．(﹣4，0] B ．(-∞，﹣9) C ．(-∞，﹣9)(﹣4，0]D ．(﹣9，0]4．已知函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3[4，1]B ．3(4，1)C ．(0,1)D ．3(4，)+∞5．函数()32xy x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．对任意实数a ，b 定义运算“”：,1,1b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()()214f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．[)2,1-B ．[]0,1C ．(]0,1D ．()2,1-7．设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．若对任意[]0,1m ∈，总存在唯一[]1,1x ∈-使得2e 0x m x a +-=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,eB ．11,e e ⎛⎤+⎥⎝⎦C ．(]0,e D ．11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦9．有一组数据，如表所示：x 1 2 3 45y 3 5 6.99 9.01 11 下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）． A ．指数函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数10．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[]P Q 、是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[]P Q 、与[]Q P 、看作同一对“友好点对”）．已知函数22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则此函数的“友好点对”有（ ） A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对11．双“十一”要到了，某商品原价为a 元，商家在节前先连续5次对该商品进行提价且每次提价10%.然后在双“十一”期间连续5次对该商品进行降价且每次降价10%.则最后该商品的价格与原来的价格相比 A ．相等B ．略有提高C ．略有降低D ．无法确定12．若关于x 的方程12xa a -= (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，1)∪(1，+∞) B ．(0，1) C ．(1，+∞)D ．1(0,)2二、填空题13．已知函数2()log (2)f x x =+与2()()1g x x a =-+，若对任意的1[2,6)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______．14．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则λ的取值范围为______.15．2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修.为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元. 16．已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当()0,x e ∈，()ln f x x =，若在区间[],2e e -，关于x 的方程()1f x kx =+恰好有4个不同的解，则k 的取值集合是__________.17．方程()2332log log 30x x +-=的解是______.18．密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠劵一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是__________元．19．已知函数()3cos f x x x =-，若不等式()12f x kx b kx b +≤≤+对一切实数x 恒成立，则21b b -的最小值为__________.20．若关于x 的方程1xa k -=（0a >且1a ≠）恰有两个解，则k 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数2()29f x x ax =-+.(I)当0a ≤时，设()(2)x g x f =，证明：函数()g x 在R 上单调递增； (II)若[1,2]x ∀∈，(2)0x f ≤成立，求实数a 的取值范围； (III)若函数()f x 在(3,9)-有两个零点，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()()1f x x x a x R =--+∈. （1）当2a =时，求函数()()g x f x x =-的零点；（2）对于给定的正数,a 有一个最大的正数()M a ，使()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()2f x ≤，试求出这个正数()M a ，并求它的取值范围.23．设()ln ,f x x =,a b 为实数，且0a b <<， （1）求方程()1f x =的解；（2）若,a b 满足()()f a f b =，求证：①1;a b ⋅=②12a b+>； （3）在（2）的条件下，求证：由关系式()2()2a bf b f +=所得到的关于b 的方程()0,h b =存在0(3,4)b ∈，使0()0,h b =24．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()202C x x x =+(万元).当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x=+-(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 25．已知函数5()log ,(01)5ax f x a a x -=>≠+，． （1）判断()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）设()log (3)a g x x =-，若方程()1()f x g x -=有实根，求a 的取值范围； 26．如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中6AB =米，4=AD 米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，且矩形AMPN 的面积小于150平方米．（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并确定函数的定义域；（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据v =36km/h 时，20m s =，求出5324k M ⋅=，求出司机发现障碍物到踩刹车经过1s ，汽车行驶的距离，再由不等式25202518vk Mv --⋅可解得结果. 【详解】因为2s k M v =⋅⋅，且当v =36km/h 时，20m s =， 所以22036k M =⋅⋅，∴5324k M ⋅=， 司机发现障碍物到踩刹车经过1s ，汽车行驶的距离为10005(m)360018vv ⋅=， 由25202518v k Mv --⋅，得25520518162v v --， 即294860v v +-≤，解得2718v -≤≤. ∴则最高速度是18km/h . 故选：D. 【点睛】关键点点睛：理解题意，找出题目中的不等关系是解题关键.2．B解析：B 【分析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可. 【详解】因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202xxae a e +==-即有一个根即可， 因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-， 故选：B. 【点睛】已知函数有零点（方程有根），求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合求解．3．C解析：C 【分析】令()()0g x f x x a =+-=，将()g x 存在两个零点，转化为两函数24,?0,6,?0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩有两个交点，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令()()0g x f x x a =+-=，得24,?06,?0x x a x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，令24,?0,6,?0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：因为()g x存在两个零点，由图象可得：a<﹣9或﹣4<a≤0，故选：C【点睛】方法点睛：函数零点问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．4．B解析：B【分析】画出函数21,1 ()1,1x x xf xxx⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象，函数()y f x a=-有三个零点等价于()y f x=与y a=的图象有3个不同交点，数形结合得答案.【详解】作出函数21,1()1,1x x xf xxx⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象如图，函数()y f x a=-有三个零点，即()y f x=与y a=的图象有3个不同交点，由图可知，实数a的取值范围为3(4，1).故选：B. 【点睛】方法点睛：由零点求参数范围：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．5．B解析：B 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解. 【详解】因为函数()32xy x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322xxf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，由()()()32112xxy x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD故选：B 【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】利用新定义化简()f x 解析式，做出()g x 的函数图象，根据图象即可得出k 的范围. 【详解】解：有题意：21(4)1x x --+，解得：2x -或3x ，所以()24,(,2][3,)1,(2,3)x k x f x x k x ++∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-+∈-⎩， 令()24,(,2][3,)1,(2,3)x x g x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩画出()g x 的函数图象，如图：因为函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点， 所以()y g x k =+有三个零点， 由图可得：21k -<． 故选：A ． 【点睛】本题考查根据零点个数求参数的范围，求解一元二次不等式，是中档题．7．C解析：C 【分析】分别画出函数()y f x =和()1g ?x x=的图像，根据图像得出结论. 【详解】因为()()10F x xf x =-=，所以()1xf x =，转化为()1f x x=如图，画出函数()y f x =和()1g ?x x=的图像，当x <0时，有一个交点，当x >0时，(1)1,(1)1f g ==，此时()()1g 11f ==，1x =是函数的一个零点，111(3)(1),(3)223f fg ===，满足(3)(3)f g >，所以在(2,4)有两个交点，同理(5)(5)f g >，所以在(4,6)有两个交点，(7)(7)f g >，所以在(6,8)内没有交点，当n >7时，恒有()()f x g x >，所以两个函数没有交点 所以，共有6个. 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数的知识点，涉及到函数的零点的知识点，考查了数形结合的思想，属于基础题型.8．B解析：B 【解析】分析：由m+x 2e x ﹣a=0成立，解得x 2e x =a ﹣m ，根据题意可得：a ﹣1≥（﹣1）2e ﹣1，且a ﹣0≤12×e 1，解出并且验证等号是否成立即可得出． 详解：：由m+x 2e x ﹣a=0成立，得x 2e x =a ﹣m ，∴对任意的m ∈[0，1]，总存在唯一的x ∈[﹣1，1]，使得m+x 2e x ﹣a=0成立， ∴a ﹣1≥（﹣1）2e ﹣1，且a ﹣0≤12×e 1， 解得1+1e≤a≤e ， 其中a=1+1e时，x 存在两个不同的实数，因此舍去， a 的取值范围是（1+1e，e]． 故选B ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9．C解析：C 【解析】随着自变量每增加1函数值大约增加2， 函数值的增量几乎是均匀的，故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律． 故选C ．10．C解析：C 【分析】由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，结合22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数，从而作图解答 【详解】解：由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，因为22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数， 作2x y -=-与22y x x =-的图像如图所示，两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对 故选：C 【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题11．C解析：C 【分析】由题意列出商品最后的价格，利用指数幂的运算性质计算结果. 【详解】55110%110%+-（）（）=551.10.9=50.99<1， 故选C. 【点睛】本题考查了指数幂的实际应用，考查了指数的运算性质，属于中等题.12．D解析：D 【分析】由题意转化条件为函数y =1xa -(a >0，a ≠1)的图象与直线y =2a 有两个不同的交点，按照a >1、0<a <1分类，数形结合即可得解.【详解】根据题意，函数y =1xa -(a >0，a ≠1)的图象与直线y =2a 有两个不同的交点， a >1时，如图（1）所示；0<a <1时，如图（2）所示.由图象知，0<2a <1，所以10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数图象及函数图象变换的应用，考查了函数与方程的综合应用及数形结合思想、分类讨论思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】由对数函数的性质可得转化条件为由二次函数的图象与性质即可得解【详解】因为所以即函数的图象开口朝上对称轴为①当函数在上单调递增所以即所以解得；②当时函数在上单调递减所以即所以解得；③当时所以解解析：1,222,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦【分析】由对数函数的性质可得()123f x ≤<，转化条件为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】因为1[2,6)x ∈，所以()()()126f f x f ≤<即()123f x ≤<，函数2()()1g x x a =-+的图象开口朝上，对称轴为x a =，①当0a ≤，函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以()()()202g g x g ≤≤， 即()2221,45g x a a a ⎡⎤∈+-+⎣⎦，所以22124530a a a a ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≤⎩，解得10a -≤≤；②当2a ≥时，函数()g x 在[0,2]上单调递减，所以()()()220g g x g ≤≤，即()22245,1g x a a a ⎡⎤∈-++⎣⎦，所以22452132a a a a ⎧-+≤⎪+≥⎨⎪≥⎩，解得23a ≤≤；③当01a <≤时，()()22max 245g x g a a ==-+，()()2min 12g x g a ==<，所以245301a a a ⎧-+≥⎨<≤⎩，解得02a <≤④当12a <<时，()()22max 01g x g a ==+，()()2min 12g x g a ==<，所以21312a a ⎧+≥⎨<<⎩2a ≤<；综上，实数a的取值范围是1,22,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦. 故答案为：1,22,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦.【点睛】解决本题的关键是将条件转化为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，结合二次函数的图象与性质讨论即可得解.14．或【分析】当时求出函数的两个零点是和当时求出函数的零点为然后分三类讨论零点可解得结果【详解】当时令得或；当时令得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则此不等式组无解综上所述：解析：12λ-≤<或3λ≥ 【分析】当x λ≤时，求出函数()f x 的两个零点是1-和3，当x λ>时，求出函数()f x 的零点为2，然后分三类讨论零点可解得结果.【详解】当x λ≤时，令2230x x --=，得1x =-或3x =； 当x λ>时，令()ln 10x -=，得2x =，若()f x 的两个零点是1-和3，则132λλλ-≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，解得3λ≥，若()f x 的两个零点是1-和2，则132λλλ-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得12λ-≤<，若()f x 的两个零点是2和3，则132λλλ->⎧⎪≤⎨⎪>⎩，此不等式组无解，综上所述：λ的取值范围为12λ-≤<或3λ≥. 故答案为：12λ-≤<或3λ≥. 【点睛】关键点点睛：利用方程求出三个实根后，按照三种情况讨论函数()f x 的零点是哪两个进行求解是解题关键.15．790【分析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元个人所得税属于2级可得应缴纳的个人所得税为计算即可【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元个人所得税属于2级解析：790 【分析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，可得应缴纳的个人所得税为()150005000300010%30003%--⨯+⨯，计算即可． 【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级， 则应缴纳的个人所得税为()150005000300010%30003%70090790--⨯+⨯=+=元故答案为790 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，属于基础题．16．【分析】先根据函数奇偶性作出一个周期上图象再根据周期得区间上图象最后结合图象确定与动直线恰有4个交点的情况再求出对应数值【详解】因为是以为周期的上的奇函数所以当所以当作出区间上图象如图则直线过或时恰 解析：11,2e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【分析】先根据函数奇偶性作出一个周期上图象，再根据周期得区间[],2e e -上图象，最后结合图象确定与动直线1y kx =+恰有4个交点的情况，再求出对应数值. 【详解】因为()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，所以(0)0,()()()()()0f f e f e f e f e f e ==-=-∴=-=，当()0,x e ∈，()ln f x x =，所以当(),0x e ∈-，()()ln(-)f x f x x =--=-，作出区间[],2e e -上图象如图，则直线1y kx =+过(,0)A e 或(2,0)B e 时恰有4个交点，此时11,2k k e e=-=-故答案为：11,2e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及根据图象研究函数零点，考查数形结合思想以及综合分析求解能力，属中档题.17．或【分析】设原方程等价转化为由此能求出原方程的解【详解】设则原方程转化为解得当即解得当即解得所以原方程的解为或故答案为：或【点睛】本题考查方程的解的求法解题时要认真审题注意换元法的合理运用属于基础题33 【分析】设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得132t =-，21t =， 当132t =-，即33log 2x =-，解得3x = 当21t =，即3log 1x =，解得3x =， 33. 故答案为：39或3. 【点睛】本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.18．201【分析】根据题意构造函数由函数的值域即可容易求得【详解】设标价为则当时优惠金额；当时优惠券2的优惠金额优惠券3的优惠金额故当标价在之间只能用优惠券1故不满足题意；当标价超过100时若满足题意且解析：201 【分析】根据题意，构造函数，由函数的值域即可容易求得. 【详解】 设标价为x ，则当50x >时，优惠金额10x y =； 当100x >时，优惠券2的优惠金额20y =，优惠券3的优惠金额()910050y x =-. 故当标价在(]50,100之间，只能用优惠券1，故不满足题意； 当标价超过100时，若满足题意，2010x >，且()91001050x x >-， 解得200225x <<.则答案不唯一，只需在区间()200,225内任取一个元素即可.本题中选取标价为201. 故答案为：201. 【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属中档题.19．2【分析】根据恒成立可知同理得出故的最小值为2【详解】由恒成立可得即恒成立而且为周期函数故且同理可得的最小值为故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的性质考查不等式恒成立考查分析问题和解决问题的能力考解析：2 【分析】根据23cos x x kx b ≤+-恒成立可知21b ≥，同理得出11b ≤-，故21b b -的最小值为2． 【详解】由2()f x kx b ≤+恒成立，可得23cos x x kx b ≤+-，即2cos 3)(k x x b --≤+恒成立， 而1cos 1x -≤-≤，且cos y x =-为周期函数，故30k -=，且21b ≥，同理可得11b ≤-，∴21b b -的最小值为1(1)2--=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查函数的性质，考查不等式恒成立，考查分析问题和解决问题的能力，考查学生的逻辑推理能力.20．【分析】根据函数与方程之间的关系转化为函数图象交点个数问题结合指数函数的性质利用数形结合进行求解即可【详解】解：不妨设则作出函数的图象如图：要使方程（且）恰有两个解则即实数k 的取值范围是故答案为：【解析：0,1【分析】根据函数与方程之间的关系，转化为函数图象交点个数问题，结合指数函数的性质，利用数形结合进行求解即可. 【详解】解：不妨设1a >，则1,0()11,0x xx a x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，作出函数()f x 的图象如图：要使方程|1|xa k -=（0a >且1a ≠）恰有两个解， 则01k <<，即实数k 的取值范围是()0,1， 故答案为：()0,1【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用指数函数的性质转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键.三、解答题21．(I)证明见解析 ；(II) 134a ≥；(III) 35a << . 【分析】(I)根据函数单调性定义法证明即可；(II) 设2(12)x t x =<<，则24t <<则 92t a t +≤，令9()h t t t=+，求()h t 最大值即可； (III)根据零点分布列出等价不等式求解即可. 【详解】（Ⅰ）()(2)4229x x xg x f a ==-⋅+，设21x x R >∈，221121()()4229(4229)x x x x g x g x a a -=-⋅+--⋅+2121442(22)x x x x a =---212121(22)(22)2(22)x x x x x x a =-+-- 2121(22)[(22)2]x x x x a =-+-因为函数2x y =在R 上单调递增， 所以2122x x >，所以21220x x ->，又21(22)0,0xxa +>≤，所以21(22)20xxa +->，2121(22)[(22)2]0x x x x a -+->，所以21()()g x g x >，所以函数()g x 在R 上单调递增.（Ⅱ）设2(12)xt x =<<，则24t <<，都有2290t at -+≤，92t a t +≤，令9()h t t t=+， 易证()h t 在(2,3)单调递减，在(3,4)单调递增，又1325(2)(4)24h h ==,，()h t 最大值为132， 13132,24a a ≥≥. (III)因为函数()f x 在(3,9)-有两个零点且对称轴为x a =，所以2394360(3)0(9)0a a f f -<<⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪>⎩，解得35a <<. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22．（1）352；（2）答案见解析.【分析】（1）可令()0g x =，解含有绝对值的方程，对x 进行讨论，最后得出符合条件的x 的值. （2）因为()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，再按照22a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭和22a f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭两种情况分类讨论，即可得到结论. 【详解】（1）令()()0g x f x x =-=,得()21f x x x x =--+=,当2x ≥时，方程化简为：210x x --=，解得：x =（舍）或12x -=（舍）， 当2x <时，方程化简为：2310x x -+=，解得：32x =（舍），或x，32x ∴=. （2）当()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需要在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，由2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭分两种情况讨论：当2124a -<-时，即a >()M a 是方程212x ax -+=-的较小根()2a M a =由于a >a >，所以()(M a ∈当2124a -≥-时，即0a <≤时，()M a 是方程212x ax -++=-的较大根，()2a M a =由于0a <≤(a所以()M a ∈综上() 0<a M a a >=≤ ，且()(M a ∈⋃.【点睛】分类讨论方法，关键点在于运算时由于不确定性，需要对某个参数进行讨论，进而分类运算.恒成立问题，关键点在对于任意x D ∈，()f x a ≥恒成立，可转化为()min f x a ≥. 23．（1）x e =或1=x e；（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【分析】（1）由()1f x =，得1lnx =±，即可求方程()1f x =的解； （2）①证明()0ln ab =即可；②令1()x b bφ=+，((1,))b ∈+∞，证明φ（b ）在(1,)+∞上为增函数，即可证明结论；（3）令()22124h b b b b=++-，因为()30h <，()40h >，即可得出结论． 【详解】（1）解：由()1f x =，得1lnx =±，所以x e =或1=x e． （2）证明：①因为()()f a f b =，且0a b <<，可判断(0,1)∈a ，(1,)b ∈+∞， 所以lna lnb -=，即0lna lnb +=，即()0ln ab =，则1ab =②由①得122ba b b ++=，令1()x b b φ=+，((1,))b ∈+∞任取1b ，2b ，且121b b <<， 因为12121211()()()()b b b b b b φφ-=+-+ 2112121221121212111()()()()()b b b b b b b b b b b b b b b b --=-+-=+-=- 121b b <<，210b b ∴->，1210b b -<，120b b >， 12()()0b b φφ∴-<，()b φ∴在(1,)+∞上为增函数，()()12b φφ∴>=，∴12a b+> （3）证明：()2()2a b f b f +=，1,12a b b +>>，∴22()22a b a b lnb ln ln ++==， ∴2()2a b b +=，得2242b a b ab =++， 又1a b =，∴221240b b b++-=． 