集合训练题
高中数学 集合专项训练含答案
高中数学 集合专项训练含答案一、单选题1．设集合(){}0.5log 10A x x =->，{}24x B x =<，则（ ） A ．A =B B ．A B ⊇ C ．A B B = D ．A B B ⋃=2．已知集合{0A x x =≤或}1≥x ，{}39x B x =<，则A B =（ ） A ．{}12x x ≤<B ．{0x x ≤或}12x ≤<C ．{}2x x <D ．{}02x x ≤<3．设S 是整数集Z 的非空子集，如果任意的,a b S ∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的.若T 、V 是Z 的两个没有公共元素的非空子集，T V ⋃=Z ．若任意的,,a b c T ∈，有abc T ∈，同时，任意的,,x y z V ∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是( ) A ．T 、V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．T 、V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．T 、V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．T 、V 中每一个关于乘法都是封闭的4．已知集合(){}2log 21M x y x ==-，103x N x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N =（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．[)1,-+∞C ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ 5．已知集合{1,1},{0,1}A B =-=，设集合{,,}C z z x y x A y B ==+∈∈∣，则下列结论中正确的是（ ）A ．A C ⋂=∅B ．AC A ⋃= C ．B C B =D ．A B C =6．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}03B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}0,1,2 7．已知集合{1,3}A =，{(3)()0}B xx x a =--=∣，若A B A ⋃=，则=a （ ） A ．1 B ．1-或1 C ．1或3 D ．38．设集合{A x y =，(){}ln 2B y y x ==-，(){}2,C x y y x ==，则下列集合不为空集的是（ ）A ．A CB ．BC ⋂ C ．B A ⋂RD ．A B C ⋂⋂ 9．已知集合{}2320A x x x =-+>，{}1,B m =，若A B ⋂≠∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()(),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()2,+∞10．若集合(){}ln 10A x x =-≤，{}2B x x =≥，则()R AB =( ) A ．(2,2)- B ．(1,2)C ．[)1,2D ．(1,2]11．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}1|8A x x =-<<，{}|527B x x =-<<，则()Z A B =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．212．已知集合{}10,1,2,A B x y x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,2 C ．()0,∞+ D ．[)0,∞+13．已知集合{}{}220,1A x x x B x x =+-<=<-，则()U A B =（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}11x x -≤<C ．{}21x x -<<-D ．{}12x x -≤<14．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22B x x =-≤<，则A B ⋃=（ ） A ．{}12x x -≤< B ．{}12x x -≤≤ C ．{}22x x -<< D ．{}23x x -≤≤15．设集合{}*5,,5m M x x C m N m ==∈≤，则M 的子集个数为（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64二、填空题16．设集合{1,2,}A a =，{2,3}B =.若B A ⊆，则=a _______.17．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{}1,3,5,7A =，则U A ____________. 18．已知集合{}2,1,2A =-，{}1,B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的值是___________． 19．已知集合A 与B 的关系如下图，则图中所示的阴影部分用集合表示为________．（要求用集合A 与B 的符号关系表示）20．已知集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B =-，则A B =_______.21．若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H 、T ，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为{},,,HH HT TH TT Ω=，则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为______．22．已知集合{}0,1,2A =，则集合{}3,B b b a a A ==∈=______．（用列举法表示）23．已知集合{}2280P x x x =-->，{}Q x x a =≥，若P Q Q ⋂=，则实数a 的取值范围是___________.24．判断下列命题的真假：（1）集合{}1,2,3是集合{}1,2,3的真子集；( )（2）{}1是集合{}1,2,3的元素；( )（3）2是集合{}1,2,3的子集；( )（4）满足{}{}00,1,2,3A 的集合A 的个数是322-个．( )25．以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.①中国古代四大发明 ②地球上的小河流③方程210x -=的实数解 ④周长为10cm 的三角形⑤接近于0的数三、解答题26．设集合{|34}{|211}A x x B x m x m =-≤≤=-<<+，(1)当 1m =时，求A B ;(2)若,B A ⊆求实数m 的取值范围.27．在①A B A ⋃=，②A B ⋂≠∅，③B A ⊆R 这三个条件中任选一个，补充在下面问题(3)中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式()20ax am b x bm -++<的解集为B (其中m ∈R ).(1)求a ，b 的值；(2)求集合B ；(3)是否存在实数m ，使得_______.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).28．设:24p x <<，q ：实数x 满足()()()300x a x a a +-<>．(1)若1a =，且p ，q 都为真命题，求x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．29．设全集U =R ，已知集合2{|2350}A x x x =+-≤，{(8)0}B xx x =->∣. (1)求()R ,A B A B ⋂⋃；(2)求()R ,A B A B ⋂⋃.30．把区间[)1,+∞看成全集，写出它的下列子集的补集：()1,A =+∞；{}1B =；{}15C x x =≤<；[)3,D =+∞.【参考答案】一、单选题1．D【解析】【分析】化简集合,A B ，再判断各选项的对错.【详解】因为0.5{|log (1)0}{|12}A x x x x =->=<<，{}24={|2}x B x x x =<<， 所以A B ⊆且A B ≠，所以A 错，B 错，{|12}A B x x A =<<=，C 错，{|2}A B x x B =<=，D 对，故选：D.2．B【解析】【分析】解出不等式39x <，然后根据集合的交集运算可得答案.【详解】 因为{0A x x =≤或}1≥x ，{}39x B x =< {}2x x =<，所以A B ={0x x ≤或}12x ≤<， 故选：B3．A【解析】【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z 拆分成两个互不相交的非空子集T 、V 的并集，如T 为奇数集，V 为偶数集，或T 为负整数集，V 为非负整数集进行分析排除即可．【详解】若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C ； 若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D ；从而可得T 、V 中至少有一个关于乘法是封闭的，A 正确.故选：A ．4．C【解析】【分析】根据对数型函数定义域解法求出集合M ，根据分式不等式解法求出集合N ，再根据集合交集概念即可求得结果.