八年级数学第一章
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
八年级数学上册 第一章 勾股定理专题课堂(一)课件
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD＝3，BD＝5.求AB 的长． 解：过D作DE⊥AB于E，根据(gēnjù)AAS可得△ACD≌△AED，所以CD＝DE，AC＝ AE，在Rt△DEB中，BD2＝DE2＋BE2，解得BE＝4.在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2， 即(AE＋4)2＝AC2＋82，解得AC＝AE＝6，所以AB＝BE＋AE＝10
第一章 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
专题课堂(kètáng)(一) 勾股定理
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勾股定理与分类讨论(tǎolùn) 在涉及三角形的边和高等问题时需要分类讨论．
例1：已知直角三角形两边长分别为2和3，则第三边的平方为_______．13或5 分析：此题已知直角三角形的两边长，但未明确这两边是直角边，还是斜边，因此较 长边3既可以是直角边，也可以是斜边．
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勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)与折叠问题
抓住折叠前后的对应线段，对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中，用 勾股定理来解决．
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例3：如图，在△ABC中，∠A＝90°，沿CD折叠(zhédié)△ABC，点A恰好落在BC边上 的E处，AB＝4，AC＝3，求BD的长． 分析：由折叠知道AD＝DE，∠A＝∠CED＝90°，AC＝CE. 解：在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2，得BC＝5，所以BE＝BC－CE＝BC－AC＝2， 设BD＝x，则DE＝AD＝4－x，在Rt△BED中，BD2＝DE2＋BE2，即x2＝(4－x)2＋22， 解得x＝2.5，所以BD＝2.5
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运用勾股定理列方程பைடு நூலகம்解决非直角三角形的求值问题时，一般作垂线构造(gòuzào)直角三角形，并运用勾股 定理列方程，体现数形结合思想．
八年级上册数学第一章笔记
八年级上册数学第一章笔记
第一章数学基础
一、知识点1：数的概念
1. 整数和分数是两种基本概念。
2. 零和负数也是数学中常用的数。
3. 数的绝对值和倒数概念在数学中非常重要。
二、知识点2：代数式
1. 代数式是表示数量关系的数学符号。
2. 代数式的运算和化简是数学中的重要内容。
3. 理解代数式的意义对于理解数学问题非常重要。
三、知识点3：方程的概念
1. 方程是表示两个数相等的关系。
2. 方程的解法包括移项、合并同类项、解一次方程等步骤。
3. 方程在数学中应用广泛，是解决实际问题的重要工具。
四、知识点4：不等式的概念和性质
1. 不等式是表示两个数大小关系的关系式。
2. 不等式的性质和应用对于理解不等式非常重要。
3. 不等式在数学中应用广泛，是解决实际问题的重要工具。
五、知识点5：函数的概念和图像
1. 函数是表示两个变量之间关系的重要数学概念。
2. 函数的图像和性质是理解函数的重要工具。
3. 函数在数学中应用广泛，是解决实际问题的重要工具。
六、注意事项：
1. 在学习过程中，要注意数学公式的正确使用和推导。
2. 在做题时，要注意题目的细节和要求，正确使用解题步骤和方法。
3. 对于概念和知识点，要反复理解和记忆，形成自己的知识体系。
八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时课件新版北师大版.ppt
情景导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理： 三角形的两边之和大于第三边。
对于一些特殊的三角形，是否还存在其 他特殊的关系？
思考探究，获取新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的 三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
2.观察与发现 观察图形，正方形A中有 9 个小方格，即A的面积为 9 个
面积单位。
正方形B中有 9 个小方格，即B的面积为 9 个面积单位。 正方形C中有 18 个小方格，即C的面积为 18 个面积单位。
你发现A、B、C的面积之间有什么关系？
归纳得出结论：A+B=C
观察下图，A、B、C之间是否还满足关系式： Aห้องสมุดไป่ตู้B=C.
