福州格致中学数学选修2-1模块综合测试

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【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试一

单元综合测试一时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112 答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列语句不是命题的有()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③3＋1＝5；④5x－3>6.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④答案：C2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0 B．2C．3 D．4解析：可设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，满足A⊆B，但A≠B，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．答案：B3．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解析：直线l与平面α内两相交直线垂直⇔直线l与平面α垂直，故选C.答案：C4．已知p：若a∈A，则b∈B，那么命题綈p是()A．若a∈A，则b∉B B．若a∉A，则b∉BC．若b∉B，则a∉A D．若b∈B，则a∈A解析：命题“若p，则q”的否定形式是“若p，则綈q”．答案：A5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是()A．命题“非p”与“非q”真假不同B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题C．命题“非p”与“q”真假相同D．命题“非p且非q”是真命题解析：p且q是假命题⇒p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题⇒p和q都是假命题，则非p 和非q都是真命题．答案：D6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作为a＝b的必要非充分条件的命题是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析：由向量的运算即可判断．答案：D7．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“A⇒B，A⇐/ B”等价于“綈A⇐綈B，綈A⇒/ 綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分条件．答案：B8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．答案：A9．下列全称命题中，正确的是()A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>sin x＋sin yB．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>cos x＋cos yC．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)<sin x＋cos yD．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)<cos x＋sin y解析：由于cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y，而当x，y∈{锐角}时，0<cos y<1,0<sin x<1，所以cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y<cos x＋sin y，故选项D正确．答案：D10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈Z，x3>x2”的否定是“∃x∈Z，x3<x2”C．“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充要条件D．“b＝0”是“关于x的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：A为全称命题；B中否定应为∃x0∈Z，x30≤x20；C中应为充分不必要条件．答案：D11．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k<0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“綈p”且“綈q”为假解析：由题意知p真，q假．再进行判断．答案：D12．已知向量a＝(x，y)，b＝(cosα，sinα)，其中x，y，α∈R，若|a|＝4|b|，则a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是() A．λ>3或λ<－3 B．λ>1或λ<－1C．－3<λ<3 D．－1<λ<1解析：由已知|b|＝1，∴|a|＝4|b|＝4.又∵a·b＝x cosα＋y sinα＝x2＋y2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a·b<λ2成立，则λ2>4，解得λ>2或λ<－2，这是a·b<λ2成立的充要条件，因此a·b<λ2成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，如果对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则a 的取值范围是________．解析：由已知∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立．显然a ＝0不合题意，所以⎩⎨⎧a >0Δ＝4－4a <0⇒a >1. 答案：a >115．试写出一个能成为(a －2)2(a －1)>0的必要不充分条件________．解析：(a －2)2(a －1)>0的解集记为B ＝{a |a >1且a ≠2}，所找的记为集合A ，则B A .答案：a >1(不惟一)16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－3；③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan α＝5tan β； ④圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋1＝0与直线y ＝12x ，所得弦长为2. 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：对于①易知p 真，q 真，故命题p ∧綈q 假，①正确；对于②l 1与l 2垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展示整理即得；对于④可求得弦长为455，④错．答案：①③三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：綈p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，使b ≠c .綈p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4.命题Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题，故綈P ∧Q 为真命题，或P ∧綈Q 为真命题，则⎩⎨⎧ a <0或a ≥4a ≤14或⎩⎨⎧ 0≤a <4a >14.解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(14，4)． 19．(12分)求证：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1.证明：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是：Δ＝4－4a >0⇔a <1，并且a <0，从而a <0.有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证．20．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3. 设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.∴2<x <3满足不等式a <9x －2x 2.∵当2<x <3时，9x －2x 2＝－2(x 2－92x ＋8116－8116)＝－2(x －94)2＋818∈(9，818]，即9<9x －2x 2≤818，∴a ≤9. 21．(12分)给出命题p ：“在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∀x ∈[0，π]，向量OP→与OQ →不垂直．”试判断该命题的真假，并证明．解：命题p 是假命题，证明如下：由OP →和OQ →不垂直，得cos x (2cos x＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：2cos 2x －cos x ≠0，所以cos x ≠0或cos x ≠12.而当x ∈[0，π]时，cos π2＝0，cos π3＝12，故存在x ＝π2或x ＝π3，使向量OP→⊥OQ →成立，因而p 是假命题． 22．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－b2)2＋3b24≠0，只有a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.。

【红对勾】高中数学单元综合测试三新人教A版选修2-1(1)