令()22124h b b b b =++-，因为()30h <，()40h >， 根据函数零点的判断条件可知，函数()h b 在(3,4)内一定存在零点， 即存在0(3,4)b ∈，使0()0h b =． 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．24．（1）2130200,0802()10000400(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩；（2）当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元.【分析】（1）可得销售额为0.051000x ⨯万元，分080x <<和80x ≥即可求出；（2）当080x <<时，利用二次函数性质求出最大值，当80x ≥，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.【详解】解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元， 依题意得：当080x <<时，2211()(0.051000)(20)2003020022L x x x x x x =⨯-+-=-+-， 当80x ≥时，1000010000()(0.051000)(51600)200400()L x x x x x x=⨯-+--=-+， 所以2130200,0802()10000400(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩； （2）当080x <<时，21()(30)2502L x x =--+， 此时，当30x =时，即()(30)250L x L ≤=万元. 当80x ≥时，10000()400()400400200200L x x x =-+≤-=-=， 此时10000,100x x x==，即()(100)200L x L ≤=万元， 由于250200>，所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元.【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.25．（1）奇函数，证明见解析；（2）30,16a ⎛-∈ ⎝⎦. 【分析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义即可判断（2）通过()log (3)a g x x =-，将()1()f x g x -=化简，求出方程中a 的表达式，通过变形，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）()f x 为奇函数 由505x x ->+解得定义域为{|5x x >或5}x <-关于原点对称， 55()log log ()55a a x x f x f x x x ----==-=--++，所以()f x 为奇函数 ； （2） 由题意知log log ()aa x 51x 3x 5--=-+，即5log log (3)5a a x a x x -=-+， 所以()535x a x x -=-+， 即5(5)(3)x a x x -=+-在(5,)+∞有解， 设5x t -=，则(0,)t ∈+∞设(10)(2)t y t t =++， 则12012y t t=++，因为201212t t ++≥，当且仅当20t t==等号成立 ， 所以12012y t t=++值域为30,16⎛ ⎝⎦，所以30,16a ⎛∈ ⎝⎦， 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题.26．（1）264x S x =-,()5,20x ∈;（2）8AN =,96. 【详解】（1）由NDC NAM ∆~∆可得，466,4x x AM x AM x -=⇒=-，∴264x S x =-． 由4x >，且261504x S x =<-，解得520x <<， ∴函数的定义域为()5,20．（2）令4x t -=，则()1,16t ∈，()22646166868964t x S t x t t ⎛⎫+⎛⎫===++≥= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4t =时，S 取最小值96，故当AN 的长度为8米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米．考点：1.分式不等式；2.均值不等式.。
新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()102xx f x =+-的零点为a ，()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则a b +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知方程923310x x k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1,)+∞3．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4) B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞4．已知函数24,?0()7,?0x f x x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，()()g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a的取值范围是（ ） A ．(﹣4，0] B ．(-∞，﹣9) C ．(-∞，﹣9)(﹣4，0]D ．(﹣9，0]5．若函数32232,01()5,1x x m x f x mx x ⎧-+<≤=⎨->⎩，恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()5,0-B ．()0,5C ．1[,5)2D ．1(0,]26．函数2cos ()x xx xf x e e-=-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．函数()32xy x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．若函数()af x x x=+ (a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则a 的值可能是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．310．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A 元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B 元，则（ ）． A ．A B < B ．A B =C ．A B >D ．A ，B 大小不确定11．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[]P Q 、是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[]P Q 、与[]Q P 、看作同一对“友好点对”）．已知函数22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则此函数的“友好点对”有（ ） A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对12．已知函数()21xf x x =++，()2log 1g x x x =++，()2log 1h x x =-的零点依次为,,a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<二、填空题13．已知函数2()log (2)f x x =+与2()()1g x x a =-+，若对任意的1[2,6)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______．14．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．15．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ，那么这个人至少经过________小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：lg30.48,lg 40.60≈≈）16．已知函数(),0ln ,0x e xf x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x m =+有两个不同根，则实数m 的最小值为______.17．若函数2()2ln f x x a x =-++在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.18．对于实数a b ，，定义运算“*”：22*a ab a ba b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设()()2*1f x x x =+，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 19．已知()14f x x=-，若存在区间[]()0a b ⊆+∞，，，使得()[]{}[]|y y f x x a b ma mb =∈=，，，．则实数m 的取值范围是__________．20．已知函数221,0()21,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩，若函数()y f x k =-有3个零点，则实数k 的取值范围是________.三、解答题21．如图，电路中电源的电动势为E ，内电阻为r ，1R 为固定电阻，2R 是一个滑动变阻器.其中电功率与外电阻2R 满足关系式2212()EP R r R R =++.（1）若 6.0=E V ， 1.0r =Ω，10.5R =Ω，求 5.625P W =时的滑动电阻值2R .（2）当2R 调至何值时，消耗的电功率P 最大？最大电功率是多少？22．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－1km + (k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 23．已知函数()()1f x x x a x R =--+∈. （1）当2a =时，求函数()()g x f x x =-的零点；（2）对于给定的正数,a 有一个最大的正数()M a ，使()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()2f x ≤，试求出这个正数()M a ，并求它的取值范围.24．已知函数f (x )=x +11x +，g (x )=ax +5-2a (a >0). （1）判断函数f (x )在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；（2）若对任意m ∈[0，1]，总存在m 0∈[0，1]，使得g (m 0)=f (m )成立，求实数a 的取值范围.25．如图所示，已知1(,)A x m 、2(,2)B x m +、3(,4)C x m +（其中2m ≥）是指数函数()2x f x =图像上的三点．(1)当2m =时，求123()f x x x ++的值；(2)设ABC ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数()S m 及其最大值.26．某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为R （x ）万元.且()()()2211080103108010000103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，可知函数()h x 的零点为1b -，令()0f x =，可得出102x x =-，令()0h x =可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10x y =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，利用函数10x y =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，并求出直线y x =、2y x =-的交点坐标，进而可求得+a b 的值. 【详解】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，由于函数()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则函数()h x 的零点为1b -.令()0f x =，可得102x x =-，令()0h x =，可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10xy =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，如下图所示：由于函数10xy =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，直线2y x =-与直线y x =垂直，设直线2y x =-与函数10xy =的交点为点A ，直线2y x =-与函数lg y x =的图象的交点为点B ，易知点A 、B 关于直线y x =对称，直线2y x =-与直线y x =的交点为点()1,1C ，且C 为线段AB 的中点，所以12a b +-=，因此，3a b +=. 故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查函数零点之和，解题的关键在于利用函数10xy =、lg y x =互为反函数，这两个函数的图象关于直线y x =对称，结合对称性来求解.2．B解析：B 【分析】先将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题，再利用判别式和韦达定理即可求出实数k 的取值范围. 【详解】设3x t =，则0t >，则方程923310x x k -⋅+-=有两个实根可转化为方程22310t t k -+-=有两个正根，则利用判别式和韦达定理得()()22431020310k k ⎧∆=---≥⎪>⎨⎪->⎩，解得：1233k <≤； 所以实数k 的取值范围为12,33⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：B. 【点睛】关键点睛：将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题是解决本题的关键.3．D解析：D 【分析】画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得【详解】数形结合法：画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得由图可得：204a a <<解得4a > 或204a a >>-解得4a故选：D 【点睛】数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.4．C解析：C 【分析】令()()0g x f x x a =+-=，将()g x 存在两个零点，转化为两函数24,?0,6,?0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩有两个交点，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令()()0g x f x x a =+-=，得24,?06,?0x x a xx x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩， 令24,?0,6,?0x x y a y xx x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩， 在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：因为()g x 存在两个零点， 由图象可得：a <﹣9或﹣4<a ≤0， 故选：C 【点睛】方法点睛：函数零点问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．5．D解析：D 【分析】先求出()g x 的单调性，然后根据题意，得到满足条件时有(0)0(1)0g g >⎧⎨≤⎩，求出m 的范围，然后再根据m 的范围，求出满足前述条件时，()5h x mx =-有零点的情况，进而可求解【详解】令32()232g x x x m =-+，'()6(1)g x x x =-，故()g x 在(]0,1处单调递减，所以，()g x 在(]0,1上至多有一个零点，而对于()5h x mx =-，在(1,)+∞上至多有一个零点，由题意得，()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，故有(0)0(1)0g g >⎧⎨≤⎩，求出102m ≥>，此时，()5h x mx =-，在(1,)+∞上单调递增，所以，(1)0h <即可满足题意，解得5m <，根据125m m ⎧≥>⎪⎨⎪>⎩，得102m ≥>故选：D 【点睛】关键点睛：解题关键在于先求出32()232g x x x m =-+的单调性，并根据()g x 的单调性得出()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，然后进行求解，难度属于中档题6．A解析：A 【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，再根据102x <<，时()0f x >即可得到正确的图像. 【详解】2cos ()x x x x f x e e -=-，()()22cos cos ()()x x x x x x x x f x f x e e e e-----==-=---∴， 因此函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除,C D ， 又当102x <<时，cos 0,0x xx e e ->->，()0f x ∴>，排除B . 故选：A . 【点睛】本题主要考查的是函数图像，考查利用函数的奇偶性看图形，排除法的应用，考查学生的分析问题的能力，是中档题.7．B解析：B 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解. 【详解】因为函数()32xy x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322xxf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，由()()()32112xxy x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD故选：B 【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】由题意可得方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8xf x x x=∈，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出()y f x =的图象，可得m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即为2ln mx x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即1ln 2x m x=在(]0,8上有两个不等的实数根， 设()(]ln ,0,8x f x x x =∈，则()21ln xf x x-'=， 当(,8)x e ∈时，()0f x '<，函数()f x 递减， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增， 所以当x e =时，函数()f x 取得最大值1e，且()ln83ln 2888f ==， 所以3ln 2182m e ≤<，解得3ln 224m e≤<，故选C.【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为1ln 2x m x =在(]0,8上有两个不等的实数根，利用导数求得函数()ln x f x x =的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.9．A解析：A 【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案. 【详解】 函数()af x x x=+()a R ∈的图象在()12，上是连续不断的，逐个选项代入验证，当2a ＝－时，()()112022110f f ＝－＜，＝－＝＞，.故()f x 在区间()12，上有零点，同理，其他选项不符合， 故选A. 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，属于基础题．10．C解析：C 【解析】设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x ，y 元， 则284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，2A x =，3B y =，两式分别乘以22，8， 整理得12180x y ->， 即230x y ->， 所以A B >． 故选C ．11．C解析：C 【分析】由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，结合22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数，从而作图解答 【详解】解：由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，因为22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数， 作2x y -=-与22y x x =-的图像如图所示，两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对 故选：C 【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题12．A解析：A 【解析】令函数()210xf x x =++=，可得0x <，即0a <，令()2log 10g x x x =++=，则01x <<，即01b <<，令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =，显然a b c <<，故选A.二、填空题13．【分析】由对数函数的性质可得转化条件为由二次函数的图象与性质即可得解【详解】因为所以即函数的图象开口朝上对称轴为①当函数在上单调递增所以即所以解得；②当时函数在上单调递减所以即所以解得；③当时所以解解析：1,222,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦【分析】由对数函数的性质可得()123f x ≤<，转化条件为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】因为1[2,6)x ∈，所以()()()126f f x f ≤<即()123f x ≤<，函数2()()1g x x a =-+的图象开口朝上，对称轴为x a =，①当0a ≤，函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以()()()202g g x g ≤≤， 即()2221,45g x a a a ⎡⎤∈+-+⎣⎦，所以22124530a a a a ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≤⎩，解得10a -≤≤；②当2a ≥时，函数()g x 在[0,2]上单调递减，所以()()()220g g x g ≤≤， 即()22245,1g x a a a ⎡⎤∈-++⎣⎦，所以22452132a a a a ⎧-+≤⎪+≥⎨⎪≥⎩，解得23a ≤≤；③当01a <≤时，()()22max 245g x g a a ==-+，()()2min 12g x g a ==<，所以245301a a a ⎧-+≥⎨<≤⎩，解得022a <≤-；④当12a <<时，()()22max 01g x g a ==+，()()2min 12g x g a ==<，所以21312a a ⎧+≥⎨<<⎩，解得22a ≤<；综上，实数a 的取值范围是1,222,3⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦. 故答案为：1,222,3⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦.【点睛】解决本题的关键是将条件转化为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，结合二次函数的图象与性质讨论即可得解.14．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为2解析：2 【详解】 把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.15．5【分析】先根据题意设小时后才能开车再结合题中条件：血液中的酒精含量不超过009mg/mL 得到一个关于的不等关系再根据指对数不等式的求解即可【详解】设小时后才能开车则有即两边取对数有因为故代入可得故解析：5 【分析】先根据题意设x 小时后才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于x 的不等关系,再根据指对数不等式的求解即可. 【详解】设x 小时后才能开车,则有()0.310.250.09x⋅-≤,即30.34x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,两边取对数有3lg lg 0.34x ≤,因为3lg 04<故lg 0.3lg313lg3lg 4lg 4x -≥=-.代入lg30.48,lg 40.60≈≈可得0.481130.480.603x -≥=-.故x 最小为5.故答案为：5. 【点睛】 本题主要考查了指对数运算在实际情景中的运用,需要根据题意建立联系,再根据对数运算法则代入近似值计算.属于基础题.16．1【分析】画出函数的图象利用数形结合转化求解即可【详解】解：先作出函数的图象再结合图象平移直线由图象知有两个零点时须故的最小值为1故答案为：1【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系考查转化思想以解析：1 【分析】画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．【详解】解：先作出函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩的图象，再结合图象平移直线y x m =+，由图象知()f x x m =+有两个零点时，须1m ， 故m 的最小值为1． 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17．【分析】将问题转化为在上有两个解令利用导数判断的单调性及最值数形结合即可求得a 的范围【详解】令可得令则因为当时当时所以在上单调递减在上单调递增所以当时取得最小值又所以因为在上有两个解所以故答案为：【 解析：441,1(]e+ 【分析】将问题转化为22ln a x x =-在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，令2()2ln g x x x =-，利用导数判断()g x 的单调性及最值，数形结合即可求得a 的范围.【详解】令()0f x =可得22ln a x x =-，令2()2ln g x x x =-，则2222()2x g x x x x-'=-=，因为当211x e 时，()0g x '，当1x e <时，()0g x '>， 所以()g x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(1,]e 上单调递增， 所以当1x =时()g x 取得最小值(1)1g =，又224114,()2g g e e e e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以21()g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为()ag x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，所以4114a e <+.故答案为：441,1(]e + 【点睛】本题考查函数的零点、利用导数求函数的最值，考查等价转化思想和数形结合思想，属于中档题.18．【分析】根据对运算的定义将写成分段函数画出该函数的图像将问题转化为直线与函数的图像有3个交点求参数的范围问题【详解】根据题意在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知当时由最小值故数形结合可知解析：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据对运算的定义，将()f x 写成分段函数，画出该函数的图像，将问题转化为直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点求参数的范围问题.【详解】 根据题意()()221,11,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知，当()0,1x ∈时，由最小值1122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故数形结合可知，当1,02m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点， 即()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根. 