10.1.2垂线
5.1.2垂线课件教学资料
的所有线垂段线中(c，hu垂í线xià段n)最短。
简单说成：垂段线最段短最短．
直线外一点(yī diǎn)到这条直垂线线的段垂的线长段度的长
度，叫做点到直线的距离。
第二十九页，共36页。
线段AB⊥直线(zhíxiàn)CD，如图，垂足为B，我们就 把线段AB叫做点A到直线(zhíxiàn)CD的垂线段。
又∴∵∠∠BO2=C=∠910°（垂（直已的知定）义）B
）1
2 D
C
∴∠2=60° （等量代换
∴∠BOD=30）°（互余的定义
(dìngyì)） 第十八页，共36页。
二、垂线的画法
探究(tànjiū)： ①用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线， 这样的垂线能画出几条？
②经过直线l上一点(yī diǎn)A画 l 的垂线， 这样的垂线能画出几条？
则OE与AB的位置关系是_____垂__直____
(chuízh
解：
í)
C
∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）
A 1O
B ∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2 ＝ 180°－35°－55°
2
＝90°
E
D
∴OE⊥AB (垂直(chuízhí)的 定义)
第十六页，共36页。
练习(liànxí)： 1. 如图，直线AB、CD相交(xiāngjiāo)于 点O，OE⊥AB，∠1=125°,求∠COE的度 数.
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
第二十页，共36页。
垂线(chuíxiàn)的画
法如：图，已知直线 l 和l上的一点(yī diǎn)A ,作l
工程测量变形测量
工程测量变形测量10变形监测10.1一般规定10.1.1本章适用于工业与民用建(构)筑物、建筑场地、地基基础、水工建筑物、地下工程建(构)筑物、桥梁、滑坡、核电厂等的变形监测。
10.1.2重要的工程建(构)筑物，在工程设计时，应对变形监测的内容和范围做出要求，并应由有关单位制订变形监测技术设计方案。
首次观测宜获取监测体初始状态的观测数据。
10.1.3变形监测的等级划分及精度要求应符合表10.1.3的规定。
10.1.4变形监测网的点位的构成宜包括基准点、工作基点和变形观测点，点位布设应符合下列规定：1基准点应选在变形影响区域之外稳固的位置；每个工程至少应有3个基准点；大型工程项目，水平位移基准点应采用带有强制归心装置的观测墩，垂直位移基准点宜采用双金属标或钢管标；2工作基点应选在比较稳定且方便使用的位置；设立在大型工程施工区域内的水平位移监测工作基点宜采用带有强制归心装置的观测墩，垂直位移监测工作基点可采用钢管标；对通视条件好的小型工程，可不设立工作基点，可在基准点上直接测定变形观测点；3变形观测点应设立在能反映监测体变形特征的位置或监测断面上，监测断面应分为关键断面、重要断面和一般断面。
需要时，还应埋设应力、应变传感器。
10.1.5监测基准网应由基准点和部分工作基点构成。
监测基准网应每半年复测一次；当对变形监测成果产生怀疑时，应随时检核监测基准网。
10.1.6变形监测网应由部分基准点、工作基点和变形观测点构成。
监测周期应根据监测体的变形特征、变形速率、观测精度和工程地质条件等因素综合确定。
监测期间应根据变形量的变化情况调整。
10.1.7首期监测应进行两次独立测量，之后各期的变形监测宜符合下列规定：1宜采用相同的图形(观测路线)和观测方法；2宜使用同一仪器和设备；3观测人员宜相对固定；4宜记录工况及相关环境因素，包括荷载、温度、降水、水位等；5宜采用同一基准处理数据。
10.1.8变形监测作业前，应收集相关水文地质、岩土工程资料和设计图纸，并应根据岩土工程地质条件、工程类型、工程规模、基础埋深、建筑结构和施工方法等因素，进行变形监测方案设计。
沪科版版七年级数学第10章_相交线、平行线与平移_教案
七年级数学导学案 课题：10.1.1 相交线教学目标：1、经历探究对顶角、邻补角的位置关系的过程；2、了解对顶角、邻补角的概念；3、知道“对顶角相等”并会运用它进行简单的说理。
重点难点：2、对顶角、邻补角的概念和“对顶角相等”是重点；正确区别互为邻补角与互为补角和运用“对顶角相等”说理是难点。
教学过程：一、情景导入1、下图是一段铁路桥梁的侧面图，找出图中的相交线、平行线。
“米”字形中的线段都相交，“米”字形中间的线段都平行，等等。
相交线和平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用。
我们将在前一章的基础上，进一步研究直线间的位置关系，同时还要介绍一些有关推理证明的常识，为后面的学习做些准备。
二、邻补角和对顶角2、下面是一把剪刀，你能联想到什么几何图形？两条直线相交，如图。
上图中两条相交直线形成的四个角中，两两相配共能组成六对角，即: ∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4、∠2和∠3、∠2和∠4、∠3和∠4。
量一量各个角的度数，你能将上面的六对角分类吗？可分为两类：∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4为一类，它们的和是1800；∠1和∠3、∠2和∠4为二类，它们相等。
