完全非线性反演初步
土体邓肯—张非线性弹性模型参数反演分析全
可编辑修改精选全文完整版土体邓肯—张非线性弹性模型参数反演分析近年来，随着科学技术的发展，经过精心设计的弹性模型和参数反演算法技术开始被广泛应用于土体力学中。
英国科学家邓肯（Duncan）和张（Zhang）的非线性弹性模型参数反演分析方法为土体力学研究奠定了坚实的理论基础。
线性弹性模型参数反演分析旨在研究土体的弹性本构模型，决土体的动态参数反演问题，从而更好地控制和解释土体力学行为。
首先，非线性弹性模型是一种普遍适用的土体力学模型，描述了土体的应力应变关系，其中包括受力弹性部分，恢复弹性部分和弹性非线性部分.述应力应变关系的函数可以用地质、浅层力学等参数表示。
其中包括材料参数，比如弹性模量、泊松比、抗拉强度极限等；空间参数，比如等效平面应力变化率等；时间参数，比如历史负荷重复次数等。
然后，非线性弹性参数反演分析是一种专门用于研究土体动态参数变化特性和土体弹性本构模型确定的非线性优化算法。
主要包括反演算法和参数估计算法。
演算法可以从提供的土体动态应力应变数据中恢复弹性本构参数的值，而参数估计算法则可以从实验测量数据中精确估计土体实际弹性参数的值。
此外，非线性弹性模型参数反演分析具有许多优点，到的结果有助于深入理解土体动态变化特性，有助于开发新的土体力学理论，有助于实现高精度的土体力学分析及模拟，为现有土体力学分析方法提供了更为准确的理论支撑。
最后，非线性弹性模型参数反演分析技术对土体力学研究有重要意义。
管技术刚刚起步，但有望在解决实际问题上发挥重要作用。
此，有必要加强相关技术的研究，加强详细计算，改进参数反演算法，并在非线性弹性本构分析的理论和实验研究方面进行深入挖掘，以及在实际工程中对该技术的实际应用。
综上所述，非线性弹性模型参数反演分析是一种新的、有效的土体力学分析方法，从理论和实践上都有重要意义，为土体力学研究和工程实践提供了有用的理论和技术支持。
第十五讲非线性反演
物理退火过程
物理退火过程 什么是退火： 退火是指将固体加热到足够高的温度，使分子呈随 机排列状态，然后逐步降温使之冷却，最后分子以 低能状态排列，固体达到某种稳定状态。
物理退火过程
物理退火过程 加温过程——增强粒子的热运动，消除系统原先可 能存在的非均匀态； 等温过程——对于与环境换热而温度不变的封闭系 统，系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向 进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态； 冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统 能量逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。
• 2) 解的非唯一性（Non-uniqueness）。如能求得能拟合 观测数据的地球物理模型，解是唯一的还是非唯一的？
• 3) 模型构制（Model Construction）。如何求得能拟和观 测数据的一个地球物理模型？
• 4) 解的评价（Appraisal） 。既然解是非唯一，地球物理 反演所获得的任一解又有何意义？
第七章 非线性反演
计算地球物理学讲义
非线性反演概论
• 地球物理学家研究地球所依据的物性参数不同，方法各异，但就 工作程序而言，一般都可分为数据采集，资料处理和反演解释等 三个阶段。
• 数据采集就是按照一定的观测系统、一定的测线、测网布置,在 现场获得第一手、真实可靠的原始资料。所以数据采集是地球物 理工作的基础，是获得高质量地质成果的前提和条件。
2、数学类
1) 贝叶斯法 (Bayesian Inversion)
2) 同伦算法 (Homotopy Algorithm)