随堂练习 1.求下图中字母所代表的正方形的面积。
A
（1）
（2）
解:A 所代表的正方形的面积是625； B 所代表的正方形的面积是144．
3.思考
如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长 度和2.4个单位长度，前面所猜想的数量关系式 还成立吗？
你发现了吗？
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的 平方，这就是著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边 为c，那么有a2+b2=c2.
c a
b
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾， 较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理 的由来。
八年级数学目录
·八年级上册第一章平行线· 1、同位角内错角同旁内角· 2、平行线的判定· 3、平行线的性质· 4、平行线之间的距离·第二章特殊三角形· 1、等腰三角形· 2、等腰三角形的性质· 3、等腰三角形的判定· 4、等边三角形· 5、直角三角形· 6、探索勾股定理· 7、直角三角形的全等判定·第三章直棱柱· 1、认识直棱柱· 2、直棱柱的表面展开图· 3、三视图· 4、由三视图描述几何体·第四章样本与数据分析初步· 1、抽样· 2、平均数· 3、众位数和众数· 4、方差和标准差· 5、统计量的选择与应用·第五章一元一次不等式· 1、认识不等式· 2、不等式的基本性质· 3、一元一次不等式· 4、一元一次不等式组·第六章图形与坐标· 1、探索确定位置的方法· 2、平面直角坐标系· 3、坐标平面内的图形变换·第七章一次函数· 1、常量和变量· 2、认识函数· 3、一次函数· 4、一次函数的图象· 5、一次函数的简单应用八年级下册第一章二次根式· 1、二次根式的性质· 2、二次根式的运算·第二章一元二次方程· 1、一元二次方程的解法· 2、一元二次方程的应用·第三章频数分布及其图形· 1、频数和频率· 2、频数分布· 3、频数的应用·第四章图形和证明· 1、定义与命题· 2、证明· 3、反例与证明· 4、反证法·第五章平行四边形· 1、多边形· 2、平行四边形· 3、平行四边形的性质· 4、中心对称· 5、平行四边形的判定· 6、三角形的中位线· 7、逆命题与逆定理·第六章特殊的平行四边形与梯形· 1、矩形· 2、菱形· 3、正方形· 4、梯形。
数学八年级上册知识点第一章
数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。
例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。
二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。
这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。
三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。
记忆是理解的基础。
如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。
新人教版八年级上册数学-第一章
新人教版八年级上册数学- 第一章：三角形人教版八年级数学（上册），第一章：三角形一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠ A、∠ B、∠ C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ ABC三边长a、b、c 的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ ABC三边长a、b、c 的不等式有：a>b-c ，b>a-c ，c>b-a ．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过 A 点作MN∥BC（如图）②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ ABC中，∠ C=180°－（∠ A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ ABC中，已知∠ A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠ B、∠ C的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，是△ ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如图中，∠ ACD=∠A+∠B , ∠ ACD>∠ A , ∠ACD>∠B. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形①多边形的对角线n（n 3）条对角线2②n 边形的内角和为（n－2）×180③多边形的外角和为360°考点11. 对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高. ACB(2) 5BC也B C(1)考点 21、下列说法错误的是 ( ).A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点3．如图 3，在△ ABC 中，点 D 在 BC 上，且 AD=BD=C ，DAE 是 BC 边上的高，若沿 AE 所在直线折叠，点 C 恰好落在点 D 处，则∠B 等于( )A ．25°B ．30°C ．45°D ．60°D ．三角形的三条高可能相交于外部一点 2、下列四个图形中，线段BE 是△ ABC 的高的图形是( ) B CAEAB AEC BBE2题图ACEACD4. 如图4，已知AB=AC=B，D那么∠1 和∠2之间的关系是（）A. ∠1=2∠2B. 2 ∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D.3∠1- ∠2=180°5. 如图5，在△ ABC中，已知点D，E，F 分别为边BC，AD，CE的中点，且S ABC= 4 cm2，则S阴影等于( )A．2cm2B. 1 cm2C. 12cm2 D.B D E FC BD C B D C5题图6题图7题图7. 如图6，BD=21BC ，则BC边上的中线为__S ABD = _________ 。
