八年级上册数学第一章勾股定理知识点与练习
八年级上册数学 第一章 勾股定理基本题型总结(经典全面)
CA BDBAC DB专题复习：勾股定理1、勾股定理考点一、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
解释：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2(古时候把直角三角形中较短边叫做“勾”，较长的直角边为“股”，斜边称为“弦”)典型例题例题1、（1）在直角三角形ABC中，AC=5，BC=12，求AB的长。
（2）在直角三角形ABC中，AB=25，AC=20，求BC的长。
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等技巧总结：利用勾股定理，在直角三角形中，已知两边可求第三边；一般情况下，用a，b 表示直角边，c表示斜边，则有a2+b2=c2，还可以有其他形式的变式。
例题2、一个零件的的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12,求CD的长.例题3、如图所示，已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高。
技巧总结：有时某些线段不可以直接写出来，可以用数学转化的思想，构造直角三角形，再求出答案，也可以用勾股定理建立方程去求。
例题4、如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部点C8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在距底部多少米处断裂？技巧总结：要用勾股定理的变形公式。
例题5、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
技巧总结：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 对应的课堂练习：1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在R t A B C ∆中， 90=∠C ， （1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_______1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。
八年级数学(上)第一章勾股定理单元练习题
八年级(上)数学第一章勾股定理单元练习题（1）一、填空题：1.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝．2.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是。
3.如图，直角三角形中未知边的长度x =。
4.在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶b ＝3∶4，则S Rt△AB c ＝．5.如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是。
6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
7.等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为，面积为.8.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．9.已知一个三角形的三边长分别是12cm ，16cm ，20cm ，则这个三角形的面积为 。
10.如图，小红欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达B 点200m ，结果他在水中实际游了520m ，则该河流的宽度AB 为。
二、选择题：11.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( ) A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等腰三角形12.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A ．321，421，521 B ．7，24，25 C ．3，4，5 D ．4，721，82113.一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略ABCD7cm AB C200m520m第10题512x不计）（ ）A.34英寸（87cm ）B. 29英寸（74cm ）C. 25英寸（64cm ）D.21英寸（54cm ） 14.一块木板如图所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12， AD ＝13，∠B ＝90°，木板的面积为( ) A ．60 B ．30 C ．24 D ．1215.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm16.适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( )①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580;④;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b a A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个. 三、解答题17.如图，从电线杆离地面6 m 处向地面拉一条长10 m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？18.如图，一根旗杆在折断之前有24m ，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？19.如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识 (1)求△ABC 的面积A DBC第14题A BC(1)判断△ABC 是什么形状? 并说明理由.20.在图3中，BC 长为3，AB 长为4，AF 长为12，求正方形的面积。
初二上册数学第一章勾股定理练习题及答案
6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）
A. 5、4、3、 B. 13、12、5 C. 10、8、6 D. 26、24、10
7.如图，在同一平面上把三边为BC＝3，AC＝4、AB＝5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（ ）
处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）
A. 10cm B. 12cm C. 19cm D. 20cm
三、 解答题 (每小题10分, 共50分)
21. 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）
22. 如图， 在△ABC中， AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1， 求AC2的值.
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
19. 在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm,，AC=20cm,，则△ABC的面积是（ ）
A. 96cm2 B. 120cm2 C. 160cm2 D. 200cm2
20. 如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（ ）
在圆柱下底面的 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 相对的 点
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
12. 小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（ ）
A. 小丰认为指的是屏幕的长度
B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度
C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长
D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度
13. 如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）
25. 如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积.
