反演原理及公式介绍
二项式反演
二项式反演概念二项式反演为一种反演形式，常用于通过“指定某若干个”求“恰好若干个”的问题。
注意：二项式反演虽然形式上和多步容斥极为相似，但它们并不等价，只是习惯上都称之为多步容斥。
引入既然形式和多步容斥相似，我们就从多步容斥讲起。
我们都知道：|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B||A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|，这其实就是容斥原理。
它的一般形式为：|A1∪A2∪...∪An|=∑1≤i≤n|Ai|−∑1≤i<j≤n|Ai∩Aj|+...+(−1)n−1×|A1∩A2∩...∩An||A1∪A2∪...∪An |=∑1≤i≤n|Ai|−∑1≤i<j≤n|Ai∩Aj|+...+(−1)n−1×|A1∩A2∩...∩An|证明：设某一元素被mm个集合所包含，则其对左侧的贡献为11；对右侧的贡献为∑i=1m(−1)i−1(mi)=−∑i=1m(−1)i(mi)=1−∑i=0m(−1)i(mi)=1−(1−1)m=1∑i=1m(−1)i−1(mi)=−∑i=1m(−1)i (mi)=1−∑i=0m(−1)i(mi)=1−(1−1)m=1。
故左侧等于右侧，证毕。
形式形式零沿用刚刚多步容斥的公式，记AciAic表示AiAi的补集，则将一般形式变形，可以得到：|Ac1∩Ac2∩...∩Acn|=|S|−∑1≤i≤n|Ai|+∑1≤i<j≤n|Ai∩Aj|−...+(−1)n×|A1∩A2∩...∩An||A1c∩A 2c∩...∩Anc|=|S|−∑1≤i≤n|Ai|+∑1≤i<j≤n|Ai∩Aj|−...+(−1)n×|A1∩A2∩...∩An|同时，由于补集的补集就是原集，因此又有：|A1∩A2∩...∩An|=|S|−∑1≤i≤n|Aci|+∑1≤i<j≤n|Aci∩Acj|−...+(−1)n×|Ac1∩Ac2∩...∩Acn||A1∩A2∩...∩An|=|S|−∑1≤i≤n|Aic|+∑1≤i<j≤n|Aic∩Ajc|−...+(−1)n×|A1c∩A2c∩...∩Anc|考虑一种特殊情况：多个集合的交集大小只和集合的数目有关。
地震反演方法概述
地震反演方法概述地震反演：由地震信息得到地质信息的过程；地震反射波法勘探的基础在于：地下不同地层存在波阻抗差异，当地震波传播有波阻抗差异的地层分界面时，会发生反射从而形成地震反射波。
地震反射波等于反射系数与地震子波的褶积，而某界面的法向入射反射系数就等于该界面上下介质的波阻抗差与波阻抗和之比。
也就是说，如果已知地下地层的波阻抗分布，我们可以得到地震反射波的分布，即地震反射剖面。
即由地层波阻抗剖面得到地震反射波剖面的过程称为地震波阻抗正演，反之，由地震反射剖面得到地层波阻抗剖面的过程称为地震波阻抗反演。
叠前反演主要是指AVO反演，通过AVO反演，可以获得全部的岩石参数，如：岩石密度、纵横波速度、纵横波阻抗、泊松比等。
叠前反演与叠后反演的根本区别在于叠前反演使用了未经叠加的地震资料。
多道叠加虽然能够改善资料的品质，提高信噪比，但是另一方面，叠加技术是以动校正后的地震反射振幅、波形等特征不随炮检距变化的假设为基础的。
实际上，来自同一反射点的地震反射振幅在不同炮检距上是不同的，并且反射波形也随炮检距的变化而发生变化。
这种地震反射振幅、波形特征随炮检距的变化关系很复杂，主要原因就在于不同炮检距的地震波经过的地层结构、弹性性质、岩性组合等许多方面都是不同的。
叠加破坏了真实的振幅关系，同时损失了横波信息。
叠前反演通过叠前地震信息随炮检距的变化特征，来揭示岩性和油气的关系。
叠前反演的理论基础是地震波的反射和透射理论。
理论上讲，利用反射振幅随入射角的变化规律可以实现全部岩性参数的反演，提取纵波速度、横波速度、纵横波速度比、岩石密度、泊松比、体积模量、剪切模量等参数。
叠后地震剖面相当于零炮检距的自激自收记录。
与叠前反演不同，叠后反演只能得到纵波阻抗。
虽然叠后反演与叠前反演相比有很多不足之处，但由于其技术方法成熟完备，到目前为止，叠后反演仍然是主流的反演类型，是储层预测的核心技术。
介绍几种叠后反演方法：1）道积分：利用叠后地震资料计算地层相对波阻抗（速度）的直接反演方法。
mobius反演公式运用复值函数
Mobius反演公式是复分析中的重要定理，它在复值函数的研究中发挥着至关重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨mobius反演公式在复值函数中的运用，以及其对复分析的重要性。