【详解】由题意知(){}21log 21,2M x y x ∞⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，[)101,33x N x x ⎧⎫+=≤=-⎨⎬-⎩⎭， 所以1,32M N ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭． 故选：C ．5．C【解析】【分析】由题意得{1,0,1,2}C =-，再由交集和并集运算求解即可.【详解】由题意可知，{1,0,1,2}C =-，{1,1}A C ⋂=-，{}1,0,1,2A C C ⋃=-=，{0,1},{1,0,1}B C B A B C ⋂==⋃=-≠.故选：C6．D【解析】【分析】依题意需要找到集合A 和集合B 中的公共元素，即是集合A 中在03x ≤≤范围内的元素．【详解】由题意知，对于集合B ：03x ≤≤，∴在集合A 中只有0、1、2满足条件，{}012A B ∴=，，故选：D ．7．C【解析】由A B A ⋃=得到B A ⊆，直接求解即可.【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.由题可知，1a =或3.故选：C.8．C【解析】【分析】先化简集合A ，B ，C ，再利用集合的类型和运算求解.【详解】解：因为集合{{}2A x y x x ===≥，(){}ln 2B y y x R ==-=，且(){}2,C x y y x ==为点集， 所以A C ⋂=∅，B C =∅，{}|2=<A x x R ，{}|2⋂=<B A x x R ，A B C =∅，故选：C9．B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合A ，结合交集的概念和运算与空集的概念即可得出结果.【详解】由题可知，{}()(){}{}232012012A x x x x x x x x x =-+>=-->=或． 因为A B ⋂≠∅，所以m A ∈，即1m <或2m >，所以实数m 的取值范围是()(),12,-∞+∞．故选：B10．B【解析】【分析】分别解出集合A 和B ，再根据集合补集和交集计算方法计算即可.【详解】 (){}{}(]ln 10|0111,2A x x x x =-≤=<-≤=， {}(][)2,22,B xx ∞∞=≥=--⋃+，()2,2B =-R ， ∴()R A B =(1,2).故选：B.11．B【分析】先求得A B ，再根据()Z M 的定义求解.【详解】解：因为{}1|8A x x =-<<，{}57|527|22⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭B x x x x ， 所以7|12⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭A B x x ， 所以()4=Z A B ，故选：B12．D【解析】【分析】先解出集合B ，再求A B .【详解】{}0B x y x x⎧===>⎨⎩∣∣. 因为{}0,1,2A =，所以A B ⋃=[)0,+∞.故选：D13．B【解析】【分析】先化简集合A ，在求集合A 与集合B 补集的交集【详解】220x x +-<()()210x x ⇒+-<21x ⇒-<<所以{}|21A x x =-<<{}|1B x x =<-{}U |1B x x ⇒=≥- 所以(){}U |11AB x x =-≤< 故选：B14．D【解析】【分析】 先解一元二次不等式求出集合A ，再按集合的并集运算即可.【详解】 由题意得{}13A x x =-≤≤，因为{}22B x x =-≤<，所以{}23A B x x ⋃=-≤≤. 故选：D.15．A【解析】根据组合数的求解，先求得集合M 中的元素个数，再求其子集个数即可.【详解】因为*5,,5m x C m N m =∈≤，由14555C C ==，235510C C ==，551C =，故集合M 有3个元素，故其子集个数为328=个.故选：A.二、填空题16．3【解析】【分析】由题意可知集合B 是集合A 的子集，进而求出答案.【详解】由B A ⊆知集合B 是集合A 的子集，所以33A a ∈⇒=，故答案为：3.17．{}2,4,6【解析】【分析】由补集的定义即可求解.【详解】解:因为全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{}1,3,5,7A =，所以{}2,4,6U A =.故答案为:{}2,4,618．1【解析】【分析】由子集定义分类讨论即可.【详解】因为B A ⊆，所以a A ∈1A ∈，当2a =-1无意义，不满足题意；当1a =12=，满足题意；当2a =11=，不满足题意.综上，实数a 的值1.故答案为：1 19．()A B A B ⋃【解析】【分析】由集合的交并补运算求解即可.【详解】设全集为A B ，则阴影部分表示集合A 与B 交集的补集，即()A B A B ⋃ 故答案为：()A B A B ⋃20．{}0,1【解析】【分析】先求出集合A ,然后根据交集的定义求得答案.【详解】 由题意，{}22A x x =-<<，所以{}0,1A B =.故答案为：{}0,1.21．∅，{}HT ，{}TH ，{},HT TH【解析】【分析】先写出与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间，再写出其全部子集即可.【详解】与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间为{},HT TH ，此空间的子集为∅，{}HT ，{}TH ，{},HT TH故答案为：∅，{}HT ，{}TH ，{},HT TH22．{0,3,6}【解析】【分析】根据给定条件直接计算作答.【详解】因{}0,1,2A =，而{}3,B b b a a A ==∈，所以{0,3,6}B =.故答案为：{0,3,6}23．()4,+∞【解析】【分析】求出集合P ，根据P Q Q ⋂=，得Q P ⊆，列出不等式即可得解.【详解】 解：{}{22804P x x x x x =-->=>或}2x <-， 因为P Q Q ⋂=，所以Q P ⊆，所以4a >.故答案为：()4,+∞.24． 假 假 假 真【解析】【分析】（1）利用真子集的定义即可判断．（2）由集合与集合的关系即可判断真假．（3）由元素与集合的关系即可判断真假．（4）由真子集的定义即可找到满足条件集合A 的个数．【详解】（1）因为{}1,2,3的真子集有{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3∅，所以{}1,2,3不是{}1,2,3真子集，命题为假命题．（2）{}1是集合，因此不是{}1,2,3的元素，命题为假命题．（3）因为2是元素，因此不是{}1,2,3的子集，命题为假命题．（4）若{}0A ，所以集合A 中至少含有两个元素且其中一个必须为0，又因为{}0,1,2,3A ，所以集合A 可以从1,2,3中再选取一个元素、或者两个元素，所以满足条件的集合A 把∅和{}0,1,2,3去掉，所以满足条件集合A 的个数为322-个，命题为真命题． 故答案为：假；假；假；真25．②⑤【解析】【分析】利用集合元素的基本特征判断.【详解】①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合； ②地球上的小河流，不确定，不能构成集合；③方程210x -=的实数解是1或-1，是确定的，能构成集合；④周长为10cm 的三角形，是确定的，能构成集合；⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合.故答案为：②⑤三、解答题26．(1){}12A B x x ⋂=<<(2)1m ≥-【解析】【分析】（1）直接写出集合B ，再计算A B 即可；（2）分B =∅和B ≠∅列出不等式求解即可.(1)当 1m =时，{}12B x x =<<，{}12A B x x =<<；(2)若B =∅，211m m -≥+，解得2m ≥，符合题意；若B ≠∅，由B A ⊆得21121314m m m m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得12m -≤<， 综上：1m ≥-.27．(1)1、2；(2)当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =；(3)若选①：2m ≥；若选②：1m <或2m >；若选③：12m ≤≤.【解析】【分析】(1)由题可知x ＝1是方程2320ax x -+=的解，由此即可求出a ，从而求出b ；(2)根据a 、b 的值即可分类讨论求解不等式，从而得到B ；(3)若选①，则B ⊆A ，分类讨论m 的范围即可；若选②，则根据题意分类讨论即可；若选③，则先求出A R ，分类讨论即可.(1)由一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，得0a >，且方程2320ax x -+=的两根为1、b ， ∴0,31,21,a b a b a ⎧⎪>⎪⎪=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由(1)可知()20ax am b x bm -++<即为()2220x m x m -++<，即()()20x m x --<．m ＜2时，2m x <<；m ＝2时，不等式无解；m ＞2时，2x m <<．综上，当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =．(3)由(1)知{1A x x =<或}2x >，若选①：A B A ⋃=，则B A ⊆，当2m <时，(),2B m =，不满足；当2m =时，B =∅，满足；当2m >时，()2,B m =，满足；∴选①，则实数m 的取值范围是2m ≥；若选②：A B ⋂≠∅，当2m <时，(),2B m =，则1m <；当2m =时，B =∅，不满足；当2m >时，()2,B m =，满足；∴选②，则实数m 的取值范围是1m <或2m >；若选③：B A ⊆R ，A R []1,2=，当2m <时，(),2B m =，则m ≥1，∴12m ≤<；当2m =时，B =∅，满足;当2m >时，()2,B m =，不满足．