非线性反演方法1
土体邓肯—张非线性弹性模型参数反演分析全
可编辑修改精选全文完整版土体邓肯—张非线性弹性模型参数反演分析近年来，随着科学技术的发展，经过精心设计的弹性模型和参数反演算法技术开始被广泛应用于土体力学中。
英国科学家邓肯（Duncan）和张（Zhang）的非线性弹性模型参数反演分析方法为土体力学研究奠定了坚实的理论基础。
线性弹性模型参数反演分析旨在研究土体的弹性本构模型，决土体的动态参数反演问题，从而更好地控制和解释土体力学行为。
首先，非线性弹性模型是一种普遍适用的土体力学模型，描述了土体的应力应变关系，其中包括受力弹性部分，恢复弹性部分和弹性非线性部分.述应力应变关系的函数可以用地质、浅层力学等参数表示。
其中包括材料参数，比如弹性模量、泊松比、抗拉强度极限等；空间参数，比如等效平面应力变化率等；时间参数，比如历史负荷重复次数等。
然后，非线性弹性参数反演分析是一种专门用于研究土体动态参数变化特性和土体弹性本构模型确定的非线性优化算法。
主要包括反演算法和参数估计算法。
演算法可以从提供的土体动态应力应变数据中恢复弹性本构参数的值，而参数估计算法则可以从实验测量数据中精确估计土体实际弹性参数的值。
此外，非线性弹性模型参数反演分析具有许多优点，到的结果有助于深入理解土体动态变化特性，有助于开发新的土体力学理论，有助于实现高精度的土体力学分析及模拟，为现有土体力学分析方法提供了更为准确的理论支撑。
最后，非线性弹性模型参数反演分析技术对土体力学研究有重要意义。
管技术刚刚起步，但有望在解决实际问题上发挥重要作用。
此，有必要加强相关技术的研究，加强详细计算，改进参数反演算法，并在非线性弹性本构分析的理论和实验研究方面进行深入挖掘，以及在实际工程中对该技术的实际应用。
综上所述，非线性弹性模型参数反演分析是一种新的、有效的土体力学分析方法，从理论和实践上都有重要意义，为土体力学研究和工程实践提供了有用的理论和技术支持。
非线性热传导方程的反演计算
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ４ — ２ ３ ２ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ３ ４ ７ — ０ ７
热传 导参数 反 演 问题 主要是 从 温度 场 的某些 观测 信息 来 获 取介 质 本 身 的热 传 导 的性 质 ， 即从 给定 集 合上 的解 来确 定热 传导 方程 的未 知 系数 ． 对 于反 系数 问题 （ 与位 置和温 度有 关 的热导 率 ｎ （ ， ｕ）的非 线
性 热传 导方 程反 演计 算 问题 ） ， 文献 ［ ２ — ４ ］ 对 热传 导方 程 的反演 计算 也进 行 了一些研 究 ， 在此 基础 上本 文对
一
些非 线性 热传 导方 程进 行 反演计 算 ， 从 而为 热传导 参数 的确 定提 供 了更 加 完善 的解决 方案 ．
１ 问题 模 型 离散 及 迭 代 格 式
３ ４ ８
杭州 师范 大学学 报 （ 自然科 学版 ）
２ Ｏ １ ３钲
（ ２）
对式（ ２ ） ， 在（
ａ Ｕ（ ｘ ， ｔ ｊ ｝ ）
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一
￡
≈
一
【 ， （ ， ｔ Ｊ ＋１ ）一 Ｕ （ ｘ ， Ｊ ）
第 １ ２卷 第 ４期
２ ０ １ ３年 ７月
杭 州师范 大学 学报 （ 自然 科学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
摘
要： 讨 论 非 线 性 热传 导 方 程 确 定 未 知 热 导 率 分 布 的 反 问 题 ． 由于热导率 与空 间和时 间有关 ， 先 将 非 线
第十五讲非线性反演
物理退火过程
