一类非线性Laplace问题的有限元解
一类含高阶Laplace算子非线性时滞中立型双曲偏微分方程解的振动性
) ,男 ,湖南衡阳人 ,衡阳师范学院数学系讲师 ,硕士 ,研究方向 :微分方 程稳 定性 理论. 作者简介 : 曾云辉 (19 78 —
12
m3
+ q ( x , t ) u ( x , t) +
j =1
∑q ( x , t) f
j
j
( u( x , σ j ( t) )
2 l- 1 = a ( t)Δ u ( x , t) +
k= 1
∑a
k
( t )Δ2 l- 1 u ( x ,ρ k ( t) )
( 1)
Ω ×R + ≡G; R + = [ 0 , + ∞ ) , l 是某正整数 ,Ω 为 R n 中具有逐片光滑边界 5Ω 的有 解的振动性 , 其中 ( x , t) ∈ n n- 1 界区域 ;τ i ( t ) 是正常数 , i = 1 , 2 , … , m1 ; a ( t) ∈C ( R + , R + ) ,Δ 为 Lapl ace 算子 ,Δ = Δ(Δ ) 。 考虑其边值条件 :
第 29 卷第 6 期 20 08年1 2月
衡阳师范学院 学报
Jo ur nal of Hengya ng Normal Univer sity
No. 6Vol . 29 Dec . 2 0 0 8
一 类 含 高 阶 La pla ce 算 子 非 线 性 时 滞 中 立 型 双 曲 偏微分方程解的振动性
曾云辉
( 衡阳师范学院 数学系 , 湖南 衡阳 421008)
一类P—Laplace方程解的有界性研究
考虑 齐次 方程 ：
（ （ ） ＋ 。 ） ＝０， （） ５
引入 变量 如下 ： 令 ＝ （ ） 则 Ｙ ＝ （ ）． Ｙ，
［ 作者简介 ］ 石艳玲（ ９２一） 女， １８ ， 河南安 阳人 ， 助教 ， 硕士 ， 主要从事动力系统研 究． ｍ ｉ ｓｉ ｎ ｎ９９ ８ ６ ．ｏ Ｅ— ａ ： ｙ ｌ ｇ６ ９ ＠１ ３ ｃｒ ｌ ｈａｉ ｎ
Ａｐ ．，２ ０ ｒ ０ ８ Ｖ０ ７ Ｎｎ ２ Ｌ２
第２ ７卷
第 ２期
一
类 Ｐ—Ｌ ｐａｅ 程 解 的有 界 性 研 究 ａｌ 方 ｃ
石 艳 玲
（ 仰恩大学 数学系 ， 福建 泉州 ３２１） ６ ０４
２ ｎ
［ 摘
要 ］ 究二 阶微 分方程 （ （ ） ＂３ｎｌ 研 ） １￣＋ ＋ ＂２
，
一
＜ ｔｏ ＜ ｔ ＋，
（ （ ）ｙ ｆ ） ＝Ｅ ｆ ， （）
・
且将 上述 哈 密顿 函数化 为
３ １ 作 用 变量和 角 变量 ．
ｓ（（ｌ （１＜ ，＝ ． ｙｉ￡＋ ￡） ∞ ，警 ￣ ） Ｉ ） ｅ
注 ： 程 （ ） Ｐ ＝２时就是 文献 ［ ］ 虑 的 方 ３当 ７考 情形 ， 此 我 们 的 结 论 是 文 献 ［ ］ 进 一 步 推 因 ７ 的
［ 收稿 日 】０８ ０ 一 ２ 期 ２０ — ｌ ０
』
也 （ ０ １ ￡ ）＝ ， ， ∈（ ∞， 解的有 一 ∞）
界 性．
［ 键词 ］ 转定理 ； 关 扭 不变 曲线 ； 解的有 界性 ［ 中图分 类号 ］ １５ １ ［ Ｏ ７ ． 文献标 识码 ］ ［ Ａ 文章 编号 ］６ ３—８１ （０ ８ ０ ０ １ ０ １７ ０ ２ ２０ ）２— ０ ９— ３
一类p(x)-Laplace方程正解的存在性
一类p(x)-Laplace方程正解的存在性
张启虎
【期刊名称】《兰州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(042)001
【摘要】考虑方程{-△p(x)u=f(u),u-0 x∈Ω,x∈aΩ正解的存在性,这里-△p(x)u=-div(|△u|p(x)-2△u),p(x)∈C1(RN)是径向对称的,Ω=B(0,R)∩ RN是有界径向对称区域,其中R是充分大的正数.当u→+∞lim f(u)up--1=0时,证明了方程正解的存在性,而且未对f(0)的符号做任何限制.