单元综合测试三时刻：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，假设CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，那么A 1B →＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c解析：结合图形，得A 1B →＝A 1A →＋AC →＋CB →＝－c －a ＋b ＝－a ＋b －c ，应选D. 答案：D2．已知a ＝(－5,6,1)，b ＝(6,5,0)，那么a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向答案：A3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，假设(a ＋b )⊥c ，那么x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－6 解析：a ＋b ＝(－2,1,3＋x )，由(a ＋b )⊥c ， ∴(a ＋b )·c ＝0.∴－2－x ＋2(3＋x )＝0，得x ＝－4. 答案：B4．假设a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a ，b 的夹角的余弦值为89，那么λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255 D ．2或－255解析：a·b ＝2－λ＋4＝6－λ＝5＋λ2×3×89.解得λ＝－2或255. 答案：C5．已知空间四边形ABCD 每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 别离是AB 、AD 、DC 的中点，那么a 2是以下哪个选项的计算结果( )A ．2BC →·CA →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →解析：2BC →·CA →＝－a 2，A 错；2AD →·DB →＝－a 2，B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，D 错；只有C 对．答案：C6．假设A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( ) A ．19 B ．－87C.87D.1914解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，那么|AB →|＝1－x 2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值，应选C. 答案：C7．已知ABCD ，ABEF 是边长为1的正方形，FA ⊥平面ABCD ，那么异面直线AC 与EF 所成的角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图1，由于EF ∥AB 且∠BAC ＝45°，因此异面直线AC 与EF 所成的角为45°，应选B. 答案：B图1图28．如图2所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，那么sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( ) A.12 B.21015 C.23 D.1115解析：以DA ，DC ，DD ′所在的直线别离为x ，y ，z 轴成立直角坐标系O －xyz ，设正方体棱长为1，那么D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，那么DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，那么sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.答案：B 图39．如图3，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，那么C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C.2 D.3解析：|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝2.答案：C10．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，那么存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，假设OP →＝2OA →－2OB →－OC →，那么P 、A 、B 、C 四点共面；④假设{a ，b ，c }为空间的一个基底，那么{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }组成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：①错，应为充分没必要要条件．②错，应强调b ≠0.③错，∵2－2－1≠1.⑤错，由数量积的运算性质判别．答案：C11．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，那么二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )A.6 B.3C.66D.62解析：设PA ＝AB ＝2，成立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0,0)，平面PBC 的一个法向量是n ＝(33，1,1)．那么cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33|m ||n |＝331×213＝77.∴正切值tan 〈m ，n 〉＝6.答案：A 图412．(2020·辽宁高考)如图4，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，那么以下结论中不正．．确．的是( ) A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .又∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC .其中SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥面SDB ，从而AC ⊥SB .故A 正确；易知B 正确；设AC 与DB 交于O 点，连结SO .那么SA 与平面SBD 所成的角为∠ASO ，SC 与平面SBD 所成的角为∠CSO ，又OA ＝OC ，SA ＝SC ，∴∠ASO＝∠CSO .故C 正确；由排除法可知选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u ＝(－2，－1,1)，那么l 与α的夹角为________．解析：∵cos 〈v ，u 〉＝|－2＋1－2|6×6＝12，∴〈v ，u 〉＝60°.∴l 与α的夹角为30°. 答案：30°14．如图5所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，那么GE →＝________.解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－23AM →＋AD →＋14DB →＝－23×12(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →，故GE →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →图5 图615．如图6所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，那么PA 与底面ABC 所成的角为________．解析：由于PA ＝PB ＝PC ，故P 在底面ABC 上的射影为△ABC 外心，由于△ABC 为直角三角形，不妨设OB ＝OC ，因此OP ⊥面ABC ，∠PAO 为所求角，不妨设BC ＝1，那么OA ＝12，cos ∠PAO ＝12，因此∠PAO ＝60°.答案：60°16．(2020·全国高考)已知点E 、F 别离在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，那么面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．图7解析：延长FE 、CB 相交于点G ，连结AG ，设正方体的棱长为3，那么GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于H ，连结EH ，那么∠EHB 为所求二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EBBH＝23.答案：23三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是不是存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝52.