反演原理及公式介绍
组合数学第四章反演公式
k
ak
证明 取φn(x)=xn，ψn(x)=(x-1)n, 则由二项式定理
n
xn (x 1 1)n Cnk (x 1)k
k 0
n
( x 1)n Cnk (1)nk xk
k 0
(4.1.8)
第四章 反演公式
若设an与bn的指数生成函数为A(x)及B(x)，则由乘法公式
( x n 1)[x]n1 (x 1)[x]n1
n[x]n1
第四章 反演公式
展开多项式φ(x)=［x+y］n，并注意到
k (0) n(n 1)(n k 1)[ y]nk
可得二项式公式：
n n
[ x
y ]n
k 0
k
[x]k [ y]nk
第四章 反演公式 1.
令y为一常数，考虑多项式φ(x)=(x+y)n，
Pn(x)=xn (P0(x)=1, Pn(0)=0, n≥1) 这时，伴随族Pn(x)的微分算子就是通常的微商：
D(x) d
dx
φ(0)=yn Dφ(0)=nyn-1 D2φ(0)=n·(n-1)yn-2 … Dkφ(0)=n(n-1) …(n-k+1)yn-k
定义2 若算子D把多项式φ(x)映成一个多项式Dφ(x)，且满足
条件：
(1)
DPn
(
x)
nPn1(
x),
0,
若n≠0 若n=0
(2) D(λφ(x)+λφ′(x))=λDφ(x)+λDφ′(x)，λ为常数。 则称D为伴随多项式族Pn(x)(n=0, 1, …)的微分算子。
第四章 反演公式
数论17——反演定理（二项式反演）
数论17——反演定理（⼆项式反演）终于讲到反演定理了，反演定理这种东西记⼀下公式就好了，反正我是证明不出来的~(～o￣▽￣)～o⾸先，著名的反演公式我先简单的写⼀下o(￣ヘ￣*o)⽐如下⾯这个公式f(n) = g(1) + g(2) + g(3) + ... + g(n)如果你知道g(x)，蓝后你就可以知道f(n)了如果我知道f(x)，我想求g(n)怎么办这个时候，就有反演定理了反演定理可以轻松的把上⾯的公式变为g(n) = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n)当然，我写的只是个形式，怎么可能这么简单｡◕‿◕｡其实每⼀项再乘⼀个未知的函数就对了，但是这个函数我们不知道（不⽤担⼼，数学家已经帮我们解决了，我们直接⽤就可以了）反演公式登场( ＞ω＜)c和d是两个跟n和r有关的函数根据⽤法不同，c和d是不同的⼀般数学家会先随便弄c函数然后经过复杂的计算和证明，得到d函数然后公式就可以套⽤了正⽚开始⼆项式反演公式那个括号起来的就是组合数，我记得组合数那章我有说过⼆项式反演也就是记住这个公式就算结束了然后我们开始实战(/ω＼)容斥那章讲过的全错排（装错信封问题）hdu 1465设g(i)表⽰正好有i封信装错信封那么全部的C(n, i)*g(i)加起来正好就是所有装信的情况，总共n!种情况n! = Σ C(n, i)*g(i) (i从0到n)那么f(n) = n!，所以f(x) = x!那么我们要求g(n)根据公式g(n) = Σ (-1)^(n-i) * C(n, i) * f(i) (i从0到n)那么就可以计算啦~\(≧▽≦)/~AC代码：#include<cstdio>typedef long long LL;int n, flag;LL fac[25];LL ans;void init(){fac[0] = 1;for(int i = 1; i <= 20; i ++) fac[i] = fac[i-1] * i;}int main(){init();while(~scanf("%d", &n)){ans = 0;flag = n & 1 ? -1 : 1;//起始符号for(int i = 0; i <= n; i ++){ans += flag * fac[n] / fac[n-i];flag = -flag;}printf("%I64d\n", ans);}}View Code是不是很好⽤但是不容易想到T_T这也没有办法再来⼀题吧还是容斥那⼀章讲过的题⽬的UVALive 7040题意：给n盆花涂⾊，从m种颜⾊中选取k种颜⾊涂，保证正好⽤上k种颜⾊，你必须⽤上这k种颜⾊去涂满n个相邻的花，并且要求相邻花的颜⾊不同，求⽅案数。
