nonlinear(有限元非线性问题)
线性和非线性有限元
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CONTENCT
录
• 线性有限元方法 • 非线性有限元方法 • 线性与非线性有限元的比较 • 线性与非线性有限元的实例分析 • 未来研究方向与展望
01
线性有限元方法
定义与原理
定义
线性有限元方法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程的近 似解。它将复杂的求解区域离散化为有限个小的、简单的子区域 ，即有限元，然后对每个有限元进行求解，最终得到原偏微分方 程的近似解。
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在实际应用中，应根据问题的特性和需求选择合适 的有限元方法。对于复杂的问题，可能需要结合多 种有限元方法进行求解。
05
未来研究方向与展望
线性有限元方法的改进与优化
80%
高效求解算法
研究更快速、稳定的线性有限元 求解算法，提高计算效率。
100%
自适应网格生成
发展更智能、自动的网格生成技 术，以适应复杂几何形状和边界 条件。
线性有限元
由于线性有限元基于线性方程组进行求解，因此计算复杂度 相对较低，适用于求解一些较简单的问题，如弹性力学问题 。
非线性有限元
非线性有限元需要求解非线性方程组，计算复杂度较高，但 能够处理更复杂的问题，如塑性力学、流体力学等领域的问 题。
精度比较
线性有限元
对于一些简单的问题，线性有限元可以给出较为精确的结果。然而，对于一些 复杂的问题，线性有限元可能无法准确描述非线性行为。
80%
多物理场耦合
研究线性有限元在多物理场耦合 问题中的应用，如流体-结构、电 磁-热等。
非线性有限元方法的改进与优化
高阶非线性有限元
发展高阶非线性有限元方法， 以更精确地描述复杂非线性行 为。
非线性有限元分析
轨道结构的非线性有限元分析姜建华 练松良摘 要 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。
钢轨垫层刚度、钢轨抗扭刚度和扣件扣压力的大小是影响轨距扩大的主要因素。
根据非线性有限元接触理论,建立了能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型;并研究计算了不同扣件压力下,由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触引起的轨距扩大问题。
关键词 轮轨关系,扣件压力,非线性弹性力学,有限元分析1 引言实际工程中常见的非线性问题一般可以归纳为三类:材料非线性、几何非线性以及边界条件非线性。
材料非线性问题是由于材料的非线性本构关系所引起的,例如材料的弹塑性变形,材料的屈服和硬化等;几何非线性问题是由于结构的位移或变形相当大,以至必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程;边界条件非线性问题是指边界条件随位移变化所引起的非线性问题。
通常情况下,我们所遇到的非线性问题多数是上述三类非线性问题的组合[1,2]。
实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。
比如基于轮轨接触的材料非线性、几何非线性及边界条件非线性问题,以及扣件、钢轨、垫层三者间相互作用时所表现的边界条件非线性行为等。
所以,机车车辆在轨道结构上行驶时引起的力学现象是相当复杂的。
以往在研究轨道各部分应力应变分布规律时,通常采用连续弹性基础梁理论或连续点支承,偶尔简单考虑扣件的作用和弹性垫层的使用。
不管用哪一种支承方式建立模型,都由于这样那样的假设而带有一定程度的近似性。
所以,如何利用现代力学理论的最新成果以及日益发展的计算机技术,根据轨道结构的具体情况,建立更为完整更为准确的轨道结构计算模型,为轨道设计部门提供更加可靠的设计依据或研究思路,已十分必要。
本文提出了用非线性有限元理论研究轮轨系统和轨道结构的思路。
作为算例之一,本文将根据非线性有限元理论,建立能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型。
ANSYS教程,非线性结构分析过程
ANSYS教程，非线性结构分析过程尽管非线性分析比线性分析变得更加复杂，但处理基本相同。
只是在非线形分析的适当过程中，添加了需要的非线形特性。
非线性结构分析的基本分析过程也主要由建模、加载并求解和观察结果组成。
下面来讲解其主要步骤和各个选项的处理方法。
建模这一步对线性和非线性分析都是必需的，尽管非线性分析在这一步中可能包括特殊的单元或非线性材料性质，如果模型中包含大应变效应，应力─应变数据必须依据真实应力和真实（或对数）应变表示。
加载求解在建立好有限元模型之后，将进入ANSYS求解器(GUI：Main Menu | Solution)，并根据分析的问题指定新的分析类型(ANTYPE)。
求解问题的非线性特性在ANSYS中是通过指定不同的分析选项和控制选项来定义的。
非线性分析不同于线性分析之处在于，它通常要求执行多荷载步增量和平衡迭代。
下面就详细讲解一下进行非线性结构分析需要定义的各个求解选项、分析选项和控制选项是如何设置的，以及他们的意义是什么。
求解控制对于一些基本的非线性问题的分析选项，可以通过ANSYS提供的求解控制对话框中的选项设置来完成。
选择菜单路径：Main Menu | Solution | Analysis Type | Sol’n Controls，将弹出求解控制(Solution Controls)对话框，如下图所示。