1. Mobius反演公式的定义和基本概念Mobius反演公式是指对于一个复值函数f(z)，如果我们知道了它的莫比乌斯变换g(z)，那么可以通过反演公式重新得出原函数f(z)。
具体来说，如果有一个函数F(s)和其Laplace变换f(t)，那么在s平面上，F(s)与f(t)是一一对应的。
而mobius反演公式则表明了，在s平面上的某点s0的邻域内，可以通过F(s)的逆变换得出f(t)在t0的邻域内的性质。
2. Mobius反演公式的应用举例在复分析的研究中，mobius反演公式有着广泛的应用。
在数论中，mobius反演公式被用来解决莫比乌斯函数的性质和一些相关问题。
在傅里叶分析中，mobius反演公式也被广泛应用，可以用于解决一些与复值函数相关的积分和级数问题。
在控制理论和信号处理领域，mobius反演公式也有着重要的应用，可以应用于解决一些复值函数的反问题和逆问题。
3. 我对Mobius反演公式的个人观点和理解在我看来，mobius反演公式是复分析中的一个非常重要的定理，它可以帮助我们更深入地理解复值函数的性质和行为。
通过mobius反演公式，我们可以在s平面和t平面之间建立起一种对偶关系，从而可以轻松地将复值函数在不同平面上进行来回的转换和分析。
mobius反演公式也为我们解决复值函数相关问题提供了一种非常便利和高效的方法，有助于我们更加全面和深入地理解复分析领域中的一些重要问题。
mobius反演公式在复值函数的研究中具有重要的地位和作用。
通过对mobius反演公式的深入探讨，我们可以更全面、深刻和灵活地理解复值函数的性质和相关问题。
希望本文对您理解mobius反演公式在复值函数中的运用有所帮助。
4. 深入探讨Mobius反演公式的数学原理和推导Mobius反演公式的数学原理可以通过复函数论和积分变换理论来进行深入探讨和推导。
地球物理学反演第三章广义反演法
x y
4 7
cond(A) 17.9443
x y
2 1
1 2
2 3
x y
4.001 7.001
x 1.999
y
1.001
1.001 2.001
2.001 3.001
x y
4 7
cond(A) 17.9603
x y
2.003 0.997
2. 特征值对观测数据的影响（正演）
2. G是M阶非对称、非奇异矩阵
G = UΛVT
U、V分别是GGT和GTG 对应的特 征向量组成的特征向量矩阵， 正交矩阵
Λ是GGT或GTG的特征值正根组成 的对角线矩阵
UTU = UUT = EM VTV = VVT = EN VTU UTV E
第二节 奇异值分解和自然逆
奇异值分解：SVD（singular value decomposition）
• 纯欠定 单位矩阵
非单位矩阵
• 超定 非单位矩阵
单位矩阵
• 混定 非单位矩阵
非单位矩阵
层析成像原理
CT (Computerized tomography) 技术
与地震层析成像技术
s(x)dl ti
Pi
地震ＣＴ
数据
天然地震 层析成像
混定情况
1 0 1 0
G=
0 0
1
0
1
2
2
0
2 0 0 2
•条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。
•对于线性方程组Ax=b， 如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。 它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。
cond ( A) A • A1 max
汉克尔变换的反演公式
汉克尔变换的反演公式汉克尔变换是一种在电磁学和地球物理学中广泛应用的积分变换方法，它的反演公式如下：如果F(x)是一个在区间[0,∞)上的函数，那么其汉克尔变换F^(h)(ω) 的反演公式为：F(x)=1/π∫_0^∞F^(h)(ω)* e^(-jωx) dω汉克尔变换的反演公式具有以下特点：1.线性性质：汉克尔变换具有线性性质，即对任意两个函数F(x) 和g(x)，它们的汉克尔变换满足F^(h)(ω)=F^(h)(ω) + g^(h)(ω)。
2.卷积性质：汉克尔变换具有卷积性质，即如果F(x) 和g(x)都是汉克尔变换的输入函数，那么它们的卷积F(x)* g(x) 的汉克尔变换等于F^(h)(ω)* g^(h)(ω)。