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题
cbaD CA B第一章 勾股定理学问点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2）1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
学问点二：验证勾股定理学问点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：ACBD例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：学问点四：勾股定理简洁应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a学问点五：勾股定理逆定理假设三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 学问点六：勾股数bbba（1）满意222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不行能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7学问点七：确定最短路途1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm,有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .学问点八：逆定理推断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形态是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定．2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对学问点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水ABCD A 'B 'C 'D 'ABC5米3米池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假设把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,安排在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两局部各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满意(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43 C 、0.2，0.3，0.4 D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．400225AB812255.在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC = 。
八年级数学上册 知识点总结
八年级数学上册知识点总结数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类：正有理数、有理数零有限小数和无限循环小数、实数负有理数、正无理数、无理数无限不循环小数、负无理数。
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：1）开方开不尽的数，如7、32等；2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如222π+8等；3）有特定结构的数，如0.xxxxxxxx01…等；4）某些三角函数值，如sin60等。
二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=−b，反之亦成立。
2、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（|a|≥）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥；若|a|=−a，则a≤。
3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和−1.零没有倒数。
4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算。
三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
八年级数学上册《第一章3 勾股定理的应用》讲解与例题
《第一章3 勾股定理的应用》讲解与例题1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每一个面都是平面．假设计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，假设计算不同面上的两点之间的距离，就必需把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，如此就能够够利用勾股定理加以解决了．因此立体图形中求两点之间的最短距离，必然要审清题意，弄清楚究竟是同一平面中两点间的距离问题仍是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情形，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．只是要留意展开时的多种情形，尽管看似很多，但由于长方体的对面是相同的，因此归纳起来只需讨论三种情形——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个表面都别离被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.此刻有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的表面爬行到右边表面上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时刻记录了下来，是2.5 s ．通过简短的试探，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你明白小明什么缘故会佩服这只蚂蚁的举动吗？ 解：如图②，在Rt△ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm. 又明白蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的表面爬行到点B 处，需要时刻为52＝2.5 s.小明通过试探、判定，发觉蚂蚁爬行的时刻恰恰确实是选择了这种最优的方式，因此他感到惊讶和佩服． 【例1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的极点A 动身，沿长方体的表面爬到对角极点C 1处(三条棱长如下图)，问如何走线路最短？最短线路长为多少？解：蚂蚁由A 点沿长方体的表面爬行到C 1点，有三种方式，别离展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC 1中，AC 21＝AB 2＋BC 21＝42＋32＝52＝25. 故AC 1＝5.如图②，在Rt△ACC 1中，AC 21＝AC 2＋CC 21＝62＋12＝37. 如图③，在Rt△AB 1C 1中，AC 21＝AB 21＋B 1C 21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行线路最短，最短的线路是5.点技术巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部份展开，画出局部的展开图，假设将长方体全数展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部份是曲线，那么如何确信哪一条是最短的呢？解决问题的方式是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定明白得决，而不能盲目地凭感觉来确信．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A处，发觉自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引发这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋线路，从背后对小昆虫进行突然攻击，结果蚂蚁偷袭成功，取得了一顿美餐．依照上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开摊平如图②，那么对角线AB即为蚂蚁爬行的最短线路．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离此题文字表达较多，要求在阅读的基础上提炼有效的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发觉对角线AB即为蚂蚁爬行的最短线路，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定明白得决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高别离为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是那个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点动身，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定明白得决生活中的问题利用勾股定理及其逆定明白得决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻明白得题意，并画出符合条件的图形．解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是： (1)把立体图形展成平面图形； (2)确信点的位置； (3)确信直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕捉苍蝇果腹的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开取得它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.那么蜘蛛所走的最短线路的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，因此MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt△MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，因此SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元成立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题取得解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？解：设CD ＝x cm ，由题意知DE ＝x cm ，BD ＝(8－x ) cm ，AE ＝AC ＝6 cm ，在Rt△ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10 cm. 于是BE ＝10－6＝4 cm.在Rt△BDE 中，由勾股定理得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3. 故CD 的长为3 cm.。