物理退火过程 什么是退火： 退火是指将固体加热到足够高的温度，使分子呈随 机排列状态，然后逐步降温使之冷却，最后分子以 低能状态排列，固体达到某种稳定状态。
物理退火过程
物理退火过程 加温过程——增强粒子的热运动，消除系统原先可 能存在的非均匀态； 等温过程——对于与环境换热而温度不变的封闭系 统，系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向 进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态； 冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统 能量逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。
• 2) 解的非唯一性（Non-uniqueness）。如能求得能拟合 观测数据的地球物理模型，解是唯一的还是非唯一的？
• 3) 模型构制（Model Construction）。如何求得能拟和观 测数据的一个地球物理模型？
• 4) 解的评价（Appraisal） 。既然解是非唯一，地球物理 反演所获得的任一解又有何意义？
第七章 非线性反演
计算地球物理学讲义
非线性反演概论
• 地球物理学家研究地球所依据的物性参数不同，方法各异，但就 工作程序而言，一般都可分为数据采集，资料处理和反演解释等 三个阶段。
• 数据采集就是按照一定的观测系统、一定的测线、测网布置,在 现场获得第一手、真实可靠的原始资料。所以数据采集是地球物 理工作的基础，是获得高质量地质成果的前提和条件。
2、数学类
1) 贝叶斯法 (Bayesian Inversion)
2) 同伦算法 (Homotopy Algorithm)
3) 多尺度非线性反演法 (Multi-Scale Algorithm)
4) 蒙特卡罗法 (Monte-Carlo)
Matlab中的反演问题求解方法与实例分析
Matlab中的反演问题求解方法与实例分析导言在科学研究和工程实践中，反演问题是一种常见而重要的问题。
通过反演问题的求解，我们可以从已知的观测数据中推断出未知的参数或模型。
Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的反演问题求解方法。
本文将介绍几种常见的反演问题求解方法，并以实例分析的方式展示其应用。
一、线性反演问题求解方法在线性反演问题中，参数与观测数据之间的关系可以用线性方程组表示。
常见的线性反演问题求解方法有最小二乘法和广义逆方法。
最小二乘法是一种常见的线性反演问题求解方法。
其基本思想是最小化参数与观测值之间的误差的平方和。
通过构建最小二乘问题的目标函数，可以利用Matlab中的优化工具箱来求解最优解。
广义逆方法是另一种常见的线性反演问题求解方法。
广义逆矩阵是原矩阵的一种逆，并可以满足一些特定的性质。
通过求解广义逆问题，可以得到线性反演问题的解。
实例分析：假设我们有一组线性方程组Ax = b，其中A是一个已知的矩阵，b 是已知的向量。
我们希望求解线性方程组的解x。
在Matlab中，我们可以使用最小二乘法或广义逆方法来求解该线性反演问题。
二、非线性反演问题求解方法在非线性反演问题中，参数与观测数据之间的关系是非线性的。
常见的非线性反演问题求解方法有非线性最小二乘法和梯度方法。
非线性最小二乘法是一种常见的非线性反演问题求解方法。
其基本思想是最小化参数与观测值之间的误差的平方和，但参数与观测值之间的关系是非线性的。
通过构建非线性最小二乘问题的目标函数，可以利用Matlab中的优化工具箱来求解最优解。
梯度方法是另一种常见的非线性反演问题求解方法。
其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，以减小目标函数的值。