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，假设OE →⊥b ，那么OE →·b ＝0，因此－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，现在E 点坐标为E (－65，－145，25)．图818．(12分)如图8，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1. 图9证明：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，且C 1C 垂直底面． ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图9，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1别离为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，那么E (0,2,2)， ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)，∴DE →＝12AC 1→.∴DE ∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.19．(12分)已知M 为长方体AC 1的棱BC 的中点，点P 在长方体AC 1的面CC 1D 1D 内，且PM ∥BB 1D 1D ，试探讨点P 的确切位置．图10解：以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，如图10成立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c .依照题意可设A (a,0,0)，B (a ，b,0)，D 1(0,0，c )，P (0，y ，z )，那么M (12a ，b,0)．又PM ∥BB 1D 1D ，依照空间向量大体定理，必存在实数对(m ，n )，使得PM →＝mDB →＋nDD 1→，即(12a ，b －y ，－z )＝(ma ，mb ，nc )，等价于⎩⎪⎨⎪⎧12a ＝mab －y ＝mb －z ＝nc⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，y ＝12b ，z ＝－nc ，n ∈R ，那么点P (0，b2，－nc )．∴点P 在面DCC 1D 1的DC 的中垂线EF 上．20．(12分)在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两相互垂直，G 是△PAB 的重心，E ，F 别离是BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：(1)平面GEF ⊥平面PBC ； (2)EG ⊥PG ，EG ⊥BC .图11证明：(1)以三棱锥的极点P为原点，以PA、PB、PC所在的直线别离为x轴、y轴、z轴，成立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，那么A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．于是PA→＝(3,0,0)，FG→＝(1,0,0)．故PA→＝3FG→.∴PA∥FG.又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.(2)∵EG→＝(1，－1，－1)，PG→＝(1,1,0)，BC→＝(0，－3,3)．∴EG→·PG→＝1－1＝0，EG→·BC→＝3－3＝0.∴EG⊥PG，EG⊥BC.图1221．(12分)(2020·天津高考)如图12，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1BB1的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．图13解：如图13所示，成立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(22，0,0)，B(0,0,0)，C(2，－22，5)，A1(22，22，0)，B1(0,22，0)，C1(2，2，5)．(1)易患AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23.因此异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.(2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －22x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)，一样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－22x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)，于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝27×7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357. 因此二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (22，322，52)．设M (a ，b,0)，那么MN →＝(22－a ，322－b ，52)．由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎨⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN→·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧22－a ·－22＝0，22－a ·－2＋322－b ·－2＋52×5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24.故M (22，24，0)．因此BM →＝(22，24，0)，因此线段BM 的长|BM →|＝104.图1422．(12分)如图14，在矩形ABCD 中，点E ，F 别离在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求二面角A ′－FD －C 的余弦值；(2)点M ，N 别离在线段FD ，BC 上，假设沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：法一：(1)取线段EF 的中点H ，连结A ′H . 因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，因此A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H ⊂平面A ′EF ，因此A ′H ⊥平面BEF .如图15成立空间直角坐标系A －xyz ，图15 则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)，故FA ′→＝(－2,2,22)，FD →＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，那么n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)．故cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝33. 因此二面角的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，那么M (4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A ′重合，因此CM ＝A ′M ，故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214，经查验，现在点N 在线段BC 上，因此FM ＝214. 法二：(1)取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A ′G ，A ′H ，GH .图16因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，因此A ′H ⊥EF ，又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，因此A ′H ⊥平面BEF ，又AF ⊂平面BEF ，故A ′H ⊥AF ，又因为G ，H 是AF ，EF 的中点，易知GH ∥AB ，因此GH ⊥AF ，于是AG ⊥面A ′GH ，因此∠A ′GH 为二面角A ′－DF －C 的平面角，在Rt △A ′GH 中，A ′H ＝22，GH ＝2，A ′G ＝23，因此cos ∠A ′GH ＝33. 故二面角A ′－DF －C 的余弦值为33.(2)设FM＝x，因为翻折后，C与A′重合，因此CM＝A′M，而CM2＝DC2＋DM2＝82＋(6－x)2，A′M2＝A′H2＋MH2＝A′H2＋MG2＋GH2＝(22)2＋(x＋2)2＋22，得x＝214，经查验，现在点N在线段BC上，因此FM＝214.。