3.频率域分析：汉克尔变换将时域信号转换到频率域，可以帮助我们分析信号的频率成分和周期性。
4.适用场景：汉克尔变换广泛应用于电磁学、地球物理学、信号处理、通信等领域，例如在地震勘探、重力勘探、电法勘探等地球物理勘探中，汉克尔变换可以用于分析地下结构的性质和位置。
5.研究价值：汉克尔变换在理论研究和实际应用中具有重要意义，对于揭示复杂系统的内在规律、提高信号处理和通信技术的性能具有重要作用。
汉克尔变换在地球物理学中具有广泛的应用，以下是一些典型案例：1.地震勘探：地震勘探是地球物理学中的一种重要方法，通过分析地震波的传播特性，可以揭示地下结构的性质和位置。
汉克尔变换可以用于地震数据的处理和解释，例如在频率域分析中，通过汉克尔变换可以将地震信号转换为频率域，帮助分析地下结构的周期性和频率成分。
2.重力勘探：重力勘探是利用地球重力场观测数据来推断地下结构的一种方法。
汉克尔变换可以用于重力数据的处理和反演，例如在重力异常数据处理中，通过汉克尔变换可以提取地下结构的信息，从而推断地壳厚度、地下岩层位置等。
3.电法勘探：电法勘探是利用地下电性差异来推断地下结构的一种方法。
汉克尔变换可以用于电法数据的处理和反演，例如在电法数据处理中，通过汉克尔变换可以分析地下结构的电性分布，从而推断地下岩层的位置和性质。
ndvi在温度反演(lst)公式
ndvi在温度反演(lst)公式
温度反演（LST）是一种用于确定地表温度的技术，它可以通过一种被称为归一化差异植被指数（NDVI）的指标来实现。
NDVI是一种衡量植被生长和健康状况的指标，它基于植被对红外和可见光的反射率差异。
在温度反演中，NDVI被用作一个关键参数，以帮助推断地表温度。
NDVI的计算方法是通过测量地表的红外和可见光反射率来获得的。
这个指标可以用来反映植被的状况，因为植被通常具有较高的可见光反射率和较低的红外反射率。
因此，当植被生长得更好时，NDVI 值会增加。
NDVI与地表温度之间存在一种相反的关系。
当地表温度升高时，植被的生长和健康状况可能会受到影响，导致NDVI值下降。
相反，当地表温度下降时，植被的生长和健康状况可能会改善，导致NDVI 值增加。
基于NDVI和地表温度之间的这种关系，可以通过建立一个数学模型来进行温度反演。
该模型可以使用已知的NDVI值来推断地表温度。
这种方法可以在遥感技术中广泛应用，特别是在农业、环境和气候研究中。
通过NDVI在温度反演中的应用，我们可以更好地了解地表温度的变化趋势，并对植被生长和健康状况进行评估。
这对于农业管理、
环境监测和气候研究都具有重要意义。
NDVI在温度反演中起着重要的作用。
通过测量地表的红外和可见光反射率差异，NDVI可以帮助我们推断地表温度。
这种方法在农业、环境和气候研究中具有广泛的应用前景，为我们提供了更好地了解地表温度和植被状况的机会。
反演原理——精选推荐
第二章地震反演技术地震反射波法的基础是由于地下不同的地层存在着波阻抗的差异，从而形成了反射波法。
所以从本质上来讲，地震反演的目标就是根据已经获得的地震反射波形，以已知地质规律和钻井、测井资料为约束，对地下岩层空间结构和物理性质所进行的成像（求解），广义的地震反演包含了地震资料处理解释的整个内容。
波阻抗反演是利用地震资料反演地层波阻抗（或）速度的地震特殊处理解释技术。
与地震模式识别预测油气、神经网络预测地层参数、振幅拟合预测储层厚度等统计性方法相比，波阻抗反演具有明确的物理意义，是储层岩性预测、油藏特征描述的确定性方法，在实际应用中取得了明显的地质效果，因此地震反演通常特指波阻抗反演。
李庆忠院士指出：“波阻抗反演是高分辨率地震资料处理的最终表达方式”，说明了波阻抗反演在地震技术中的特殊地位。
地震数据的反演可以用图2.1所示的框图来概括（R.Brain，1993）。
最完善的反演方法是叠前反演，它分为振幅反演（如AVO分析，叠前波动方程波形反演等）和旅行时反演（常称层析法）。
然而，由于叠前反演信噪比低，稳定性差，分辨率低，正演模拟困难以及计算量大等原因，所以，叠后反演仍然是当前最常用的方法。
图2.1 地震反演方法概况示意图叠后地震道反演方法可分为：①递推反演，如D.W.Oldenoburg（1983）和C.Walker（1983）的最大熵（MED）及自回归（AR）方法，B.Ursin（1985）的最大似然反褶积（MLD）方法，vielle（1991）的贝叶斯估计反褶积（MED）；②广义线性反演（GLI），如 D.A.Cooke（1983）；③非线性约束反演（BCI），如B.Cornish （1988）的宽带约束反演（BCI）、S.Gluck（1989）的随机反演（ROVIN）、R.D.Martinez（1988）的多参数约束反演（包括BCI、WLI和LCI）。