通过迭代的方式，可以逐步优化参数的值，使得参数与观测值之间的误差最小化。
实例分析：假设我们有一个非线性方程f(x) = 0，其中f是一个已知的非线性函数。
我们希望求解该方程的解x。
在Matlab中，我们可以使用非线性最小二乘法或梯度方法来求解该非线性反演问题。
一种土的非线性弹性本构模型参数的反演方法
精度 。从而为土的变形特性 分析 和土与其 中及 相邻结构 的共 同作用分析 ， 提供 了较好的土体本 构模型参数 的确定方法 。
关键 词 土 层 非 线 性 弹 性 本 构 模 型
中 图分 类 号 ： ３７ ０ ４
参 数 反演 组 合 优 化
文献 标 识 码 ： Ａ
ＢＡＣＫ —ＡＮＡＬＹＳ ＹＳ Ｍ ＥＴＨ ｏＤ ＦｏＲ ＰＡＲＡＭ ＥＴＥ ＥＬＡＳＴＩ Ｃｏ ＮＳ ＴＵＴＩ Ｃ ＴＩ ＶＥ ｏ ＤＥＬＳ Ｍｒｅ ａ ｔｃ ｃ ｎ ｔ ｕ ｉｅ ｍｏ ｅ ｆｌｅ ｓ ｓｒ ｔ ｍ． Ｔ ｅ ｒ ｓ ｌｓ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｏ ａ ｔｒｂ ｃ ｎ ｌ ｓｓ ｏ ｈ ｏ ｌｎ ａ ｌ ｓｉ ｏ ｓｉ ｔｖ ｄ ｌｏ ｏ ｓ ｔａｕ ｔ ｈ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｐｒ —
斯蒂庞克原理
斯蒂庞克原理斯蒂庞克原理（Stepping Stone Principle）是一种解决非线性反演问题的方法。
这种方法通常用于在没有直接解决非线性方程的方法的情况下，通过解决一系列线性方程来逼近解决非线性方程。
具体来说，斯蒂庞克原理是通过不断逼近解决非线性方程的解来解决非线性方程的。
这是通过不断地求解若干个线性方程来实现的。
每次求解线性方程时，都会得到一个更好的逼近解，最终通过这种方式得到非线性方程的解。
斯蒂庞克原理通常用于解决带有参数的非线性方程。
例如，假设有一个带有参数的非线性方程，它的形式为：f(x, p) = 0其中 x 是未知变量，p 是参数。
斯蒂庞克原理可以用来求解这个方程，即求出 x 和p 的值使得 f(x, p) 等于 0。
斯蒂庞克原理通常用于解决在解决非线性方程的过程中需要求解大量线性方程的情况。
它的优势在于求解线性方程的复杂度通常比求解非线性方程的复杂度低得多，因此在求解复继续，斯蒂庞克原理的具体步骤如下：确定初始猜测值：首先需要确定一组初始的猜测值 x0 和 p0。
这些值可以通过经验知识或其他方法得到。
求解线性方程：接下来，需要求解一个线性方程，其中 x 和 p 都是未知量。
这个线性方程的形式可以设定为：Ax + Bp = C其中 A、B 和C 是常数。
这个线性方程可以通过插值法、拉格朗日插值法或其他方法求解。
x0 = x1p0 = p1通过不断重复这些步骤，就可以逐渐逼近解决非线性方程的解。
需要注意的是，斯蒂庞克原理并不能保证一定能求出非线性方程的解，也不能保证求出的解一定是正确的。
因此，使用斯蒂庞克原理时需要谨慎。
土体邓肯—张非线性弹性模型参数反演分析
土体邓肯—张非线性弹性模型参数反演分析近年来，土体的力学性能研究得到了广泛的关注。
地基施工领域的应用特别多，在安全把控、运维监测、环境研究等方面都有重要的作用。
土体力学性能除了受到地质环境的影响，还受到应变能力和流变性能的影响。
其中最经典的力学模型是邓肯张非线性弹性模型，该模型是一个可以用于近似土体变形特性的典型模型，可以较好的拟合实验数据，有着重要的实用价值。
然而，模型参数的精确确定是对土体变形特性的有效描述，而传统的参数反演方法要求实验数据量过大，耗时长，难以实施。
本文针对上述问题，提出了一种新的土体邓肯张非线性弹性模型参数反演方法。
首先，根据若干份土体试件的实验数据，通过邓肯张非线性弹性模型画出土体的变形分布曲线，确定拟合精度。