第一类角有什么共同的特征？一条边公共，另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
讨论：邻补角与补角有什么关系？邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关。
第二类角有什么共同的特征?有公共的顶点，两边互为反向延长线。
具有这种位置关系的角，互为对顶角。
思考：下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔 〕A B C D注意：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。
三、对顶角的性质在用剪刀剪布片的过程中，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开布片。
在这过程中，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角有什么关系？为了回答这个问题，我们先来研究下面的问题。
10.1.2垂线课件ppt沪科版七年级下
注意：
1.如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线 、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直 。 2.掌握如下的推理过程：（如下图）
AB CD(已知）， AOC COB BOD AOD 90(垂直定义） .
反之，
AOC 90(已知） AB CD(垂直定义）
A
C
O
B
D
练习1
下列语句中，（1）两条直线相交成四个角， 如果有两个角相同，那么两条直线垂直；（2）两 条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那 么两条直线垂直；（3）两条直线相交，其中一组 对顶角互补，那么这两条直线垂直；（4）两条直 线垂直，则所成的四个角都是直角。 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（一）垂线的定义
当两条直线相交的四个角中，有一个角 是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其 中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交 点叫做垂足。 如图，直线AB、CD互相垂直，记 作
AB CD常生活中，两条直线互相垂直的情形 很常见，如下图所示，你能再举出其他 例子吗？
A O C
B
小结:
通过这节课的学习，你有 哪些收获?
课堂作业：
必做题 习题10.1 练习3 选做题 如下图，直线AB、CD相交于点O,
F D
OE CD, OF AB, DOF 65, 求 BOE和AOC的度数。
A O
B C E
家庭作业：基础训练同步
练习2
下列说法正确的个数有（ ）个：（1）两 条相交直线垂直；（2）同一个平面内两 条互相垂直的直线一定相交；（3）两条 垂直直线的公共点叫垂足 A 、0 B、1 C、 2 D、3
5.1.2垂线ppt课件
THANKS
感谢观看
详细描述
首先，确定给定的点和平行线。然后，选择一个与该平面垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的直线，即为所求的垂线 。
过一点作已知直线的垂面
总结词
通过给定的点，使用三维几何的知识，可以作出已知直线的垂面。
详细描述
首先，确定给定的点和已知直线。然后，选择一个与该直线垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的平面，即为所求的垂面。
总结词
通过给定的点，使用直角三角形的性质，可以作出已知直线 的垂线。
详细描述
首先，将给定的点和已知直线连接，形成一个直线段。然后 ，以该点为顶点，直角三角形的直角边与已知直线重合，构 造一个直角三角形。最后，沿着直角三角形的斜边进行延长 ，即可得到过该点的垂线。
过一点作已知平面的垂线
总结词
通过给定的点，使用空间几何的性质，可以作出已知平面的垂线。
机械制造应用
在机械制造中，垂线是确 定机器部件位置和方向的 重要依据。
数学应用
在数学中，垂线是解决几 何问题的重要工具，如求 点到直线的距离、确定直 线的位置等。
02
垂线的判定
直线与直线垂直的判定
判定定理
空间中的垂直关系
两条直线所成的角为直角，则这两条 直线垂直。
如果两条直线所成的角为直角，则它 们垂直。
这个平面垂直。
平面与平面垂直的判定
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
推论
如果一个平面内的无数条直线都与另一个平面垂 直，那么这两个平面垂直。
空间中的垂直关系
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
【北师大版】数学七年级下册：2.1.2《垂线》ppt课件
认识垂线及其性质的三点注意
(1)线段和射线都有垂线. (2)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数值，而垂线段是 一个图形，对此要分清楚. (3)在实际问题中，确定路径最短或最短距离问题时，首先将实 际问题转化成数学问题，再作出垂线，并求出具体数值.