反演规则求反函数
反演规则求反函数反演规则求反函数反函数是数学中常见的概念，反函数是函数的反转，它是一种特殊的函数，可以将函数的输入和输出反转。
换句话说，反函数就是将函数的x和y坐标反转。
在数学中，我们可以使用反演规则来求反函数。
一、定义反函数反函数是一种特殊的函数，也称为反对称函数，它是把原函数f(x)的输入和输出反转的函数。
反函数的定义是：如果函数f(x)的输入是x，输出是y，那么反函数的输入是y，输出是x，即：f^{-1}(y)=x。
例如，函数f(x)=2x+1的反函数就是f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}。
二、反演规则反演规则是求反函数的一种方法。
它的基本原理是：对于函数f(x)的反函数，则f^{-1}(y)=x，将函数f(x)的x和y坐标反转，即可求出反函数，即：f^{-1}(y)=x=f(x)。
反演规则求反函数的具体步骤如下：1、将函数f(x)的x和y坐标反转，变为新的函数y=f^{-1}(x)；2、移项，将y移至左边，即：f^{-1}(x)=y；3、将函数f^{-1}(x)中的x和y坐标反转，变为新的函数f^{-1}(y)=x；4、结论：此时反函数f^{-1}(y)的形式和原函数f(x)的形式一致，即反函数f^{-1}(y)=x=f(x)。
三、例题例1：求函数f(x)=2x+1的反函数。
解：根据反演规则，将函数f(x)的x和y坐标反转，变为新的函数y=f^{-1}(x)，即y=2x+1；移项，将y移至左边，即：f^{-1}(x)=y，即f^{-1}(x)=2x+1；将函数f^{-1}(x)中的x和y坐标反转，变为新的函数f^{-1}(y)=x；结论：此时反函数f^{-1}(y)=x=f(x)，即反函数f^{-1}(y)=2y+1。
例2：求函数f(x)=\frac{1}{x}的反函数。
解：根据反演规则，将函数f(x)的x和y坐标反转，变为新的函数y=f^{-1}(x)，即y=\frac{1}{x}；移项，将y移至左边，即：f^{-1}(x)=y，即f^{-1}(x)=\frac{1}{x}；将函数f^{-1}(x)中的x和y坐标反转，变为新的函数f^{-1}(y)=x；结论：此时反函数f^{-1}(y)=x=f(x)，即反函数f^{-1}(y)=\frac{1}{y}。
汉克尔变换的反演公式
汉克尔变换的反演公式汉克尔变换是一种在电磁学和地球物理学中广泛应用的积分变换方法，它的反演公式如下：如果F(x)是一个在区间[0,∞)上的函数，那么其汉克尔变换F^(h)(ω) 的反演公式为：F(x)=1/π∫_0^∞F^(h)(ω)* e^(-jωx) dω汉克尔变换的反演公式具有以下特点：1.线性性质：汉克尔变换具有线性性质，即对任意两个函数F(x) 和g(x)，它们的汉克尔变换满足F^(h)(ω)=F^(h)(ω) + g^(h)(ω)。
2.卷积性质：汉克尔变换具有卷积性质，即如果F(x) 和g(x)都是汉克尔变换的输入函数，那么它们的卷积F(x)* g(x) 的汉克尔变换等于F^(h)(ω)* g^(h)(ω)。
3.频率域分析：汉克尔变换将时域信号转换到频率域，可以帮助我们分析信号的频率成分和周期性。
4.适用场景：汉克尔变换广泛应用于电磁学、地球物理学、信号处理、通信等领域，例如在地震勘探、重力勘探、电法勘探等地球物理勘探中，汉克尔变换可以用于分析地下结构的性质和位置。
5.研究价值：汉克尔变换在理论研究和实际应用中具有重要意义，对于揭示复杂系统的内在规律、提高信号处理和通信技术的性能具有重要作用。
汉克尔变换在地球物理学中具有广泛的应用，以下是一些典型案例：1.地震勘探：地震勘探是地球物理学中的一种重要方法，通过分析地震波的传播特性，可以揭示地下结构的性质和位置。