故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，本题中采用数形结合的方法，将问题转化为函数图像交点的问题进行处理.19．【分析】依题意在上单调增则（a ）（b ）从而可得必须有两个不相等的正根利用该方程有二异正根的条件即可求得实数的取值范围【详解】在是增函数在上值域为（a ）（b ）所以（a ）且（b ）即且所以且所以必须有两个 解析：(0,4)【分析】 依题意，1()4f x x=-在[a ，]b 上单调增，则f （a ）ma =，f （b ）mb =，从而可得210mx x -+=必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m 的取值范围．【详解】 1()4f x x=-在(0,)+∞是增函数， ()f x ∴在[x a ∈，]b 上值域为[f （a ），f （b ）]所以f （a ）ma =且f （b ）mb =， 即14ma a-=且14mb b -=，所以2410ma a -+=且2410mb b -+=，所以2410mx x -+=必须有两个不相等的正根，故0m ≠，∴40101640m m m ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎪⎩，解得04m <<．∴实数m 的取值范围是(0,4)．故答案为：(0,4)． 【点睛】本题主要考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为210mx x -+=必须有两个不相等的正根是关键，属于中档题．20．【分析】画出的图像再分析有3个交点时实数的取值范围即可【详解】的图象如图∵有3个零点∴图象与图象有3个交点∴故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求解参数的取值范围问题需要数形结合分析属 解析：(0,1)【分析】画出221,0()21,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩的图像,再分析()f x k =有3个交点时实数k 的取值范围即可. 【详解】()y f x =的图象如图.∵()y f x k =-有3个零点,∴()y f x =图象与y k =图象有3个交点. ∴1()0,k ∈. 故答案为：(0,1) 【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求解参数的取值范围问题.需要数形结合分析,属于中档题.三、解答题21．（1）0.9或2.5；（2）当2R 调至1R r +时，消耗的电功率P 最大，最大电功率是2144E R r+.【分析】（1）代入数据，解方程可得答案；（2）由已知得221212()2()E P R r R R r R =++++，再利用基本不等式可得最值． 【详解】（1）当 6.0=E V ， 1.0r =Ω，10.5R =Ω， 5.625P W =时，22222222456()2068450(109)(25)01812R R R R R R =⇒-+=⇒--=++， 解得290.910R ==，或252.52R == 故2R 的值为0.9或2.5.（2）由题意，120,0,0,0E r R R >>>>，于是222222221122211212()()2()()2()E R E E P R R r r R R R R R r R r R R r R ===++++++++++2221112()2()44E E R r R r R r ==++++，当且仅当2122()R r R R +=，即21R R r =+时，等号成立.也就是说，当外电路的电阻等于内电阻时电源的输出功率最大；将电阻1R 与电源等效成等效电源考虑求解. 【点睛】关键点点睛：解决函数模型的应用问题时，关键在于将生活中的数据转化到函数模型中的数据，注意数据所满足的实际的意义．22．（1）y ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．. 【分析】（1）根据0,1m x ==(万件)求出2k =，求出每件产品的销售价格，则可得利润关于m 的函数；（2）利用基本不等式可求得最大值. 【详解】(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－21m + (m ≥0)， 每件产品的销售价格为1.5×816xx+ (元)， 所以2020年的利润y ＝1.5x ×816xx+－8－16x －m ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，161m +＋(m ＋8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当161m +＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 23．（1）352；（2）答案见解析.【分析】（1）可令()0g x =，解含有绝对值的方程，对x 进行讨论，最后得出符合条件的x 的值. （2）因为()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，再按照22a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭和22a f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭两种情况分类讨论，即可得到结论. 【详解】（1）令()()0g x f x x =-=,得()21f x x x x =--+=, 当2x ≥时，方程化简为：210x x --=，解得：x =（舍）或x =（舍）， 当2x <时，方程化简为：2310x x -+=，解得：x =x ，x ∴=. （2）当()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需要在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，由2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭分两种情况讨论：当2124a -<-时，即a >()M a 是方程212x ax -+=-的较小根()2a M a =由于a >a >，所以()(M a ∈当2124a -≥-时，即0a <≤时，()M a 是方程212x ax -++=-的较大根，()M a =由于0a <≤(a所以()M a ∈综上() 0<a M a a >=≤ ，且()(M a ∈⋃.【点睛】分类讨论方法，关键点在于运算时由于不确定性，需要对某个参数进行讨论，进而分类运算.恒成立问题，关键点在对于任意x D ∈，()f x a ≥恒成立，可转化为()min f x a ≥. 24．（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增，证明见解析；（2）72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）任取1201x x ≤<≤，计算()()12f x f x -并判断正负即可判断单调性；（2）可得出f (m )∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (m 0)∈[5-2a ，5-a ]，由题得31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆[5-2a ，5-a ]，即可建立不等式求出. 【详解】（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增， 证明如下：设1201x x ≤<≤， 则()()12f x f x -12121111x x x x =+--++ ()()()21121211x x x x x x -=-+++()()()()1212121211x x x x x x x x -++=++，因为120x x -<，()()12110x x ++>，12120x x x x ++>， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数f (x )在[0，1]上单调递增；（2）由（1）知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0a >，()52g x ax a =+-在[0，1]上单调递增， 所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5-2a ，5-a ]. 依题意，只需31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆[5-2a ，5-a ]， 所以521352a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得2≤a ≤72，即实数a 的取值范围为72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题考查与函数相关的方程的有解性问题，解题的关键是求出()0g m 和()f m 的取值范围，由()f m 的范围是()0g m 范围的子集建立不等式求解. 25．（1）48；（2）24log 3【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）()()()123312123222224x x x x x x f x x x m m m ++++===++，∴ 当2m =时，()12348f x x x ++=；(2)过C 作直线l 垂直于x 轴，分别过,A B 作11,AA BB 垂直于直线l ，垂足分别为11,A B ，则1111ABC AAC BB C AA B B S S S S ∆∆∆=--梯形 ()()()31323231111422222x x x x x x x x =-⨯--⨯--+-⨯ ()()()()21322222log 2log log 4x x x m m m =-+=+-++()2222224log log 144m m m m m +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭即S 关于m 的函数为：()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭，[)2,m ∈+∞ 令24v m m =+，因为24v m m =+在[)2,+∞上是增函数，∴12v ≥ 再令41t v =+，则41t v =+在[)12,+∞上是减函数，∴413t <≤； 而2log S t =在区间41,3⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数， 所以，函数()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭在区间[)2,+∞上是减函数， 故当2m =时，()()2max 42log 3S m S ==．【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.26．（1）()()318110001031000098027103x x x y x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大 【分析】（1）由已知条件分类即可写出年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式. （2）分别求分段函数在各段内的最大值，对比即可得到服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大值，由此得到年产量． 【详解】（1）当010x <≤时，2310111088110020337x x x y x x ⎛⎫=---=⎪⎭- ⎝-. 当10x >时，210000100108027980271000033y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎝-⎭⎭所以年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式为：()()318110001031000098027103x x x y x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当010x <≤时，31811003x y x --=， 所以281y x '=-，由0y '=得：9x =，∴当9x =时，3max 181991003863y =⨯-⨯-=.当10x >时，10000100009802798022738033x y x x x ⎛⎫-+≤-⨯= ⎪⎝⎭=，当且仅当1009x =时，等号成立. ∴当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了利用导数求函数的最值、利用基本不等式求函数的最值，考查了分类思想及计算能力，属于中档题．。
人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测题(含答案解析)
一、选择题1．若奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，且在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为-1，则()()263f f -+-的值为（ ） A ．5B ．-5C ．13D ．-132．定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，对[]12,0,4x x ∀∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则有（ ）A ．()()()192120211978f f f =<B ．()()()192119782021f f f <<C ．()()()192120211978f f f <<D ．()()()202119781921f f f <<3．设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ） A ．()8,9B ．()65,129C ．()64,128D ．()66,1304．设函数()f x 是定义R 在上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，1()2x f x -=，若32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()30.5b f -=，()60.7c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>D ．c b a >>5．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()3f m n f m f n +=+-，且0x >时，()3f x <，则下列说法不正确的是（ ）A ．()()6f x f x +-=B ．()y f x =在R 上单调递减C ．若()10f =，()()22190f x x f x ++--->的解集()1,0-D ．若()69f =-，则123164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭6．对于实数a 和b ，定义运算“*”：,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =，()224g x x x =--+，则()()()M x f x g x =*的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数()22368f x x x x =---+-的值域是( )A ．35,5⎡⎤-⎣⎦B ．[]1,5C ．2,35⎡⎤+⎣⎦D ．35,35⎡⎤-+⎣⎦9．函数f (x )＝211x --的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0] C ．[0,1]D ．[0,43] 10．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}{},x x m =即．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；则其中真命题的序号是 （ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案11．已知函数()3()log 91xf x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞12．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[0,1]B ．()D x 是偶函数C ．()(3.14)D D π>D ．()D x 是单调函数13．函数1()lg f x x=+ ） A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)(1,2]⋃D ．(,2]-∞14．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．()f x =2()f x =B ．,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()||g t t =C ．()f x =()g x =．()1f x x 与2()1x g x x=-15．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ）①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到；③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数； ④函数21lg ||x y x +=无最大值，也无最小值；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有()()()221112210x f x x f x x x x x ->≠-，且(3)2f =，则不等式6()f x x>的解集为___________.17．已知a R ∈，函数229()f x x a a x =++-在区间[3,1]--上的最大值10，则a 的取值范围是__________．18．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.(1)在坐标系中画出函数()f x 在R 上的完整图象； (2)求函数()f x 在R 上的解析式.19．定义在[0,)+∞上的函数()y f x =满足：（1）(2)0f =；（2）当02x <<时，()0f x ≠；（3）任意的,0x y >总有()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅成立．则1(3)2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.21．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数[]y x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，当(]1.5,3x ∈-时，函数22x y ⎡-=⎤⎢⎥⎣⎦的值域为________．22．函数()ln f x x x x =+的单调递增区间是_______． 23．已知函数2421()349x x f x +-=-+，则(21)(2)8f x f x -++>的解集为__．24．设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______． 25．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()21f =-，对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--，则()2020f =_________.26．已知f （x ）是R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣5x ，则f （x ﹣1）＞f （x ）的解集为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用条件找到()31f =-，(6)7f =，再利用()f x 是奇函数求出(3)f -，(6)f -代入即可． 【详解】由题意()f x 在区间[]3,6上是增函数， 在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为1-， 得()31f =-，(6)7f =，()f x 是奇函数，(3)2(6)(3)2(6)12713f f f f ∴-+-=--=-⨯=-．故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，关键点是利用函数的奇偶性先求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小. 【详解】()()22f x f x -=-+，()()4f x f x ∴+=-，即()()8f x f x +=，()f x ∴的周期8T =，由条件可知函数在区间[]0,4单调递增，()()()1921240811f f f =⨯+=，()()()()()202125285533f f f f f =⨯+==-=， ()()()1978247822f f f =⨯+=，函数在区间[]0,4单调递增，()()()123f f f ∴<<， 即()()()192119782021f f f <<. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含()()f x a f x +=，则函数的周期是a ，若函数()()f x a f x +=-，或()()1f x a f x +=，则函数的周期是2a ，或是()()f x a f x b -=+，则函数的周期是b a +. 3．D解析：D 【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得67c <<，从而可得结果． 【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得67c <<，故67222c <<． ∴66222130a b c <++<． 故选：D ． 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 确定方程根的个数； 求参数的取值范围； 求不等式的解集； 研究函数性质．4．B解析：B 【分析】由(1)(1)f x f x +=-可得函数的周期为2，再利用周期和偶函数的性质将32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()30.5b f -=，转化使自变量在区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小 【详解】解：因为(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=， 所以函数()f x 的周期为2，因为函数()f x 是定义R 在上的偶函数， 所以331122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()30.5(8)(0)b f f f -===，因为62100.70.72<<<，()f x 在[0,1]上单调递增， 所以61(0)(0.7)()2f f f <<， 所以b c a <<， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数周期性，单调性和奇偶性的应用，解题的关键是利用函数的周期将自变量转化到区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小，属于中档题5．D解析：D 【分析】构造函数()()3g x f x =-，验证函数()g x 的奇偶性可判断A 选项的正误；判断函数()g x 的单调性可判断B 选项的正误；利用函数()g x 的单调性解不等式()()22190f x x f x ++--->，可判断C 选项的正误；计算出()24g =-，求出116g ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可求得116f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()()3g x f x =-，由()()()3f m n f m f n +=+-可得()()()g m n g m g n +=+. 对于A 选项，取0m n ==，可得()()020g g =，()00∴=g ，取n m =-，则()()()00g g m g m =+-=，()()g m g m ∴-=-，则函数()g x 为奇函数，所以，()()()()60g x g x f x f x +-=+--=，可得()()6f x f x +-=，A 选项正确； 对于B 选项，由已知条件可知，当0x >时，()()30g x f x =-<.任取1x 、2x R ∈且12x x >，所以，()()()()()1212120g x x g x g x g x g x -=+-=-<，()()12g x g x ∴<，所以，函数()()3g x f x =-为R 上的减函数，所以，函数()f x 为R 上的减函数，B 选项正确； 对于C 选项，()10f =，可得()()1133g f =-=-，由()()22190f x x f x ++--->，可得()()22130g x x g x ++--->，即()()()21311g xx g g +->=-=-，211x x ∴+-<-，可得20x x +<，解得10x -<<.C 选项正确； 对于D 选项，()()()()()663124232g f g g g =-=-=+=，()24g ∴=-，()()112214324216g g g g ⎛⎫⎛⎫=====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111316168fg ⎛⎫⎛⎫∴-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，123168f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.6．B解析：B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩，通过解不等式得出()()212421,x x x M x x x ⎧⎡⎤---+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩，作出函数()M x 的图象，根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时，()224g x x x x =--+≥，得到01x ≤≤， 即01x ≤<时，()()f x g x <，当1x >时，()()f x g x > 当0x <时，()224g x x x x =--+≤-，得117x --≤即当117x --≤时，()()f x g x >，当1170x --<<时，()()f x g x <所以()()211724,1117,1,x x x M x x x ⎧⎡⎤----+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫--⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象，如图所示，由图可得，当1x =时，()M x 有最小值1 故选：B7．D解析：D 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-，函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项， 故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 利用上述方法排除、筛选选项．8．A解析：A 【详解】由()()2223682x 31x 3f x x x x =---+-=----，知2680x x -+-≥，解得[]2,4.x ∈令()2t 231x 3x =----，则()21x 323x t --=--.，即为()2y 1x 3=--和y 23x t =--两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时t 最小，当直线过点A(4,0)时，t 最大. 3t 114-=+，解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时，2430t ⨯--=，解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈⎣⎦，即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.9．C解析：C 【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，21x -sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合. 10．B解析：B【解析】111()(1)222f -=---= ；111()(0)444f -=--=-，111()(0)444f =-=，所以11()()44f f -<； (3.4) 3.430.4f =-=；()y f x = 的定义域是R ，值域是11(,]22- ，所以选B.点睛：解决新定义问题，关键是明确定义含义，正确运用定义进行运算.对于抽象的概念，可先列举一些具体的数值进行理解与归纳.本题易错点在区间端点是否可取上，难点在于整数的确定.11．C解析：C【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10t t ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10t t ++-<，所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++， 所以90t >，所以'()0g t >，所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，所以由()(1)g t g <，得314t ≤<， 所以23114x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)t g t t =++，利用函数的单调性解不等式.12．