初二数学上册知识点.复习及配套练习(新北师大版本)
.新北师大版八年级数学上册知识点复习第一章勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即 2 2 2a b c 。
2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
2 2 23．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a b c ，那么这个三角形是2 2 2直角三角形。
满足a b c 的三个正整数称为勾股数。
第二章实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果 2x a，那么x 是a 的平方根，记作： a ；其中 a 叫做a 的算术平方根。
（2）性质：①当a≥0 时， a ≥0；当a ＜０时， a 无意义；②2a ＝a ；③ 2a a 。
2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若（2）性质：①33 a ；x a ，那么x 是a 的立方根，记作：33 a3 a ；② 3 a a；③ 3 a ＝ 3 a3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
a a5．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）。
a b a bb b第三章位置与坐标1．直角坐标系及坐标的相关知识。
2．点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A、B 纵坐标相同，则AB∥x 轴。
3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。
北师大版八年级数学上册 第一章：勾股定理考点与常考题型
第1讲 勾股定理及其逆定理知识点一、勾股定理及其逆定理的基本应用考点一、求线段的长【方法点拨】①勾股定理常用来求直角边或斜边；②勾股定理是求线段长度的最主要方法，若缺少直角条件，可以通过作垂线的方法构造直角三角形；③若不能直接用勾股定理求出直角三角形的边，一般设未知数，建立方程求解。
例1、等腰三角形的底边长为12，底边上的中线长为8，它的腰长为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12例2、Rt △ABC 中，斜边BC ＝3，则AB 2+AC 2+BC 2的值为（ ） A ．16B ．18C ．8D ．无法计算例3、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2＝49，②x ﹣y ＝2，③2xy +4＝49，④x +y ＝9．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④例4、若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（ ） A ．5B ．10C ．125D ．245例5、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 ． 例6、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 ．例7、如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D ，且AB ＝5，BC ＝4，AC ＝6，求DE 的长．考点二求面积【方法点拨】①勾股定理间接反映了三个图形面积之间的关系，可利用勾股定理求三角形、四边形、扇形、弓形的面积；②用勾股定理求直角三角形面积时，可将ab看作一个整体，而不必求出ba，的值，利用222cba=+，再结合()()2222babaab+-+=等类似完全平方式的变形等式解决实际问题。
例1、如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A．12B．13C．144D．194例2、勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90B．100C．110D．121例3、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．64例4、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．例5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，正方形A的面积为9cm2，则正方形A，B，C，D面积之和为cm2．例6、如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．知识点二、勾股定理的实际问题考点一树折断问题【方法点拨】注意树折断前后的长度是固定的。
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八年级上册数学第一章勾股定理知识点与练习
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
勾股定理
知识点一：勾股定理
勾股定理: . 勾股数： .
常见勾股数：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25。
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例1、若Rt ABC 中，90C ︒∠=且a=5,b=12,则c= ,
例2、Rt △ABC 中，若c=10,a ∶b=3∶4,则a= ,b= .
例3、如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，
则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm
4、下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④a 8，a 15，a 17（0≠a ）； ⑤9，40，41。
其中是勾股数的有（ ）组 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
练习
1、在△ABC 中，∠C=90°,c=37,a=12，则b=（ ）
A 、50
B 、35
C 、34
D 、26
2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）
A.5、4、3
B.13、12、5
C.10、8、6
D.26、24、10
3、若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（ ） A 、169 B 、119 C 、169或119 D 、13或25
知识点二：勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
例1、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2
－ｃ2
,则此三角形是 ( ).
S 3
S 2
S 1
C
B
A
A 、钝角三角形
B 、锐角三角形
C 、直角三角形
D 、等边三角形
例2、在△ABC 中，若AB=2,AC=2,BC=2,则∠B= 。
练习
1、 已知a 、b 、c
是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=，则三角形的形状是（ ）
A ：底与边不相等的等腰三角形
B ：等边三角形
C ：钝角三角形
D ：直角三角形
2、△ABC 中，若a ∶b ∶c=1∶3∶2,则∠A ∶∠B ∶∠C= .
知识点三：运用勾股定理和勾股定理的逆定理解生活中的实际问题
①勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，其作用：已知两边求第三边;证明三角形中某些线段的平方关系;作长为m 的线段。
②勾股定理的逆定理常用来判断一个三角形是否为直角三角形。
例1、有一个小孩站在距他1米且比他高50厘米的向日葵旁边，当风吹倒向日葵时， 向日葵的顶处正好可以碰到他的头顶，那么你能计算出向日葵和小孩的高度吗？ 练习
1、一艘轮船以16km/h 速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开一个半小时后相距 。
综合练习
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）
A ．26
B ．18
C ．20
D ．21 2、在下列数组中，能构成一个直角三角形的有（ ） ①10，20，25；②10，24，25；③9，80，81；④8；15；17 A 、4组 B 、3组 C 、2组 D 、1组
3、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( ) A 、 直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定
4、如图所示，以Rt ABC 的三边向 外作正方形，其面积分别
为123,,S S S ,且1234,8,S S S ===则 ；
5、如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°， AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里， 问几天才能把隧道AB 凿通？
6、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.
勾股定理作业
1、在Rt △ABC 中，斜边AB=2,则=++222CA BC AB .
2、.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ） A 、25海里
B 、30海里
C 、35海里
D 、40海里
3、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ） A.4 B.8 C.10 D.12
4、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）
A 、40
B 、80
C 、40或360
D 、80或360
5、要登上12米高的建筑物，为了安全起见，要使梯子的底端离建筑物5米，则至少需要 米长的梯子。
6、在四边形ABCD 中，∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12.
C
A
B
D
①AD ⊥BD 吗为什么②求四边形ABCD 的面积。
7、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。
(2)求AB 的长。
C
A
D。