【红对勾】高中数学模块综合测试新人教A版选修2-1(1)

模块综合测试时刻：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．那么以下判定正确的选项是( )A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．綈p ∧q 为真命题D ．綈p ∨綈q 是假命题解析：易知p 假，q 真，从而可判定得C 正确．答案：C2．已知a ，b ∈R ，那么“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b ”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也没必要要条件解析：∵ln a >ln b ⇔a >b >0，(13)a <(13)b ⇔a >b .而a >b >0是a >b 的充分而没必要要条件． ∴“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b ”的充分而没必要要条件．答案：A3．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又没必要要条件答案：B4．以双曲线x 24－y 212＝－1的核心为极点，极点为核心的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的核心为(0,4)、(0，－4)，极点坐标为(0,23)、(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1. 答案：D5．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为极点，且以该双曲线的右核心为核心的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9.∴右核心的坐标为(3,0)，故抛物线的核心坐标为(3,0)，极点坐标为(0,0)．故p2＝3.∴抛物线方程为y 2＝12x . 答案：A6．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的核心，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x解析：由已知椭圆与双曲线有公共核心得3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2.而由双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1，得渐近线为y ＝±3n 22m 2x ＝±34x .答案：D7．关于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，那么( )A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面解析：由已知得OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，而16＋13＋12＝1，∴四点P 、A 、B 、C 共面．答案：B 图18．如图1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 别离为A 1B 1、CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，那么α的集合是( )A ．{π2}B ．{α|π6≤α≤π2}C ．{α|π4≤α≤π2} D ．{α|π3≤α≤π2} 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 上，易证D 1N ⊥平面ADEM .此题也可成立空间直角坐标系用向量求解．答案：A 图29．如图2，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，假设点P 知足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，那么|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24D.94解析：由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝2.〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.∴|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA 2→＋14BC 2→＋BD 2→－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD → ＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94.答案：D10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A.24 B.23 C.33 D.32解析：成立如图3所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，那么n ＝(1，－1，－1)，图3∴cos 〈n ，BC 1→〉＝n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝－23·2＝－63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33.答案：C 11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个核心为F 1、F 2，假设P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，那么双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 图4解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图4. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a . ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a .∴c ≤3a . 又∵c >a ，∴a <c ≤3a . ∴1<ca≤3，即1<e ≤3.答案：B12．(2020·全国高考)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .假设该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，那么圆N 的面积为( )A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π 图5解析：由圆M 的面积知圆M 的半径为2，|OM |＝42－22＝23.|ON |＝|OM |·sin30°＝3.从而圆N 的半径r ＝42－3＝13，因此圆N 的面积S ＝πr 2＝13π.应选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分) 图613．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，那么OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)解析：OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12(12OB →＋12OC →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋14b ＋14c14．假设命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，那么“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________．解析：p 为假命题，因为a 符号不定，q 为假命题，因为a 、b 大小不确信．因此p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．答案：綈p15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，那么d 1＋d 2的最小值是________．图7解析：如图7，依照概念，d 1即为P 到核心(1,0)的距离，∴d 1＋d 2的最小值也确实是核心到直线的距离． ∴(d 1＋d 2)min ＝|1＋2×0－12|5＝1155.答案：115516．有以下命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的核心；②“－12<x <0”是“2x 2－5x －3<0”的必要不充分条件；③若a 与b 共线，那么a ，b 所在直线平行；④若a ，b ，c 三向量两两共面，那么a ，b ，c 三向量必然也共面；⑤∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0.其中正确的命题有________．(把你以为正确的命题的序号填在横线上)解析：①中，双曲线c 21＝25＋9＝34，椭圆c 22＝35－1＝34，故①正确；②中，∵2x 2－5x －3<0，∴－12<x <3.又－12<x <0⇒－12<x <3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而没必要要条件，故②错；③中，a 和b 所在直线可能重合，故③错；④中，a ，b ，c 能够不共面，例如平行六面体以一个极点为起点引出的三个向量，故④错； ⑤中，Δ＝9－12<0，故对∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0成立．答案：①⑤三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．假设p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围．解：对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f 0>0.解得0<m <4. 又∵綈p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真．由数轴可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是2＋1≤m <4.18．(12分)已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －m )2＝9(m ∈R)，双曲线G 与椭圆D 有相同的核心，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．解：椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两核心为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，核心在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么G 的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.当m ＝5时，圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4.∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1. 19．(12分)已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体， (1)化简12AA ′→＋BC →＋23AB →，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值．图8解：(1)如图8，取AA ′的中点E ，D ′F ＝2FC ′，EF →＝12AA ′→＋BC →＋23AB →.(2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→， ∴α＝12，β＝14，γ＝34.20．(12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)，是不是存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？解：假设存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立，∵f (x )的图象过点(－1,0)， ∴a －b ＋c ＝0.①∵x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立，∴当x ＝1时，也成立，即1≤f (1)≤1， ∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝1，②由①②得b ＝12，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，1－2a x 2－x ＋2a ≥0恒成立．当a ＝0或1－2a ＝0时，上述不等式组可不能恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－4a 12－a ≤0，1－8a 1－2a ≤0，a >0，1－2a >0.∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14.∴存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．图921．(12分)(2020·辽宁高考)如图9，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．图10解：如图10，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴成立空间直角坐标系D －xyz .(1)证明：依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，那么DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)．因此PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQDC ，因此平面PQC ⊥平面DCQ .(2)依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，那么⎩⎨⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0.因此可取n ＝(0，－1，－2)．设m 是平面PBQ 的法向量，那么⎩⎨⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0.可取m ＝(1,1,1)，因此cos 〈m ，n 〉＝－155. 故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155. 22．(12分)已知椭圆C 的中心在座标原点，核心在x 轴上，椭圆C 上的点到核心距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右极点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右极点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2， ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右极点D (2,0)， ∴k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. ∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均知足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k (x －27)，直线过定点(27，0)． ∴直线l 过定点，定点坐标为(27，0)．。