3) 多尺度非线性反演法 (Multi-Scale Algorithm)
4) 蒙特卡罗法 (Monte-Carlo)
地球物理反演-邹志辉
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、课程介绍1.课程描述：地球物理反演是地球物理学科的一个重要组成部分，地球物理反演的思路和方法不仅可以用于解决固体地球问题，还能够用于解决其它领域（如气象预报、经济预测等）的问题，具有广泛适用性。
本课程将介绍地球物理反演的基本概念、原理和应用方法基础。
2.设计思路：本课程将以介绍地球物理反演理论的基本概念为基础，重点阐述方法的原理和应用思路，并在介绍实例的基础上帮助学生理解实际应用中反问题的提取、分析和求解的思路。
课程内容涉及地球物理反演基本理论、位场反演基础、地震反演基础等主要方面。
3. 课程与其他课程的关系：本课程将在学生已经学习的勘探方法基础上传授学生通过反演的方法求解实际问题的手段，使学生理解和加深对各种勘探方法的理解。
本课程的方法可以方便地用作学生科研和毕业设计等的手段。
学生还可以结合前期选修的计算机语言类课程编写简单的反演程序，用于求解地球物理反问题。
二、课程目标- 1 -本课程目标是使学生掌握地球物理反演的基本概念，理解地球物理反演的基本方法和处理实际问题的思路，能够将常规的地球物理问题转化为反演问题进行求解。
三、学习要求学生在选修过程中需要按照开课前的教学安排简单预习课程内容。
授课过程中，学生要按时上课并积极参与教学过程，可以随时举手提问，也可以将问题组织好课下提问；学生需要在讨论环节积极发言，提高科技交流能力。
学生在课后需要按照要求在规定时间内完成布置的作业和课程论文。
四、教学进度- 1 -五、参考教材与主要参考书姚姚，地球物理反演基本理论与应用方法，武汉：中国地质大学出版社王家映，地球物理反演理论（第2版），北京：高等教育出版社Menke, W. (2012). Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory. Academic Press.六、成绩评定（一）考核方式 A ：A.闭卷考试 B.开卷考试 C.论文 D.考查 E.其他（二）成绩综合评分体系：- 1 -七、学术诚信学习成果不能造假，如考试作弊、盗取他人学习成果、一份报告用于不同的课程等，均属造假行为。
土体邓肯—张非线性弹性模型参数反演分析
土体邓肯—张非线性弹性模型参数反演分析土体弹性是土力学和岩土工程研究中最重要的物理量之一，它是分析土壤的受力和强度状态以及土体的力学特性的重要参数。
土体弹性的反演和分析是开发和应用理论模型，评价土体性质和解决工程问题的基础。
在过去几十年中，在土体弹性学研究中，邓肯-张（D-Z）模型被广泛地应用于土壤力学和计算力学中，以定量地描述和分析土体的弹性反应。
邓肯-张（D-Z）模型是以邓肯（Dunkerley）模型为基础，借鉴张（Zhang）模型的结构，对邓肯（Dunkerley）模型进行改进和重新建模得到的。
它将土体弹性关系表达为完全非线性的方式，具有较强的实用性，能够更准确地反映土体弹性特性。
这种完全非线性模型有八个不同的参数，它们分别表示土体的基本特性。
因此，通过定量分析土体弹性参数对土体性质的影响，可以有效评价土体的强度和稳定性，并从而更好地解决工程问题。
本文的目的是基于邓肯-张（D-Z）模型，分析土体弹性参数的反演。
研究的结果表明：八个参数可以采用拟合介质的拟合方法，通过计算完成反演分析。
这样可以对邓肯-张（D-Z）模型参数进行精确拟合，有助于更准确地反演土体性质和弹性参数。
本文采用了统计学和数学方法，使用最小二乘法和拟合介质的拟合方法，反演分析了邓肯-张（D-Z）模型参数，从而提高了参数反演的准确性和稳定性，为岩土工程研究提供了参考依据。
