第八章几何非线性问题的有限元法
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
非线性有限元分析报告
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
工程力学中的非线性分析方法有哪些？
工程力学中的非线性分析方法有哪些？在工程力学领域，非线性问题的研究至关重要。
与线性问题相比，非线性问题更加复杂，需要采用专门的分析方法来准确描述和解决。
下面我们就来探讨一下工程力学中常见的非线性分析方法。
首先要提到的是有限元法。
这是一种非常强大且广泛应用的数值分析方法。
在处理非线性问题时，它能够有效地模拟材料的非线性行为，比如塑性、蠕变等。
通过将复杂的结构离散为有限个单元，并对每个单元进行分析，最终得到整个结构的响应。
对于几何非线性问题，如大变形、大转动等，有限元法能够通过更新坐标和刚度矩阵来准确捕捉结构的变化。
而对于材料非线性，如弹塑性问题，通过定义合适的本构关系，可以精确地模拟材料在不同应力状态下的行为。
再来看看边界元法。
它是另一种有效的数值方法，特别适用于处理无限域或半无限域问题。
在非线性分析中，边界元法可以结合迭代算法来求解非线性边界条件或非线性材料特性。
与有限元法相比，边界元法通常只需要对边界进行离散，从而降低了问题的维数，减少了计算量。
但在处理复杂的非线性问题时，其数学推导和编程实现可能会相对复杂。
还有一种方法是摄动法。
这是一种基于微扰理论的分析方法。
对于弱非线性问题，通过将非线性项视为对线性问题的小扰动，将问题的解表示为一个级数形式。
通过求解这个级数的各项，可以逐步逼近非线性问题的精确解。
摄动法在处理一些简单的非线性问题时非常有效，但对于强非线性问题，其精度可能会受到限制。
接下来是增量法。
在处理非线性问题时，将加载过程或变形过程分成一系列的小增量。
在每个增量步内，将问题近似为线性问题进行求解，然后逐步累加得到最终的结果。
这种方法适用于各种非线性问题，尤其是在考虑加载历史和路径相关性的情况下。
非线性有限差分法也是常用的手段之一。
它直接对控制方程进行离散，通过差分近似来表示导数项。
在处理非线性问题时，可以采用迭代的方式求解离散后的方程组。
这种方法对于简单的几何形状和边界条件的问题较为适用，但对于复杂的结构可能会面临网格划分和精度控制的挑战。
桥梁结构几何非线性计算理论
二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工程
中的非线性问题逐步得以解决
1.概述(续)
非线性问题及其分类
固体力学中有三组基本方程，即：本构方程、几何运动方
程和平衡方程。
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
平面桁架单元的切线刚度矩阵；平面柔索单元的切线刚度矩阵；平面 梁单元的切线刚度矩阵。
桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论
稳定函数与几何刚度阵；弯矩对轴向刚度的影响；活载几何非线性； 桥梁结构几何非线性调值计算。
非线性方程的求解
概 述；Newton-Raphson法；收敛准则。
小 结
第十一章
t t
2.4 T.L列式与U.L列式的异同及适用范围 T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理
论导出的不同方法，但是，它们在相同的荷载增量步 内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到 多个实际例题的证明。
从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性
分析，但一般情况下，T.L列式适用于大位移、中等转 角和小应变的几何非线性问题，而U.L列式除了适应于 上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性、 徐变分析。可以追踪变形过程的应力变化。
求得的位移状态下，新的抗力与总外荷载之间有一差量， 即失衡力，结构必须产生相对位移以改变结构的抗力来消 除这个失衡力。
在计算中，一般通过迭代法来求解。
2.3 更新的拉格朗日列式法(U.L列式)
在建立t+t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参
照构形不是未变形状态t=0时的构形，而是最后一个已 知平衡状态，即以本增量步起始时的t时刻构形为参照 构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法(U.L列 式) 。
第8章 接触问题的有限元法
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小滑动和有限滑动 当选用小滑动公式时，ABAQUS从模拟开始就
建立从属表面和主控表面的关系。ABAQUS确定主 控表面的哪个部分与从属表面的每一个节点发生关 系。这种关系在整个分析中保持不变。如果分析包 括几何非线性，小滑动公式需要考虑主控表面的任 何转动与变形对接触力的影响。如果不包括几何非 线性问题，可忽略主控表面的任何转动和变形，认 为加载路径是固定的。