B解析：B【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误，根据偶函数定义知B 正确，()0D π=，(3.14)1D =，C 错误，()()011D D ==，故D 错误，得到答案.【详解】根据题意：()D x 的值域为{}0,1，A 错误；当x 为有理数时，x -为有理数，()()D x D x =-，当x 为无理数时，x -为无理数，()()D x D x =-，故函数为偶函数，B 正确；()0D π=，(3.14)1D =，C 错误；()()011D D ==，故D 错误.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 13．C解析：C【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列不等式求解.【详解】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃故选：C .【点睛】方法点睛：该题考查的是有关求函数定义域的问题，在求解的过程中，注意：（1）对数要求真数大于0；（2）分式要求分母不等于0；（3）偶次根式要求被开方式大于等于0.14．B解析：B【分析】根据同一函数的概念及判定方法，分别求得两函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数()f x =R，函数2()f x =的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于B 中，函数,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与,0(),0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数；对于C 中，函数()f x =210x -≥，解得1x ≤-或1≥x ，即函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，函数()g x =1010x x +≥⎧⎨-≤⎩，解得11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[]1,1-，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于D 中，函数()1f x x 的定义域为R ，函数2()1x g x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B.【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答得关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.15．A解析：A【分析】①举反例说明命题为假；②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真；④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假．【详解】解：①取幂函数2y x ，显然与1y x =仅有一个交点，所以①不正确； ②函数()30x y k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3x y =的图象经过伸缩得到，所以②不正确；③设()y f x =，由()()()3111,0312231x x x x f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭，定义域关于原点对称， 则()()()()()()3131231231x x x x x x f x f x ---++-===--，()f x ∴是偶函数，故③正确；④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 而lg y u =在定义域上单调递增，所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值，所以④不正确．故选：A ．【点睛】本题考查指对幂函数的性质，属于基础题.二、填空题16．【分析】令可得是上的增函数根据为奇函数可得为偶函数且在上是减函数分类讨论的符号将变形后利用的单调性可解得结果【详解】令则对于都有所以是上的增函数因为函数为定义在R 上的奇函数所以所以所以是定义在R 上的 解析：(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】令()()g x xf x =，可得()g x 是[0,)+∞上的增函数，根据()f x 为奇函数可得()g x 为偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，分类讨论x 的符号，将6()f x x>变形后，利用()g x 的单调性可解得结果.令()()g x xf x =，则对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有211221()()0()g x g x x x x x ->≠-， 所以()g x 是[0,)+∞上的增函数，因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，当0x >时，6()f x x>化为()63(3)xf x f >=，即()(3)g x g >，因为()g x 是[0,)+∞上的增函数，所以3x >， 当0x <时，6()f x x>化为()6xf x <，因为()f x 为奇函数，且(3)2f =，所以(3)(3)2f f -=-=-，所以()6xf x <化为()3(3)(3)g x f g <--=-，因为()g x 在(,0)-∞上是减函数，所以30x -<<， 综上所述：6()f x x>的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞. 故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞ 【点睛】关键点点睛：构造函数()()g x xf x =，利用()g x 的奇偶性和单调性求解是解题关键. 17．【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值掌握绝对 解析：[8,)-+∞【分析】 求出229x x+的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系，可得a 的范围． 【详解】 [3,1]x ∈--时，2[1,9]x ∈，2296x x +≥=，当且仅当23x =时等号成立， 又1x =-或3x =-时，22910x x +=，所以229610a x a a x +≤++≤+， 而()f x 的最大值为10，所以229x a x ++的最大值为10a +， 所以100610a a a +≥⎧⎨+≤+⎩，解得8a ≥-． 故答案为：[8,)-+∞．关键点点睛：本题考查函数的最值．掌握绝对值的性质是解题关键．当0a b >≥时，a b >，当0a b 时，a b <，当0a b >>时，0a b +>，则a b >，0a b +<时，a b <．18．（1）图象答案见解析；(2)【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称先作出当时的图像在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求在的解析式在合并在一起写成分段函数即可【详解】解：(1)图像如图解析：（1）图象答案见解析；(2)(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. 【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称，先作出当0x ≥时，()()1f x x x =-的图像，在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求()f x 在0x <的解析式，在合并在一起写成分段函数即可．【详解】解：(1) 图像如图示．(2)设0x <，则0x ->，所以()(1())(1)f x x x x x -=---=-+，又因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-.所以当0x <，()()1f x x x =+，综上()f x 的解析式为：(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩． 【点睛】函数奇偶性的应用：(1) 利用奇偶性求函数值；(2) 利用奇偶性画图像；(3) 利用奇偶性求函数的解析式．19．【分析】先令求得再令可得结合已知条件可得从而可得答案【详解】解：令则由得因为所以令则因为当时；所以所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题解题的关键是结合已知条件正确赋值令 解析：43【分析】先令1,2x y ==，求得(3)0f =，再令31,22x y ==，可得311(())()(2)222f f f f ⋅=，结合已知条件可得1()2f ，从而可得答案【详解】解：令1,2x y ==，则由()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅得((2))(2)(12)f f f f ⋅=+， 因为(2)0f =，所以(3)0f =， 令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=， 因为(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠； 所以31(())0(2)22f f f ==， 所以31()222f =，所以14()23f =， 所以14(3)23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故答案为：43【点睛】 关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题，解题的关键是结合已知条件正确赋值，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=，由(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠，可得31()222f =，从而得14()23f = 20．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注 解析：1(,)4-+∞ 【解析】由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.21．【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值【详解】则当时当时当时∴值域为故答案为：【点睛】本题考查新定义函数解题关键是理解新函数利用新函数定义分类讨论求解解析：{}2,1,0--【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值．【详解】( 1.5,3]x ∈-，则21.750.52x --<≤， 当21.7512x --<<-时，222x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦-=， 当2102x --≤<时，122x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦-=， 当200.52x -≤≤时，022x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=， ∴值域为{2,1,0}--．故答案为：{2,1,0}--．【点睛】本题考查新定义函数，解题关键是理解新函数，利用新函数定义分类讨论求解． 22．【分析】求出函数的定义域并求出该函数的导数并在定义域内解不等式可得出函数的单调递增区间【详解】函数的定义域为且令得因此函数的单调递增区间为故答案为【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间在求出导数不解析：()2,e -+∞【分析】求出函数()y f x =的定义域，并求出该函数的导数，并在定义域内解不等式()0f x '>，可得出函数()y f x =的单调递增区间.【详解】函数()ln f x x x x =+的定义域为()0,∞+，且()ln 2f x x '=+，令()0f x '>，得2x e ->.因此，函数()ln f x x x x =+的单调递增区间为()2,e -+∞，故答案为()2,e -+∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，在求出导数不等式后，得出的解集应与定义域取交集可得出函数相应的单调区间，考查计算能力，属于中等题.23．【分析】根据题意设则原不等式变形为分析函数的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于解可得的取值范围即可得答案【详解】根据题意函数设则变形可得即；对于其定义域为则有即函数为奇函数；函数在上为增函数在上为减 解析：1(,)3-+∞ 【分析】根据题意，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则原不等式变形为(21)(2)0g x g x -++>，分析函数()g x 的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于212x x ->--，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数 24244221()343349x x x x f x ++--=-+=-+，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则(21)(2)8f x f x -++>，变形可得(21)4(2)40f x f x --++->，即(21)(2)0g x g x -++>；对于2442()()433x x g x f x +-=-=-，其定义域为R ， 则有24422442()33(33)()x x x x g x g x -+++--=-=--=-，即函数()g x 为奇函数； 函数243x y +=在R 上为增函数，423x y -=在R 上为减函数， 故函数2442()33x x g x +-=-在R 上为增函数，故(21)(2)0(21)(2)(21)(2)212g x g x g x g x g x g x x x -++>⇒->-+⇒->--⇒->--， 解可得13x >-， 即不等式的解集为1(3-，)+∞. 故答案为：1(3-，)+∞． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．24．【分析】先利用换元法求出然后再用分离变量法借助函数的单调性解决问题【详解】解：由题意可设则∵∴∴∴∴由得∴对恒成立令则由得∴在上单调递减在单调递增∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的 解析：(],21e -∞-【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题．【详解】解：由题意可设()x f x e x t -+=，则()xf x e x t =-+， ∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦， ∴()t tf t e t t e e =-+==， ∴1t =，∴()1xf x e x =-+， ∴()1xf x e '=-， 由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥， ∴21x e a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立， 令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=， 由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()()121g x g e ≥=-，∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．25．1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得（4）（2）即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为：1【点 解析：1【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--，进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=（4）f =-（2），即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()(2)f x f x =--，则()(2)f x f x =--，∴()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=，故答案为：1【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期．26．【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式在同一坐标系中做出和的图像求出交点的坐标根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的 解析：{23}x x -<<【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数()f x 和()1f x -的解析式，在同一坐标系中做出()f x 和()1f x -的图像，求出交点的坐标，根据不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.【详解】当0x <时， 0x ->，所以 ()()22()55f x x x x x -=--⨯-=+，又f （x ）是R 上的奇函数，所以 2()()5f x f x x x =--=--，所以225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 所以()()()()22151,1(1)151,1x x x f x x x x ⎧---≥⎪-=⎨----<⎪⎩，即2276,1(1)34,1x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨--+<⎩， 做出()f x 和()1f x -的图像如下图所示，不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合， 由22576,x x x x -=-+得3,x =所以()3,6A -， 由22534x x x x --=--+得2x =-，所以()2,6B -，所以不等式(1)()f x f x ->的解集为{23}x x -<<. 故答案为：{23}x x -<<.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求得对称区间上的解析式，图像的平移，以及运用数形结合的思想求解不等式，关键在于综合熟练地运用函数的奇偶性，解析式的求法，图像的平移，以及如何在图像上求出不等式的解集等一些基本能力，属于中档题.。
沪教版高中数学必修一第五章《函数的概念性质及运用》题含答案
沪教版高中数学必修一第五章《函数的概念性质及运用》题含答案
一、单选题
1．已知定义在R上的函数满足，且，则（）A．-1B．-0.5C．0.5D．1
2．已知定义在R上的偶函数满足且时有
，而在区间上至多有10个零点，至少有8个零点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
3．函数的定义域是（）
A．B．C．D．
4．若函数是函数（且）的反函数，且，则（）．A．B．C．D．
5．已知定义在R上的函数满足，，且在上有，则（）
A．B．C．D．
6．某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为（）
A．0.1B．0.01C．0.001D．0.0001
7．设定义在上的奇函数满足（），则（）
A．B．C．D．
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8．函数的值域为（）
A．B．C．D．
9．已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．若函数的反函数的图象经过点，则实数a等于（）A．1B．2C．3D．4
11．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令
，则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
12．已知函数，则关于的方程（）的实根个
数不可能为（）
A．B．C．D．
二、多选题
13．已知函数，若方程F（x）＝f（x）﹣ax有4个零点，则a的可能的值为（）
A．B．C．D．
14．已知函数，则下列命题正确的有（）
A．当时，的解集为
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(常考题)人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞2．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（ ）A ．52- B ．32- C ．32 D ．523．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则()1f -=（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-14．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+ 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，则不等式()()2120x f x x -->的解集是（ ）A ．()(),11,2-∞B ．()()0,11,+∞C ．()(),01,2-∞D ．()()0,12,⋃+∞6．函数()ln x xxf x e e -=-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )＝|x |＋ln|x |，若f （3a -1）＞f （1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0B ．23a >C ．023a <<D ．a ＜0或23a >8．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间[,]M a b =，集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使MN 成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个9．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞10．函数24()|3|3x f x x -=+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数11．函数1()2lg f x x x=+- ） A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)(1,2]⋃ D ．(,2]-∞12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．50B ．0C ．2D ．-2018 13．下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 （ ）A ．2x y =B ．2y xC ．2log y x =D ．21y x =+14．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ） ①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到；③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数； ④函数21lg ||x y x +=无最大值，也无最小值；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞二、填空题16．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()4f x f x +=-，对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，且()10f =，则不等式()0f x >在[2019,2023]上的解集为______． 17．设函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上满足()()0f x f x ，在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，又(3)0f -=，则(1)()0x f x -<的解是___________.18．设函数()()333f x x x x R =-+∈.已知0a >，且()()()()2f x f a x b x a -=--，b R ∈，则ab =______.19．定义在[0,)+∞上的函数()y f x =满足：（1）(2)0f =；（2）当02x <<时，()0f x ≠；（3）任意的,0x y >总有()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅成立．则1(3)2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．记号{}max ,m n 表示m ，n 中取较大的数，如{}max 1,22=．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，()222max ,4x f x x x a a ⎧⎫=-+-⎨⎬⎩⎭．若0x <时，()f x 的最大值为1，则实数a 的值是_________．21．已知函数y =f （x ）和y =g （x ）在[-2，2]的图像如图所示，给出下列四个命题：①方程f [g （x ）]=0有且仅有6个根 ②方程g [f （x ）]=0有且仅有3个根 ③方程f [f （x ）]=0有且仅有5个根 ④方程g [g （x ）]=0有且仅有4个根 其中正确的命题是___22．定义在()1,1-上的函数()3sin f x x x =--，如果()()2110f a f a -+->，则实数a 的取值范围为______.23．函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是_______参考答案24．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.25．已知函数()()11xf x x x =>-，())2g x x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.26．已知定义在R 上的偶函数满足：(4)()(2)f x f x f +=+，且当[0,2]x ∈时，()y f x =单调递减，给出以下四个命题：①(2)0f =；②4x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴； ③()y f x =在[8,10]单调递增；④若方程()f x m =在[6,2]--上的两根为1x 、2x ，则128.x x +=- 以上命题中所有正确命题的序号为___________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先根据题意得幂函数解析式为3()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】解：因为幂函数()(1)nf x a x =-的图像过点(2,8)， 所以1128na -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =， 由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <． 故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.2．C解析：C 【分析】根据函数为奇函数可知1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可求. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1132222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以113222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值转化为计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，从而根据已知条件完成求解.3．C解析：C 【分析】由()f x 为奇函数，结合已知区间的解析式即可求10x -≤≤时()f x 的解析式，进而求()1f -即可.【详解】∵()f x 在R 上是奇函数， ∴令10x -≤≤，则[0,1]x -∈， 由题意，有()31()xf x f x --=-=-，∴1()13x f x =-，故()111123f --=-=-， 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性，求对称区间上的函数解析式，然后代入求值.4．A解析：A 【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项B 、D ，再根据()01f =-不成立排除选项C ，即可得正确选项. 