从图中可以看出该对话框主要包括5个选项卡：基本选项（Basic）、瞬态选项（Transient）、求解选项（Sol’n Options）、非线性选项（Nonlinear）和高级非线性选项（Advanced NL）。
如果开始一项新的分析，在设置分析类型和非线性选项时，选择“Large Displacement Static”选项（不是所有的非线性分析都支持大变形）。
如果想要重新启动一个失败的非线性分析，则选择“Restart Current Analysis”选项。
选中下面的“Calculate prestress effects”单选按钮用于有预应力的模态分析时的预应力计算，具体内容见模态分析部分。
有限元非线性分析-正式课件-2011-01-06
屈服强度的影响因素
影响屈服强度的内在因素有：结合键、组织、结构、原子本性。 如将金属的屈服强度与陶瓷、高分子材料比较可看出结合键的影响 是根本性的。从组织结构的影响来看，可以有四种强化机制影响金 属材料的屈服强度，这就是：(1)固溶强化；(2)形变强化；(3)沉淀强 化和弥散强化；(4)晶界和亚晶强化。沉淀强化和细晶强化是工业合 金中提高材料屈服强度的最常用的手段。在这几种强化机制中，前 三种机制在提高材料强度的同时，也降低了塑性，只有细化晶粒和 亚晶，既能提高强度又能增加塑性。 影响屈服强度的外在因素有：温度、应变速率、应力状态。随 着温度的降低与应变速率的增高,材料的屈服强度升高，尤其是体心 立方金属对温度和应变速率特别敏感，这导致了钢的低温脆化。应 力状态的影响也很重要。虽然屈服强度是反映材料的内在性能的一 个本质指标，但应力状态不同，屈服强度值也不同。我们通常所说 的材料的屈服强度一般是指在单向拉伸时的屈服强度。
屈曲分析
屈曲分析 是一种用于确定结构开始变得不稳定时的临界 载荷和屈曲模态形状(结构发生屈曲响应时的特征形状)的技 术，特征值屈曲分析用于预测一个理想弹性结构的理论屈曲 强度(分叉点)。 非线性屈曲分析是一种典型而且重要的几何非线性分析， 比线性屈曲分析更精确。非线性屈曲分析的基本方法是，逐 步地施加一个恒定的载荷增量，直到解开始发散为止。尤其 重要的是，要一个足够小的载荷增量，来使载荷达到预期的 临界屈曲载荷。若载荷增量太大，则屈曲分析所得到的屈曲 载荷就可能不精确。在这种情况下，打开二分和自动时间步 长功能[ AUTOTS ,ON]有助于避免这种问题。
有限元-非线性分析
一．非线性结构分析简介 二．几何非线性（大应变、屈曲分析等） 三．材料非线性（弹塑性分析） 四．接触分析（高度非线性） 五．ANSYS的设置
有限元非线性分析
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
大位移和大转角（小应变；线性或非线性材料）
大位移、大转角和大应变（线性或非线性材料）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 在线性FEA中，应变，如x方向应变可写为εx = ∂u/∂x，也就是说在表达式εx = ∂u/∂x + ...[(∂u/∂x)z + (∂v/∂x)z + (∂w/∂x)z]中只考虑了一次项的影响。在大位移（非线性）中，表达式的二次项也要考虑。另外，材料的应力-应变关 系也不一定是线性的。 2）材料非线性
材料非线性的特点
非线性材料（小位移）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 所有的工程材料本质上都是非线性的，因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件比如加载、温度和应变率。 可以对材料特性进行简化，只考虑对分析来说重要的相关因素。线弹性材料（胡克定律）假设是最简单的一种。如果 变形可恢复，则材料为线弹性，如果变形不可恢复，则为塑性。如果温度效应对材料属性影响较大，则应该通过热弹性或热-塑性关系考虑结构和热之间的耦合效应。如果应变率对材料有明显影响，则应使用粘-弹性或粘-塑性理论。 上图是一个材料非线性的示例。 材料非线性的简单分类： 1. 非线性弹性 2. 超弹性 3. 理想弹-塑性 4. 弹性-时间无关塑性 5. 时间相关塑性（蠕变） 6. 应变率相关弹-塑性 7. 温度相关的弹性和塑性 如果考察上图中的应力-应变曲线，则材料非线性可以分为以下几类： 1. 线弹性-理想塑性 2. 线弹性-塑性。应力-应变曲线的塑性段与时间无关，还可细分为两种：
非线性有限元及结构力学模拟中的三类非线性问题
非线性有限元及结构力学模拟中的三类非线性问题1. 线性分析外加载荷与系统的响应之间为线性关系。
例如线性弹簧，结构的柔度阵（将刚度阵集成并求逆）只需计算一次。
通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆，可得到结构对其它载荷情况的线性响应。
此外，结构对各种载荷情况的响应，可以用常数放大和/或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的响应，所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加（或相乘）。
这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况采用了相同的边界条件。
2. 非线性分析非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变。
所有的物理结果均是非线性的。
线性分析只是一种近似，它对设计来说通常已经足够了。