一对接触面的法线方向应该相反，如果法线方向 错误，ABAQUS理解为过盈接触，因此无法收敛。
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从属表面和主控表面
ABAQUS采用主控—从属接触算法：从属表面 的节点不能穿透主控表面的任何部分。这种算法对 主控表面没有限制，它可以穿透从属表面。为了获 得接触模拟的最好结果，必须认真和准确地定义从 属和主控表面：
力引起的等效节点力向量
和罚系数有关的矩阵
F 'k+1 = −Λ'T T N cd c − Λ'd '
整体坐标系下接触力等效节点力向量
对称阵 F k+1 = −(N c )T T Λ'T T N cd c − (N c )T T Λ'd '
F k+1 = −Kcd c + F̃ k+1 --系统的等效节点接触力向量
采用有限元法分析接触问题时，需要分别对接触 物体进行有限元网格剖分，并规定在初始接触面上， 两个物体对应节点的坐标位置相同，形成接触对。整 体和局部坐标系下，两个物体由于接触载荷引起的等 效节点力矢量分别记为
3
{ } F Ι = F1Ι , F2Ι , F3Ι T
非线性有限元之非线性求解方法
非线性有限元之非线性求解方法平衡回顾✧静态平衡是内力I和外载P力量平衡；✧在非线性问题中，模型的内力I可以是以下量的非线性函数；✧在非线性问题中，模型的外力P也可以是某些量的非线性函数，如位移u和时间t。
非线性求解方法1.已知一个分析，知道结构总载荷和初始刚度，目的是找到最后的位移。
线性分析中，一次计算就能求解出最终位移；非线性问题中不可能，因为结构刚度随着结构变形而改变。
2.求解这类非线性问题需要的是一种增量\迭代技术，获得的解是非线性问题准确的近似。
这些方程通常没有精确解。
3.Abaqus使用迭代求解该方程：使用牛顿拉普森方法求解近似解，使误差最小。
4.Abaqus用法：1）载荷历史被拆解为一系列的分析步；每个分析步拆解为一系列增量步；用户为初始时间增量猜测一个值；Abaqus使用自动增量算法确定其他的增量步。
在每个增量步结束时，Abaqus根据载荷与时间关系计算当前负载大小2）使用牛顿拉普森程序迭代求解每个增量结束时的解；根据收敛容差判断牛顿拉普森程序的收敛；如果迭代不收敛，减少增量步的大小；然后使用小增量步重新进行计算。
5.分析步、增量步、迭代步1）分析步仿真载荷历程含有一个或多个分析步。
2）增量步是分析步的一部分；在静态问题中，总载荷被分成很小的增量步。
以便可以沿着非线性路径求解。
3）迭代步迭代步是增量步中寻找平衡解得一次计算尝试。
5.牛顿拉普森方法Abaqus/Standard 基于牛顿拉普森方法的增量迭代求解技术，该方法是无条件稳定（任何大小的增量步都可以）。
增量步大小影响动态分析精度，每个增量步通常要求多次迭代才能满足收敛要求，每个分析步通常有多个增量步，牛顿拉普森定义了一个残差为0位移曲线。
6.牛顿拉普森方法基础。
平衡是u的非线性方程，牛顿拉普森迭代求解在Cu 处的线性方程，Cu是位移u的修正量。
7.残差定义为了得到线性方程组，重写一下平衡方程，R（u）是u的残差。
这个残差表示的是位移u处不平衡力。
非线性有限元解法
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
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第八章 几何非线性问题的有限元法引言前面各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于1。
在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。
实际上，上述假设有时是不成立的。
即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确定位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。
例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。
再如在结构稳定性问题中，当载荷达到一定数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。
在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。
几何非线性问题可以分为以下几种类型：（1）大位移小应变问题。
一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。
例如高层建筑或高耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。
（2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。