【详解】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ， 故选：A 【点睛】思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.5．C解析：C 【分析】根据条件先判断出()f x 的单调性，根据单调性得到()f x 取值的特点，根据1x -与0的关系，采用分类讨论的方法解不等式，从而求解出解集. 【详解】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，所以()f x 为R 上增函数，又因为()f x 为R 上奇函数，所以0x <时，()0f x <；0x >时，()0f x >；0x =时，()0f x =；当10x -=时，1x =，此时()()2012x f x x --=，不符合条件；当10x ->时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧->⎨->⎩，解得0x <；当10x -<时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧-<⎨-<⎩，解得12x <<；所以()()2120x f x x -->的解集为()(),01,2-∞，故选：C. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.6．C解析：C 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 【详解】由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---， 所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．D解析：D 【分析】根据函数为偶函数可转化为(|31|)(1)f a f ->，利用单调性求解即可.【详解】()||ln ||f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，又()||ln ||()f x x x f x -=-+-=， 所以()||ln ||f x x x =+为偶函数， 当0x >时，()ln f x x x =+为增函数， 又(31)(1)f a f ->可化为(|31|)(1)f a f ->， 所以|31|1a ->，所以311a ->或311a -<-， 解得23a >或0a <， 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性，绝对值不等式的解法，属于中档题.8．A解析：A 【分析】 由已知中函数()()1||xf x x R x =-∈+，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间[M a =，]()b a b <，集合{|()N y y f x ==，}x M ∈，我们可以构造满足条件的关于a ，b 的方程组，解方程组，即可得到答案．【详解】x R ∈，()()1xf x f x x-==-+，()f x ∴为奇函数， 0x 时，1()111x f x x x -==-++，0x <时，1()111x f x x x-==--- ()f x ∴在R 上单调递减函数在区间[a ，]b 上的值域也为[a ，]b ，则()(),f a b f b a ==， 即1a b a -=+，1ba b-=+，解得0a =，0b = a b <，使M N 成立的实数对(,)a b 有0对 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是集合相等，函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数的性质，构造出满足条件的关于a ，b 的方程组，是解答本题的关键．9．A解析：A 【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩，当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a-≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤： （1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围； （2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系； （3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.10．A解析：A 【分析】首先求出函数的定义域，然后利用奇偶性定义判断即可. 【详解】解：因为()|3|3f x x =+-所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠，故函数的定义域为[)(]2,00,2-，定义域关于原点对称，所以()f x x=，[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x x-==-=-所以函数为奇函数； 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，判断函数的奇偶性按照两步：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称；②计算()f x -判断与()f x 之间的关系；11．C解析：C【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃ 故选：C . 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关求函数定义域的问题，在求解的过程中，注意： （1）对数要求真数大于0； （2）分式要求分母不等于0； （3）偶次根式要求被开方式大于等于0.12．B解析：B 【分析】由奇函数和(1)(1)f x f x +=-得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出(3),(2),(4)f f f 后可得结论．【详解】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且(0)0f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即(2)()()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(2)(0)0f f ==,(4)(0)0f f ==, 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以(1)(2)(3)(2020)505[(1)(2)(3)(4)]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=.故选：B . 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的周期性求函数值，解决本题的关键是由函数是奇函数以及(1)(1)f x f x -=+得出函数是周期为4的周期函数，进而可求出结果.13．D解析：D 【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是21y x =+，因为满足2()1()f x x f x -=+=，且在(0,)+∞上是增函数，故选D.14．A解析：A 【分析】①举反例说明命题为假；②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真； ④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假． 【详解】 解：①取幂函数2y x ，显然与1y x=仅有一个交点，所以①不正确；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过伸缩得到，所以②不正确；③设()y f x =，由()()()3111,0312231xxxx f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭，定义域关于原点对称， 则()()()()()()3131231231x x xxx x f x f x ---++-===--，()f x ∴是偶函数，故③正确；④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 而lg y u =在定义域上单调递增，所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值，所以④不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查指对幂函数的性质，属于基础题.15．C解析：C 【分析】先考虑a 是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑. 【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4， 故选C. 【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.二、填空题16．【分析】先分析得到函数在上单调递减周期再得到当时即得解【详解】因为对当时所以在上单调递减而由偶函数得当时；又可得周期因为所以当时；于是的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究一般从函 解析：(2019,2021)【分析】先分析得到函数()f x 在[0,2]上单调递减，周期4T=，再得到当(1,1)x ∈-时，()0f x >，即得解.【详解】因为对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在[0,2]上单调递减，而()10f =， 由偶函数得当(1,1)x ∈-时，()0f x >； 又()()()4f x f x f x +=-=可得周期4T =，因为[2019,2023]x ∈，所以当(2019,2021)x ∈时，()0f x >； 于是()0f x >的解集为(2019,2021)． 故答案为：(2019,2021) 【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解.17．【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图等价于或根据函数图像解不等式【详解】由函数定义域及可知函数为奇函数在上对任意实数都有成立函数在上为增函数又函数为奇函数函数在为增函数又则作出 解析：()()3,01,3-【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图，(1)()0x f x -<等价于1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩，根据函数图像解不等式. 【详解】由函数()f x 定义域及()()0f x f x ，可知函数()f x 为奇函数，()f x 在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，∴函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞为增函数，又(3)0f -=，则(3)0f =， 作出函数草图如图所示：(1)()0x f x -<⇒1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩，根据()f x 的图像可知(1)()0x f x -<的解为：(3,0)(1,3)-.故答案为：(3,0)(1,3)-18．【分析】先将进行因式分解再与比较利用对应系数相等可得关于的方程即可得的值即可求解【详解】因为所以因为所以对任意的恒成立所以不恒为所以展开整理可得：所以解得：或（舍）所以故答案为：【点睛】关键点点睛： 解析：2-【分析】先将()()f x f a -进行因式分解再与()()2x b x a --比较，利用对应系数相等可得关于,a b 的方程，即可得,a b 的值，即可求解.【详解】因为()()333f x x x x R =-+∈，所以()()()()333333333f x f a x x a a x a x a -=-+----=-+，()()()()222233x ax a x ax x a x a x a a ⎡⎤---==+-++-⎣+⎦，因为()()()()2f x f a x b x a -=--，所以()()()2223x ax a x b x x a a ⎡⎤-=⎣-⎦++--，对任意的x 恒成立， 所以x a -不恒为0，所以()()223x ax a x b x a ++-=--展开整理可得：()23ax a a b x ab +-=-++，所以()23a a b a ab⎧=-+⎨-=⎩ 解得：12a b =⎧⎨=-⎩或12a b =-⎧⎨=⎩（舍），所以()122ab =⨯-=-， 故答案为：2-. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将()()f x f a -进行因式分解，由x a -不恒为0，得出()()223x ax a x b x a ++-=--利用待定系数法可求,a b 的值.19．【分析】先令求得再令可得结合已知条件可得从而可得答案【详解】解：令则由得因为所以令则因为当时；所以所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题解题的关键是结合已知条件正确赋值令解析：43【分析】先令1,2x y ==，求得(3)0f =，再令31,22x y ==，可得311(())()(2)222f f f f ⋅=，结合已知条件可得1()2f ，从而可得答案 【详解】解：令1,2x y ==，则由()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅得((2))(2)(12)f f f f ⋅=+， 因为(2)0f =，所以(3)0f =，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=， 因为(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠；所以31(())0(2)22f f f ==， 所以31()222f =，所以14()23f =， 所以14(3)23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故答案为：43【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题，解题的关键是结合已知条件正确赋值，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=，由(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠，可得31()222f =，从而得14()23f = 20．【分析】首先将时函数写成分段函数的形式并求函数的最小值根据奇函数的性质可知时的最小值是建立方程求【详解】当时解得：此时令解得此时所以时函数又因为此时是定义在上的奇函数所以图象关于原点对称时函数的最小解析：2±【分析】首先将0x >时，函数()f x 写成分段函数的形式，并求函数的最小值，根据奇函数的性质可知0x >时的最小值是1-，建立方程求a 【详解】当0x >时，22240x x x a a -+-+≥，解得：202x a <≤，此时()22x f x x a =-+，令22240x x x a a-+-+<，解得22x a >，此时()24f x x a =-， 所以0x >时，函数()222224,2,02x a x a f x x x x a a⎧-≥⎪=⎨-<≤⎪⎩，又因为此时()f x 是定义在R 上的奇函数，所以图象关于原点对称，0x ∴>时，函数的最小值是-1， 当22x a ≥时，函数单调递增，()222min 242f x a a a =-=-，当202x a <≤时，()222222124x a af x x x a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，函数的()()22min 22f x f aa==-，所以0x >时，函数的最小值是22a -，即221a -=-，解得：a =故答案为：2± 【点睛】思路点睛：本题主要考查分段函数与函数性质的综合应用，首先根据新定义，正确写出函数()f x 的表达式，这是本题最关键的一点，然后就转化为分段函数求最值问题.21．①③④【分析】根据函数图像逐一判断即可【详解】对于①令结合图象可得有三个不同的解从图象上看有两个不同的解有两个不同的解有两个不同的解故有6个不同解故①正确对于②令结合图象可得有两个不同的解从图象上看解析：①③④ 【分析】根据函数图像逐一判断即可. 【详解】对于①，令()t x g =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<，从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，()3g x t =有两个不同的解，故[()]0f g x =有6个不同解，故①正确.对于②，令()t f x =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1f x t =的有一个解，()2f x t =有三个不同的解， 故[()]0g f x =有4个不同解，故②错误. 对于③，令()t f x =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<， 从图象上看()1f x t =有一个解，()2f x t =有三个不同的解，()3f x t =有一个解，故[()]0f f x =有5个不同解，故③正确.对于④，令()t x g =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解， 故[()]0g g x =有4个不同解，故④正确. 故答案为①③④. 【点睛】本题考查了函数图像的应用，考查了数学结合思想，属于中档题.22．【分析】先得出函数是奇函数且是减函数从而得到结合函数的定义域从而求出的范围【详解】解：是奇函数又是减函数若则则解得：或由解得：综上：故答案为：【点睛】本题考查了函数的奇偶性函数的单调性的应用属于中档题解析：(【分析】先得出函数是奇函数且是减函数，从而得到211a a -<-，结合函数的定义域，从而求出a 的范围． 【详解】 解：()3sin (3sin )()f x x x x x f x -=-=-+=-，是奇函数，又()3cos 0f x x '=-+<，是减函数， 若2(1)(1)0f a f a -+->， 则2((1))1f a f a -->，则211a a -<-，解得：1a >或2a <-，由2111111a a -<-<⎧⎨-<-<⎩，解得：0a <<，综上：12a <<，故答案为：()1,2． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性的应用，属于中档题．23．【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间对应的函数解析式然后按其规律画出函数的图像再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围【详解】当时则当时则当时则由此作出图象如图所示由图知当解析：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间，(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围 【详解】当10-<≤x 时，011x <+≤，则11()(1)(1)22f x f x x x =+=+， 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--，当23x <≤时，021x <-≤，则22()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，由此作出()f x 图象如图所示，由图知当23x <≤时，令282(2)(3)9x x --=-， 整理得：(37)(38)0x x --=， 解得：73x =或83x =，要使对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，必有73m ≤， 所以m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.24．8【分析】首先画出的图象根据图象即可求出函数的最大值【详解】函数的图象如图所示：由图可知故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值熟练画出函数图象为解题的关键属于中档题解析：8 【分析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.25．甲【分析】由题意求出的解析式依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同即可得出结论【详解】解得所以故答案为:甲【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析：甲 【分析】由题意求出()(),F x G x 的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论. 【详解】()()11xf x x x =>-,())2g x x x =≥, ()()11xf x x x ∴=>-, ())21x F x x x x x∴==≥-, ()()()G x g x f x =,())21G x x x x ∴=≥-, 解得())2G x x =≥,所以()())2F x G x x ==≥.故答案为:甲 【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;26．①②④【分析】先求出从而得到为周期函数再根据函数为偶函数可逐项判断命题的正误【详解】令得故又函数是偶函数故；根据①可得则函数的周期是4由于偶函数的图象关于轴对称故也是函数图象的一条对称轴；根据函数的解析：①②④ 【分析】先求出()20f =，从而得到()f x 为周期函数，再根据函数为偶函数可逐项判断命题的正误. 【详解】令2x =-，得()()()222f f f =-+，故()20f =. 又函数()f x 是偶函数，故()20f =；根据①可得()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故4x =-也是函数()y f x =图象的一条对称轴； 根据函数的周期性可知，函数()f x 在[]8,10上单调递减，③不正确； 由于函数()f x 的图象关于直线4x =-对称，故如果方程()f x m =在区间[]6,2-- [－6，－2]上的两根为12,x x ，则1242x x +=-，即128x x +=-.故正确命题的序号为①②④. 故答案为：①②④.. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性和单调性，注意偶函数在对称两侧区间上的单调性相反，具有周期性的偶函数的图象的对称轴有无数条，本题属于基础题.。
《函数的概念与性质》测试卷及答案解析
2020-2021学年高中数学必修一第三章《函数的概念与性质》测试卷一．选择题（共10小题）1．已知函数f （x ）的定义域是[﹣1，1]，则函数g （x ）=1−x的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．[0，1）D ．（0，1]【解答】解：∵f （x ）的定义域是[﹣1，1]； ∴g （x ）需满足：{−1≤2x −1≤11−x ＞0；解得：0≤x ＜1；∴g （x ）的定义域是[0，1）． 故选：C ．2．函数f （x ）满足f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ，则函数f （x ）等于（ ） A ．x−23B ．x+23C ．x ﹣1D ．﹣x +1【解答】解：因为f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ， 所以f （1﹣x ）﹣2f （x ）＝1﹣x ， 联立可得，f （x ）=x−23． 故选：A ．3．函数f （2x ﹣1）的定义域是[1，2]，则函数f （x +1）的定义域是（ ） A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[0，1]D ．[0，2]【解答】解：∵函数f （2x ﹣1）的定义域为[1，2]，∴1≤2x ﹣1≤3， 即函数f （x ）的定义域为[1，3]，∴函数f （x +1）的定义域需满足1≤x +1≤3， 即0≤x ≤2，函数f （x +1）的定义域为[0，2]， 故选：D ．4．若当x ∈[0，m ]时，函数y ＝x 2﹣3x ﹣4的值域为[−254，﹣4]，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，4]B ．[32，4]C ．[32，3]D ．[32，+∞]【解答】解：函数y ＝x 2﹣3x ﹣4＝（x −32）2−254，所以当x =32时，函数有最小值−254． 当y ＝x 2﹣3x ﹣4＝﹣4时，即y ＝x 2﹣3x ＝0，解得x ＝0或x ＝3． 因为函数的定义域为[0，m ]，要使值域为[−254，﹣4]， 则有32≤m ≤3，故选：C ．5．函数f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（0，1）D ．（1，+∞）【解答】解：由题意可得2x ﹣x 2≥0，解可得0≤x ≤2，根据二次函数及复合函数的性质可知，f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（0，1）， 故选：C ．6．函数f （x ）=3x+22x+1，x ∈[3，+∞）的值域是（ ） A ．[117，+∞)B ．[32，+∞)C ．[117，2)D ．(32，117]【解答】解：f （x ）=3x+22x+1=32(2x+1)+122x+1=32+14x+2，∵x ∈[3，+∞）∴f （x ）为减函数∴当x ＝3时，f （x ）=117，取得最大值；当x 接近+∞时，f （x ）接近32， 所以f （x ）的值域为（32，117]．故选：D ．7．已知函数f （x ）＝x 5+ax 3+bx ﹣8，若f （﹣3）＝10，则f （3）＝（ ） A ．﹣26B ．26C ．18D ．10【解答】解：令g （x ）＝x 5+ax 3+bx ，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则f （x ）＝g （x ）﹣8，所以f （﹣3）＝g （﹣3）﹣8＝10，得g （﹣3）＝18，又因为g （x ）是奇函数，即g （3）＝﹣g （﹣3）， 所以g （3）＝﹣18，则f （3）＝g （3）﹣8＝﹣26． 故选：A ．8．设函数f （x ）＝x 3+（a ﹣1）x 2+ax ，若f （x ）为奇函数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或0【解答】解：由奇函数的性质可知，f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立，故﹣x 3+（a ﹣1）x 2﹣ax ＝﹣x 3﹣（a ﹣1）x 2﹣ax ， 整理可得，（a ﹣1）x 2＝0即a ﹣1＝0， 所以a ＝1． 故选：B ．9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m （件）与每件的售价x （元）满足一次函数：m ＝162﹣3x ．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（ ） A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好【解答】解：设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝mx ﹣30m ＝（162﹣3x ）（x ﹣30）＝﹣3x 2+252x ﹣4860＝﹣3（x ﹣42）2+432， 当x ＝42时，y 有最大值，为432，所以若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为42元． 故选：B ．10．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，则f(−112)=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．1【解答】解：由f （x ）＝f （2﹣x ）＝f （﹣x ）， 可可得f （x ）＝f （x +2）即f （x ）为周期为2的函数， 所以f(−112)=f(−112+6)=f(12)=14， 故选：A ．二．多选题（共2小题）11．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）|g （x ）|是奇函数 B ．|f （x ）|g （x ）是奇函数C ．f （x ）g （x ）是偶函数D ．|f （x ）g （x ）|是偶函数【解答】解：因为f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ），f （﹣x ）|g （﹣x ）|＝﹣f （x ）|g （x ）|，故f （x ）|g （x ）|为奇函数，A 正确；|f （﹣x ）|g （﹣x ）＝|﹣f （x ）|g （x ）＝|f （x ）|g （x ），故|f （x ）|g （x ）为偶函数，B 不正确；f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）|，故f（x）g（x）为奇函数，C不正确；|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|，故|f（x）g（x）|为偶函数，D正确；故选：AD．12．已知幂函数y＝xα（α∈R）的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A．函数y＝xα的图象过原点B．函数y＝xα是偶函数C．函数y＝xα是单调减函数D．函数y＝xα的值域为R【解答】解：幂函数y＝xα的图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以幂函数为y＝x3；所以所以幂函数y＝x3的图象过原点，A正确；且幂函数y＝x3是定义域R上的奇函数，B错误；幂函数y＝x3是定义域R上的增函数，C错误；幂函数y＝x3的值域是R，所以D正确．故选：AD．