∴选③，则实数m 的取值范围是12m ≤≤.28．(1)23x << (2)43a ≥ 【解析】【分析】（1）求出命题q 为真时x 的取值后可求两者均为真命题时x 的取值范围.（2）根据条件关系可得两个范围之间的包含关系，从而可求实数a 的取值范围．(1)1a =，q ：实数x 满足()()()300x a x a a +-<>即为()()130x x +-<，因为q 为真命题，故13x ，故当p ，q 都为真命题时，23x <<.(2)因为p 是q 的充分不必要条件，故(2,4)为{}|()(3)0x x a x a +-<的真子集，而{}()|()(3)0,3x x a x a a a +-<=- 故2340a a a -≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩（等号不同时取），故43a ≥. 29．(1)()[](]()R 0,5,,58,A B A B ⋂=⋃=-∞⋃+∞(2)[)()(]R 7,0,5,8A B A B ⋂=-⋃= 【解析】【分析】（1）解不等式求得集合,A B ，由此求得()R ,A B A B ⋂⋃.（2）结合（1）来求得()R ,A B A B ⋂⋃.(1) ()()2235750x x x x +-=+-≤，解得75x -≤≤，所以[]7,5A =-，()()R ,75,A =-∞-⋃+∞.()80x x ->，解得0x <或8x >，所以()(),08,B =-∞⋃+∞，[]R 0,8B =, 所以()[](]()R 0,5,,58,A B A B ⋂=⋃=-∞⋃+∞.(2)由（1）得[)()(]R 7,0,5,8A B A B ⋂=-⋃=. 30．{}U 1A =，()U 1,B =+∞，[)U 5,C =+∞，[)U 1,3D =【解析】【分析】根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为[)1,U =+∞，所以{}U 1A =，()U 1,B =+∞，[)U 5,C =+∞，[)U 1,3D =。
集合训练题
第一节集合知识回顾1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法A B或B A集合的并集集合的交集集合的补集A∪B＝A∩B＝∁A＝(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．课前检测1.已知数集A ＝{0,1,x ＋2},那么x 的取值集合为 ( )A ．{x |x ≠－2}B ．{x |x ≠－1}C ．{x |x ≠－2且x ≠－1}D ．x ∈R2.下列判断正确的命题个数为( )①a ∈{a };②{a }∈{a ,b }；③{a ,b }⊆{b ,a };④∅⊆{0}．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3.集合A ＝{1,2,3}的非空真子集的个数为( )A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ .5.设全集U ＝R ,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2＜x ＜4},则A ∩B ＝ ____________；A ∪B ＝____________；A ∪∁U B ＝____________．课中讲解考点一. 集合的基本概念例1. 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值．变式1.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b .例2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98变式2．已知集合A ＝{x ∈N|1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( ) A ．(8，＋∞) B ．[8，＋∞) C ．(16，＋∞)D ．[16，＋∞)考点二. 集合间的关系例1.设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P变式1.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？变式2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________．变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.考点三 集合的运算例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2 C ．2D ．4变式1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}例2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．6变式2．（2020·全国新课标Ⅰ理科试卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6例3．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( ) A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3}变式3．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( ) A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝R C ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2} D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R考点四．集合的新定义问题例1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是两个非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B 为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2} 变式1.给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．例2．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9变式2．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |2≤x ＜3}课后习题一 单选1．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381xB x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,42．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合{}|21x A x =>，{}2|560B x x x =+-<，则AB =（ ）A ．()1,0-B ．()0,6C ．()0,1D ．()6,1-3．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=（ ）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2-4．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合{}2*20,A x x x x N =--<∈，集合{B x y ==，则集合A B 等于（ ）A ．1B ．[)1,2C ．{}1D ．{}1x x ≥5．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}6．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P ∩Q =A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x <<7. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．218．已知全集U ＝{x ∈Z|0＜x ＜8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N9．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅ B ．{(4,0)，(3,0)} C ．[－3,3]D ．[－4,4]10．在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )>0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2，－1)∪(－1,0]C ．[0,1)∪(1,2]D ．[－2,0]11．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}； ②{x |x 2－4x ＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝ln xx ，x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1∪1，e]；④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋25，x ∈[0，1，x ＋1x ，x ∈[1，2]. 