随后，将邓肯张非线性弹性模型参数视为一个多元系统的解，利用光滑雅可比特征分析法，建立参数反演模型，实现参数估计。
最后，采用正交试验法，根据模型估计值，建立实验设计，以提高拟合精度，完成参数反演。
本文进行了三个实验，以模拟真实土体试验，以验证参数反演方法的有效性。
实验一是静载荷载荷压缩试验，实验二是多次加载荷压缩试验，实验三是恒定强度断裂试验。
实验研究结果表明，所提出的土体邓肯张非线性弹性模型参数反演方法可以有效拟合实验结果，具有较高的实用价值。
此外，本文探讨了参数反演的精度改进方法。
通过多次反复的参数反演，比较不同参数估计值，利用正交试验法，进一步提高参数反演的准确率，达到精确估计参数的目的。
以上是本文关于土体邓肯张非线性弹性模型参数反演分析的全部内容，本研究可以为进一步研究土体力学性能提供理论指导和实用工具，为地基施工及土体变形特性模拟提供有效的参考。
非线性反演算法探究
由于通 常情 况下 采集 的数据 多于模 型参数 ，因此 问题是超定 的 ，我们希 望对 目标 函数 求极 小 …
ｇ＝ｅｒｅ＝（ｄ－ｆ（ｍ）） （ｄ一 ｍ））
利用前述结果 ，可将求极小问题改写为：
ｇ＝ｅＴｅ＝（），一Ａｘ） （ｙ一 ）
２．１ Ｎｅｗｔｏｎ法 （线性 化方 法 ）
式（８）线性化后如式 （９）采用最小平方法．
由睾：
批 垡 ＝Ｏ，得 Ａ ＝Ａｒｙ． 最小 平方解 ：
在大多数我们所感兴趣的地球物理反演问题中，数据和模型参数是非线性相关的，是非线性的．众所周 知 ，非线性反演问题与线性反演问题是有严格 区别的，前者是不可逆的．目前 ，我们还不能建立 出非线性反 演问题 的严格或近似逆算子 ，现在对于非线性反演问题 的求解 ，首先是把它转化为一个非线性最优化 问题 ， 然后利用线性化迭代方法或 Ｍｏｎｅｔ Ｃａ ｒｌｏ方法求解．处理非线性问题 ，一般是将函数 ｍ）以 Ｔａｙｌｏｒ级数形式 在模型参数可能取值 的初始估计值进行展开 ，可将非线性问题转换为近似线性问题．
收稿 日期 ：２０１０—０８—１２． 作 者简介 ：王 岩 （１９６５～），男 ，吉林省长春市人 ，讲师 ，硕士
７６
吉 林 建 筑 工 程 学 院 学 报
第 ２８卷
即 ＝ （硝 ，ｍ０ ：，…， ）（ ：１，２，…，ｎ）．假定 ｍ）在 附近是线性的，则由Ｔａｙｌ。 定理得：
厂（ｍ）＝ （ｍ ＋ －，ｍ ０＋ ：，…， ＋ ）＝ （ｍ。）＋ ＋象ｍ：＋…＋ ＋高次项
从 而 有 ：
ｅ＝ｄ一 ｍ）＝量 ｙ ｄ一 ｍＤ）以表示实际数据和初始模型所求数据之差，将
这样 方 程 （６）可改写 为 ： 方程 （５）可写为 ：
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式中： f , a,b 为内积； ( t b ) 与 (
t b ) a
dadb a 2 (5.103)
是共轭，且
(5.104)
c
2 1 | ( ) | | | d
定义三： 在实际应用中，常用其离散形式，若令 a 2 j , b 2 j.i 则(5.101)式为二进制小波，可以表达为：
设函数ƒ(z)以z
=α为n级极点，则
当n=1时，就有 特别地，当式中φ(z)和ψ(z)都在
z=α处解析， ψ(z)以z =α为一级零点，φ(α)≠0，则
微层划分
反演问题的关键：将实测的 C ( ) 展成上面所示的连分 式形式。 微层划分原则：可以近似的把每层中的 E(, z) 和 E(, z) 看为随深度变化的线性函数。 则对K层有：E(, zk 1 ) E(, zk ) ( zk 1 zk )E(, zk ) E(, zk 1 ) E(, zk ) i0 k E(, zk ) 由一维介质中电磁波满足Helmholtz方程知：
主要内容
9.1尺度 尺度与分辨率 多尺度反演过程 9.2小波与尺度分析 小波与二进制小波 多尺度分析 9.3多尺度反演法 三个基本算子 三种实现方法