首先，本文介绍了土体弹性的概念和它的重要性，并介绍了邓肯-张（D-Z）模型的拟合方法。
其次，根据统计学和数学方法，介绍了最小二乘法和拟合介质的拟合方法。
最后，本文讨论了邓肯-张（D-Z）模型参数反演分析的结果，总结了参数反演对土体性质和弹性参数的影响，为岩土工程的研究提供参考依据。
从总体上来看，邓肯-张（D-Z）模型具有较强的实用性和准确性，可用于更好地反映和分析土体的弹性特性。
本研究的结果证明，采用最小二乘法，通过拟合介质的拟合方法，可以更准确地反演出土体性质和弹性参数，有助于更好地解决岩土工程中相关问题。
反演问题的数值解法研究
反演问题的数值解法研究第一章引言反演问题是指通过观测数据得到模型参数或物理参数的过程。
在许多领域中，反演问题都是非常重要的，如地球物理学、医学成像、无损检测等。
由此带来的数值计算问题也是非常重要的，因为反演问题涉及到从离散的观测数据中推断出连续的参数，需要依赖数值方法来求解。
本文主要呈现了一些常用的反演问题的数值解法的研究，包括线性反演问题和非线性反演问题。
我们将对各种反演问题的数值解法进行介绍，包括正则化方法、Bayesian方法、梯度下降等。
第二章线性反演问题线性反演问题是指观测数据与模型参数之间的函数关系是线性的反演问题。
我们通常将这种问题表示为$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中$A$是线性算子，$\mathbf{x}$是模型参数，$\mathbf{b}$是观测数据。
线性反演问题的数值解法可以使用奇异值分解（SVD）或者正则化方法。
其中，SVD可以将线性反演问题转换为一个完全指定和完全可逆的问题，可以得到唯一的解。
但是，由于数值算法的限制和观测数据误差的影响，SVD不一定是最好的解决方案。
为了解决这个问题，我们可以使用正则化方法。
正则化方法是一种通过增加稳定性约束条件来处理不适定反演问题的技术。
这些约束条件可以有效地减少反演问题的不确定性。
常用的正则化方法包括Tikhonov正则化和阻尼最小二乘法。
Tikhonov正则化是通过加入二次惩罚项来限制解的大小，从而使得解更加平滑。
阻尼最小二乘法是通过同时加入观测数据误差和模型误差的项来解决线性反演问题。
这两种方法都可以通过基于SVD的方法求解。
需要注意的是，对于线性反演问题，只有当观测数据是无误的时候才能得到正确的解。
这是因为线性反演问题的解非常敏感，即使存在微小的误差，也会导致解的失真。
第三章非线性反演问题与线性反演问题不同，非线性反演问题的观测数据与模型参数之间具有非线性关系。
常见的非线性反演问题包括逆时偏移（RTM）、全波形反演（FWI）和电磁成像等。
地球科学中的正反问题
一、什么是正演问题和反演问题在地球科学中，有两大问题是离不开的，正演问题和反演问题。
由物理定律根据给定物理模型的参数计算出数据的问题是正演问题。
而由观测数据通过适当的方法计算物理模型参数来重建物理模型的问题是反演问题。
由卫星云图预报天气、由遥感影像估计粮食产量都是正演问题。
从思路上而言，正演问题比较简单。
如果给定物理模型的系数，由物理定律能够计算出与观测数据相比对的理论数据。
在模型比较精确的情况下，正演一般能够获得比较好的效果。
当然，反演问题也在多个领域有应用，这里可以给出很多实例，比如太阳的内部结构探测、储油层厚度的估计、莫霍面深度的推断、核幔边界形态的分析等等。
由于我们不单对模型系数不清楚，甚至有时对物理模型本身都不甚清楚，所以我们可以断言反演比正演问题将面临更多更大的困难。
根据百度百科，正演问题（direct problem）定义：在地球物理磁法勘探的理论研究中，根据磁性体的形状、产状和磁性数据，通过理论计算、模拟计算或模型实验等方法，得到磁异常的理论数值或理论曲线，统称为正演问题。