其中“互倒集”的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二．多选12. (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab ∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0,1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集13．(多选)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中是真命题的有( )A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集B ．若S 为封闭集，则一定有0∈SC ．封闭集一定是无限集D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集 三．填空14. 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________.四．解答题16．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．参考答案1.已知数集A ＝{0,1,x ＋2},那么x 的取值集合为 ( )A ．{x |x ≠－2}B ．{x |x ≠－1}C ．{x |x ≠－2且x ≠－1}D ．x ∈R答案：C解析：因为集合的元素满足互异性,所以x ＋2≠0且x ＋2≠1,得x ≠－2且x ≠－1,故选C ． 2.下列判断正确的命题个数为( ) ①a ∈{a };②{a }∈{a ,b }；③{a ,b }⊆{b ,a };④∅⊆{0}． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个答案：C解析：①元素与集合的关系的表示方法,正确； ②两个集合之间的关系,不正确； ③正确； ④∅是任何集合的子集,正确,故选C ．3.集合A ＝{1,2,3}的非空真子集的个数为( ) A ．3个 B ．6个 C ．7个D ．8个 答案：B解析：若一个集合的元素个数为n ,则其子集个数为2n , 真子集的个数为2n －1,非空子集的个数为2n －1, 则非空真子集的个数为2n －2,故选B.4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ . 答案：8解析：问题可转化为求集合{3,4,5}的子集个数,即集合A 的个数为8.5.设全集U ＝R ,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2＜x ＜4},则A ∩B ＝ ____________；A ∪B ＝____________；A ∪∁U B ＝____________．答案：{x |2＜x ≤3} {x |1≤x ＜4} {x |x ≤3或x ≥4}解析：在数轴上分别表示出集合A ,B ,∁U B ,即得∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}． 课中讲解考点一. 集合的基本概念例1. 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式1.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 例2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.变式2．已知集合A ＝{x ∈N|1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( ) A ．(8，＋∞) B ．[8，＋∞) C ．(16，＋∞)D ．[16，＋∞)解析：选C 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k >4，所以k >24＝16，故选C. 考点二. 集合间的关系例1.设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P变式1.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． [解析] 例1.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，故选C.变式1.∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (1)C (2)(－∞，3]例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？ 解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}， N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________． 答案 P ⊆Q解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0.∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P ⊆Q变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.【思路点拨】判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直接观察或通过元素特征，求同存异，定性分析．解:A ={0,-4}.若B ⊆A ,则B =∅,{0},{-4},{0,-4}.当B =∅时,则x 2+ax +a =0无解,所以a 2-4a <0,解得0<a <4; 当B ={0}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根0,所以a =0;当B ={-4}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根-4,所以a 2-4a =0且14-4a +a =0,无解; 当B ={0.-4}时,则x 2+ax +a =0有两个根0和-4,无解.综上,存在实数 a 满足 0≤a <4,使得B ⊆A .【点评】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．空集是任意集合的子集,解题时不能忽视! 考点三 集合的运算例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=， 解得2a =-.故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 变式1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选A【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.例2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，AB 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选C ．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题..变式2．（2020·全国新课标Ⅰ理科试卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.例3．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( )A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3}答案 BD解析 ∵A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |－1<x ≤2}，A 不正确；A ∪B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |－2≤x ≤2}＝{x |－2≤x ≤3}，B 正确；∵∁R B ＝{x |x <－2或x >2}，∴A ∪∁R B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |x <－2或x >2}＝{x |x <－2或x >－1}，C 不正确；A ∩∁RB ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |x <－2或x >2}＝{x |2<x ≤3}，D 正确．变式3．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是() A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R答案 ABD解析 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．考点四．集合的新定义问题例1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是两个非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B 为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}变式1.给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．[解析] 例1.因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，所以A ⊗B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}．