根据反演结果的频带特性又可分为：①带限法（如GLI、合成声波测井）；②稀疏脉冲法（如MED、AR、MLD、BED方法等）；③模型法（如BCI、ROVIN、LCI、Strata和Jason 方法等）。
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数从时间域转换到频率域。
在工程学、物理学、数学和其他领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。
在这篇文章中，我们将探讨拉普拉斯变换的反演公式。
拉普拉斯变换的反演公式是指，如果我们知道一个函数的拉普拉斯变换，那么我们可以通过反演公式将其转换回时间域。
具体来说，如果我们有一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换为F(s)，那么反演公式可以表示为：
f(t) = (1/2πi) ∫γ [F(s) e^(st) ds]
其中，γ是一个逆时针围绕所有极点的曲线，i是虚数单位，e是自然对数的底数，s是复变量。
这个公式的意义是，我们可以通过对F(s)进行逆拉普拉斯变换，得到原始函数f(t)。
这个过程可以看作是将一个函数从频率域转换回时间域的过程。
需要注意的是，拉普拉斯变换的反演公式并不总是适用。
如果函数F(s)有无穷多个极点，或者它的极点不在γ内部，那么反演公式就不成立。
此外，如果F(s)的极点在γ上，那么反演公式也需要进行修正。
在实际应用中，我们通常会使用一些数值方法来计算拉普拉斯变换的反演。
这些方法包括数值逆拉普拉斯变换、快速逆拉普拉斯变换等。
这些方法可以帮助我们更快、更准确地计算反演公式。
拉普拉斯变换的反演公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们将一个函数从频率域转换回时间域。
在实际应用中，我们需要注意反演公式的适用条件，并使用适当的数值方法来计算反演。
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第一章反演理论第一节基本概念一．反演和正演1．反演反演是一个很广的概念，根据地震波场、地球自由振荡、交变电磁场、重力场以及热学等地球物理观测数据去推测地球内部的结构形态及物质成分，来定量计算各种有关的物理参数，这些都可以归结为反演问题。
在地震勘探中，反演的一个重要应用就是由地震记录得到波阻抗。
有反演，还有正演。
要正确理解反演问题，还要知道正演的概念。
2．正演正演和反演相反，它是对一个假设的地质模型，给定某些参数（如速度、层数、厚度）用理论关系式（数学模型）推导出某种可测量的量（如地震波）。
在地震勘探中，正演的一个重要应用就是制作合成地震记录。
3．例子考虑地球内部的温度分布，假定地球内部的温度随深度线性增加，其关系式可表示成：T(z)=a+bz正演：给定a和b，求不同深度z的对应温度T(z)反演：已经在不同点z测得T(z)，求a和b。
二．反演问题描述和公式表达的几个重要问题1．应用哪种参数化方式——离散的还是连续的？2．地球物理数据的性质是什么？观测中的误差是什么？3．问题能不能作为数学问题提出，如果能够，它是不是适定的？4．对问题有无物理约束？5．能获得什么类型的解，达到什么精度？要求得到近似解、解的范围、还是精确解？6．问题是线性的还是非线性的？7．问题是欠定的、超定的、还是适定的？8．什么是问题的最好解法？9．解的置信界限是什么？能否用其它方法来评价？第二节反演的数学基础一．解超定线性反问题1．简单线性回归可利用最小平方法确定参数a 、b 使误差的平方和最小。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑-∑∑∑-∑=-=∑∑-=22)()(x x n y x xy n b x b y n x b y a （1-2-1） 拟合公式为：bx a y+=ˆ （1-2-2） 该方法的公式原来只适用于解超定问题，但同样适用于欠定问题，当我们有多个参数时，称为多元回归，在地球物理领域广泛采用这种方法。
此过程用矩阵形式表示，则称为广义最小平方法矩阵方演。