【总页数】3页(P89-91)
【作者】张启虎
【作者单位】徐州师范大学数学系,江苏,徐州,221116
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类带有梯度的p(x)-Laplace方程正解的存在性 [J], 赵凯芳;刘辉昭;丁纺
2.一类带临界非线性项的p-Laplace方程正解的存在性 [J], 李新英;罗蔚;周树清
3.一类具有非线性边界条件的发展型p-Laplace 方程组正解的爆破性及整体存在性 [J], 吴学凇;高文杰
4.一类一维奇异p-Laplace方程组边值问题正解的存在性 [J], 王芳;钟承奎;王彩勋
5.一类分数阶p-Laplace方程积分三点边值问题正解的存在性 [J], 汤小松;罗节英
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一类p(x)-Laplace方程解的存在性
０ 引 言
ｄ ＪＴｕＪ 一Ｖ ）＝ ａ （ ） ‘ ＋６ ） ‘ ∈ ｎ， （ ａ ｘ 一 （ 一 ，
， 一
｛ （）＞０ ∈ｎ， ｕ ，
【 ）：０ （
。
∈ ａ ｎ
其中 ｎ是 Ｒ （ ≥３ Ｎ ）中 的有 界 区域 ，， 是 上 的连 续 实 值 函 数 ， ＞０，（ ＜Ｎ， Ｐ ， Ａ Ｐ ） 记
推 广 了 Ｐ ） ２时 的一 些结 果 ， （ － 关 键 词 ：（ 一ａｌ ｅ 变 分方 法 ； 解 ｐ ）Ｌｐａ ； ｃ 正
中图 分 类 号 ： ７ ．５ ０１５ ２
文献 标 识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：６ ２— ６０ ２０ ）９— ０ １ ０ １７ ３０ （０ ８ ０ ０ ３ — ３
２ Ｓｈｏ ｏ ｔｅ ａ ｃ Ｓｉ ｃ ，ｕｕＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｉ ， ｕｕ２ ３６ ，ｈｎ ） ．ｃｏｌ ｆ ｈｍ ｔｓ ｃ ｎｅ Ｑ ｆ ｏ ｌ ｎｖｓ ｔ Ｑ ｆ ７ １５ Ｃ ｉａ Ｍａ ｉ ｅ ｍ ｅ ｙ
Ａ ｓ ａｔＩ ｉ ｐ ｐｒｗ ｔｄ ｌ ｓ ｆ （ ）Ｌ ｐａｅｅ ｕｔ ｎ ｉ （ ）ｃｎａｅａ ｄｃｎ ｅ ｏ ｌ ｅｒｉ ． ｂｔ ｃ：ｎｔ ｓ ａ ｅ， ｅｓ ｙａｃ ｓ ｏ Ｘ 一ａｌｃ ｑ ａ ｏｓ ｔ Ｐ Ｘ － ｃｖ ｎ ｏｖｘｎ ｎｉ ａｉｅ ｒ ｈ ｕ ａ Ｐ ｉ ｗ ｈ ｏ ｎ ｔｓ Ｂ ａ ｉ ｓ ｏ ａｉ ｉ ａ ｍ ｔｏ ｓｗ ｂａ ｏｐｓ ｉ ｏ ｔ ｎ ｆ （ ）Ｌ ｐａｅｅ ｕｔ ｎ ｗ ｉ ｅ ｅ ｉ ｓ ｙｍ ｋ ｇｕｅ ｆ ｒ ｔ ｎｌ ｅ ｄ ， ｅｏｔｉ ｔ ｏｉｖ ｓ ｕｉ ｓｏ Ｘ 一ａｌ ｑ ａ ｏ ， ｈ ｈｇｎｒｚ ｎ ｖ ａｏ ｈ ｎｗ ｔｅ ｌ ｏ Ｐ ｃ ｉ ｃ ｌｅ
拉普拉斯(Laplace)方程
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。 类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情：复变函数论中的解析函数 由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
数 ，f (x1, · · · , xn)是 一 给 定 的 已 知 函 数 。 它 们 具 有 广 泛 的 应 用 背 景 。 下 面 我 们
以n = 2, 3为例，讨论方程的导出以及定解条件的提法。
1.1 方程的导出
本小节我们讨论Laplace方程和Poisson方程的应用背景及方程的导出。
实例一：静电场的电势
(1.13)
实例三：膜平衡方程 在第三章中我们研究了膜的振动方程
ρ
∂2u ∂t2
=
T
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+ F (t, x, y).