9.1 尺度
尺度：当我们以离散方式描述某一空间或时 间的函数时，均匀离散点之间的距离。 分辨率：单位距离内离散点的个数。 尺度越大，分辨率越低；尺度越小，分辨率越高。
C ( ) h1
1 i0 1 1 h2 1 i0 2 1 hM 1 1 i0 M 1
当 M
0
C ( ) h1
1 i0 1 1 h2 1 i0 2 1 hM 1
步
骤： 1 建立实测大地响应函数 C ( )
多尺度分解方法原理：数学显微镜，逐层求解 符号表达： Vj Wj 设光滑部分近似属于 空间，细节部分近似属 于 空间，若在基于上，则两空间正交互补。 (5.109)
Vj-1 =Vj Wj Vj+1 Wj+1 Wj
示意图：如右
9.3 多尺度反演法
反演基本算子操作过程： 第一个算子：反演问题分解（从小到大）为各尺度上的反 问题。 第二个算子：求取各尺度上反问题的解。 第三个算子：将稍大尺度上的解嵌入稍小尺度，并作为其 反问题求解的起始点。
带入上式得到： E(, zk 1 ) E(, zk ) i0 k E(, zk )
E(, zk ) i0 ( z) E(, zk )
连分式模型
根据定义： 假设 E(, zk ) E(, zk 1 ) 将上式代入有： Ck 1 ( ) hk
1 i0 1 1 h2 1 i0 2 1 h3
半纯函数
半纯函数是一种复变函数--即自变量和因变量都取 值复数， 也称亚纯函数。 半纯函数在定义域中的某些 点上没有定义，我们称这些点为极点。 函数在这些极 点附近的幂级数展开可写为(以单变量为例)罗朗展开式： f(z)=c_m/（z-a)^m+...+c_2/(z-a)^2+c_1/(z-a)+ c_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+......, 这里c_i和a_j都是常系 数， z=a是极点。 全纯函数是最简单的半纯函数，也称解析函数， 就是说它没有任何极点。 根据刘维尔定理，在紧致流 形上， 全纯函数只能是常值函数。 任何有理函数（即通过多项式加减乘除得到的函数） 都是半纯函数。
(5.106)
若设：
D2 j
i
f ,
ji
ji (t )
(5.107)
则分解等式可以写成：
f (t )
n
D
2n
n j 1 n
D2n
n j
D
2n
(5.108)
(5.108)第一项大尺度对应平滑部分，第二项小尺度对 应细节部分。 基于(5.108)式的分析方法称为尺度分析方法。
2 f ( t ) L ( R) 的函数，有 定义二：对于任一
Wf (a, b) f , a ,b | a |
1 2
t b f (t ) ( )dt a
(5.102)
为其小波变换。 其逆变换为
1 f (t ) c
Wf (a, b)a ,b (t )
留数(又称残数residue ) ，复变函数论中一个重要的概 念。解析函数 ƒ(z)在孤立奇点z =α处的洛朗展开式 (见 洛朗级数)中，(z－α)-1项的系数с-1称为ƒ(z)在z =α处的 留数,记作或Resƒ(α)。它等于，式中Г是以α为中心的充 分小的圆周。 留数的概念最早由 A.-L.柯西于1825年提出。由于 对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项(z-α)-1,因 此称为留数。它在很多问题上都有重要应用，如定积分 计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为 部分分式,将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近 估计等。
多尺度反演过程示意图：