(2)①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中，设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③中，令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z}，则A 1，A 2为闭集合，但3k ＋2k ∉(A 1∪A 2)，故A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．[答案] (1)D (2)②例2．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13， 则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2， 共有7个元素，故选B.变式2．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |2≤x ＜3} 解析：选B 由log 2x ＜1，得0＜x ＜2，所以P ＝{x |0＜x ＜2}．由|x －2|＜1，得1＜x ＜3，所以Q ＝{x |1＜x ＜3}．由题意，得P －Q ＝{x |0＜x ≤1}.课后习题一 单选1．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,4 【答案】B【详解】∵集合{}2|20A x x x =-≤∴{}02A x x =≤≤∵集合{}|1381x B x =<<∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤<∵集合{}|2,C x x n n N ==∈∴{}()0,2A B C ⋃⋂=故选B.2．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合{}|21x A x =>，{}2|560B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,6C ．()0,1D ．()6,1-【答案】C 【详解】{}{}{}0|21|22=|0x x A x x x x =>=>>， {}{}{}2|560|(6)(10|61B x x x x x x x x =+-<=+-<=-<<），∴A B =()0,1．故选：C.3．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=（ ）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2- 【答案】C 【详解】{}{}2914027B x x x x x =-+<=<<, {2U B x x ∴=≤或}7x ≥，{}(]()323,2U A B x x ∴⋂=-<≤=-.故选：C.4．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合{}2*20,A x x x x N=--<∈，集合{B x y ==，则集合A B 等于（ ） A ．1B ．[)1,2C ．{}1D ．{}1x x ≥ 【答案】C 【详解】由题得{}{}{}2**20,12,1A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=N N ， {{}{}{}222log 0log log 11B x y x x x x x x ===≥=≥=≥，{}1A B ∴⋂=.故选： C. 5．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4} 【答案】C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)AB ==. 故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.6．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则PQ = A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x << 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义求解【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==.故选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.8．已知全集U ＝{x ∈Z|0＜x ＜8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.9．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{(4,0)，(3,0)}C ．[－3,3]D ．[－4,4]解析：选D 由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R}，所以M ∩N ＝[－4,4]．故选D.10．在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )>0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2，－1)∪(－1,0]C ．[0,1)∪(1,2]D ．[－2,0]解析：选D 依题意可得x (1－x ＋a )>0.因为其解集为{x |－1≤x ≤1}的子集，所以当a ≠－1时，0＜1＋a ≤1或－1≤1＋a ＜0，即－1＜a ≤0或－2≤a ＜－1.当a ＝－1时，x (1－x ＋a )>0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a ≤0.11．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集： ①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－4x ＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝ln x x ，x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1∪1，e]；④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪ y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋25，x ∈[0，1，x ＋1x ，x ∈[1，2]. 其中“互倒集”的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 对于①，当－2＜a ＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x 2－4x ＋1＜0}＝{x |2－3＜x ＜2＋3}，所以12＋3＜1x ＜12－3，即2－3＜1x ＜2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝1－ln x x 2≥0，故函数y ＝ln x x是增函数，当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时，y ∈[－e,0)，当x ∈(1，e]时，y ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ，所以③不是“互倒集”；对于④，y ∈⎣⎡⎭⎫25，125∪⎣⎡⎦⎤2，52＝⎣⎡⎦⎤25，52且1y ∈⎣⎡⎦⎤25，52，所以④是“互倒集”．故选C.二．多选12. (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( )A ．数域必含有0,1两个数B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集答案 AD解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b＝1∈P ，故可知A 正确． 当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确． 当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确．根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确．13．(多选)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中是真命题的有( )A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集B ．若S 为封闭集，则一定有0∈SC ．封闭集一定是无限集D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集答案 AB解析 两个复数的和、差、积仍是复数，且运算后的实部、虚部仍为整数，所以集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集，A 正确．当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，B 正确．对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，C 错误．取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0－1＝－1不属于T ，故T 不是封闭集，D 错误．三．填空14. 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．答案 {1,6,10,12}解析 要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________. 答案 1解析 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4，由1a＝1，得a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意； 当a ＝1时，M ＝{－1,1}，满足题意．四．解答题16．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}．∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．∴∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}．(2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，C ⊆A .当C 为空集时，满足C ⊆A ，a ≤1；当C 为非空集合时，可得1＜a ≤3.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，3]．。