汉克尔变换可以用于地震数据的处理和解释，例如在频率域分析中，通过汉克尔变换可以将地震信号转换为频率域，帮助分析地下结构的周期性和频率成分。
2.重力勘探：重力勘探是利用地球重力场观测数据来推断地下结构的一种方法。
汉克尔变换可以用于重力数据的处理和反演，例如在重力异常数据处理中，通过汉克尔变换可以提取地下结构的信息，从而推断地壳厚度、地下岩层位置等。
3.电法勘探：电法勘探是利用地下电性差异来推断地下结构的一种方法。
汉克尔变换可以用于电法数据的处理和反演，例如在电法数据处理中，通过汉克尔变换可以分析地下结构的电性分布，从而推断地下岩层的位置和性质。
反演律 解析
反演律解析反演律，又称逆否律，是数学、逻辑学、计算机科学等领域中的一个重要定律。
它指出了一个命题与其逆否命题等价，即如果一个命题为真，那么它的逆否命题也为真；反之，如果一个命题为假，那么它的逆否命题也为假。
反演律在各个领域中都有着广泛的应用，下面我们将分别介绍反演律在这些领域中的作用。
一、反演律的定义及作用反演律是指一个命题P与其逆否命题"非Q则非P"等价。
它是一种基本的推理规律，可以帮助我们更好地理解和分析各种命题之间的关系。
二、反演律在数学中的应用在数学中，反演律被用于证明许多重要的定理和公式。
例如，若a、b为实数，且a≠b，则有以下公式成立：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以通过反演律来证明这个公式。
首先，设P：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 为真命题。
那么，其逆否命题为："若a^2 + 2ab + b^2 ≠(a+b)^2，则a≠b"。
显然，这个逆否命题也是真命题。
因此，原命题P也是真命题，从而证明了上述公式成立。
三、反演律在逻辑推理中的应用在逻辑推理中，反演律被用于判断一个命题的真实性。
通过反演律，我们可以将一个复杂的命题转化为更容易判断的形式。
例如，若要判断命题P：所有学生都努力学习。
我们可以将其转化为逆否命题："若存在一个学生不努力学习，则不是所有学生都努力学习"。
这样，我们就可以通过观察是否存在不努力学习的student 来判断原命题的真假。
四、反演律在自然语言处理中的应用在自然语言处理中，反演律被用于分析语句之间的关系。
例如，在翻译过程中，我们需要判断一个英文句子是否等价于一个中文句子。
通过将英文句子转化为逆否命题，然后再与中文句子进行比较，我们可以更加准确地判断它们之间的等价关系。
五、反演律在计算机科学中的应用在计算机科学中，反演律被用于设计高效算法。
例如，在搜索算法中，我们通常需要判断一个数据是否满足某个条件。
组合数学第四章反演公式
k 0
k 0
(4.1.6)
证明 记列向量
( x) {k ( x)}nk0, ( x) { k ( x)}nk0
第四章 反演公式
命题1 对于多项式的每个正规族Pn，恰存在一个微分算子。
证明 易证每个n次多项式φn(x)都可以唯一地表示为
n ( x) ak Pk ( x) anPn ( x) an P 1 n1( x) a0P0 ( x)
0k n
其中an, an-1, …, a0是常数。事实上，取an为φn(x)中xn的系数除以 Pn(x)中xn的系数所得的商，则φn-1(x)=φn(x)-anPn(x)至多是n-1次的， 再取an-1为φn-1(x)中xn-1的系数除以Pn-1(x)中xn-1的系数所得的商， 接着考虑
( x n 1)[x]n1 (x 1)[x]n1
n[x]n1
第四章 反演公式
展开多项式φ(x)=［x+y］n，并注意到
k (0) n(n 1)(n k 1)[ y]nk
可得二项式公式：
n n
[ x
y ]n
k 0
k
[x]k [ y]nk
Pn ( x) [x]n x( x 1)( x 2)( x n 1) (Pn(0), n≥1)
的Taylor公式。由
(x) (x) (x 1)
定义的（向后差分）算子 , 就是伴随多项式族Pn(x)=［x］n
的微分算子，因为
[x]n [x]n [x 1]n