但是，对于许多结构包括加工过程的模拟（诸如锻造或者冲压）、碰撞分析以及橡胶部件的分析（诸如轮胎或者发动机支座），线性分析是不够的。
一个简单例子就是具有非线性刚度响应的弹簧。
线性弹簧，刚度是常数非线性弹簧，刚度不是常数由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。
在非线性隐式分析中，结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆，分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多。
在显式分析中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的。
非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数，因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。
每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解。
3. 非线性的来源在结构的力学模拟中有三种：材料非线性、边界非线性（接触）、几何非线性。
(1) 材料非线性大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力/应变关系；但是在高应变时材料发生屈服，此时材料的响应成为了非线性和不可恢复的。
橡胶材料等也是一种非线性、可恢复（弹性）响应的材料。
材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。
应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式。
材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数。
(2) 边界非线性如果边界条件在分析过程中发生变化，就会产生边界非线性问题。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
非线性有限元分析
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
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n
则n+1次近似解满足：
d n1 n n 0 d n
n KT n n 0
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NONLINEAR FEM
k 0.2 u P 0.006 u1
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NONLINEAR FEM
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Load - Deflection
0.020
0.018
0.015
0.013
0.010
P
0.008
0.005
0.003
0.000 0 0.01 0.02 0.03 0.04 u 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
J.T.ODEN, 1972年。
《非线性有限元分析》，吕和洋，
化学工业出版社，1988年
《非线性橡胶材料的有限元分析》，杨晓翔，
石油工业出版社，1999年。
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NONLINEAR FEM
2
商 业 软 件
主要有德国的ASKA；
英国的PAFEC；
法国的SYSTUS； 美国的ALGOR、ABQUS、ADINA、ANSYS、 SAP90 、 BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
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NONLINEAR FEM
11
INTRODUCTION
几何非线性 应变——位移关系是非线性的。 大位移小应变的情况 （梁或板壳的大挠度弯曲） 大位移大应变的情况 （橡胶材料、结构的非线性失稳） 求解 —— 相对比较复杂，需要修改基本方程。
平衡方程参考变形后的构形 几何关系应计入二次项
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NONLINEAR FEM
12
INTRODUCTION
状态非线性
许多普通结构的表现出一种与状态相关的非线性行为, 例如，一根只能拉伸的电缆可能是松散的,也可能是绷紧 的。轴承套可能是接触的,也可能是不接触的, 冻土可能 是冻结的,也可能是融化的。这些系统的刚度由于系统状 态的改变在不同的值之间突然变化。状态改变也许和载 荷直接有关（如在电缆情况中）， 也可能由某种外部原 因引起（如在冻土中的紊乱热力学条件）。
k u P
k k0 k N k0 kN
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constant function of u
NONLINEAR FEM 21
Problem Statement
k 0 k N u P
k N f ( u)
Given P find u. Assume f(u) is a known function.
