【精选】七年级数学上册 代数式单元测试卷(解析版)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类

①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式；

②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式；

③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；

（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若，则称该整式为“R类整式”，若，则称该整式为“QR类整式”；

（2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式；

（3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.

【答案】（1）解：若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”.

若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.

故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0

（2）解：因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1）

＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5.

即x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”

（3）解：∵x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1），

∴该整式为PQR类整式.

【解析】【分析】（1）根据题干条件，可得若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”；若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.

（2）根据"PQ类整式"定义，由x2﹣5x+5=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） = ﹣2P+3Q，据此求出结论.

（3）由x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）= PQR，据此判断即可.

2．如图，老王开车从A到D，全程共72千米．其中AB段为平地，车速是30千米/小时，BC段为上山路，车速是22.5千米/小时，CD段为下山路，车速是36千米/小时，已知下山路是上山路的2倍．

（1）若AB=6千米，老王开车从A到D共需多少时间？

（2）当BC的长度在一定范围内变化时，老王开车从A到D所需时间是否会改变？为什么？（给出计算过程）

【答案】（1）解：若AB=6千米，则BC=22千米，CD=44千米，从A到D所需时间为：

=2.4（小时）

（2）解：从A到D所需时间不变，（答案正确不回答不扣分）

设BC=d千米，则CD=2d千米，AB=（72﹣3d）千米，

t=

=

=2.4（小时）

【解析】【分析】（1）根据题意可以求出AB,BC,CD的长，然后根据路程除以速度等于时间，即可分别算出老王开车行三段的时间，再求出其和即可；

（2）从A到D所需时间不变，设BC=d千米，则CD=2d千米，AB=（72﹣3d）千米，,然后根据路程除以速度等于时间，即可分别表示出老王开车行三段的时间，再根据异分母分式加法法则求出其和，再整体代入即可得出结论；

3．从2012年4月1日起厦门市实行新的自来水收费阶梯水价，收费标准如下表所示：

月用水量不超过15吨的部分超过15吨不超过25吨的部分超过25吨的部分

收费标准

2.2

3.3

4.4

（元/吨）

②．以上表中的价格均不包括1元/吨的污水处理费

（1）某用户12月份用水量为20吨，则该用户12月份应缴水费是多少？

（2）若某用户的月用水量为m吨，请用含m的式子表示该用户月所缴水费．

【答案】（1）解：该用户12月份应缴水费是15×2.2+5×3.3+20=69.5（元）

（2）解：①m≤15吨时，所缴水费为2.2m元，

②15＜m≤25吨时，所缴水费为2.2×15+（m﹣15）×3.3=（3.3m﹣16.5）元，

③m＞25吨时，所缴水费为2.2×15+3.3×（25﹣15）+（m﹣25）×4.4=（4.4m﹣110）元．【解析】【分析】（1）该用户12月份应缴水费三两部分构成：不超过15吨的水费+超过15吨不超过25吨的9吨的水费+20吨的污水处理费，列代数式求解即可。

（2）分①m≤15吨,②1525吨三种情况分别根据图表的收费标准列出代数式并计算即可得解。

4．某超市在十一长假期间对顾客实行优惠，规定如下：

一次性购物优惠办法

少于100元不予优惠

超过100元但低于500元超过100元部分给予九折优惠

超过500元超过500元部分给予八折优惠

________元：小明妈妈一次性购

300元的衣服，她实际付款________元：如果他们两人合作付款，则能少付________元. （2）小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她们实际付款________元（用含x的式子表示，写最简结果）

（3）如果小芳奶奶两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），两次购物小芳奶奶实际付款多少元？（用含a的式子表示）

（4）如何能更省钱，请给出一些建议.

【答案】（1）190；280；10

（2）（0.8x+60）

（3）解：100+0.9（a-100）+100+0.9×（500-100）+0.8（900-a-500）=（0.1a+790）元. 答：两次购物小芳奶奶实际付款（0.1a+790）元。

（4）解：一次性购物能更省钱。

【解析】【解答】（1）解：小明的爷爷一次性购200元的保健食品，他实际付款100+0.9×（200-100）=190元：小明妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款100+0.9×（300-100）=280元：如果他们两人合作付款，则能少付190+280-[100+0.9×（200+300-100）]=10元.

故答案为：190；280；10

（ 2 ）解：小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她们实际付款100+360+0.8（x-500）=（0.8x+60）元.

故答案为：（0.8x+60）

【分析】（1）根据优惠办法"少于100元不予优惠，超过100元但低于500元，超过100元部分给予九折优惠"可球得实际付款；

（2）由"少于100元不予优惠，超过100元但低于500元，超过100元部分给予九折优惠，超过500元的，超过500元部分给予八折优惠"可列出代数式；

（3）分别求出两次购物小芳奶奶实际付款的钱数，相加即可求解；

（4）通过计算可知一次性购物能更省钱．

5．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收贵的价目表如下（注：水费按月份结算，m3表示立方米）

5m3和8m3，则应收水费分别是________元和________元.