第四章 反演公式
使用［x］n的Taylor公式展开φ(x)=［x+y］n， Δkφ(0)=n(n-1) …(n-k+1)［y］n-k
工程数学反演公式
工程数学反演公式
反演公式是一种数学技巧，用于求解满足某种关系的两个序列的元素。
具体来说，如果序列F(n)和f(n)之间满足关系Fi=α(i)f(i)，那么我们可以通过反演公式求得f(i)=β(i)F(i)。
例如，莫比乌斯反演公式是一种常用的反演公式，它涉及到莫比乌斯函数。
这个函数有三种取值：
如果ai≥2且k mod 2=0，那么μ(x)=0。
如果k mod 2≠0，那么μ(x)=−1。
如果x=1，那么μ(x)=1。
如果F(n)=∑dnf(d)，那么可以使用莫比乌斯反演公式来求解f(n)。
具体来说，令S(x)=∑ixxμ(i)，其中x=p1a1p2a2...pkak，t=p1b1p2b2...pkbk，0≤bi≤ai。
对于任意一个含有大于2的指数的约数，我们可以不考虑，因为它对S(x)无影响。
于是就有S(x)=Ck0(−1)0+Ck1(−1)1+...+Ckk(−1)k。
根据二项式定理，可以得到S(x)=(1−1)k=0。
如果F(n)=∑dnf(d)，则可以使用反演公式f(n)=∑dnμ(d)F(nd)来求解f(n)。
以上信息仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学类书籍或咨询数学专业人士。
逻辑运算反演律公式
逻辑运算反演律公式是逻辑学中的一种基本公式，它描述了在逻辑运算中，当两个命题进行逻辑运算后，如果将结果再次进行逻辑运算，就可以得到原来的命题。
本文将详细介绍逻辑运算反演律公式，以及其在现实生活中的应用。
一、逻辑运算反演律公式的定义逻辑运算反演律公式是指，在逻辑运算中，当两个命题进行逻辑运算后，如果将结果再次进行逻辑运算，就可以得到原来的命题。
具体公式如下：(A ∧ B) ∨ C ≡ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)其中，符号“∧”表示逻辑与运算，符号“∨”表示逻辑或运算。
二、逻辑运算反演律公式的应用逻辑运算反演律公式在现实生活中有着广泛的应用。
以下是几个实例：1. 电视购物在电视购物中，商家常常会使用逻辑运算反演律公式来进行促销。
例如，商家可能会说：“如果您购买了我们的产品，您就可以获得免费的礼品；如果您不购买我们的产品，您就会错过这个机会。
”这就是利用逻辑运算反演律公式，将“购买产品”和“获得礼品”进行逻辑运算，得到“不购买产品”和“错过机会”的结论，从而促使消费者购买产品。
2. 谈判在谈判中，双方常常会使用逻辑运算反演律公式来进行策略制定。
例如，一方可能会说：“如果你不同意我的要求，我们就只能继续互相攻击；如果你同意我的要求，我们就可以和平共处。
”这就是利用逻辑运算反演律公式，将“同意要求”和“和平共处”进行逻辑运算，得到“不同意要求”和“互相攻击”的结论，从而促使对方同意要求。
3. 科学研究在科学研究中，逻辑运算反演律公式也有着广泛的应用。
例如，在研究变量之间的关系时，研究者常常会使用逻辑运算反演律公式来推导出变量之间的关系。
例如，研究者可能会说：“如果A和B之间存在关系，那么A的变化会引起B的变化；如果A的变化不会引起B的变化，那么A和B之间就不存在关系。
”这就是利用逻辑运算反演律公式，将“存在关系”和“变化引起”进行逻辑运算，得到“不存在关系”和“变化不引起”的结论，从而推导出变量之间的关系。
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第一章反演理论
第一节基本概念
一．反演和正演
1．反演
反演是一个很广的概念，根据地震波场、地球自由振荡、交变电磁场、重力场以及热学等地球物理观测数据去推测地球内部的结构形态及物质成分，来定量计算各种有关的物理参数，这些都可以归结为反演问题。
在地震勘探中，反演的一个重要应用就是由地震记录得到波阻抗。
有反演，还有正演。