2024-2025学年福建省福州市格致中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年福建省福州市格致中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i(1−3i)1+i =( )A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i2.已知集合A ={x|x 2−3x ≥0}，B ={0,1,2,3}，则(∁R A)∩B =( )A. {3}B. {1,2,3}C. {1,2}D. {0,1,2,3}3.已知样本数据x 1，x 2，…，x 100的平均数和标准差均为4，则数据−x 1−1，−x 2−1，…，−x 100−1的平均数与方差分别为( )A. −5，4B. −5，16C. 4，16D. 4，44.已知函数f(x)=cosxe x +2x ，则曲线y =f(x)在x =0处的切线方程为( )A. 2x−2y +1=0B. x +y−1=0C. x−y +1=0D. 2x−y +1=05.已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)(m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为( )A. (6425,4825)B. (45,85)C. (643,485)D. (425,825)6.已知函数f(x)=sinωx +acosωx(ω>0)图象的对称轴方程为x =kπ+π4(k ∈Z)，则f(a2π)=( )A. 1B. −1C.22D. −227.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点M 使得∠F 1MF 2=2α(α≠0)，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为( )A. (0,sin2α]B. (0,sinα]C. [sin2α,1)D. [sinα,1)8.已知A ，B ，C ，D 是半径为2的圆O 上的四个动点，若AB =CD =2，则CA ⋅CB +DA ⋅DB 的最大值为( )A. 6B. 12C. 24D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。

高二数学选修2-1测试题(完整资料).doc

计算，
所以，A，B中点坐标E（，）,
因为 = ，所以PE⊥AB， ,
所以 , 解得 ,
经检验，符合题意，所以直线的方程为或。 ……12分
考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及中点坐标公式、斜率公式等的综合应用，考查学生数形结合解决问题的能力和运算求解能力.
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记，否则就表示圆了.
16．
【解析】
试题分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为．
考点：本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点（0，1），且 = ，求直线的方程．
22．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．
(1)求证：；
(2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；
(3)求与平面所成角的正弦值．
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：，则且；反之，且时，，故选B.
当切线的斜率不存在时，x=－1符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即。
由圆心（－3，2）到切线距离等于半径2，得，，解得，k= ，
所以，切线方程为3x－4y+27=0。
综上知，答案为3x－4y+27=0或x=－1.
考点：直线与圆的位置关系
点评：中档题，研究直线与圆的位置关系问题，利用“代数法”，须研究方程组解的情况；利用“几何法”，则要研究圆心到直线的距离与半径比较。本题易错，忽视斜率不存在的情况。

【红对勾】高中数学单元综合测试二新人教A版选修2-1(1)