2．非约束最小平方法反演——广义矩阵方法由前面讨论可知，参数估计的最小平方方法用矩阵公式表示，所得到的算法等价于一个或多个模型参数的一个或多个数据集反演，步骤为：问题定义→矩阵公式→最小平方解 线性问题采用广义矩阵形式d=Gm （1-2-3） 对于精确的数据模型，参数m 为m=G -1d （1-2-4）但是由于试验误差，实际数据将不能精确拟合获得，故采用最小平方法求解。
解的矩阵表示式为d G G G mT T 1][ˆ-= （1-2-5） 上式具体计算时可用奇异值分解方法 G=U ∧VT最后，得mˆ=（G T G ）-1G T d=V ∧-1U T d （1-2-6）二． 约束线性最小平方反演为了得到最合适的解，通常可在方程d=Gm 中加先验信息，进行约束反演。
约束方程为Dm=h （1-2-7）D 一般为只有对角线有值的矩阵，我们希望朝着j h 偏置j m 使得ϕ最小。
ϕ=（d-Gm ()Td-Gm ）+β2（Dm-h ()TDm-h ） （1-2-8）如果D 是单位矩阵，可以得到约束解c mˆ=（G TG+β2I ）1-（G Td+β2h ） （1-2-9）式中，β称为Lagrange 乘子。
三．解非线性反演问题 1．思路在实际工作中许多问题都是非线性的，而非线性问题求解通常比较复杂，这样就产生这样一个问题，给定一些非线性问题，而它们又不服从简单的线性变换，那么能否用通用的方法使我们可以用一些线性反演的方法来估算未知模型参数，并最终求得问题的解决呢？答案是肯定的。
2．初始模型和线性化 对于非线性问题d i =f i （m 1，m 2，…m p ）=f i （m ）， i=1，2，…n （1-2-10） 设m 0为初始模型，则其响应为 )(00m f d= （1-2-11）现假定f （m ）在m 0附近是线性的，从而关于m 0的模型响应的微小摄动可以用Taylor 级数展开为高次项+∂∂++∂∂+∂∂+∂∂+=++++=p pii i i i p p i m m f m m f m m f m m f m f m m m m m m m m f m f δδδδδδδδ 33221100303202101)(),,,()( 或简记为)||(|||)()()(21000m O m m m f m f m f p j j m m j i δ+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑δ∂∂+===实际情况要考虑噪声d=f （m ）+e （1-2-12）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑δ∂∂--=-===p j j m m j im m m f m f d m f d e 100.|)()()(0令y=d-f （m 0），m x m f A j ijδ=∂∂=,/，则有e=d-)(m f =y-Ax （1-2-13） e=y-Ax这样，非线性问题转化成线性问题，我们可以用线性的方法求出问题的解。
四、无约束非线性反演1．问题的公式化 目标函数：q=e Te=(d-f(m))T(d-f(m)) （1-2-14） 利用前述结果，上式改写为q=e Te=(y-Ax)T(y-Ax) （1-2-15）2．问题的解法：Gauss-Newton 法 对参数摄动的最小平方解 y A A A xT T 1)(-= （1-2-16）将摄动（x=δm ）应用于起始模型m 0，迭代公式如下：y A A A m mT T k k 11)(-++= (1-2-17)其中m k为Jacobian 矩阵A 的赋值。
3．Gauss-Newton 法的局限性当A TA 病态（本征值很小或近于0）时，计算的解会大到令人难以置信。
因此在实践当中，必须对m k做x 的微小校正。
4．最速下降（梯度）法初始模型仅在目标函数q 的负梯度方向予以校正，即 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=m q k x（1-2-18）其中k 是合适的常数，进一步推导可得 y A k m f d kA m f d Ak x T T T]2[))((2))}((2{=-=---= （1-2-19）以上方程中以[A TA]-1取代常数因子2k ，将变为方程1-2-16所定义的Gauss-Newton 法，k 值决定校正步长。
但以上方程并不含有任何逆矩阵，因此较Gauss-Newton 法具备更好的起始收敛特征。
最速下降法当采用最小平方解法时，其收敛速率将下降，因此不宜在实际反演中应用。