要正确理解反演问题，还要知道正演的概念。
2．正演
正演和反演相反，它是对一个假设的地质模型，给定某些参数（如速度、层数、厚度）用理论关系式（数学模型）推导出某种可测量的量（如地震波）。
在地震勘探中，正演的一个重要应用就是制作合成地震记录。
3．例子
考虑地球内部的温度分布，假定地球内部的温度随深度线性增加，其关系式可表示成：T(z)=a+bz
正演：给定a和b，求不同深度z的对应温度T(z)
反演：已经在不同点z测得T(z)，求a和b。
二．反演问题描述和公式表达的几个重要问题
1．应用哪种参数化方式——离散的还是连续的？
2．地球物理数据的性质是什么？观测中的误差是什么？
3．问题能不能作为数学问题提出，如果能够，它是不是适定的？
4．对问题有无物理约束？
5．能获得什么类型的解，达到什么精度？要求得到近似解、解的范围、还是精确解？
6．问题是线性的还是非线性的？
7．问题是欠定的、超定的、还是适定的？
8．什么是问题的最好解法？
9．解的置信界限是什么？能否用其它方法来评价？
第二节反演的数学基础
一．解超定线性反问题
1．简单线性回归
可利用最小平方法确定参数a、b使误差的平方和最小。
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∑-∑∑∑-∑=-=∑∑-=22)()(x x n y x xy
n b x b y n x b y a （1-2-1） 拟合公式为：
bx a y
+=ˆ （1-2-2） 该方法的公式原来只适用于解超定问题，但同样适用于欠定问题，当我们有多个参数时，称为多元回归，在地球物理领域广泛采用这种方法。
此过程用矩阵形式表示，则称为广义最小平方法矩阵方演。
2．非约束最小平方法反演——广义矩阵方法
由前面讨论可知，参数估计的最小平方方法用矩阵公式表示，所得到的算法等价于一个或多个模型参数的一个或多个数据集反演，步骤为：
问题定义→矩阵公式→最小平方解
线性问题采用广义矩阵形式
d=Gm （1-2-3）
对于精确的数据模型，参数m 为
m=G -1d （1-2-4）
但是由于试验误差，实际数据将不能精确拟合获得，故采用最小平方法求解。
解的矩阵表示式为
d G G G m
T T 1][ˆ-= （1-2-5） 上式具体计算时可用奇异值分解方法 G=U ∧V
T 最后，得
m
ˆ=（G T G ）-1G T d=V ∧-1U T d （1-2-6） 二． 约束线性最小平方反演
为了得到最合适的解，通常可在方程d=Gm 中加先验信息，进行约束反演。
约束方程为
Dm=h （1-2-7）
D 一般为只有对角线有值的矩阵，我们希望朝着j h 偏置j m 使得ϕ最小。
ϕ=（d-Gm ()T d-Gm ）+β2（Dm-h ()T
Dm-h ） （1-2-8）
如果D 是单位矩阵，可以得到约束解 c m ˆ=（G T G+β2I ）1-（G T
d+β2h ） （1-2-9） 式中，β称为Lagrange 乘子。
三．解非线性反演问题
1．思路
在实际工作中许多问题都是非线性的，而非线性问题求解通常比较复杂，这样就产生这样一个问题，给定一些非线性问题，而它们又不服从简单的线性变换，那么能否用通用的方法使我们可以用一些线性反演的方法来估算未知模型参数，并最终求得问题的解决呢？答案是肯定的。
2．初始模型和线性化
对于非线性问题
d i =f i （m 1，m 2，…m p ）=f i （m ）， i=1，2，…n （1-2-10）
设m 0为初始模型，则其响应为
)(00m f d
= （1-2-11） 现假定f （m ）在m 0附近是线性的，从而关于m 0的模型响应的微小摄动可以用Taylor 级
数展开为
或简记为
实际情况要考虑噪声
d=f （m ）+e （1-2-12）
令y=d-f （m 0），m x m f A j ij δ=∂∂=,/，则有
e=d-)(m f =y-Ax （1-2-13）
e=y-Ax
这样，非线性问题转化成线性问题，我们可以用线性的方法求出问题的解。
四、无约束非线性反演
1．问题的公式化
目标函数：。