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非线性问题的一般处理方法
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NONLINEAR FEM
10
INTRODUCTION
材料非线性(Nonlinear stress-strain behavior) 应力——应变关系是非线性的。 塑性屈服（ s ） 非线性弹性（塑料、岩石、土壤等） 蠕变（高温环境变形随时间增大） 求解 —— 相对比较简单，不需要修改基本方程。
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NONLINEAR FEM
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P
Hardening kN > 0
(kN = 0)
Slope k0 Softening kN < 0
u
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NONLINEAR FEM
23
Direct Substitution Method
1. 2. 3. 4.
5. 6.
Let load PA be applied to a softening spring (kN<0) Assume kN = 0 for the first iteration. Compute first approximation to displacement: u1 = PA/k0 Use u1 to compute new stiffness: k = k0 +f(u1) Compute next approximation to displacement: u2 = PA/k Generate sequence of approximations.
P
PA
a
b c
1
2
3
u1 u2 u3
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uA
u
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NONLINEAR FEM
Example:
P= k 0.2000000000 0.1700000000 0.1647058824 0.1635714286 0.1633187773 0.1632620321 0.1632492630 0.1632463884 0.1632457413 0.1632455955 0.1632455627 0.1632455553 0.1632455537 0.1632455533 0.1632455532
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NONLINEAR FEM
31
非线性问题的一般处理方法
Newton-Raphson法（N-R法）
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NONLINEAR FEM
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非线性问题的一般处理方法
------ Newton-Raphson法（N-R法）
P f K f 0
0.006 u Del u 0.0300000000 0.0352941176 15.00000000% 0.0364285714 3.11418685% 0.0366812227 0.68877551% 0.0367379679 0.15445930% 0.0367507370 0.03474506% 0.0367536116 0.00782121% 0.0367542587 0.00176085% 0.0367544045 0.00039645% 0.0367544373 0.00008926% 0.0367544447 0.00002010% 0.0367544463 0.00000452% 0.0367544467 0.00000102% 0.0367544468 0.00000023% 0.0367544468 0.00000005%
K f
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NONLINEAR FEM
5
INTRODUCTION
K D R K K D R R D
Stiffness and Forces are not functions of displacements.
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NONLINEAR FEM
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非线性问题的一般处理方法
直接迭代法
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NONLINEAR FEM
18
非线性问题的一般处理方法
------ 直接迭代法
K f 0
解法： 假定初始值 0
解线性方程组
1 K 01 f
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NONLINEAR FEM
24
Sequence of Operations
u1 k P
u 2 k 0 k N1 u3
0
k
1 0 A
k N2
1 1
PA PA PA
25
u i 1 k 0 k Ni
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1
NONLINEAR FEM
P
P K
-f
-f
0 1 2 3
下凹一般收敛
0
n1 n n2
上凹一般发散
③ 每迭代一次需形成一次系数矩阵，并求解一次
线性方程组。 n K 11 f n
NONLINEAR FEM
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Typical Nonlinear Problem 1 D-O-F
接触 ——状态变化非线性类型形中一个特殊而重要的子集。
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NONLINEAR FEM
13
INTRODUCTION
材料非线性和几何非线性同时存在 （有时也存在接触） 塑性成型
（油箱冲压分析）
冲压导致的厚 度减薄
2014
NONLINEAR FEM
CHAPTER 9 非线性有限元分析
NONLINEAR FINITE ELEMENT METHOD
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NONLINEAR FEM
1
参 考 书 目
《非线性有限元分析》，张汝清，詹先 义，
重庆大学出版社，1990年。 《FINITE ELEMENTS OF NONLINEAR CONTINUA》
Stiffness and Forces are functions of displacements.
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NONLINEAR FEM
9
INTRODUCTION
Difficulty!
Nonlinear problems can cost as much as 10 to 100 times as much to solve as corresponding linear problems! We often try to approximate nonlinear solutions by linear solutions
状态变化（包括接触） Gaps opening or closing Phase changes Buckling
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NONLINEAR FEM
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INTRODUCTION
Nonlinear Problem
K D R K K D R R D