反演问题（inversed problem）在磁法勘探理论研究和解释磁测成果时，根据磁异常特征，确定磁性体的形状、产状及其磁性等，称为“反演问题”。
这个概念给的范围太狭隘，就简单的地磁勘探而已，所以仅作为参考。
二、哪个先提出来现在有一个逻辑问题，是先有正演问题还是先有反演问题？似乎直观上先有前者，然而我认为，对大多数问题，尤其是系统复杂的问题，应当是先有后者。
科学研究的先驱们没有今天的人有这么好的条件，不可能通过课堂学习系统地掌握成体系的知识，也没有条件去图书馆查阅资料，更不用说利用检索工具搜集信息了，他们掌握的资料和信息是极其的贫乏的。
当先驱们涉足新的研究领域时，是没有经验可循的，也没有什么物理模型可以利用。
他们看到的是规律或者说模型所呈现出来的现象，他们的任务是找出规律、建立模型，这个任务本身就是反演问题。
非线性反演算法探究
由于通 常情 况下 采集 的数据 多于模 型参数 ，因此 问题是超定 的 ，我们希 望对 目标 函数 求极 小 …
ｇ＝ｅｒｅ＝（ｄ－ｆ（ｍ）） （ｄ一 ｍ））
利用前述结果 ，可将求极小问题改写为：
ｇ＝ｅＴｅ＝（），一Ａｘ） （ｙ一 ）
２．１ Ｎｅｗｔｏｎ法 （线性 化方 法 ）
式（８）线性化后如式 （９）采用最小平方法．
由睾：
批 垡 ＝Ｏ，得 Ａ ＝Ａｒｙ． 最小 平方解 ：
在大多数我们所感兴趣的地球物理反演问题中，数据和模型参数是非线性相关的，是非线性的．众所周 知 ，非线性反演问题与线性反演问题是有严格 区别的，前者是不可逆的．目前 ，我们还不能建立 出非线性反 演问题 的严格或近似逆算子 ，现在对于非线性反演问题 的求解 ，首先是把它转化为一个非线性最优化 问题 ， 然后利用线性化迭代方法或 Ｍｏｎｅｔ Ｃａ ｒｌｏ方法求解．处理非线性问题 ，一般是将函数 ｍ）以 Ｔａｙｌｏｒ级数形式 在模型参数可能取值 的初始估计值进行展开 ，可将非线性问题转换为近似线性问题．
收稿 日期 ：２０１０—０８—１２． 作 者简介 ：王 岩 （１９６５～），男 ，吉林省长春市人 ，讲师 ，硕士
７６
吉 林 建 筑 工 程 学 院 学 报
第 ２８卷
即 ＝ （硝 ，ｍ０ ：，…， ）（ ：１，２，…，ｎ）．假定 ｍ）在 附近是线性的，则由Ｔａｙｌ。 定理得：
厂（ｍ）＝ （ｍ ＋ －，ｍ ０＋ ：，…， ＋ ）＝ （ｍ。）＋ ＋象ｍ：＋…＋ ＋高次项
从 而 有 ：
ｅ＝ｄ一 ｍ）＝量 ｙ ｄ一 ｍＤ）以表示实际数据和初始模型所求数据之差，将
这样 方 程 （６）可改写 为 ： 方程 （５）可写为 ：
非线性多重网格反演的一般框2重点讲义资料
非线性多重网格反演的一般框架主要分为五个部分1.介绍2．多重网格反演框架反问题、多重网格的反演算法、固定网格反演、多重网格收敛的反演。
稳定泛函。
3. 光扩散层析成像中的应用4．数值结果。
提出了评价模型所需的分辨率、多重网格性能评价。
摘要多种新的成像方式，如光扩散层析成像，要求正问题，采用求解三维偏微分方程反演。
这些应用程序，图像重建是特别困难的。
因为提出的问题是非线性和评价计算昂贵的。
在本文中，我们提出了非线性多重网格反演是适用于各种各样的反问题的一般性框架。
多重网格反演算法结果的递归多重网格技术的优化问题的求解逆问题中的应用。
该方法通过动态调整目标泛函在不同的尺度，他们是一致的，并最终减少，细尺度函数值。
在这种方式中，多重网格反演算法有效地计算解决所需的精细尺度反演问题。
重要的是，新的算法可以大大减少计算，因为在正向和反问题更粗的离散化在较低的分解。
这个方法被广泛应用，贝叶斯光扩散层析，广义高斯马尔科夫随机场图像先验模型。
展示了非常大的计算节省潜力。
数值数据也表明了鲁棒收敛一系列的初始条件为非凸优化问题。
随机场图像的先验模型显示了非常大的计算节省的潜力。
数值数据也表明了一系列的非凸优化的初始条件的鲁棒收敛problem.问题。