集合经典试题及答案
第一章 第一节 集合达标训练 技能过关[课堂训练]1．(2012·江西)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2解析 由题意得－1与0和2的和分别为－1,1；1与0和2的和分别为1和3，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素共有－1,1,3三个．故选C.答案 C2．(2012·辽宁)已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )等于A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}解析 由题意得：∁U A ＝{2,4,6,7,9}，∁U B ＝{0,1,3,7,9}．故(∁U A )∩(∁U B )＝{7,9}，选B. 答案 B3．(2013·济南模拟)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝1x ，x ＞2，则∁U P 等于A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 化简得U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}＝(0，＋∞)，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝1x ，x ＞2＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.故选A. 答案 A4．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部分表示的集合．x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则A #B 为A.{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x ＞2}解析 ∵A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}， ∴A #B ＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}． 答案 D[课下作业][时间45分钟，满分80分]一、选择题(每题6分，共30分)1．(2012·广东)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M 等于 A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6}D ．{2,4,6} 解析 据集合在全集中补集的定义可知∁U M ＝{3,5,6}，故选C. 答案 C2．若集合M ＝{y |y ＝3x }，集合S ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则下列各式正确的是 A ．M ∪S ＝M B ．M ∪S ＝S C ．M ＝SD ．M ∩S ＝∅解析 ∵M ＝{y |y ＝3x }＝{y |y ＞0}，S ＝{x |y ＝lg(x －1)}＝{x |x ＞1}，∴M ∪S ＝M . 答案 A3．(2012·北京)已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x －3)＞0}，则A ∩B 等于 A ．(－∞，－1) B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ＞－23，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞3}，画出数轴如图所示，易得：A ∩B＝{x |x ＞3}．答案 D4．(预测题)设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则A∩(∁U B)是A．(－2,1) B．(1,2)C．(－2,1] D．[1,2)解析由x(x－2)＜0得0＜x＜2，∴A＝{x|0＜x＜2}，由1－x＞0得x＜1，∴B＝{x|x＜1}，∴∁U B＝{x|x≥1}，∴A∩(∁U B)＝{x|1≤x＜2}．答案 D5．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}解析由|x－a|＜1得a－1＜x＜a＋1，又A∩B＝∅，所以a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6.答案 C二、填空题(每题6分，共12分)6．(2012·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析化简集合A＝(－5,1)，集合B＝(m,2)或B＝(2，m)(舍)．又A∩B＝(－1，n)，故m＝－1，n＝1.答案－1 17．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．解析∵∁R B＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，且A∪(∁R B)＝R，∴结合数轴，得a≥2.答案[2，＋∞)三、解答题(12分＋12分＋14分，共38分)8．设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.解析由9∈A，可得x2＝9，或2x－1＝9，解得x ＝±3，或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，b ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－8，－7，－4,4,9}；当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4,4,9}．9．(易错题)已知集合A ＝{x |a －1＜x ＜2a ＋1}，B ＝{x |0＜x ＜1}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解析 ∵A ∩B ＝∅，(1)当A ＝∅时，有2a ＋1≤a －1⇒a ≤－2； (2)当A ≠∅时，有2a ＋1＞a －1⇒a ＞－2.又∵A ∩B ＝∅，则有2a ＋1≤0或a －1≥1⇒a ≤－12或a ≥2，∴－2＜a ≤－12或a ≥2，由以上可知a ≤－12或a ≥2.10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1. ∴m ＞5或m ＜－3.。
数学集合练习题及答案
一、选择题（每题4分，共40分）1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 103、若{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 94、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}5、方程组 11x y x y +=-=- 的解集是 ( )A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，Q ∉3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ⊂ ，{}2|20,x xx Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ）A 4B 3C 2D 17、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集D. 不在第二、第四象限内的点集8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 410、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ）A a b P +∈B a b Q +∈C a b R +∈D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ⊂A ，则a=__________13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。
集合专题训练(含答案)
集合专题训练(含答案)1.对集合中有关概念的考查在2020年校运动会中，集合A表示参加比赛的运动员，集合B表示参加比赛的男运动员，集合C表示参加比赛的女运动员。
那么下列关系正确的是（）A。
A是B的子集B。