单元综合测试二时刻：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，应选A. 答案：A2．(2020·新课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的核心，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：∵F (3,0)，AB 的中点N (－12，－15)， ∴k AB ＝－15－0－12－3＝1.又∵F (3,0)，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，易知a 2＋b 2＝9①再设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有x 21a 2－y 21b 2＝1②x 22a 2－y 22b 2＝1③由②－③可得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2∴y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝k AB ＝1.*又∵x 1＋x 22＝－12，y 1＋y 22＝－15，∴*式可化为b 2a 2×(－12－15)＝1，∴b 2a 2＝54④由①和④可知b 2＝5，a 2＝4， ∴双曲线的方程为x 24－y 25＝1，应选择B.答案：B3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．答案：B4．假设点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，那么点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2，那么点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，因此动点P 的轨迹为抛物线，应选D.答案：D5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，那么动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，应选D. 答案：D6．(2020·课标全国高考)设直线l 过双曲线C 的一个核心，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，那么C 的离心率为( )A.2 B.3C ．2D ．3解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，那么易求得|AB |＝2b 2a，∴2b 2a＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝3，应选B.答案：B7．过抛物线y 2＝4x 的核心作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，那么如此的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：由概念|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴如此的直线有且仅有两条．答案：B8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，那么l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0解析：设l 与椭圆的两交点别离为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，因此y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：D9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右核心作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的核心在x 轴上，对称中心在座标原点且两条渐近线别离过A 、B 两点，那么双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.32解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±bax ，因为A 、B在渐近线上，因此1＝b a·2，b a＝22，e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋b a2＝62. 答案：C10．双曲线x 2m－y 2n＝1(mn ≠0)有一个核心与抛物线y 2＝4x 的核心重合，那么m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对解析：抛物线y 2＝4x 的核心为F (1,0)，故双曲线x 2m－y 2n＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.答案：C11．设F 1，F 2是双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b <0)的左、右核心，点P 在双曲线上，假设PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，那么双曲线的离心率为( )A.1＋52B.1＋32C ．2 D.1＋22解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，那么由勾股定理，得|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，①由双曲线的概念，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．答案：A12．已知F 1，F 2别离为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右核心，P 为双曲线右支上的任意一点，假设|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，那么双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(1,2] C ．(1，3] D ．(1,3] 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca≤3，得e ∈(1,3]，应选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个核心是(10，0)，那么双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个核心是(10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝114．椭圆x 29＋y 22＝1的核心为F 1，F 2，点P 在椭圆上，假设|PF 1|＝4，那么|PF 2|＝__________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆的概念知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，因此|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1的左、右核心，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，那么点M 的轨迹方程是________．解析：由题意知|MP |＝|F 1P |， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a . ∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.答案：(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 216．(2020·浙江高考)设F 1，F 2别离为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右核心，点A ，B 在椭圆上，假设F 1A →＝5F 2B →，那么点A 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由F 1(－2，0)，F 2(2，0)且F 1A →＝5F 2B →得x 2＝15(x 1＋62)，y 2＝15y 1.又A 、B 两点在椭圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 213＋y 21＝1，x 1＋622－x 2175＋y 2125＝1，消去y 1得x 1＋622－x 213＝24，有x 1＝0，从而y 1＝±1，故点A 的坐标为(0,1)和(0，－1)．答案：(0，±1)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共核心，而且离心率为52的双曲线方程．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴核心是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的核心也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.18．(10分)(2020·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个极点取得的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值．解：(1)由e ＝ca ＝32，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b . 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.因此椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标知足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2.从而y 1＝4k1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k1＋4k 2)．以下分两种情形：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)．由QA →·QB →＝4，得y 0＝±22.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)．令x ＝0，解得y 0＝－6k1＋4k 2.由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)．QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－22－8k 21＋4k 2＋6k1＋4k 2(4k1＋4k 2＋6k1＋4k 2) ＝416k 4＋15k 2－11＋4k 22＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147.因此y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.19．(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证： (1)x 1x 2为定值； (2)1|FA |＋1|FB |为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px的核心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24，也成立．(2)由抛物线的概念，知|FA |＝x 1＋p2，|FB |＝x 2＋p2.1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p p2x 1＋x 2＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p 22＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p＝2p(定值)．当AB ⊥x 轴时，|FA |＝|FB |＝p ，上式仍成立． 20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，PA →·PB →＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及现在点C 的坐标．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，那么点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.∵PA →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2，即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为m 1：y ＝kx ＋b .由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.①把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0，则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 现在，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．21．(14分)(2020·江西高考) 图2设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)假设C 2通过C 1的两个核心，求C 1的离心率； (2)设A (0，b )，Q (33，54b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，假设△AMN 的垂心为B (0，34b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．解：(1)因为抛物线C 2通过椭圆C 1的两个核心F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可得c 2＝b 2.由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，有c 2a 2＝12，因此椭圆C 1的离心率e ＝22. (2)由题设可知M ，N 关于y 轴对称，设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)，(x 1>0)，那么由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →＝0，因此－x 21＋(y 1－34b )(y 1－b )＝0① 由于点N (x 1，y 1)在C 2上，故有x 21＋by 1＝b 2② 由①②得y 1＝－b 4，或y 1＝b (舍去)，因此x 1＝52b ，故M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b4)，因此△QMN 的重心为(3，b4)，由重心在C 2上得：3＋b 24＝b 2，因此b ＝2，M (－5，－12)，N (5，－12)，又因为M ，N 在C 1上，因此±52a 2＋－1224＝1，得a 2＝163.因此椭圆C 1的方程为：x 2163＋y 24＝1，抛物线C 2的方程为：x 2＋2y ＝4.22．(12分)(2020·江西高考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 别离是双曲线E 的左、右极点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右核心且斜率为1的直线交双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，知足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，那么e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5y 2＝5b 2y ＝x －c 得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ·(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，因此x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。