（2）若该户居民3月份用水量am3（其中6＜a≤10），则应收水费多少元？（用含a的式

子表示，并化简）

（3）若该户层民4、5两个月共用水14m3（5月份用水量超过4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的式子表示，并化简）

【答案】（1）10；20

（2）解：由依题意得：6×2+（a﹣6）×4＝4a﹣12（元）

答：应收水费（4a﹣12）元。

（3）解：当0＜x≤4时，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4×4+6（14﹣x﹣10）＝52﹣4x；

当4＜x≤6，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4（14﹣x﹣6）＝﹣2x+44；

当6＜x＜7时，该户居民4、5两个月共缴水费＝12+4（x﹣6）+12+4（14﹣x﹣6）＝32.【解析】【解答】（1）解：该户居民1月份用水5m3，应缴水费＝5×2＝10（元）；

2月份用水8m3，应缴水费＝6×2+2×4＝20（元）；

故答案是：10；20

【分析】（1）①按照价目表可知，不超过6m3的用水量的水费=5×不超过6m3的用水量的价格计算即可求解；

②按照价目表可知，超过6m3的不超过10m3的用水量的水费=6×不超过5m3的用水量的价格+超过6m3的用水量×超过6m3的价格计算即可求解；

（2）由题意知，用水量属于第二档，按照（1）中②的方法可求解；

（3）结合（1）的方法，分类可求解.

6．已知x1， x2， x3，…x2016都是不等于0的有理数，若y1= ，求y1的值．

当x1＞0时，y1= = =1；当x1＜0时，y1= = =﹣1，所以y1=±1

（1）若y2= + ，求y2的值

（2）若y3= + + ，则y3的值为________；

（3）由以上探究猜想，y2016= + + +…+ 共有________个不同的值，在y2016这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于________．

【答案】（1）解：∵ =±1， =±1，

∴y2= + =±2或0

（2）±1或±3

（3）2017；4032

【解析】【解答】解：（2）∵ =±1， =±1， =±1，

∴y3= + + =±1或±3．

故答案为±1或±3，

（ 3 ）由（1）（2）可知，

y1有两个值，y2有三个值，y3有四个值，…，

由此规律可知，y2016有2017个值，

最大值为2016，最小值为﹣2016，

最大值与最小值的差为4032．

故答案分别为2017，4032．

【分析】（1）根据题意先求出=±1，=±1，就可求出y2的3个值。

（2）根据题意先求出=±1，=±1，=±1，分情况讨论求出y3的4个值。

（3）根据（1）（2）的规律，可知y2016就有2017个不同的值，最大值的和是2016个1相加，最小值的和是2016个-1相加，再求出它们的差即可。

7．阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣。当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣＝∣b∣＝∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边∣AB∣＝∣OB∣－∣OA∣＝∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；

如图3，点A、B都在原点的左边，∣AB∣＝∣OB∣－∣OA∣＝∣b∣-∣a∣=－b-（-a）=∣a-b∣；

如图4，点A、B在原点的两边,∣AB∣＝∣OB∣+∣OA∣＝∣a∣+∣b∣= a +（-b）=∣a-b∣；

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________,数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是________,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；

（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是________,如果∣AB∣＝2，那么x为________

（3）当代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣取最小值时，相应的x的值是________;此时代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣的值是________.

【答案】（1）3；3；4

（2）；1或-3

（3）-1；5

【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3．数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4．（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或-3．（3）当代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣取最小值时，，∴x+1≥0，x-2≤0,x+3≥0，∴-1≤x≤2．即当x取=-1时为最小值，此时代数式值为5

【分析】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|；（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x-（-1）|=|x+1|，求出x的值；（3）当代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣取最小值时，得到-1≤x≤2；求出代数式的值.

8．用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米，h厘米的长方体有盖木箱（a>b），其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面，乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙刚好能做成箱盖和一个短侧面。

（1）填空：用含a、b、h的代数式表示以下面积：

甲的面积________;乙的面积________;丙的面积________.

（2）当h=20cm时，若甲的面积比丙的面积大200cm2，乙的面积为1400cm2，求a和b 的值；

（3）现将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型（如图②），且这样的圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等。问：一个上述长方体木箱中最多可以放________个这样的圆柱体模型。

【答案】（1）ab+ah；ah+bh；ab+bh

（2）解：，

化简得，

解得： .

（3）8

【解析】【解答】（1）甲的面积= ab+ah，乙的面积= ah +bh；丙的面积 =ab+bh；

（3）设圆的直径为d，

∵将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型，

∴b=2d，a-d=πd，

∴a=（π+1）d

∵圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，

∴只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，

∴

∴可以放两层，

∴b=2r+πr

∴

∴一个上述长方体木箱中最多可以放8个这样的圆柱体模型.

故答案为：8.