5．对非稳定性和非收敛性的补救办法当A TA 是病态时，为防止无界解的增大，Levenberg （1944）提出了一种阻尼最小平方的方法，该方法可在Taylor 近似的逐次应用过程中，阻滞参数摄动的绝对值。
Levenberg 建议应在A TA 的主对角线上加一个随意选取的正的权因子，并且要显示出当权因子相等时，q 2的剩余和的方向导数为最小。
这种想法以后为Maequardt （1963，1970）用来开发了一种非常有用的非线性算法。
该技术称为岭回归（Ridge Regression ）或Marquardt-Levenberg 方法，是地球物理领域最常见的一种反演算法。
就其本质来讲，实际上是Gauss-Newton 法和最速下降法之间的内插，一种成功地结合二者有用特性的混合技术。
五、约束反演：岭回归或Marquardt-Levenberg 法1．目标函数 )(2021L x x e e q q T T -β+=β+=ϕ （1-2-20）目的：误差和摄动量均取极小。
其中摄动量是新增的约束条件，从本质上讲，岭回归法实际上是约束非线性最小平方法。
β是Lagrange 乘子，可认为是阻尼因子。
如果β赋值近于0，则其解近似于Gauss-Newton 解。
2．问题的求解求解方法与非约束最小平方法相同，最终的解为： y A I A A x T T r1][-β+= （1-2-21）而后可将解x r 用于迭代过程 y A I A A m mT T k k 11][-+β++= （1-2-22）其中A 是k+1次迭代对m k求的值 ][13210r k r k r k r k r kx x x x x m m++++++=--- （1-2-23）岭回归法实际上是最速下降法和Gauss-Newton 法二者相结合的混合技术。
当初始模型与问题的解相差甚远时，最速下降法起主要作用；而当接近于最终解时，最小平方法起主要作用。
六．非线性偏置估计对一组既不完整又不准确的数据进行解释时，通常比较明智的做法是寻找一个和先验数据相一致的模型，这些先验数据可以是先前的地球物理研究数据，地质数据、测井数据，这些附加的先验信息可以帮助我们从不准确的实际数据得出的所有的解中求出最可信的一个，附有先验信息的反演问题可在一个统一的偏置估计框架内进行讨论。
此方法强调实际过程的简单有效，为清楚起见，在此种方法中将初始模型和先验信息加以区别。
1．理论基础偏置估计的理论很简单，其基本原理类似于约束线性最小平方反演方法。
特别的是除起始（或初始）模型m 0外引入了先验信息h 。
同时，用对角线加权矩阵W=σ-1I 来比例数据方程，使求解过程稳定。
2．应用先验信息的非线性反演为设有p 个参数，h 为先验数据，Dm=h 形式的约束方程可表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p p h h h m m m Dm 2121111 （1-2-24） 为使相邻物理参数之间的差异降至最小平滑度，需采取Twoney —Tikhonoy 平滑度措施。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=p p h h h m m m Dm 2121111111 （1-2-25） 我们的目的是要使m 偏向于h ，不妨将问题简单陈述为：给定一组有限的不准确的观测数据，在所有等效解中求其真解（考虑数据和模型误差）并使之与观测数据相吻合，且满足模型参数的可靠估计。
从数学意义来讲，上述问题就等效于对预测误差e Te 和最终解与特定约束的偏差极小 ])[(])[())(())((h Dm h Dm m Wf Wd m Wf Wd L T T -β-β+--=（1-2-26）如果f(m)是连续的并且可微，则可用Taylor 定理将其相对于初始模型m 0展开，从而给出方程(1-2-26)的线性近似]})([])({[)()(00h x m D h x m D WAx Wy WAx Wy L TT T -+ββ-++--=（1-2-27）令B=βTβ，展开上式，并将偏微分置0，最后得偏置解为 }]{)[(])[(01m h B Wy WA B WA WA x T T-++=- (1-2-28)迭代公式 }]{)[(])[(11k T T k k m h B Wy WA B WA WA m m-+++=-+ （1-2-29）如果先验信息有疑义（或不可信），那就需要将约束置为，即h=[0，0…，0]T，而且所有β的元素均置为相等的常数（0＜β＜１），这样所有的参数都具有相等的权重。