八年级数学上册第一章
八年级数学上册第一章一、三角形的相关概念。
1. 三角形的定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三个顶点、三条边和三个角。
例如，在△ABC中，A、B、C为顶点，AB、BC、AC为边，∠A、∠B、∠C为角。
2. 三角形的表示方法。
- 三角形用符号“△”表示，如上述三角形可记为△ABC。
3. 三角形的分类。
- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形可以用“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，且每个角都是60°。
二、三角形的性质。
1. 三角形的三边关系。
- 三角形两边之和大于第三边。
例如，在△ABC中，AB + BC>AC，AB+AC > BC，BC + AC>AB。
- 三角形两边之差小于第三边。
即AB - BC<AC，AB - AC<BC，BC - AC<AB。
- 应用：判断三条线段能否组成三角形，只需要判断较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可。
2. 三角形的内角和定理。
- 三角形的内角和等于180°。
- 证明方法有多种，如剪拼法（将三角形的三个角剪下来拼在一起可以得到一个平角）和推理证明（通过作平行线等方法进行证明）。
- 直角三角形的两个锐角互余，因为直角为90°，根据内角和180°，所以另外两个锐角和为90°。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
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嘉绿苑中学八年级数学周末练习（一）
1．下列语句是命题的是（）
A．作直线AB的垂线B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补D．垂线段最短吗？
2. 下列各组长度的线段能构成三角形的是（）
A．1.5 cm，3.9 cm，2.3 cm B．3.5 cm，7.1 cm，3.6 cm
C．6 cm，1 cm，6 cm D．4 cm，10 cm，4 cm
3．下列命题中，属于假命题的是（）
A．若a-b=0，则a=b=0 B．若a-b＞0，则a＞b
C．若a-b＜0，则a＜b D．若a-b≠0，则a≠b
4.把命题“三角形内角和等于180°”改写成:如果，那么．
5. 如图，∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，则∠BDC= ，∠BOC= .
6. 如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差= . 7．如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，要使△ABD≌△ACE，添加的条件是．
8. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，
已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，求∠ACB.
9. 如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，
现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等. 请用尺规作图的方法作出中转站。
10. 如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
11. 如图，在△ABC中, DE是AC的中垂线,AD=5，BD=2，求BC长.
12．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2 cm，BD=3 cm，求线段BC的长.
13．如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD=BD，求证：（1）∠DBH=∠DAC；
（2）△BDH ≌△ADC.
E D C B A 14. 如图,AD ⊥BD , AE 平分∠BAC , ∠B =30°, ∠ACD =70°, 求∠AED 的度数.
15.（1）若abc 为三角形的三条边长，化简b a c b c a c b a ----++--
（2）已知三角形的三条边长分别为3，x ，9，化简313-342
x x +-
16. 如图，AD 是△ABC 的中线E 是AD 的中点，则图中面积相等的三角形有哪几对？并加以证明。
17. 如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，AB=5cm ，AC=9cm ，求AD 的取值范围.
B
D C A
18．在△ABC中，∠ABC=∠ACB，边AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角为50°，且交AC所在直线于点E，交AB于点D. 试求∠EBC的度数.
19. （1）如图（1），在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线．若∠A为x°，则∠BOC为多少？（2）如图（2），BO、CO为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线，若∠A 为x•°，•则∠BOC为多少？（3）如图（3），BO、CO为△ABC一内角∠ABC与外角∠ACD 的平分线，若∠A为x°，则∠BOC为多少？
（4）∠ABC与∠ACE的角平分线交于点A1，再作∠A1BE、∠A1CE的平分线，交于点A2；再作∠A2BE、∠A2CE的平分线，交于点A3；……；依次类推，若∠A= x°则∠A n为多少度？。