关键词：多重网格算法、反问题、光扩散层析成像、多尺度一．介绍一大类图像处理的问题，如模糊，高分辨率的渲染，图像恢复，图像分割，与断层运动分析，逆问题的解决，通常，这些反问题的数值解法是计算能力的要求，特别是当问题必须制定在三维上。
最近，一些新的成像方式，如光扩散层析成像（ODT）和电阻抗断层成像（EIT），备受关注，例如光扩散层析成像在安全上有很大的潜力，非侵入性的医疗诊断方法与化学特异。
然而，这些反问题有关联的新模式，目前有大量的困难挑战，首先，正演模型取决偏微分方程（PDE）描述的解决，这是计算能力的要求。
第二，未知的图像决定于偏微分方程的系数，从而正演模型是高度非线性的，即使本身是线性偏微分方程。
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第四章完全非线性反演初步前面几章讨论了地球物理反演问题的线性反演方法。
它们是理论最完整、应用最广泛、最为成熟的反演方法。
但是，在现实工作中，绝大多数地球物理问题都是非线性问题。
用线性反演方法处理非线性反演问题总显得“力不从心”。
因此，研究、发展非线性反演方法是地球物理工作者刻不容缓的重要任务。
与线性反演相比，非线性反演无论在理论上还是在处理方法上都要困难得多，故非线性反演理论、方法相对而言至今仍处于不太完善的状态。
近年来，由于广大地球物理工作者的不懈努力，非线性反演方法得到了迅速发展，并在实际工作中得到了应用。
由于非线性反演相对于线性反演而言至今仍处于不太完善的状态，而且非线性反演较线性反演难度要大，故它常借鉴一些新兴学科的前沿理论作为基础，涉及的面较广，所需的基础知识较深较新。
为使读者对非线性反演有一个初步的了解，本章仅简单地介绍若干最常用、最成熟的完全非线性反演方法。
对非线性反演有兴趣的读者可阅读有关的参考资料。
如前所述，所谓地球物理非线性反演问题，是指观测数据 d 和模型参数m 之间不存在简单的线性关系（包括线性函数、线性泛函），而是复杂的非线性关系。
它们之间可能以隐式形式出现，如F（d，m ）=0；也可能以显式形式出现，如d =g（m ）。
目前发展的大量非线性反演方法大体上可以分为两大类，一类为线性化方法；另一类为完全非线性反演方法。
前一章已介绍了线性化方法，本章简单介绍完全非线性反演方法。
§4.1 线性化反演方法求解非线性反演问题的困难由前所述可知，线性化反演方法求解非线性反演问题时强烈地依赖于初始模型。
若初始模型选择得好，可以得到真实解，否则就可能得到错误的解。
初始模型的选择显然需要对模型参数的先验了解，即先验知识和先验信息。
若先验知识和信息丰富，则初始模型可以选择得较好，否则就难以选择。
幸运的是，对于许多地球物理问题，我们已经有了不少先验知识和先验信息，可以方便地选择初始模型。
这也就是为什么线性化反演方法能够解决许多地球物理非线性反演问题的原因。
但是，还有很多地球物理问题，人们没有太多的先验知识和先验信息，难以正确地选择初始模型。
为了解决这些问题，必须使用完全非线性反演方法。
在介绍完全非线性反演方法之前，首先需要了解为什么线性化反演方法强烈地依赖于初始模型，即了解其困难所在。
由前一章可知，线性化方法在每一次迭代时，首先搜索在当前模型下目标函数的下降（或上升）方向，然后按此方向以一定步长前进，求得一个新的模型；以此新模型作为起点，再进行搜索，不断迭代，直至不能前进为止。
当然，搜索的方法可以不同（或利用导数，或不利用导数），但其基本思想必为搜索下降（或上升）方向，如果没有下降（或上升）方向了，搜索也就停止。
由于线性化反演方法每一次迭代时均只朝目标函数值减小（或增大）的方向搜索，不可能向相反的方向搜索。
当初始模型在真实模型附近时，这种搜索能达到最小值（或最大值）所对应的真实模型处。