高中数学人教A版选修2-1人教版高中数学选修2-1综合测试卷A(含答案).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学选修2-1综合测试卷A （含答案）一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)16 2．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A ．25-B ．25C ．1-D ．1 4．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A =11，c A A =1，则下列向量中与M B 1相等的向量是A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段 6．已知a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,51给出下列等式： ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ⋅+)( =)(c b a +⋅ ③2)(c b a ++=222c b a ++④c b a ⋅⋅)( =)(c b a ⋅⋅其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 8．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．已知函数f(x)=3472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是 A ．0≤k<43 B ．0<k<43 C ．k<0或k>43 D ．0<k ≤4310．下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④a b =与a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件。

格致中学2014-2015高二上期末试卷文

福州格致中学2014-2015学年第二学段高二数学《选修1—1》模块考试（完卷时间：120分钟全卷满分150）（第I 卷满分100分）编辑：鼓楼陈銮英陈雯卿陈霖一．选择题（共10题，每小题5分，共50分，每题只有一个选项正确） 1.命题“∀x ∈R ，cosx ＞0”的否定是（）A.∃Xo ∈R ，cosx ≤0B.∀X ∈R ，cosx ≤0C.∃Xo ∉ R ，cosx ≤0D.∃X ∉ R ，cosx ＞0 2.曲线f(x)= x1,则f ’（2）等于（）Ａ.41 B.41- C.21 D.21-3.抛物线y=2x ²的焦点到准线的距离是Ａ.1 B .21 C.41 D .814.椭圆方程为x ²+4y ²=1，则它的右焦点坐标为A.）（0,5 B. ）（0,25 C. ）（0,3 D. ）（0,235.已知双曲线C ：）（0,012222>>=-b a by ax 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（）A. y=±4x B. y=±3x C. y=±2x D. y=±x6 下列说法错误的是A. 命题“若a,b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题是“若a ，b 都不是偶数，则a+b 不是偶数B. 如果命题“⌝p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题C. 特称命题“∃x ∈R ，使042-2=-+x x ”是假命题 D .若q ≤1则022=++q x x 有实根的逆否命题是真命题 7. 设曲线31231)(3--=x x x f 在点（1，-2）处的切线与直线ax-y+1=0垂直则a=（）A. 31 B 3 C 1 D -18.X ≠4是|x|≠4的（）A ．充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要9.过抛物线y ²=2x 的焦点的直线交抛物线于A,B 两点，已知|AB|=10则线段AB 中点的横坐标是（） A .92 B. 4 C. 5 D .9410.已知双曲线E ：）（0,012222>>=-b a by ax 的右焦点为F （3,0），过F 的直线交双曲线于A,B 两点，若A,B 的中点坐标为N （-12，-15）则E 的方程为（） A .16322=-yxB.13622=-yxC.15422=-yxD.14522=-yx二．填空题（共3题，每小题4分，共12分）11.一个质量为10kg 的物体的运动方程为2()23s t t =+,物体的动能212U m v =，其中v 是速度，则当2t =的动能是12.若椭圆的两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的离心率为13.已知M 为抛物线24y x =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点(2,3)N ,则M N M F +的最小值为三．解答题（共3题，共38分） 14.（本小题满分14分）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程。

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福州格致中学数学选修2-1模块综合测试一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1、对抛物线24y x =，下列描述正确的是A 、开口向上，焦点为(0,1)B 、开口向上，焦点为1(0,)16 C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)162、已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A 、25-B 、25C 、1-D 、1 4、在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, D A =11，A =1，则下列向量中与B 1相等的向量是A 、++-2121B 、 ++2121C 、 +-2121 D 、 c b a +--2121 5、空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为A 、平面B 、直线C 、圆D 、线段6、已知a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,51给出下列等式： ①∣++∣=∣--∣ ②⋅+)( =)(+⋅ ③2)(++=222++④⋅⋅)( =)(⋅⋅其中正确的个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为 A 、椭圆 B 、双曲线 C 、抛物线 D 、圆8、已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的A 、充分必要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分又不必要条件9、已知函数f(x)=3472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是 A 、0≤k<43 B 、0<k<43 C 、k<0或k>43 D 、0<k ≤4310、下列说法中错．误．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④a b =a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件.A 、2B 、3C 、4D 、5二、填空题（每小题6分，共6小题，满分36分） 11、已知+-=+82,3168-+-=-(,,两两互相垂直)，那么⋅= 。