【分析】（1）根据矩形的面积公式，分别求出甲，乙，丙的面积即可；

（2）根据甲的面积-丙的面积=200cm2，乙的面积为1400cm2，列出方程组，将h=20cm代入并解出方程组，即可求出a，b的值；

（3）设圆的直径为d，观察图像由已知可得到b=2d，a=（π+1）d，再根据圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，就可得到只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，因此利用木箱的上表面的面积除以正方形ACDF的面积即可求解。

9．某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价180元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：

方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子

方案二：课桌和椅」都按定价的80%付款

某校计划添置100张课桌和把椅子，

（1）若，请计算哪种方案划算;

（2）若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来

（3）若，乔亚萍认为用方案一购买省钱，小兰认为用方案二购买省钱，如果两种方案可以同时使用，你能帮助学校设讣·种比乔亚萍和小兰的方案都更省钱的方案吗?若能，请你写出方案，若不能，请说明理由.

【答案】（1）解：当x=100时

方案一：100×180=18000；

方案二：（100×180+100×80）×80％=20800；

18000＜20800

∴方案一划算；

（2）解：当x＞100时

方案一：100×180+80（x-100）=80x+10000；

方案二：（100×180+80x）×80％=64x+14400；

（3）解：当x=320时

按方案一购买：80×320+10000=35600

按方案二购买：64×320+14400=34880

35600＞34880

∴方案二更省钱.

【解析】【分析】（1）根据两种方案的优惠方式，分别列式计算，再比较大小即可作出判断。

（2）根据x＞100，根据两种优惠方案，分别列式即可。

（3）将x=320分别代入（2）中的两种优惠方案的费用中进行计算，再比较大小可作出判断。

10．如图，有一个边长为a的大正方形与两个边长均为b的小正方形(a>b)，按如图1、2所示的方式摆放，设图1中阴影部分的面积之和为S1，图2中阴影部分的面积为S2。

（1）用含a，b的代数式表示S1与S2(结果要化为最简形式)。

（2）当S1+3S2= b2时，求a：b的值。

【答案】（1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a2-8ab+6b2

S2=b2-(a-b)2=2ab-a2

（2）解：∵S1+3S2= b2，

∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a2)= b2

化简得：5b2=4ab，

∵b≠0，

∴两边同除以b，得：5b=4a，

∴a：b=5：4

【解析】【分析】（1）根据图1可知左下角及右上角两个图形是全等的正方形，其边长为（a-b），中间的小正方形应该是(2b-a) ，然后根据正方形面积的计算方法即可列出算式S1=2(a-b)2+(2b-a)2，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；由图2可知：阴影部分的面积=边长为b的正方形的面积-边长为（a-b）的正方形的面积，从而根据正方形面积的计算方法即可列出算式，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；

（2）根据（1）的计算结果，由 S1+3S2= b2列出方程，化简即可得出答案.

11．以下关于的各个多项式中，，，，，均为常数.

（1）根据计算结果填写下表：

二次项系数一次项系数常数项

2________2

6________－2

________

（2）若的积中不含的二次项和一次项，求

的值.

（3）多项式与多项式的乘积为，则的值为________.

【答案】（1）5；-1；

（2）解：原式

∵积中不含的二次项和一次项∴解得原式

（3）-4

【解析】【解答】解：（1）

故答案为：

（ 3 ）∵多项式与多项式的乘积为

∴设多项式

【分析】（1）根据多项式乘以多项式即可求解；（2）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项后使二次项系数和一次项系数为0即可求解；（3）根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式M，再根据恒等式的意义求解.

12．小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是爸爸妈妈的对话：

妈妈：“上个月萝卜的单价是元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元”；

爸爸：“今天，报纸上说与上个月相比，萝卜的单价上涨了25%，排骨的单价上涨了20%”请根据上面的对话信息回答下列问题：

（1）请用含的式子填空：上个月排骨的单价是________元/斤，这个月萝卜的单价是

________元/斤，排骨的单价是________元/斤。

（2）列式表示今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？（结果要求化成最简）

（3）当a＝4，求今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？【答案】（1）7a+2；125%a；8.4a+2.4

（2）解：今天买的萝卜和排骨花的钱数为3×125%a+2×（8.4a+2.4）；

上个月买的萝卜和排骨花的钱数为3×a+2×(7a+2)

故今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花的钱数为

[3×125%a+2×（8.4a+2.4）]-[ 3×a+2×(7a+2)]= 3.55a+0.8(元)

答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花（3.55a+0.8）元；

（3）解：把＝4代入3.55a+0.8=3.55×4+0.8=15（元）

答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花15元.

【解析】【解答】（1）∵上个月萝卜的单价是元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元

∴上个月排骨的单价是(7a+2)元/斤；

这个月萝卜的单价是（1+25%）a=125%a元/斤;

这个月排骨的单价是（1+20%）(7a+2)=（8.4a+2.4）元/斤

故填：7a+2,125%a,8.4a+2.4;

【分析】（1）根据题意即可写出上个月排骨的单价、这个月萝卜的单价及排骨的单价；（2）计算两次买的价钱，再相减即可求解；（3）把a=4代入即可求解.