但当初始模型离真实模型较远，在某一局部极值所对应的模型附近时，这种搜索会到达局部极值为止，再也不可能改变了，即陷入了局部极值。
显然，局部极值对应的模型不是真实模型，而是一个错误的模型。
因此，我们说线性化方法强烈地依赖于初始模型；它求取的只是初始模型附近某一局部极值所对应的解。
这种解虽然是所谓的满意解：因为它的目标函数值确实较大，且用这些方法在此初始模型下再也找不到更好的解了；但不一定是我们欲求的“最佳”解，其意义仅仅是指在初始模型附近的最好解。
线性反演问题的目标函数只有一个极值。
非线性反演问题存在多个极值。
多极值的存在使线性化反演求解非线性反演问题时，若初始模型选择不当会陷入局部极值，得到错误的解。
这就是用线性化反演方法求解非线性问题的困难所在。
解决的办法一是利用丰富的先验知识和先验信息选择较好的初始模型，二是发展不依赖于初始模型的完全非线性反演方法。
§4.2 传统完全非线性反演方法鉴于线性化或拟线性反演方法的问题，广大地球物理工作者一直都在致力于完全非线性反演方法的研究。
完全非线性反演方法不进行问题的局部线性近似，因此是解决非线性反演问题的根本方法。
由于完全非线性反演方法的研究起步较晚，困难较大，故与线性化或拟线性反演方法相比还比较落后。
目前发展出来的完全非线性反演方法种类不多，特别是能在实际工作中应用的方法更不多见。
但是，完全非线性反演方法的研究代表了非线性反演研究的方向，也代表了反演研究的方向，是反演问题研究的最前沿课题。
因此，完全非线性反演方法的研究一直受到地球物理学界的极大重视；一种实用的完全非线性反演方法只要出现，就会迅速流行开来。
最简单也最直接的完全非线性反演方法是彻底搜索法或称穷举法。
即在一定约束条件下对模型参数的一切可能组合得到的模型均进行分析、比较，找到在某种可接受的标准下的满意解或解集。
若可接受的标准是目标函数（或后验概率）取最大，则可以找到对应于目标函数（或后验概率）整体极大值的“最佳”解。
这种方法相当于搜索模型空间中的所有点，即进行模型空间的彻底搜索，因此称之为彻底搜索法或穷举法。
它的优点是只要模型空间中存在着满足条件的解，就必然能搜索到这些解。
但是，它有一个致命的弱点，即彻底搜索在计算上是不现实的。
只要模型空间稍微大一点，就不可能在一个现实的时间内完成搜索工作。
假设一个模型有M 个参数，每个参数可能取N 个值，则潜在的可能模型就有NM个，即要搜索NM个模型才能完成彻底搜索任务。
当N 和M均很小时，问题还不算严重。
只要N 和M 的值稍微大一点，计算就无法在可容许的时间内完成。
例如，设M =20，N =10，则NM=1020。
以每秒运行一亿次的Cray巨型计算机进行计算，每搜索一个模型只用10-8s，彻底搜索也需要3 万年之久。
这是一个天文数字，根本不可能实现。
因此，穷举法只能是一种理论上存在的方法，在实际工作中它完全没有用处。
一个较为现实的完全非线性反演方法称为蒙特卡洛（Monte Carlo）方法。
它以随机而不是系统的方式对模型空间进行搜索，因此较为现实，在实际工作中得到了应用。
传统蒙特卡洛反演方法又可以称为“尝试和误差”方法。
它是在计算机中按一定的先验信息给出的先验限制随机地生成可供选择的模型，按某些由先验信息给出的可接受的标准对随机生成的模型进行检验，若符合标准则模型被接受，否则被“排斥”并“遗忘”。
因此，传统蒙特卡洛反演方法的主要步骤为：（1）选定待求的模型参数并建立起模型参数与观测数据间的理论关系。
（2）根据反演问题的实际要求和先验信息，选定适当的可接受标准。
（3）在计算机中按给定的先验范围随机地生成模型。
（4）用观测数据和可接受的标准来检验生成的模型，舍弃“失败者”，保留“成功者”。
（5）回到第（3）步，再随机地生成新的模型，又进行检验。
（6）不断地重复上述步骤，直至认为满意、可以结束搜索了为止。
传统蒙特卡洛方法与穷举法的不同之处就在于它用随机抽样搜索代替了系统搜索，因而比较现实。