B是C的子集C。
A与B的交集等于CD。
B与C的并集等于A解析：根据题意，A包含了所有参加比赛的运动员，B只包含了男运动员，C只包含了女运动员。
因此，B是A的子集。
选项A正确。
点评：此题考查了集合的子集概念和集合运算，需要注意从元素的角度理解集合的含义。
2.对集合性质及运算的考查已知全集U={2,3,4,5,6,7}，集合M={3,4,5,7}，集合N={2,4,5,6}，那么下列哪个选项是正确的？A。
M与N的交集为{4,6}，N等于全集UB。
M与N的并集为{2,3,4,5,6,7}，N等于全集UC。
(C并N)与M的并集等于全集UD。
(C并M)与N的交集等于N解析：根据题意，M与N的交集为{4,5}，N不等于全集U；M与N的并集为{2,3,4,5,6,7}，N不等于全集U；(C并N)与M的并集包含了全集U中的所有元素，因此选项C正确；(C并M)与N的交集为{4}，不等于N。
因此选项D错误。
点评：此题考查了集合的并、交、补运算以及集合间的关系应用。
可以使用文氏图来帮助理解。
3.对与不等式有关集合问题的考查已知集合M={x|x+3<x-1}，集合N={x|-3<x<1}，那么集合{ x | x-1<x }等于哪个选项？A。
M并NB。
M交NC。
实数集RD。
(M交N)的补集解析：将集合M中的不等式化简得到-3<x，将集合N中的不等式化简得到-3<x<1，因此集合M交N等于{x|-3<x<1}。
而{x|x-1<x}等价于{x|x<1}，因此选项C正确。
点评：此题考查了解不等式的知识内容，同时也考查了集合的运算。
需要注意参数的取值范围以及数形结合思想的应用。
集合的表示方法专题训练
集合的表示方法专题训练(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为()A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为()A．4 B．5 C．6 D．73．下列各组两个集合M和N表示同一集合的是()A．M＝{π}，N＝{3.141 59} B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{x|x2＋1＝0}，N＝∅4．设集合A＝{－2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则()A．5<k<6 B．5≤k<6 C．5<k≤6 D．5≤k≤6 二、填空题6．已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B 应为________．7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.8．若2∉{x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________．三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．10．若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值.[能力提升]1．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，C＝{z|z＝xy，x∈A且y∈B}，则集合C 中的元素个数为()A．3 B．4 C．11 D．122．已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0 D. 23．集合{1,4,9,16,25}，用描述法表示为________．4．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪ 62＋x ∈N ， (1)试判断元素1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .集合的表示方法专题训练答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为()A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}【解析】解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．【答案】 D2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为()A．4 B．5 C．6 D．7【解析】由题意，B＝{2,3,4,5,6,8}，共有6个元素，故选C.【答案】 C3．下列各组两个集合M和N表示同一集合的是()A．M＝{π}，N＝{3.141 59} B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{x|x2＋1＝0}，N＝∅【解析】对于A，∵π≠3.141 59，∴{π}≠{3.141 59}．对于B，前者包含2个元素，而后者只含一个元素，是个点．对于C，前者是直线x＋y＝1上点的集合，而后者是函数y＝－x＋1的值域．对于D，∵x2＋1＝0无解，∴{x|x2＋1＝0}＝∅，故选D.【答案】 D4．设集合A＝{－2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】若x∈B，则－x∈A，∴x的可能取值为：2,0，－1，－3，当2∈B时，则1－2＝－1∉A，∴2∈B；当0∈B时，则1－0∈A，∴0∉B；当－1∈B时，则1－(－1)＝2∉A，∴－1∈B；当－3∈B时，则1－(－3)＝4∉A，∴－3∈B.综上，B＝{－3，－1,2}，所以集合B含有的元素个数为3，故选C.【答案】 C5．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则()A．5<k<6 B．5≤k<6 C．5<k≤6 D．5≤k≤6 【解析】因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，可得5<k≤6，故选C.【答案】 C二、填空题6．已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B 应为________．【解析】(－1)2＝12＝1，(－2)2＝22＝4,02＝0，所以B＝{0,1,4}．【答案】{0,1,4}7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.【解析】把x＝1代入方程x2＋2x＋a＝0可得a＝－3，解方程x2＋2x－3＝0可得A＝{－3,1}．【答案】{－3,1}8．若2∉{x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________．【解析】由题意，{x|x－a＜0}＝{x|x＜a}，∵2∉{x|x－a＜0}，∴a≤2，∴实数a的取值集合是{a|a≤2}．【答案】{a|a≤2}三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．【解】(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x ＝2，y＝－3，所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)集合的代表元素是数，用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1 000}．(3)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．10．若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值.【解】∵－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，又a2＋1≥1，∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，解得a＝0，或a＝－1，当a＝0时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－3，－1,1}，满足集合三要素；当a＝－1时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－4，－3,2}，满足集合三要素；∴a＝0或－1.[能力提升]1．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，C＝{z|z＝xy，x∈A且y∈B}，则集合C 中的元素个数为()A ．3B ．4C ．11D ．12【解析】 C ＝{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}，故选C.【答案】 C2．已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0 D. 2【解析】 若k 2－2＝2，得k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，得k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，得k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝4，得k ＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B 中的元素之和为－2，则选B.【答案】 B3．集合{1,4,9,16,25}，用描述法表示为________．【解析】 1＝12,4＝22,9＝32,16＝42,25＝52，故用描述法表示为{x |x ＝n 2，n ∈Z 且1≤n ≤5}．【答案】 {x |x ＝n 2，n ∈Z 且1≤n ≤5}4．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪ 62＋x ∈N ， (1)试判断元素1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .【解】 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，所以1∈B,2∉B .(2)令x ＝0,1,4代入62＋x∈N 检验，可得B ＝{0,1,4}．。