三．填空题（共4小题）13．函数f（x）=√2+x−x2的定义域为[﹣1，2]．【解答】解：要使函数有意义，须满足2+x﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤2，所以函数的定义域为[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝3x2，则f（g（1））＝1．【解答】解：根据题意，g（x）＝3x2，则g（1）＝3，又由f(x)=2x−1，则f（g（1））＝f（3）=23−1=1，故答案为：115．若f（x）是R上单调递减的一次函数，若f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝﹣2x+1．【解答】解：由于f（x）是单调递减的一次函数，故可设f（x）＝kx+b（k＜0），于是f[f（x）]＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b，又f [f （x ）]＝4x ﹣1，∴{k 2=4kb +b =−1，又k ＜0， ∴k ＝﹣2，b ＝1， ∴f （x ）＝﹣2x +1． 故答案为：﹣2x +1．16．已知函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，则f （f （﹣2））＝ −54 ．【解答】解：∵函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，∴f(−2)=2−2=14，∴f(f(−2))=f(14)=3×14−2=−54． 故答案为：−54． 四．解答题（共6小题）17．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1，对任意的实数x 都有f （x +1）﹣f （x ）＝x +1成立．（1）求f （x ）的解析式；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣mx 在[2，4]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1， 即f （0）＝c ＝1，又由f （x +1）﹣f （x ）＝a （x +1）2+b （x +1）+c ﹣（ax 2+bx +c ）＝2ax +a +b ＝x +1， 则有{c =12a =1a +b =1，解可得a ＝b =12，c ＝1，则函数f （x ）的解析式为：f(x)=12x 2+12x +1，（2）由（1）知f(x)=12x 2+12x +1，则g(x)=f(x)−mx =12x 2+(12−m)x +1， 函数g （x ）的对称轴x =m −12，若函数g （x ）在[2，4]上是单调减函数，则有m −12≥4，解可得m ≥92， 即m 的取值范围为{m |m ≥92}． 18．已知函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3．（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，求函数f （x ）的值域．（2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3＝x 2+3x ﹣3=(x +32)2−214，故当x =−32时，函数取得最小值为−214，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f （x ）的值域为[−214，15]． （2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，则1−2a 2≤−1，∴a ≥32，即实数a 的范围为[32，+∞）19．已知函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），当x ≤2时，f （x ）＝﹣x 2+kx +2． （1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）在[2，4]上的最大值．【解答】解：（1）函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），所以函数f （x ）＝f （4﹣x ）． 当x ＞2时，4﹣x ＜2，则f （x ）＝f （4﹣x ）＝﹣（4﹣x ）2+k （4﹣x ）+2＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14， 故函数的关系式为f （x ）={−x 2+kx +2(x ≤2)−x 2+(8−k)x +4k −14(x ＞2)．（2）当x ∈[2，4]时，f （x ）＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14=−(x −8−k 2)2+k 2+84．①当8−k 2≥4时，即k ≤0，所以函数f （x ）在[2，4]上单调递增，则f （x ）max ＝f （4）＝2， ②当8−k 2≤2时，即k ≥4时，函数f （x ）在[2，4]上单调递减，则f （x ）max ＝f （2）＝2k ﹣2．③当2＜8−k 2＜4时，即0＜k ＜4时，f(x)max =f(8−k 2)=k 2+84．所以f(x)max ={2(k ≤0)k 2+84(0＜k ＜4)2k −2(k ≥4)． 20．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在定义域[5，20]内是单调的． （1）求实数k 的取值范围；（2）若f （x ）的最小值为﹣8，求k 的值．【解答】解：（1）由题意，可知f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8的对称轴为x =k8， 而函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8，x ∈[5，20]是单调函数， ∴k8≤5或k8≥20，即k ≤40或k ≥160，∴实数k 的取值范围是（﹣∞，40]∪[160，+∞）；（2）当k ≤40时，由f(x)min =f(5)=4×52−5k −8=−8，解得k ＝20； 当k ≥160时，由f(x)min =f(20)=4×202−20k −8=−8，解得k ＝80（舍去）． 综上，k ＝20．21．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2ax +3． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）当a ＝1时，写出函数y ＝|f （x ）|的单调递增区间（只写结论，不用写解答过程）； （Ⅲ）若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）2+2a （﹣x ）+3＝﹣x 2﹣2ax +3，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（﹣x 2﹣2ax +3）＝x 2+2ax ﹣3， 又由y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，则f(x)={x 2+2ax −3，x ＜00，x =0−x 2+2ax +3，x ＞0；（Ⅱ）a ＝1时，f(x)={x 2+2x −3，x ＜00，x =0−x 2+2x +3，x ＞0；此时y ＝|f （x ）|的单调递增区间为（﹣3，﹣1），（0，1），（3，+∞）； （Ⅲ）根据题意，x ＜0时，f （x ）＝x 2+2ax ﹣3＝（x +a ）2﹣a 2﹣3， 若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，必有﹣a ≥0，解可得a ≤0， 即a 的取值范围为（﹣∞，0]．22．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a +2）x +1﹣b ．（1）若a ＝﹣2，b ＝9，求函数y =f(x)x （x ＜0）的最小值； （2）若b ＝﹣1，解关于x 的不等式f （x ）≥0．【解答】解：（1）若a＝﹣2，b＝9，则y=f(x)x=−2x2−8x=−2x−8x，∵x＜0，∴y＝﹣2x−8x≥2√(−2x)⋅(−8x)=8，当且仅当−2x=−8x，即x＝﹣2时y取得最小值8；（2）若b＝﹣1，则f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝（x﹣1）（ax﹣2）．若a＝0，f（x）≥0化为﹣2x+2≥0，即x≤1；若a≠0，f（x）＝0的两根为1，2a．若a＝2，f（x）≥0化为2（x﹣1）2≥0，x∈R；若0＜a＜2，则1＜2a，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；若a＜0，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为[2a，1]；若a＞2，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．综上，当a＜0时，f（x）≥0的解集为[2a，1]；当a＝0时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]；当0＜a＜2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；当a＝2时，f（x）≥0的解集为R；当a＞2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．。
北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．关于x 的方程2||10x a x ++=有4个不同的解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),22,-∞-+∞ B ．(],2-∞- C ．(),2-∞-D ．()2,+∞ 2．已知函数()22020,0,,0,x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩若关于x 的方程()()21610f x kf x ++=有四个不同的实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．(4,)+∞B ．(8,)+∞C ．(,4)-∞-D ．(,8)-∞- 3．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1] 内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006 B ．1007 C ．2016 D ．2017 4．已知定义在[﹣2，2]上的函数y ＝f （x ）和y ＝g （x ），其图象如图所示：给出下列四个命题：①方程f [g （x ）]＝0有且仅有6个根； ②方程f [f （x ）]＝0有且仅有5个根方程；③g [g （x ）]＝0有且仅有3个根 ；④方程g [f （x ）]＝0有且仅有4个根，其中正确命题的序号（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④5．已知函数24,?0()7,?0x f x x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，()()g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a的取值范围是（ ）A ．(﹣4，0]B ．(-∞，﹣9)C ．(-∞，﹣9)(﹣4，0]D ．(﹣9，0] 6．对任意实数a ，b 定义运算“”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()()214f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．[)2,1-B ．[]0,1C ．(]0,1D ．()2,1-7．函数1,(0)()0,(0)x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ）A ．2b <-且0c >B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0cD ．2b ≥-且0c 8．已知一元二次方程210x mx ++=的两根都在()0,2内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦[)2,⋃+∞ B ．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭()2,⋃+∞ C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0f >，(1)(2)(4)0f f f <，则下列命题正确的是( )．A ．函数()f x 在区间(0 , 1)内有零点B ．函数()f x 在区间(1 , 2)内有零点C ．函数()f x 在区间(0 , 2)内有零点D ．函数()f x 在区间(0 , 4)内有零点10．函数f(x)＝2log ,02,0x x x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a<0 B ．0<a< C ． <a<1 D ．a≤0或a>1 11．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．1412．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A ={0，1}，B ={x |（x 2-ax ）（x 2-ax +1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．4二、填空题13．已知函数()1,0ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()1y f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为______. 14．2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修.为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．级数全月应纳税所得额 税率 1不超过3000元的部分 3% 2超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过12000元至25000元的部分 20%⋯ ⋯⋯ 某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元. 15．已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．16．若关于x 的方程2220x x m ---=有三个不相等的实数根，则实数m 的值为_______.17．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，()[]g x x x =-．若方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根，则a 的取值范围为________．18．已知()14f x x=-，若存在区间[]()0a b ⊆+∞，，，使得()[]{}[]|y y f x x a b ma mb =∈=，，，．则实数m 的取值范围是__________．19．已知函数()3cos f x x x =-，若不等式()12f x kx b kx b +≤≤+对一切实数x 恒成立，则21b b -的最小值为__________.20．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 三、解答题21．设函数2()2||3f x x x =-+；（1）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明你的结论；（2）画出()y f x =的图象；若方程()f x m =有3个不同的实数根，试写出这3个根．22．已知函数22,01,()ln ,1x x f x x x e-≤<⎧=⎨≤≤⎩，其中e 为自然对数的底数． （1）求(())f f e 的值；（2）作出函数()()1F x f x =-的图象，并指出单调递减区间(无需证明) ；（3）若实数0x 满足00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的二阶不动点，求函数()f x 的二阶不动点的个数．23．已知函数(2),()(1),x x a x a f x a x x a -≥⎧=⎨-<⎩，其中a 为实数，且0a ≠． （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()0f x =仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．24．如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中6AB =米，4=AD 米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，且矩形AMPN 的面积小于150平方米．（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并确定函数的定义域；（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积．25．已知函数()y f x =为二次函数，()04f =，且关于x 的不等式()20f x -<的解集为{}12x x <<（1）求函数()f x 的解析式（2）若关于x 的方程()0f x m -=有一实根大于1，一实根小于1，求实数m 的取值范围 （3）已知()1g x x =+，若存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，求满足条件的实数x 的取值范围26．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为1万元，但每生产1百台又需可变成本（即需另增加投入）0.5万元，市场对此产品的年需求量为6百台（即一年最多卖出6百台），销售的收入（单位：万元）函数为21()43R x x x =-，其中x （单位：百台）是产品的年产量.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）求年产量为多少时，企业所得利润最大；（3）求年产量为多少时，企业至少盈利3.5万元.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由2||10x a x ++=可得1a x x =--，转化为y a =与()1g x x x=--的图象有4个不同的交点，作出()1g x x x =--，数形结合即可求解. 【详解】由2||10x a x ++=可得22111||||x x a x x x x ----===--， 令()1g x x x=-- ， 若关于x 的方程2||10x a x ++=有4个不同的解，则y a =与()1g x x x=--的图象有4个不同的交点， ()1g x x x=--是偶函数， 当0x <时()()()111x x x x x x g x --=---=+-=，()1g x x x=+在(),1-∞-单调递增，在()1,0-单调递减， 所以()1g x x x =+的图象如图所示： 当1x =-时()max 1121g x =-+=--，若y a =与()1g x x x=--的图象有4个不同的交点， 由图知2a <-，故选：C【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．B解析：B【分析】设()f x t =，可得方程21610t kt ++=有两个不同的实数根214t <-，1104t -<<，再利用一元二次方程根的分布列不等式求解即可.【详解】作出()f x 的图象如图所示，设()f x t =，要使方程()()21610f x kf x ++=有四个不同的实数根，则方程()21610g t t kt =++=有两个不同的实数根1t ，2t .且()1f x t =有三个根，方程()2f x t =有一个根，由图可知，214t<- 1104t -<<. 设2()161g t t kt =++，则()10,400,g g ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，解得8k >.故选：B.【点睛】函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.3．D解析：D【分析】由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等于2的周期函数，根据1()02f =，求出3()02f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，2017]内根的个数．【详解】解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=，故函数()f x 是周期等于2的周期函数，其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+，即有()()f x f x -=， 1()02f =， 1()02f ∴-=， 再由周期性得13(2)()022f f -+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点，即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．故选：D ．【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.4．C解析：C【分析】函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，借助函数的零点，结合函数的图象采用数形结合思想逐一判断即可.【详解】由图象可得﹣2≤g （x ）≤2，﹣2≤f （x ）≤2，①由于满足方程f [g （x ）]＝0 的g （x ）有三个不同值，由于每个值g （x ）对应了2个x 值，故满足f [g （x ）]＝0的x 值有6个，即方程f [g （x ）]＝0有且仅有6个根，故①正确；②由于满足方程f [f （x ）]＝0的f （x ）有3个不同的值，从图中可知，一个f （x ）等于0，一个f （x ）∈（﹣2，﹣1），一个f （x ）∈（1，2），而当f （x ）＝0对应了3个不同的x 值；当f （x ）∈（﹣2，﹣1）时，只对应一个x 值；当f （x ）∈（1，2）时，也只对应一个x 值.故满足方程f [f （x ）]＝0的x 值共有5个，故②正确；③由于满足方程g [g （x ）]＝0 的g （x ）值有2个，而结合图象可得，每个g （x ）值对应2个不同的x 值，故满足方程g [g （x ）]＝0 的x 值有4个，即方程g [g （x ）]＝0有且仅有4个根，故③不正确；④由于满足方程g [f （x ）]＝0的f （x ）有2个不同的值，从图中可知，每一个值f （x ）， 一个f （x ）的值在（﹣2，﹣1）上，令一个f （x ）的值在（0，1）上，当f （x ）的值在（﹣2，﹣1）上时，原方程有一个解，f （x ）的值在（0，1）上，原方程有3个解. 故满足方程g [f （x ）]＝0的x 值有4个，故④正确；故选：C .由于函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决，此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决. 5．C解析：C【分析】令()()0g x f x x a =+-=，将()g x 存在两个零点，转化为两函数24,?0,6,?0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩有两个交点，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】令()()0g x f x x a =+-=，得24,? 06,?0x x a xx x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩， 令24,? 0,6,?0x x y a y xx x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩， 在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：因为()g x 存在两个零点，由图象可得：a <﹣9或﹣4<a ≤0，故选：C【点睛】方法点睛：函数零点问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．6．A【分析】利用新定义化简()f x 解析式，做出()g x 的函数图象，根据图象即可得出k 的范围.【详解】解：有题意：21(4)1x x --+，解得：2x -或3x ，所以()24,(,2][3,)1,(2,3)x k x f x x k x ++∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-+∈-⎩， 令()24,(,2][3,)1,(2,3)x x g x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩画出()g x 的函数图象，如图：因为函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，所以()y g x k =+有三个零点，由图可得：21k -<．故选：A ．【点睛】本题考查根据零点个数求参数的范围，求解一元二次不等式，是中档题． 7．C解析：C【分析】首先根据题中所给的方程的根进行分析，得到五个根的情况，从而判断出0c ，之后利用()f x b =-有四个根，结合函数图象求得结果.【详解】 当0x =时()0f x =，当0x =为()()20f x bf x c ++=的一个根时可得0c.所以()()20f x bf x c ++=即()()20f x bf x +=有4个不同的根，()0f x ≠，()f x b ∴=-有4个根. 0x ≠时()11122f x x x x x x x =+=+≥=，图象如图所示：由图可知22b b ->⇒<-. 综上可得2,0b c <-=. 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的个数判断参数的取值范围的问题，充要条件的判断，在解题的过程中，注意数形结合思想的应用，属于中档题目.8．C解析：C 【分析】设()21f x x mx =++，根据二次函数零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】设()21f x x mx =++，则二次函数()21f x x mx =++的两个零点都在区间()0,2内，由题意()()2400220102250m m f f m ⎧∆=-≥⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩，解得522m -<≤-. 因此，实数m 的取值范围是5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦.故选：C. 【点睛】本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般分析对应二次函数图象的开口方向、判别式、对称轴以及端点函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．D解析：D 【解析】解：因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象可得函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f（1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的， 函数的图象与x 轴相交有多种可能，如图所示：所以函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点， 故选D ．10．A解析：A 【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在0x >时，2log y x = 存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件. 【详解】当0x >时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2xx a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集， 故选A 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.11．C解析：C 【分析】解方程()0g x =，得1()2f x =或1()4f x =，作出()f x 的图象，由对称性只要作0x >的部分，观察()f x 的图象与直线12y =和直线14y =的交点的个数即得． 【详解】2()8()6()10g x f x f x =-+=,1()2f x ∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.，是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22时，>∈+=⋯=-x x k k k f x f x ，是由(]22,2,∈-x k k 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，根据对称轴可得y 左侧的结论，6x >时，1()8f x ≤，()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为2(35)16⨯+=， 故选：C ．【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．12．A解析：A 【分析】根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax +1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值． 【详解】解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意综上实数a 的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d （M ）=3． 