Байду номын сангаас
1、在奥运会的跳远比赛中，裁判员在测量运动员的跳远成绩时 ，拉紧的皮尺与起跳线有什么关系？这样做的依据是什么？ 2、已知直线L外一点P,则点P到直线L的距离是指( ) (A)点P到直线L的垂线的长度 (B)点P到直线L的垂线 (C)点P到直线L的垂线段的长度 (D)点P到直线L的垂线段
5.下列时刻中,时针与分针互相垂直的是( )
(A)2点20分
(B)3点整
(C)12点10分
(D)5点40分
6.如图，a代表水面，b代表三名奥运选手从十米跳台入水示
意图,比赛结果，图(1)水花最小，得分最高，由此我们可得
出结论，当入水轨迹与水面________时，溅起的水花最小，
得分最高.
7.如图，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°， 求∠DOF，∠BOF的度数.
3.如图，AB丄BD于点B，CD丄BD于点D，则∠ABD=________， ∠CDB=_________.
4.如图所示，A，D是直线m1上的两点，B，C是直线m2上的两点， 且AB⊥BC，CD⊥AD. (1)点A到直线m2的距离是________. (2)点C到直线m1的距离是________. (3)点C到点A的距离是________.
【预习思考】 在奥运会的跳远比赛中，裁判员在测量运动员的跳远成绩时， 拉紧的皮尺与起跳线有什么关系？这样做的依据是什么？ 提示：垂直.因为直线外一点到这条直线的垂线段的长度才是 点到直线的距离.
10.1.2垂线的概念
E
C
F
12
A
O
B
小结：
1、垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条 直线的垂线，它们的交点叫垂足。
2、垂线的画法
1靠（线）；2过（点）；3画（线）
3、垂线的性质（1）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
l
2画 （线）、
无数条
1.垂线的画法：
如图，过直线 l 上的一点A ,作l的垂线.
问题：这
B
样画L的垂
则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线.
线可以画
几条？ 1条
A
l
1靠（线）:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
2过（点）:移动三角板到已知点;
3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1.垂线的画法：
如图，过直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
问请题同：学这们 样画画一L的下垂
线可以画 几条？
A
则所画直线AB是过点
A的直线l的垂线.
B
l
1条
1靠（线）:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
2过（点）:移动三角板到已知点;
3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
总结：
根据以上的操作，你能得出什么结论？ 基本事实（垂线的性质1）：
练习：
如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
若∠1＝35°, ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系
是 OE⊥AB .