一些地球物理学家，如Press，Anderson 等，利用这一方法，根据天然地震资料，成功地对地幔、地核等进行了新的划分，并得到一系列关于地球内部物质分布的详细情况，取得了引人注目的成果。
尽管如此，传统蒙特卡洛反演方法也有其致命的弱点。
关键的一个弱点在于传统蒙特卡洛反演方法不能保证搜索的彻底性，在使用这种方法时的任何时刻均可以停止搜索或继续搜索，但谁也不能保证此时的搜索已达到足够的数量，所得到的结果就是对应着整体极大的“最佳”解，搜索可以停止了。
因此，影响了它的广泛应用。
随着研究的不断深入和相关学科的不断发展进步，非线性反演方法也得到了明显的发展。
发展的一个方向是改进常规蒙特卡洛方法。
改进的主要思路是在蒙特卡洛反演中不再进行“盲目”的、完全随机的搜索，而进行在一定先验知识引导下的随机搜索。
这就是所谓的启发式蒙特卡洛反演方法。
根据“启发”的思想不同发展了多种方法。
目前应用效果最好的两种启发式蒙特卡洛反演方法，是以统计物理学为基础的模拟退火法和以生物工程为基础的遗传算法。
下面对它们作一简单的介绍。
§4.3 模拟退火法模拟退火法（Simulated Annealing，简称SA）是一种启发式蒙特卡洛反演方法。
它模拟退火的物理过程：物质先被熔化，然后逐渐冷却。
在冷却过程中，有可能产生非晶体状的亚稳态玻璃体，也有可能产生稳态的晶体。
晶体相应于该物理系统能量最小的基本状态；玻璃体相应于其能量达到次极小的亚稳态。
把物理系统的能量模拟成反演问题的目标函数；把晶体的生成模拟成搜索到目标函数的整体极值；把玻璃体的形成模拟成错误地搜寻到局部极值，就形成能有效地求解非线性反演问题，得到相应于整体极值的某种意义下的“最佳”解的模拟退火法。
模拟退火法与线性化或拟线性反演方法不同。
它不仅可以向目标函数（或后验概率）增大（或减小）的方向搜索，也能向目标函数（或后验概率）减小（或增大）的方向搜索，故可以从局部极值中爬出，不会陷在局部极值中。
模拟退火法与传统蒙特卡洛反演方法也有不同，它不是盲目地进行随机搜索，而是在一定的理论指导下进行随机搜索，即“启发”式随机搜索，故能保证搜索效率高，能达到整体极值。
模拟退火法是Kirkpatrick 等1983 年首先提出的。
自问世以来很快受到广大地球物理学家的密切注意。
近年来，它在可靠性和有效性等方面都得到了很大的发展，成为一种十分受欢迎的非线性多参数联合反演方法。
统计物理学（或称统计力学）从物质是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观性质是大量微观粒子热运动的平均结果，宏观量是微观量的统计平均。
因此，它研究的是由大量微观粒子组成的宏观系统的统计特性。
统计物理学的基本研究成果是得到一个处于平衡状态下的宏观系统的统计分布。
其中最重要的一种分布是吉布斯（Gibbs）分布。
它认为系统处于某一种状态x下的概率由下式确定（4-1）式中E（x）表示系统处于状态x 下的能量，K B为玻尔兹曼（Boltzman）常数，T 为绝对温度，Z 为正规化常数（4-2）对于平衡的系统，吉布斯分布函数描述了系统状态的期望扰动。
这种扰动既可能增加系统能量，也可能减少能量。
向增加能量方向扰动的可能性大还是向减少能量方向扰动的可能性大由吉布斯分布决定。
应当注意的是，绝对温度T 这一参数对吉布斯分布的影响很大，因而对期望扰动的影响很大。
当系统温度T 很高时，使系统能量增加的扰动与使系统能量减少的扰动都有差不多的可能性。
但是，当系统温度变小时，吉布斯分布逐渐给低能量状态以较大的概率。
在极限情况T→0 时，吉布斯分布只允许向能量减小方向的扰动，系统进入基态。
基态相当于最规则的晶体状态。
但是，为了达到基态，系统必须慢慢冷却。
因为若冷却太快则可能形成非晶体状的亚稳态玻璃体。