（3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。
结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。
为了描述结构的变形需要设置一定的参考系统。
一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位置，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Ｌagrange ）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。
本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导出经典的线性屈曲问题的公式；然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式；接着还给出了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。
在讨论中我们采用总体的拉格朗日列式法，但对杆系结构，为应用方便我们给出了两种列式法的公式。
&一般性讨论理论基础无论是对于何种几何非线性问题，虚功原理总是成立的。
由虚功原理，单元的虚功方程可以写成如下的形式{}{}{}{}0=-⎰⎰⎰**veeTeeTF dv δσε （）其中{}F 为单元节点力向量，{}e*ε为单元的虚应变，{}e*δ为节点虚位移向量。
增量形式的应变一位移关系可表示为{}[]{}eed B d δε= （）上式中{}ed δ表示单元节点位移{}eδ的微分。
根据变分与微分运算在形式上的相似性，有{}[]{}eeB **=δε以上两式中[]B 称为大位移情况下的增量应变矩阵，代表了单元应变增量与节点位移增量之间的关系。
在大位移情况下[]B 应是节点位移的函数。
%若将上述应变增量矩阵分解为与节点位移无关的部分[]0B 和与节点位移有关的部分{}[])(δL B 两部分组成，即[][][]LB B B +=0（）此时[]0B 也就是一般线性分析时的应变矩阵。
将式（）代入（），并考虑到节点虚位移{}*δ的任意性，可将单元的平衡方程写成[]{}{}0=-⎰⎰⎰veeTF dv B σ （）按照式（）可以对整个结构建立有限元列式，这种列式方法可称为全量列式方式，在几何非线性分析中，按照这种列式方法得到的单元和结构刚度矩阵一般是非对称的，于求解不利。
因此，在分析非线性问题时大多采用增量列式法。
以下就着重介绍这一方法。
式（）所示的平衡方程可以写成微分的形式[]{}{}0)(=-⎰⎰⎰eveTF d dv B d σ （）由于在几何非线性问题中，应变矩阵[]B 和应力{}eσ都是节点位移的函数，因此有 []{}[]{}[]{}eTeeTd B B d B d σσσ+=)( （）>将式（）代入（），则有[]{}[]{}{}eeTvevF d dv d B dv B d =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσ （）单元内部的应力增量与应变增量存在确定的关系，这种关系可以用增量形式表示为{}[]{}eed D d εσ= （）式中[]D 称为应力一应变关系矩阵，或称为材料的本构关系矩阵。
如果材料属于线性弹性的，[]D 将是一个常数矩阵。
并且，对于线性弹性材料来说有{}[]{}{}{}e e e e D 00)(σεεσ+-= （）上式中{}e0ε和{}e0σ分别为单元材料中可能存在的初应变和初应力。
将式（）代入式（）就可以得到应力增量与单元节点位移增量之间的关系{}[][]{}eed B D d δσ= （）将式（）代入式（）后得;{}[][][]{}e L e d B B D d δσ)(0+= （）于是，式（）左端中的第二项便可表示为[]{}[][][][][][][][][][][][]{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=veL vTL TL vvLTTevTd dv B D B dv B D B dvB D B dv B D B dv d B δσ))((00（）若记[][][][]dv B D B k Tv000⎰⎰⎰=[]0k 是与单元节点位移无关，它就是一般线性分析时的单元刚度矩阵。
式（）右端第二层括号内的项可记为[][][][][][][][][][]⎰⎰⎰++=vL T L T L L T L dv B D B B D B B D B k )(00 （）[]L k 称为单元的初位移矩阵或大位移矩阵，表示单元位置的变动对单元刚度矩阵的影响。
现在再来看式（）左端的第一项。
考虑到式（）的关系并注意到[]0B 与节点位移无关，因此对节点位移的微分等于零，对于一个确定的有限元分析模型，式（）左端的第一项可一般地写成[]{}[]{}[]{}e evTLevTd kdv B d dv Bd δσσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （） （上式中[]σk 称为单元的初应力矩阵或几何刚度矩阵，它表示单元中存在的应力对单元刚度矩阵的影响。