故选：A ． 【点睛】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．二、填空题13．【分析】先由可求得的值再由和两种情况结合的值可求得的值即可得解【详解】下面先解方程得出的值（1）当时可得可得；（2）当时可得可得或下面解方程和①当时由可得由可得（舍去）由可得；②当时由可得由可得或由 解析：7【分析】先由()10f f x ⎡⎤-=⎣⎦可求得()f x 的值，再由0x ≤和0x >两种情况结合()f x 的值，可求得x 的值，即可得解. 【详解】下面先解方程()10f f x ⎡⎤-=⎣⎦得出()f x 的值.（1）当()0f x ≤时，可得()()1110f f x f x -=+-=⎡⎤⎣⎦，可得()0f x =； （2）当()0f x >时，可得()()1ln 10f f x f x -=-=⎡⎤⎣⎦，可得()f x e =或()1f x e=. 下面解方程()0f x =、()f x e =和()1f x e=. ①当0x ≤时，由()10f x x =+=可得1x =-，由()1f x x e =+=可得1x e =-（舍去），由()11f x x e =+=可得11x e=-； ②当0x >时，由()ln 0f x x ==可得1x =，由()1ln f x x e==可得1e x e =或1e x e-=，由()ln f x x e ==可得e x e =或e x e -=.综上所述，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故答案为：7. 【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.14．790【分析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元个人所得税属于2级可得应缴纳的个人所得税为计算即可【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元个人所得税属于2级解析：790 【分析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，可得应缴纳的个人所得税为()150005000300010%30003%--⨯+⨯，计算即可． 【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级， 则应缴纳的个人所得税为()150005000300010%30003%70090790--⨯+⨯=+=元故答案为790 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，属于基础题．15．【分析】问题等价于函数f(x)与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点画出函数的图象然后结合图象求解即可【详解】关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根等价于函数y=f(x)的图象与函数y ＝k 的图象有三个 解析：()1,0-【分析】问题等价于函数f(x)与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，画出函数()y f x =的图象，然后结合图象求解即可． 【详解】关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根，等价于函数y=f(x)的图象与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16．3【解析】令则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点画出函数的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则答案：3解析：3 【解析】令()222f x x x =--，则由题意可得函数()y f x =与函数y m =的图象有三个公共点．画出函数()222f x x x =--的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则3m =． 答案：317．1)∪(1)∪(【分析】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象根据函数的性质分类讨论进行求解即可【详解】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象如下图所示：函数的定解析：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【分析】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),log ()2a y g x y x ==-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，根据函数1log ()2a y x =-的性质分类讨论进行求解即可.【详解】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，如下图所示：函数1()log ()2a y h x x ==-的定义域为1(,)2+∞，且恒过定点3(,0)2.当01a <<时，当(1)1h ≥时，函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，解得12a ≥，所以有112a ≤<；当1a >时，要想函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，只需满足：(2)1h ≥或(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解得(1，32)或 (52，72]，综上所述：a 的取值范围为[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72]. 故答案为：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【点睛】本题考查了已知方程根的情况求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想，考查了数学运算能力.18．【分析】依题意在上单调增则（a ）（b ）从而可得必须有两个不相等的正根利用该方程有二异正根的条件即可求得实数的取值范围【详解】在是增函数在上值域为（a ）（b ）所以（a ）且（b ）即且所以且所以必须有两个 解析：(0,4)【分析】 依题意，1()4f x x=-在[a ，]b 上单调增，则f （a ）ma =，f （b ）mb =，从而可得210mx x -+=必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m 的取值范围．【详解】 1()4f x x=-在(0,)+∞是增函数， ()f x ∴在[x a ∈，]b 上值域为[f （a ），f （b ）]所以f （a ）ma =且f （b ）mb =， 即14ma a-=且14mb b -=，所以2410ma a -+=且2410mb b -+=，所以2410mx x -+=必须有两个不相等的正根，故0m ≠，∴40101640m mm ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎪⎩，解得04m <<． ∴实数m 的取值范围是(0,4)．故答案为：(0,4)． 【点睛】本题主要考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为210mx x -+=必须有两个不相等的正根是关键，属于中档题．19．2【分析】根据恒成立可知同理得出故的最小值为2【详解】由恒成立可得即恒成立而且为周期函数故且同理可得的最小值为故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的性质考查不等式恒成立考查分析问题和解决问题的能力考解析：2 【分析】根据23cos x x kx b ≤+-恒成立可知21b ≥，同理得出11b ≤-，故21b b -的最小值为2． 【详解】由2()f x kx b ≤+恒成立，可得23cos x x kx b ≤+-，即2cos 3)(k x x b --≤+恒成立， 而1cos 1x -≤-≤，且cos y x =-为周期函数，故30k -=，且21b ≥，同理可得11b ≤-，∴21b b -的最小值为1(1)2--=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查函数的性质，考查不等式恒成立，考查分析问题和解决问题的能力，考查学生的逻辑推理能力.20．（-∞-）【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判别式及根解析：（-∞，-12） 【分析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.三、解答题21．（1）偶函数，证明见解析；（2）画图见解析；2-，0，2. 【分析】（1）根据偶函数的定义计算()f x -与()f x 比较即可判断证明()f x 的奇偶性； （2）作出()y f x =在()0,∞+上的图象，利用奇偶性即可得(),0-∞的图象，由图能判断3m =，再解方程即可. 【详解】（1）()f x 为偶函数，证明如下： ()f x 的定义域为R 关于原点对称；22()()2||32||3()f x x x x x f x -=---+=-+=，所以()f x 为偶函数．（2）22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧--≥=-+=⎨+-<⎩，图象如图所示：若方程()f x m =有3个不同的实数根，由图知：3m =； 当0x ≥时，2233x x -+=，解得120,2x x ==； 当0x <时，2233x x ++=，解得32x =-， 所以()f x m =的解为2-，0，2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据函数是偶函数结合二次函数的性质正确作出函数图象，由图能判断3m =，再解方程即可.22．（1）(())1f f e =；（2）图象见解析，递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）3【分析】（1）分段函数求值，根据x 的范围代入即可；（2）画出函数图象，结合图象求出函数单调性；（3）写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数 【详解】解：（11e >，所以1()2f e ln e ==，所以1(())()12f f e f ==． （2）()|()1|F x f x =-，所以函数图象如下所示：递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ． （3）根据题意，012x ，(())(22)f f x ln x =-，当112x <<，(())42f f x x =-，当1x e ，(())22f f x lnx =-，当012x 时，由(())(22)f f x ln x x =-=，记()(22)g x ln x x =--，则()g x 在1[0,]2上单调递减，且(0)20g ln =>，11()022g =-<， 故()g x 在1[0,]2上有唯一零点1x ，即函数()f x 在1[0,]2上有唯一的二阶不动点1x ．当112x <<时，由(())42f f x x x =-=，得到方程的根为223x =，即函数()f x 在1(,1)2上有唯一的二阶不动点223x =． 当1x e 时，由(())22f f x lnx x =-=，记()22h x lnx x =--，则()h x 在[1，]e 上单调递减，且()110h =>， ()0h e e =-<，故()h x 在[1，]e 上有唯一零点3x ，即函数()f x 在[1，]e 上有唯一的二阶不动点3x ． 综上所述，函数()f x 的二阶不动点有3个．【点睛】（1）这是分段函数求值，基础题；（2）含绝对值的函数单调性的判断，比较容易；（3）这道题难点是要写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数，一定注意x 的范围．23．（1）函数()f x 的单调减区间为(],1-∞-，增区间()1,-+∞；（2）1a ≤且0a ≠．【分析】（1）当1a =-时，(2),1()(1),1x x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，进而可得函数的单调区间； （2）令()0f x =，分别解出x ，由方程()0f x =仅有一个实数根，列出不等式解出实数a 的取值范围．【详解】（1）当1a =-时，(2),1()(1),1x x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩， 则函数()f x 的单调减区间为(],1-∞-，增区间()1,-+∞；（2）令()0f x =，当x a ≥时，解得0x =或2x a =；当x a <时，解得1x =；方程()0f x =仅有一个实数根，则021a a a a ≤⎧⎪<⎨⎪≤⎩或021a a a a >⎧⎪≥⎨⎪≤⎩或021a a a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得1a ≤且0a ≠．【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的单调性，考查函数与方程思想，关于分段函数的理解，需要有：分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围，有不同的对应法则的函数； 分段函数是一个函数;分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集．24．（1）264x S x =-,()5,20x ∈;（2）8AN =,96. 【详解】（1）由NDC NAM ∆~∆可得，466,4x x AM x AM x -=⇒=-，∴264x S x =-． 由4x >，且261504x S x =<-，解得520x <<， ∴函数的定义域为()5,20．（2）令4x t -=，则()1,16t ∈，()22646166868964t x S t x t t ⎛⎫+⎛⎫===++≥= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4t =时，S 取最小值96，故当AN 的长度为8米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米．考点：1.分式不等式；2.均值不等式.25．（1）2()34f x x x =-+；（2）(2,)+∞；（3）(,1)(3,)-∞+∞【分析】（1）根据题意，设出()f x 的解析式，根据题中条件，求得对应的参数，得到结果； （2）利用一元二次方程根的分布，列出对应的不等式，求得结果；（3）根据题中所给的条件，列出对应的不等式，求得结果.【详解】（1）由已知可设2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为()04f =，所以4c =，因为()20f x -<，即220ax bx ++<的解集为{}12x x <<，所以1x =与2x =是方程220ax bx ++=的两根， 则由韦达定理可知12212b a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩， 所以2()34f x x x =-+；（2）令234()()h x f x m x x m --=+=-， 若()0h x =有一实根大于1，一实根小于1，则(1)20h m =-<，解得2m >，故实数m 的取值范围是：(2,)+∞；（3）若存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，则存在x 使()()f x g x >，即2341x x x -+>+，即2430x x -+>，所以(1)(3)0x x -->，解得1x <或3x >，故满足条件的实数x 的取值范围是：(,1)(3,)-∞+∞.【点睛】该题考查的是有关二次函数以及一元二次不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有二次函数解析式的求法，一元二次方程根的分布，一元二次不等式的解法，属于简单题目. 26．（1）21 3.51(06)3110.5(6)x x x y xx ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；（2）生产525台；（3）年产量在150台到1500台时，企业至少盈利3.5万元.【分析】（1）用收入减去可变成本0.5x 万元和固定成本1万元即得利润函数，注意6x >时，只能卖了同6百台；（2）分段求出最大值，比较后可得；（3）解不等式 3.5y ≥可得．【详解】解：（1）设利润为y 万元.生产这种机器的固定成本为1万元，每生产1百台，需另增加投入0.5万元， ∴当产量为x 百台时，成本为10.5x +，市场对此产品的年需求量为6百台，∴当6x ≤时，产品能售出x 百台，6x >时，只能售出6百台，故利润函数为()10.5(06)(6)10.5(6)R x x x y R x x --≤≤⎧=⎨-->⎩， 整理可得21 3.51(06)3110.5(6)x x x y xx ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩. （2）当06x ≤≤时，21 3.513y x x =-+-， 即 3.5 5.25123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，max 8.1875y =万元； 当6x >时，110.5y x =-，利润在110.568-⨯=万元以下，故生产525台时，企业所得利润最大，最大利润为8.1875万元.（3）要使企业至少盈利3.5万元，则 3.5y ≥，当06x ≤≤时，21 3.51 3.53y x x =-+-≥， 即210.513.50x x -+≥，解得1.59x ≤≤，故1.56x ≤≤；当6x >时，110.5 3.5y x =-≥，解得15x ≤，即615x <≤，综上可知1.515x ≤≤，即年产量在150台到1500台时，企业至少盈利3.5万元.【点睛】本题考查函数的应用，根据已知条件，由利润＝收入－成本得利润函数，在此基础上可求解其他问题．本题属于基础题．。
(必考题)高中数学必修一第四单元《函数应用》检测题(答案解析)
一、选择题1．已知1,0()1,0ax x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则下列关于[()]1y f f x =+的零点的判断正确的是（ ） A ．当0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点； B ．当0a >时，有3个零点，当0a <时，有2个零点； C ．无论a 为何值，均有2个零点； D ．无论a 为何值，均有4个零点．2．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出水后时间t （分）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%．那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（ ） A ．33分钟B ．43分钟C ．50分钟D ．56分钟3．设函数()243,023,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．()2,4D ．()2,64．流行病学基本参数：基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rtI t N e =（其中0N 是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 满足01R rT =+，有学者估计出0 3.4,6R T ==．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I t N =时，t 的值为（ln 20.69≈）（ ） A ．1.2B ．1.7C ．2.0D ．2.55．已知函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，关于x 的方程23()(23)()20mf x m f x -++=有以下结论：①存在实数m ，使方程有2个解；②当方程有3个解时，这3个解的和为0；③不存在实数m ，使方程有4个解；④当方程有5个解时，实数m 的取值范围是331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry ，LDV ）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移()2sin 1/h p v f ϕλ=，其中v 为被测物体的横向速度，ϕ为两束探测光线夹角的一半，λ为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91560nm 1nm 10m -=，测得这时刻的频移为()98.72101/h ⨯，则该时刻高铁的速度约为（ ）A ．320km/hB ．330km/hC ．340km/hD ．350km/h7．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）A ．312⎡⎣B ．()2,+∞C ．()1,2D ．(3128．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞9．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =- 的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ）A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+10．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0f >，(1)(2)(4)0f f f <，则下列命题正确的是( )．A ．函数()f x 在区间(0 , 1)内有零点B ．函数()f x 在区间(1 , 2)内有零点C ．函数()f x 在区间(0 , 2)内有零点D ．函数()f x 在区间(0 , 4)内有零点11．某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（ ） A ．25B ．35C ．42D ．5012．已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21x f x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1，2)B ．(232，2)C ．23(,2)-∞(2， +∞) D ．(2，+∞)二、填空题13．对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为______． 14．函数()11f x x =-，()g x kx = ，若方程()()f x g x =有3个不等的实数根，则实数k 的取值范围为________.15．某汽车厂商生产销售一款电动汽车，每辆车的成本为4万元，销售价格为6万元，平均每月销量为800辆，今年该厂商对这款汽车进行升级换代，成本维持不变，但为了提高利润，准备提高销售价格，经过市场分析后发现，如果每辆车价格上涨0.1万元，月销量就会减少20辆，为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为__________万元. 16．已知方程24(2)60x a x +--=的两实根为1 x ，2x ，方程2220x x a --=的两实根为3x ，4x ，且3124x x x x <<<，则实数a 的取值范围为________.17．已知函数()21f x x =-+，().g x kx =若方程()()f x g x =有两个不等实数根，则实数k 的取值范围是______．18．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()3f x x x =+.若函数()()th x f x x=-在[)(]4,00,4-⋃上有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是_____________.19．已知函数()3cos f x x x =-，若不等式()12f x kx b kx b +≤≤+对一切实数x 恒成立，则21b b -的最小值为__________. 20．已知当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0>ω）有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______.三、解答题21．已知函数2()log (2)a f x ax x =-，其中0a >且1a ≠. （1）若函数()f x 在区间1(,1)2单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当3a =时，若关于x 的方程3(3)log (3)xxf m x -=++恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度()f x （单位：米）与生长年限x （单位：年）满足关系()()41=013kx b f x x +≥+，树木栽种时的高度为12米；1年后，树木的高度达到4128米. （1）求()f x 的解析式；（2）问从种植起，第几年树木生长最快？23．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()241f x x x =-+．（1）求函数()f x 的解析式：（2）根据解析式在图画出()f x 图象． （3）讨论函数()()g x f x m =-零点的个数． 24．已知函数()2()log 41xf x mx =++． （1）若()f x 是偶函数，求实数m 的值；（2）当0m >时，关于x 的方程()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦在区间[1上恰有两个不同的实数解，求m 的范围．25．荷兰阿斯麦尔公司（ASML ）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV （极紫外光源）具备7nm 工艺.芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x （单位：百元）满足如下关系：()213(02)236(25)1x x x x x ω⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x 百元，已知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为()L x （单位：百元）. （Ⅰ）求()L x 的函数表达式；（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？ 26．宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量L （单位：百斤）与施用肥料x （单位：百斤）满足如下关系：238(2),02()603,312x x L x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩，肥料成本投入为5x （单位：百元），其它成本投入为10x （单位：百元）.已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为()f x （单位：百元）. （1）求()f x 的函数关系式；（2）当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？1.414≈）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项． 【详解】0x >时，1()f x x x=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解．0x ≤时，若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和12t =， 20a-<，1012<<，因此2()f x a =-有两解，1()2f x =有两解，共4解．0a <时，()1f t =-只有一解1t=<，()f x = ∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．2．B解析：B 【分析】根据已知条件可得出10200.10.2m a m a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可求得m 、a 的值，可得出h 关于t 的函数关系式，然后令1h =求出t 的值，即可得解. 【详解】由题意可得10200.10.2m a m a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得1101202m a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，101220t h =⨯， 令1012120th =⨯=，可得10220t =，所以，()()210lg10lg 2101lg 210lg 2010 1.310log 2043lg 2lg 2lg 20.3t ++⨯====≈≈（分钟）. 因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中的条件，结合给定的函数模型以及题中的数据求解函数模型的解析式，即可求解.3．C解析：C 【分析】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()123f x f x f x m ===，当0x ≥时，()()2243211f x x x x =-+=--≥-，由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y xx =-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.4．