Df ( f ) 大尺度（总体背景）全局极小 D f 1 ( f ) D f 2 ( f ) Pj 1 f 中尺度（背景）全局极小 Pj f D ( f ) P f f k j 1 Pj 2 f 小尺度（背景）全局极小 Pj k f
多尺度分解反演实现方法： 设地球物理线性反演问题的数据方程为： 第一种方法
M N N 1
G m= d
M 1
WGm Wd
第二种方法
Wd WGW Wm (W (WG) ) Wm
T T T
第三种方法
d GW Wm (WG ) Wm
T T T
加密插值：大尺度上的解作用于小尺度模型时，解的样点要进行加 密，主要方法有样点复制或线性插值法。
反演过程分析
采样点数 M 2 j，对应于尺度 2 j 。 当 j 1 时 ，M 2 ，为 反演2个数据（此时可以用线性反 演方法）的初始模型， G 为 2 N 阶。 当 j 2 时 ， 反演4个数据的初始模型， G 为 4 N 阶。 当 j 3 时 ， 反演8个数据的初始模型， G 为 8 N 阶。 以此类推: 直至最小的尺度，即最大采样率是的反演问题，这是 问题的解为最终解 。这里 N 为模型参数个数。
j 2 ( j Z ) ，则所对应的尺度为 2 j。 若分辨率为
优点
大尺度 （低波数）
缺点
分得散，搜索极值 极值点少，“全局 点容易 极小点”不一定是 真正全局极小点
小尺度 （大波数）
极值点多，全局极 无上一尺度的搜索 小点离真正全局极 结果指导则直接搜 小点较近 索较困难
多尺度反演：是把目标函数分解成不同尺度的分量，根 据不同尺度上目标函数的特征逐步搜索全局极小。 反演过程：根据上一级搜索到的背景“全局极小点”为起 点，在其附近搜索下一级尺度的“全局极小点”；不 断迭代缩小尺度至原始尺度，提高分辨率，找到真 正全局极小点。 优点：反演稳定，反演结果不受初始模型的影响；反 演不受局部极小困扰，收敛速度加快。
ij (t ) 2 j /2 (2 j t i)
(5.105)
二进制小波构成 L2 (R) 的一个正交基，利用 ij 可以 将在无穷大处衰减得充分快的任意函数 f (t ) 分解为：
f (t )
j i
f ,
ji
ji (t )
(i, j ) Z
2 利用最小方差原理求得其部分分式
an C ( j ) (a0 ) j 1 n 1 n i
M k 2
（或者求C(j ) 之极点和函数）
3 将部分分式展开成连分式，求得各微层厚度和电导率
精品课件！
精品课件！
谢
谢
响应函数
响应函数—阻抗 定义为：
Z ( ) E ( ) H ( )
E ( ) 1 Z ( ) E( ) i0
或导出： 为一半纯型函数 所以有部分分式结构： 写其成连分式为：
C ( )
C ( ) a0
an n 1 n i
k
C ( ) h1
连续小波 a,b (t ) 是基于仿射群
(
at b
，通过母小
t b ) 变换而得。 其表达式为： 波 a 1 t b 2 a ,b (t ) | a | ( ) a
(5.101)
b
a , b 的含义如下
a 尺度伸缩变量
|a|
1 2
位置平移变量 物理空间的实际位置
是归一化因子
Ck 1 ( ) C (, zk 1 ) E (, zk 1 ) E ( , zk 1 )
1 1 Ck ( )
i0 k
可以得到如下连分式：
C ( ) h1 1 i0 1 1 h2 1 1 i0 2 CM ( )
当 M
最小尺度（原始尺度）总体极小
9.2 小波与多尺度分析
小波产生的背景： 常规傅氏变换不能提取频域的局部特征，窗口傅氏变换 实现了时域局部化，但一旦函数 g(t-b) 选定，不能满足 高频和低频信号对窗口大小的不同要求。 定义一：称满足条件 2 1 | ( ) | | | d (5.100) 的函数 (t ) L2 ( R) 为小波函数或母小波。 式中 ( ) 是 (t ) 的傅氏变换。
反演对比结果分析
MSI和GI反演的比较
理论模型
理论 模型1
初始模型
初始 模型1 初始 模型2 初始 模型3
方法