由上式（）和式（），并考虑到式（）和（）的关系，有[][][]{}{}eeL F d d k k k =++δσ)(0 （）若记[][][][]L T k k k k ++=σ0 （）[]T k 就称为单元的切线刚度矩阵。
此时，有增量形式的单元刚度方程[]{}{}e e T F d d k =δ （）由此可以看出，单元切线刚度矩阵[]T k 代表了单元于某种变形位置时的瞬时刚度，或者说代表了单元节点力与节点位移之间的瞬时关系。
有了单元切线刚度矩阵就可以按照常规的方法，即单元集成法组装结构的切线刚度矩阵，即有[][]∑=T T k K （）。
并进而得到结构的增量刚度方程[]{}{}F d d K T =δ （）前面在推导式（）时，假定载荷{}eF 与变形无关。
但有些情况并非如此。
例如，作用于特大变形结构上的压力载荷，与变形有关的气动载荷便是这样。
在这种情况下，式（）应计及载荷相对于{}δd 的微分项，本书后面的推导中均不考虑这一影响。
求解方法对于实际应用，载荷增量不可能取成微分的形式，总是一个有限值。
于是，按式（）求得的位移增量使结构偏移了其真实的平衡位置。
为了解决这一问题，可以根据当时的结构位移情况按式（）求各单元上作用的节点力，并继而求得各节点合力。
然后将外载荷与上述节点合力之差，即节点的不平衡力，作为一种载荷施加于结构，由此求得节点位移的修正值。
上述过程也可以反复多次。
综上所述，总体的拉格朗日列式方法的一次完整的迭代步骤一般可归纳如下：（1）按线性分析得到节点位移的初值{}1δ。
（2）形成局部坐标系中的单元切线刚度矩阵[]T k ，并按式（）计算单元的节点力{}eF 。
（3）将[]T k 和{}eF 转换到整体坐标系。
（4）对所有单元重复（2）至（3）的步骤。
生成结构的切线刚度矩阵[]1T K 和节点力合力{}1F 。
(（5）计算节点不平衡力{}{}{}∑-=eF F 11ψ。
（6）求解结构刚度方程[]{}{}111ψδ=∆T K ，得节点位移增量{}1δ∆。
（7）将{}1δ∆叠加到节点位移向量{}1δ中，即{}{}{}112δδδ∆+=。
（8）收敛条件判断，如果不满足则反回到步骤（2）。
上述在总载荷下进行迭代的方法有时会遇到困难。
在非线性程度较高的问题中可能收敛较慢，此外，当解答非唯一时，有可能得到实际上不需要的那个解。
在这种情况下，可采用节中所介绍的增量法求解，并得到每一增量步的非线性解。
如迭代中再带有自平衡校正，并采用小的载荷增量，通常一步运算就能足够精确地得到该增量步的解。
以上两节所介绍的增量形式的总体拉格朗日列式法，在结构的非线性分析中应用十分广泛，有关计算公式及求解方法对板、壳或杆件体系的非线性分析都同样适用。
由上面的分析也可以看出，采用总体的拉格朗日方法求解非线性问题的关键是形成单元的切线刚度矩阵。
屈曲问题非线性分析，尤其是几何非线性分析在很多情况下是估算一个结构在失去稳定性前所能承受的最大载荷。
这是结构屈曲问题的研究目标，是固体力学的一个重要分支，也是工程实践中经常出现的问题。
小位移线性理论假设在结构受载变形过程中忽略了结构的位移变化，因此在加载的各个阶段总是认为结构在未加载的原始位形上产生平衡，当屈曲发生时，结构位形突然跳到另一个平衡位置。
图(a)为线性屈曲的示意图。
λ为裁荷比例因子，其含义稍后会讲到，它与位移δ在屈曲前为线性关系，当载荷达到极限值（图中分枝点）时结构失稳，δλ-曲线改变，结构平衡转向另一模态。
这就是线性屈曲也称分枝屈曲。
严格说来，结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，因此，从加载一开始就出现了几何非线性的特性，图(b)为非线性屈曲的示意图，当载荷比例因子增加时，δλ-曲线是非线性的，一直达到极限，这种在结构发生变形一直到失稳，在变形后的位形上考虑平衡一直达到极限的方法称非线性屈曲或极限屈曲。
~图 图可见，工程实际中分枝屈曲现象实为罕见，它仅出现在完全无结构缺陷，完全沿轴向加压的绝对直杆及完整空球壳在均匀外压的情况下。
分枝屈曲现象虽然罕见，但实际中有不少结构屈曲状态接近分枝屈曲，而分枝屈曲的计算工作量又远小于计算极限屈曲的工作量，况且，不少作者得出结论，一些中等非线性的屈曲状态，可以用线性屈曲问题特征向量的线性组合近似得到。
因此线性屈曲理论还是有其实际价值。
屈曲的含义可简述为：结构处于一种平衡状态，载荷增量为一个微量，其位移增量很大。
用方程来表达这种物理现象，则由总体拉格朗日列式法建立的结构刚度方程（）变成为[]{}0=δd K T （）根据式（）和（），有[][][][]L T K K K K ++=σ0 （）将式（）代入（）得[][][]{}0)(0=++δσd K K K L （））在线性屈曲情况下，屈曲前结构处于原始位形的线性平衡状态，因此上式中的大位移矩阵[]L K 应为零，此时式（）简化为[][](){}00=+δσd K K （）由式（）可以看出，[]σK 并不明显地包含位移增量{}δd ，在小变形情况下，该矩阵与应力水平成正比。