B解析：B 【分析】根据所给模型求得0.4r =，代入已知模型，再由0()2I t N =，得002rtN e N =，求解t 值得答案 【详解】解：把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+，得3.416r =+，解得0.4r =， 所以0.40()tI t N e=，由0()2I t N =，得0.4002tN e N =，则0.42t e =，两边取对数得，0.4ln 2t =，得ln 20.691.70.40.4t =≈≈， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题5．C解析：C 【分析】将方程的解的个数转化为函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=的交点总数，数形结合即可得解. 【详解】由题意，23()(23)()20[3()2][()1]0mf x m f x f x mf x -++=⇒--=， 解得2()3f x =或1()f x m=， 则方程解的个数即为函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=的交点总数， 作出函数()f x 的图象，如图，由()f x 的图象可知，2()3f x =有两个非零解， 由1(0)f m =得1()f x m=至少有一个解0，故①错； 当方程有3个解时，10m <或11m ≥或123m =，由函数的对称性可得这3个解的和为0， 故②对；不存在实数m ，使方程有4个解，故③对； 当方程有5个解时，则函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=共有五个交点， 所以直线1y m=与函数()y f x =的图象有三个交点，数形结合可得101123mm ⎧<<⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得331,,22m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④对.故正确结论有3个. 故选：C ． 【点睛】方法点睛：解决函数零点(方程的根)的问题常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.6．C解析：C 【分析】先根据图象，求出sin ϕ的值，再根据公式即可计算出v 的值． 【详解】 解：3sinϕ-==，98.7210∴⨯=，即8.72=， 340148.009v ∴=≈米/小时340/km h ≈，故该时刻高铁的速度约为340/km h ．故选：C ． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的实际应用，也考查了学生的计算能力，关键在于将生活中的数据转化为数学公式中的数据，属于中档题．7．A解析：A 【分析】作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象，根据题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象如下图所示：由于在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则()()log 623log 10231a a a ⎧+≤⎪+>⎨⎪>⎩，解得3212a ≤< 因此，实数a 的取值范围是312⎡⎣.故选：A. 【点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8．B解析：B 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2x y x e =的导数为2'2(2)x x x y xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点，函数的极值为：224(0)0,(2)4f f e e -=-==， 函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e . 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.9．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意有00()0xf x e -=，所以00()xf x e =，而000000()1()110x x x x f x e f x e e e ----+=-+=-⋅+=，所以有0x -是函数()1x y f x e =+的零点，故选A ．考点：函数的零点的定义．10．D解析：D 【解析】解：因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象可得函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的， 函数的图象与x 轴相交有多种可能，如图所示：所以函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点， 故选D ．11．C解析：C 【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ，则21(1)2a x a +=．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点． 【详解】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ， 则21(1)2a x a +=． 解得210.41442%x =-≈≈．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C ． 【点睛】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．B解析：B 【分析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log (22)3log (62)3a a+<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4，作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象， 关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根， 可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点， 由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<，故选:B ．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.二、填空题13．【分析】根据局部奇函数的定义便知若函数是定义在上的局部奇函数只需方程有解可设从而得出方程在时有解从而设由二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意由局部奇函数的定义可知：若函数是定义在上的局部奇函数 解析：[)2,-+∞【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数()f x 是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程()()2222280xx x x m --+-+-=有解．可设()222x xt t -+=≥，从而得出方程280t mt --=在2t ≥时有解，从而设()28g x t mt =--，由二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程()()f x f x -=-有解，即()423423xx x x m m ---⋅-=--⋅-有解；变形可得()442260x x x xm --+-+-=， 即()()2222280xx x x m --+-+-=有解即可.设22x x t -+=，则222x x t -=+≥=，当且仅当0x =时，等号成立. 则方程()()f x f x -=-等价为280t mt --=在2t ≥时有解.设()28g t t mt =--，若方程280t mt --=的两根分别为1t 、2t ，则1280t t =-<，所以，()2428240g m m =--=--≤， 解可得：2m ≥-，即m 的取值范围为[)2,-+∞． 故答案为：[)2,-+∞． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】作出函数的图象及与函数的图象求出相切时的值即可得答案；【详解】分别作出函数的图象即当与相切时方程有3个不等的实数根两函数图象有3个交点由图可知时符合题意故答案为：【点睛】利用数形结合思想作出解析：4k >【分析】 作出函数()11f x x =-的图象及与函数()g x kx =的图象，求出相切时k 的值即可得答案； 【详解】分别作出函数的图象， 即21101kx kx kx x -=⇒-+=- 当()g x kx =与()11f x x =-相切时， 24040k k k k ⎧∆=-=⇒=⎨≠⎩，, 方程()()f x g x =有3个不等的实数根，∴两函数图象有3个交点，由图可知4k >时符合题意， 故答案为：4k >.【点睛】利用数形结合思想，作出两函数的图象，首先找到临界位置，即相切位置.15．7【分析】设每辆车的销售价格为万元求出每月的销售数量乘以每一辆的获利可得每月的利润再由二次函数求最值【详解】解：设每辆车的销售价格为万元则月销售为辆由解得获利当时取得最大值为1800万元为了获取最大解析：7 【分析】设每辆车的销售价格为x 万元，求出每月的销售数量，乘以每一辆的获利可得每月的利润，再由二次函数求最值.【详解】解：设每辆车的销售价格为x 万元，则月销售为68002020002000.1x x --⨯=-辆， 由20002000x ->，解得10x <，∴获利2(2000200)(4)20028008000(010)y x x x x x =--=-+-<<，当28007400x ==时，y 取得最大值为1800万元. ∴为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为7万元.故答案为：7. 【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，二次函数最值的求法，是基础题.16．【分析】把问题转化为函数与两个函数的交点问题画出图像观察即可得出结果【详解】由方程的两实根为则转化为两个函数的交点问题由方程的两实根为转化为两个函数的交点问题画出函数的图像如图所示：又观察图像可得： 解析：412a <<【分析】把问题转化为函数y a =与()642f x x x=-+，()222g x x x =-两个函数的交点问题，画出图像，观察即可得出结果. 【详解】由方程24(2)60x a x +--=的两实根为1 x ，2x ，1232x x ⋅=-，则120,0 x x ≠≠， 转化为()6,42y a f x x x==-+两个函数的交点问题， 由方程2220x x a --=的两实根为3x ，4x ， 转化为()2,22y a g x x x ==-两个函数的交点问题，画出函数()(),,f x g x y a =的图像，如图所示：又3124x x x x <<<，观察图像可得：412a <<.则实数a 的取值范围为412a <<. 故答案为：412a <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有实根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．【解析】试题分析：当时当时函数在上递减在上递增所以在处取得最小值且所以最小值点的坐标为若方程有两个不相等的实根则函数与有两个不同交点而是过原点的直线则应大于点与原点连线的斜率且小于直线的斜率即故答案解析：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：当2x ≥时，()1f x x =-，当2x <时，()3f x x =-+，函数()f x 在(),2-∞上递减，在2,上递增，所以在2x =处取得最小值，且()21f =，所以最小值点的坐标为()2,1，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则函数()f x 与()g x 有两个不同交点，而()g x kx =是过原点的直线，则k 应大于点()2,1与原点连线的斜率，且小于直线1y x =-的斜率，即112k <<，故答案为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点：分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数，属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．【分析】推导出函数的周期和对称轴方程并作出函数在上的图象数形结合可得出关于的不等式进而可求得实数的取值范围【详解】由得：所以函数的周期为由得所以函数关于直线对称所以函数在上单调递增在上的图象如下：函 解析：()6,2-【分析】推导出函数()y f x =的周期和对称轴方程，并作出函数()y f x =在[]4,4-上的图象，数形结合可得出关于t 的不等式，进而可求得实数t 的取值范围. 【详解】由()()()()2f x f x f x f x ⎧-=+⎪⎨-=-⎪⎩得：()()4f x f x +=，所以，函数()y f x =的周期为4，由()()2f x f x -=+得()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =关于直线1x =对称，()3f x x x =+，[]0,1x ∈，()2310f x x '=+>，所以，函数()y f x =在[]0,1x ∈上单调递增，()y f x =在[]4,4x ∈-上的图象如下：函数()()t h x f x x =-的零点，即()y f x =与()tg x x=的图象的交点. ①当0t >时，要有四个交点，则需满足()()11g f <，即2t <，此时02t <<； ②当0t <时，要有四个交点，则需满足()()33g f >，即23t>-，即60t -<<； ③当0t =时，()0g x =，即()y f x =在[)(]4,00,4-⋃上的零点，有4个，分别是4x =-、2-、2、4，满足题意.综上：()6,2t ∈-. 故答案为：()6,2-. 【点睛】本题利用函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于中等题.19．2【分析】根据恒成立可知同理得出故的最小值为2【详解】由恒成立可得即恒成立而且为周期函数故且同理可得的最小值为故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的性质考查不等式恒成立考查分析问题和解决问题的能力考解析：2 【分析】根据23cos x x kx b ≤+-恒成立可知21b ≥，同理得出11b ≤-，故21b b -的最小值为2． 【详解】由2()f x kx b ≤+恒成立，可得23cos x x kx b ≤+-，即2cos 3)(k x x b --≤+恒成立， 而1cos 1x -≤-≤，且cos y x =-为周期函数，故30k -=，且21b ≥，同理可得11b ≤-，∴21b b -的最小值为1(1)2--=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查函数的性质，考查不等式恒成立，考查分析问题和解决问题的能力，考查学生的逻辑推理能力.20．【分析】令利用正弦函数的性质解方程得出非负根中较小的六个根根据题意得出且整理即可得出答案【详解】令得则或整理得或则非负根中较小的有则且解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范 解析：56163ω≤<【分析】令()0f x =，利用正弦函数的性质解方程1sin 62x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得出非负根中较小的六个根，根据题意，得出44ππω≤且2434πππωω+>，整理即可得出答案. 【详解】令()0f x =，得1sin 62x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 则266x k ππωπ+=+或52,66x k k Z ππωπ+=+∈ 整理得2k x πω=或22,3k x k Z ππωω=+∈ 则非负根中较小的有22224240,,,,,333πππππππωωωωωωω++ 则44ππω≤且2434πππωω+>解得：56163ω≤<故答案为：56163ω≤< 【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.三、解答题21．（1）12a =或1a >；（2）146m -<<. 【分析】（1）由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式组，解之可得；（2）把对数方程转化为指数方程，换元后转化为一元二次方程，再由二次方程根的分布知识得结论． 【详解】解（1）由复合函数的单调性法则，以及()f x 的定义域可得1104a a >⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0112210a a a <<⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪-≥⎩1a ⇒>或12a = （2）原方程2333log [63(3)]log (3)log (3)xx xxm -⇔⋅-=++233log [63(3)]log (31)x x x m ⇔⋅-=⋅+ 263(3)31x x x m ⇔⋅-=⋅+（其中036x <<）， 2(3)(6)310x x m ⇔+-⋅+=其中036x <<），令3(0,6)x t =∈，原条件⇔关于t 的方程2(6)10t m t +-⋅+=在区间(0,6)内有两个不同的根记2()(6)1g t t m t =+-+，由二次方程根的分布的求解方法可得2(6)406062(0)10(6)610m m g g m ⎧∆=-->⎪-⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩146m ⇒-<<． 【点睛】关键点点睛：本题考查复合函数的单调性，对数方程解的问题．对数方程的解的个数问题的解题关键是进行转化，一是由对数方程转化为指数方程，二是指数方程转化为一元二次方程，最后由一元二次方程的根的分布知识可求解．22．（1）()441()013x f x x -+=≥+；（2）第3年与第4年. 【分析】（1）由已知得1(0)241(1)28f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41113241411328b k b+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解方程即可求,k b 的值，即可求解.（2）树木第x 年的增长量为：()()344141()11313x x g x f x f x -+-+=+-=-++整理之后利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由已知得1(0)241(1)28f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41113241411328b k b +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以381327b k b +⎧=⎨=⎩，解得1k =-，4b =，所以，()441()013x f x x -+=≥+.（2）令x ∈N ，()()()()334344141823()113131313x x x x x g x f x f x -+-+-+-+-+⋅=+-=-=++++. 问题化为，当x ∈N 时，求函数()g x 的最大值.而()3273782382()1343133427x x x x x g x -+-+-+-⋅==+⋅+++(8241224≤=.当且仅当733x x -=，即72x =，上式取等号，但x ∈N ，()()41344g g ==， 故种植之日起，第3年与第4年树木生长最快. 【点睛】关键点点睛：求第几年树木生长最快关键是构造函数()()()1g x f x f x =+-3441411313x x -+-+=-++表示第x 年的增长量的增长量，经过变形可以利用基本不等式求最值，即可求出取得最值时x 的值，本题也可以采用换元法令33x t -+=，则()()3441414141()11313113x x g x f x f x t t-+-+=+-=-=-++++通分后分子分母同时除以t ，再利用基本不等式求最值.23．（1）()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】（1）当0x <时，0x ->，运用已知区间的解析式和奇函数的定义结合()00f =，即可求解；（2）根据（1）中的解析式作出图象即可；（3）()()g x f x m =-零点的个数即等价于()y f x =与y m =两个函数图象交点的个数，数形结合讨论m 的值即可.【详解】（1）当0x =时，()00f =，当0x <时，0x ->，()241f x x x -=++，因为()f x 时奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()241f x x x f x -=++=-，即()()2410f x x x x =---<，所以()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩（2）()f x 图象如图所示：（3）由()f x 图象知：()23f -=，()23f =-，①当3m <-或3m >时，()y f x =与y m =两个函数图象有1个交点，函数()()g x f x m =-有1个零点；②当3m =±时，()y f x =与y m =两个函数图象有2个交点，函数()()g x f x m =-有2个零点；③当31m -<≤-或13m ≤<时，()y f x =与y m =两个函数图象有3个交点，函数 ()()g x f x m =-有3个零点；④当11m -<<且0m ≠时，()y f x =与y m =两个函数图象有4个交点，函数 ()()g x f x m =-有4个零点；⑤当0m =时，()y f x =与y m =两个函数图象有5个交点，函数()()g x f x m =-有5个零点；综上所述：当3m <-或3m >时，()g x 有1个零点；当3m =±时，，()g x 有2个零点；当31m -<≤-或13m ≤<时，()g x 有3个零点；当11m -<<且0m ≠时，()g x 有4个零点；当0m = 时，()g x 有5个零点；【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.24．（1）1m =-；（2）8,19m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【分析】（1）根据偶函数的定义()()f x f x -=，求得实数m 的值；（2）首先观察函数的单调性和()01f =，可得()242148log 2log 40x x m++-=，再根据换元设2log x t =，。
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1.3.
2.2函数性质的应用双基限时练新人教A版必修1 1．下列函数，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．f(x)＝－x2B．f(x)＝1
x2
C．f(x)＝1
x3
D．f(x)＝x3
答案 C
2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能为偶函数的是( )
A．y＝[f(x)]2B．y＝f(2x)
C．y＝f(－x) D．y＝f(|x|)
解析由0≤|x|≤1知，－1≤x≤1，定义域关于原点对称，∴y＝f(|x|)可能是偶函数．答案 D
3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数
答案 D
4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)
解析∵f(x)为偶函数，且f(2)＝0，∴f(－2)＝0.
画出示意图，易知f(x)<0的解集是(－2,2)，故选D.
答案 D
5．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值为5，则f(x)在[－7，－3]上是( ) A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
解析由题意知f(x)在[－7，－3]上也是增函数，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选B.
答案 B
6．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2－f x1
x2－x1
<0，则( )
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析依题意知f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以
f(3)<f(2)<f(1)．
又f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)．
则f(3)<f(－2)<f(1)成立．
答案 A
7．设函数f(x)是定义在[－5,5]上的奇函数，当x∈[0,5]时，f(x)的图象如右图，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析利用奇函数的性质，画出x∈[－5,5]内的图象，由图象知，f(x)<0的解集为(－3,0)∪(3,5]．
答案(－3,0)∪(3,5]
8．已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，且F(－2)＝5，则F(2)＝________.
解析∵f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)
F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，F(－2)＝5，
∴F(－2)＝af(－2)＋bg(－2)＋2＝－af(2)－bg(2)＋2，而F(2)＝af(2)＋bg(2)＋2.
∴F(2)＋F(－2)＝4，∴F(2)＝4－F(－2)＝4－5＝－1.
答案－1
9．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a ＋b ________0(填“>”“<”或“＝”)．
解析 f (a )＋f (b )>0，∴f (a )>－f (b )． 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (a )>f (－b )，又∵f (x )为减函数， ∴a <－b ，∴a ＋b <0. 答案 <
10．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．
解 由f (m )＋f (m －1)>0，
得f (m )>－f (m －1)，即f (m )>f (－m ＋1)．
又∵f (x )在[0,2]上为减函数且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数．
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－2≤－m ＋1≤2，－2≤m ≤2，－m ＋1>m ，即⎩⎪⎨
⎪⎧
－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m <12，
得－1≤m <12
.
11．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；
(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)． 解 (1)证明：令x ＝y ＝0，得
f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，
∴f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 对任意x ，总存在y ＝－x ，有
f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，
∴f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数．
(2)∵f (x )是奇函数，且f (－3)＝a ， ∴f (3)＝－a .
由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ，得
f (2x )＝2f (x )，
∴f (12)＝2f (6)＝4f (3)＝－4a .
12．已知定义在R 上的函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 的图象经过原点，且对任意的实数x 都有
f (1＋x )＝f (1－x )成立．
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若函数g (x )是定义在R 上的奇函数，且满足当x ≥0时，g (x )＝f (x )，试求g (x )的解析式．
解 (1)∵函数图象经过原点，∴b ＝0，
又因为对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (1－x )成立． ∴f (x )的对称轴为x ＝1， ∴a ＝－2.
(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝x 2
－2x ，
当x <0时，－x >0，g (－x )＝(－x )2
－2(－x )＝x 2
＋2x ， ∵g (x )为奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )＝－x 2
－2x ，
∴g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x ≥0，
－x 2
－2x ，x <0.。