职高数学《集合》练习题
（一）集合及表示方法1、“①难解的题目;②方程012=+x ;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的是 ( )。
A .②B .① ③C .② ④D .① ② ④2．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市3、下列命题正确的个数为…………………( )。
（1）很小两实数可以构成集合；（2）}1|{2-=x y y 与}1|),{(2-=x y y x 是同一集合（3）5.0,21,46,23,1-这些数组成的集合有5个数；（4）集合},,0|),{(R y x xy y x ∈≤是指第二、四象限内的点集；A .0个B .1个C .2个D .3个4．集合{(x ，y)|y ＝2x －1}表示 ( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y)C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 5．已知集合}{,,S a b c=中的三个元素是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形6．设集合M ＝{x ∈R|x≤33}，a ＝26，则( )A ．a ∉MB ．a ∈MC ．{a}∈MD ．{a|a ＝26}∈M 7．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}8．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{ 9．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{0}B ．{y|y 2＝0} C ．{x|x ＝0} D ．{x ＝0}10.由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个．11．用适当的符号填空：（1）∅ }01{2=-x x ； （2）{1，2，3} N ；（3）{1} }{2x x x =； （4）0 }2{2x x x =． 12.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .13、⑴用列举法表示下列集合：①},,20,20|),{(Z y x y x y x ∈<≤<≤ =② _;__________},,,|{},2,1,0{=≠∈+===b a M b a b a x x P M14. 用描述法表示下列集合：①所有正偶数组成的集合 ②被9除余2的数组成的集合15．用适当的方法表示以下集合：(1)大于10而小于20的合数所组成的集合 ；(2)方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集 。
集合基础题训练
1、设集合A = {1, 2, 3}，B = {x | x是A中的元素且x > 1}，则集合B的元素个数为？A. 0B. 1C. 2D. 3（答案：C）2、若集合M = {x | x2 - x - 6 = 0}，N = {x | ax - 1 = 0}，且N是M的子集，则a的值为？A. 0或1/2B. 0或-1/2C. 0或1/3D. 0或-1/3（答案：D）3、设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A = {1, 2, 3}，B = {3, 4}，则A∩B的补集为？A. {1, 2}B. {1, 2, 5}C. {4, 5}D. {3, 4, 5}（答案：B）4、若集合A = {x | x = 2k, k ∈Z}，B = {x | x = 3m, m ∈Z}，则A∩B的元素特征是？A. 既是2的倍数又是3的倍数B. 仅是2的倍数C. 仅是3的倍数D. 既不是2的倍数也不是3的倍数（答案：A）5、设集合A = {x | -2 ≤x ≤5}，B = {x | x > 3}，则A∪B的元素范围是？A. -2 ≤x ≤5B. x > 3C. x ≥-2D. 以上都不对（答案：C）6、若集合A = {x | x是质数且小于10}，则A中元素的个数为？A. 2B. 3C. 4D. 5（答案：C）7、设集合A = {x | x是等腰三角形}，B = {x | x是等边三角形}，则B与A的关系是？A. B = AB. B ⊆ AC. A ⊆ BD. B与A无关系（答案：B）8、若集合M = {x | x是平行四边形}，N = {x | x是矩形}，则N与M的关系是？A. N = MB. N ⊆ MC. M ⊆ ND. N与M是同一集合的不同表示（答案：B）。
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三、课后练习
1．下列八个关系式:①{0}=φ ②φ=0 ③φ {φ} ④φ∈{φ}⑤{0}⊇φ ⑥0∉φ ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ} 其中正确的个数 （ C ）
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
2．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ⊆B ，则下列式子成立的是 （C ）
（A ）C U A ⊆C U B （B ）C U A C U B=U （C ）A C U B=φ （D ）C U A B=φ
3．已知M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，
设c b a d +-=，则∈d （ B ）
（A ）M （B ）N （C ）P （D ）P M
4．设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+=
=，则 （A ） （A ）N M ⊆ （B ）M N ⊆ （C ）N M = （D ）Φ=N M
5．集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_________________.
6．解：A=φ时，有1种可能；A 为一元集时，B 必须含有其余2元，共有6种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元.共有12种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.
7．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a -5}，B={x|3≤x≤22},则能使A ⊆A∩B 成立的a 的取值范围是_______________.
7．解：由A 非空知2a+1≤3a-5，故a ≥6. 由A ⊂A ⋂B 知A ⊂B. 即3≤2a+1且3a-5≤22, 解之，得1≤a ≤9. 于是知6≤a ≤9
8．若A={x|0≤x 2+ax+5≤4}为单元素集合，则实数a 的值为___________________.
8．解：由24122125)(5a a x ax x -++=++.若4524
1<-a ，则A 有无数个元，≠
⊂
若45241>-a ，则A 为空集，只有当4524
1=-a 即2±=a 时，A 为单元素集}1{-或}1{.所以2±=a
9．设A={n|100≤n≤600,n ∈N}，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.
9．解：被7除余2的数可写为7k+2. 由100≤7k+2≤600.知14≤k ≤85. 又若某个k
使7k+2能被57整除，则可设7k+2=57n. 即72725672578--+-+===n n n n n k . 即n-2应为7的倍数. 设n=7m+2代入，得k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. m=0,1.于是所求的个数为85-(14-1)-2=70
10．记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元
素按从大到小顺序排列，则第2005个数是 . 396
2401
11. 321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-
（1） 证明：三个集合中至少有两个相等。
（2） 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？
证明：（1）若j i S y S x ∈∈,，则 i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,
所以每个集合中均有非负元素。
当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。
否则，设321,,S S S 中的最小正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最小的非负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S 。
若b ＞0,则0≤b －a ＜b ，与b 的取法矛盾。
所以b =0。
任取,1S x ∈因0∈2S ,故x －0＝x ∈3S 。
所以⊆1S 3S ，同理3S 1S ⊆。
所以1S =3S 。
（3） 可能。
例如1S =2S ={奇数}，3S ={偶数}显然满足条件，1S 和2S 与3S 都无
公共元素。