12、以(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在直线方程为：．13、在△ABC 中，BC 边长为24，AC 、AB 边上的中线长之和等于39．若以BC 边中点为原点，BC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为：．14、已知M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，-5），设在线段M 1M 2的一点M 满足21M M =24MM ，则向量OM 的坐标为。

15、下列命题①命题“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件.② “am 2<bm 2”是“a <b ”的充分必要条件.③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假.④在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列的充要条件.⑤ABC ∆中,若sin cos A B =,则ABC ∆为直角三角形.判断错误的有___________16、在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥．有下列条件： ①AB AC BC ==；②AB AC ⊥；③AB AC =．其中能成为11BC AB ⊥的充要条件的是（填上该条件的序号）________．三、解答题（共五小题，满分74分）17、（本题满分14分）求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件．18、（本题满分15分）已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f(x)=－(5－2m)x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.19、（本题满分15分）如图，在平行六面体ABCD-A 1BC 1D 1中，O是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥面ODC 1。

20、（本题满分15分）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2231x y -=相交于不同的A 、B 两点．（1）求AB 的长度；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由．21、（本题满分15分）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点。

（1）求BN 的长度；（2）求cos （1BA ，1CB ）的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M 。

福州格致中学数学选修2-1模块综合测试答案二、填空题（每小题6分，共6小题，满分36分）11、12、13、14、15、16、。

三、解答题（共五小题，满分74分）福州格致中学数学选修2-1模块综合测试答案一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1、B2、C3、D4、A5、B6、D7、C8、B9、A 10、C二、填空题（每小题6分，共6小题，满分36分）11、- 65 12、430x y +-= 13、22116925x y +=（0y ≠） 14、⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,41,411 15、②⑤16、①、③三、解答题（共六小题，满分74分）17、（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于1210x x a=<⇒ a ＜0若方程有两负根，等价于4402010Δa a a ⎧⎪=-≥⎪⎪-<⇒⎨⎪⎪>⎪⎩0＜a ≤1综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.所以ax 2+2x+1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件是a ＜0或0＜a ≤118、（本题满分15分）解：不等式|x －1|<m －1的解集为R ，须m －1<0即p 是真命题，m<1f(x)=－(5－2m)x 是减函数，须5－2m>1即q 是真命题，m<2由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题故p 、q 中一个真，另一个为假命题因此，1≤m<219、（本题满分15分）证明：设c C b D C a B C ===11111，，，则），（，b a C a c B +=-=2111 c x b y x a y x b a y c a b x a c R y x OC y OD x C B y x c a b OD a b OD +-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-∈+=+-=-=）（）（）（）（则）成立，，（，使得，。

若存在实数）（），（2121212121211111∵不同面，，，c b a ∴⎩⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+111021121y x x y x y x 即）（）（∴11OC B +=∵内。

所确定的平面不在为共面向量，且11111ODC OC B OC B ∴。

平面，即平面1111////ODC C B ODC B20、（本题满分15分）联立方程组⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y 得()022322=---ax x a ，因为有两个交点，所以{()038403222>-+=∆≠-a a a，解得2212212232,32,3,6ax x a a x x a a --=-=+≠<且。

(1) )36(36524)(1122224212212212≠<-++-=-++=-+=a a a a a x x x x ax x a AB 且。

(2)由题意得 0)1)(1(,0,121212121=+++=+-=ax ax x x y y x x k k ob oa 即即整理得1,12±==a a 符合条件，所以21、（本题满分15分）如图，解：以C 为原点，1CC CB CA ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系。

（1）依题意得出3101010=BN N B ），，，（），，，（；（2）依题意得出），，（），，，（），，，（），，（21000001020111B C B A 563210211111111===⋅=-=∴CB BA CB BA CB BA ，，），，，（），，，（∴cos ﹤11CB ﹥301011111=⋅CB BA （3）证明：依题意将，，，），，，（，，，），，，（⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛02121211221212001111C B A M C高中数学-打印版精心校对 MC B A M C A C A 111111002121⊥∴⊥∴=++-=⋅∴，。