C
联想数学
A
1O
B
2
D E
切记：要说明垂直必先想到直角（90°）
如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数C. E
北师大版七年级下册(新)第一章《2.1.2垂线》教案
3.培养学生的数学抽象和数学建模能力，让学生通过垂线的概念学习，掌握在复杂问题中抽象出数学模型的方法；
4.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论和互动，分享垂线作图技巧和解决问题的思路，增强团队协作意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-垂线的定义及其性质：理解垂线与直线的垂直关系，掌握垂线的性质，如垂线与直线交角为90度。
-理解并运用垂线的性质：学生需要从直观上理解垂线与直线垂直的概念，并将其抽象到理论层面。
-准确作图：掌握尺规作图技巧，准确无误地作出垂线，对学生的动手能力有一定要求。
-解决实际问题中的垂线应用：将垂线性质应用到具体问题中，如计算点到直线的距离，需要学生具备一定的抽象思维和数学建模能力。
-识别几何图形中的垂线：在复杂的几何图形中，识别并运用垂线，需要学生对几何图形有较强的观察和分析能力。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂线的定义、性质、作图方法以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对垂线的概念和性质的理解存在一些困难。在讲解垂线的定义时，虽然我通过实物演示和动态图示来帮助学生直观理解，但仍有部分学生难以将这个概念内化。我意识到，对于这类几何概念的教学，需要更多的实际操作和互动环节，让学生在动手实践中感受垂线的特性。
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10.1.2 垂线
教学目标：
知识与技能：1.理解垂线与垂线段的概念；
2、理解垂线的性质
3、会用三角尺或量角器过一点画一条直线垂直于已知直线。
过程与方法：经历观察、操作、想象、归纳概括交流等活动，培养学生画图能力，进一步发展空间观念及几何语言的准确表达能力。
情感态度与价值观：通过相交线，垂线体现出一般与特殊关系，培养学生辩证唯物主义思想。
重点难点：
重点：垂线的概念、性质和画法；
难点：点到直线距离的概念及其简单应用。
教学过程：
一、情景导入
取两根木条a 、b ，将它们钉在一起，固定木条a ，转动木条b 。
当b 的位置变化时，a 、 b 所成的角α是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a 与b 是什么位置关系？
有，当α＝900时；垂直。
二、垂线
显然，垂直是相交的一种特殊情形，即两条直线相交成900的情况。
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线AB 垂直于直线CD ，记作AB ⊥CD,垂足为O 。
你能再举一些其它的例子吗？
思考：下面所叙述的两条直线是否垂直？
①两条直线相交所成的四个角相等;
②两条直线相交,有一组邻补角相等;
③两条直线相交,对顶角互补.
①②③都是垂直的。
三、垂线的性质1
探究: 让学生用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线.
(1)画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线l 上的一点A 画l 的垂线,这样的垂线能画几条?
(3)经过直线l 外的一点B 画l 的垂线,这样的垂线能画几条?
O B
A C
D
由画图可知：(1)可以画无数条； (2)可以画一条； (3)可以画一条。
这就是说，经过直线上或直线外一点，可以画一条垂线，并且只能画一条垂线，即： 性质1 过一点有且只有．．．．
一条直线与已知直线垂直。
注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。
四、垂线的性质2
在黑板上固定木条l, l 外一点P ,木条a 一端固定在点P ，使之与l 相交于点A 。
l
P
a A
左右摆动木条a, l 与a 的交点A 随之变动,线段PA 的长度也随之变化，a 与l 的位置关系怎样时，PA 最短?
a 与l 垂直时，PA 最短。
这时的线段PA 叫做垂线段。
画出PA 在摆动过程中的几个位置，如图，点A 1、A 2、A 3……在l 上,连接PA 1、PA 2、PA 3……，P O ⊥ l ，垂足为O ，用叠合法或度量法比较PO 、PA 1、PA 2、PA 3……的长短，可知垂线段PO 最短。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短, 简单说成:
垂线段最短.
五、点到直线的距离
我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，P O 就是点P 到直线l 的距离。
注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离。
三、课堂练习
1、判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.
(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.
(2)如图,线段AE 是点A 到直线BC 的距离.
(3)如图,线段CD 的长是点C 到直线AB 的距离.
E D
C B
A
六、课堂小结
本节课你有什么收获？
七、作业：
状元成才路
八、课后反思 l
P
O A 2 A 1 … A 3。