(1.14)
特别地，当研究在不随时间而变换的外力F (x, y)作用下的膜的平衡问题时，膜的位移 函数u和时间t无关，此时方程(1.14) 可化为膜平衡方程
∂2u ∂x2
u|∂Ω = g.
(1.16)
边界条件(1.16)称为:第::一:::类:::边::界:::条:::件::，也称为:D::ir:i:c:h::le:t:边:::界:::条::件:: 。 第二边值问题(也称为Neumann问题) 设有一光滑的闭曲面Γ并在其上给一连续函
数g，求解这样的一个函数u = u(x1, · · · , xn)使得它在Γ 所围成的区域Ω的内部满足方
一类p(t)-Laplace方程组多点边值问题解的存在性
（ ） 记 『 『一 ｍ ｘ『 （ 『 ｌ ｌ 一（ 『 『 ｛ ｌ ｌ 一 ｌ ｌ＋ ｌ ， 。 空间Ｃ和ｃ 上 ｆ ， 。 ） ａ ｆ ，ｌ ｌ ） 。 ∑ 及 ｌ ｌ ｌ 。 ｌ 『． ） ｌ
ｔ ０， Ｊ ＥＬ １
的范数 分别 为 ｌ ｌ 和 ｌ ｌ ． （ ｌ・ ｌ 。 ｌ・ｌ 则 Ｃ，ｌ ｌ ）和 （ ｌ・ ｌ ） ｌ・ ｌ 。 ｃ ，ｌ ｌ 都是 Ｂ ｎ ｃ 间． ａ ａｈ空
收稿 日期 ：０ ７ ０ — １ ２０ ～ ７ ９
基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 （ ０ ０ ０ ６ １ ６ １ ８ ） 中 国博 士 后 科 学 基 金 （０ ７４ １０ ） 河 南 省 教 育 厅 自然 科 学 基 金 国 １７ １６ ；０ ７０ ４ ； ２００２１７ ；
（ ００７ ０ ２ １１ ０３７ ）
一
△ ） Ｕ＋ 厂（ ， ｔ ）一 ０ ｔＥ （ １ ， ， ０， ）
ｒ ２
（） １
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ｒ ２
…
（） ２
这里 Ｐ Ｅ Ｃ（ ｏ １ ， 满 足 ｐ ｆ Ｅ ， ］ Ｒ） （）＞ １ 一 ／ ｃ ； ｋ （Ｕ一一 （ Ｕ 卜 Ｕ ） 为一 维 Ｐ（） Ｌ ｐａ ｅ 子 ； ｐ） 【 【 称 ｆ 一 ａ ｌｃ 算 ０＜ ＜
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第 ３ ６卷 第 ３期
２０ ０ ８年 ５月
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ Ｈｅ ａ 大 学ｌＵ ｉｅ ｓ ｙ （ 版 ） ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ 河ｎ 师Ｎｏ ｍ 学 报 （ ｒｉ科 学 ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ ｏ 南 ｎ 范 ｒ ａ ｎ ｖ ｔ Ｎａｕ Ｓ 自然
称函数 Ｕ Ｊ Ｒ ： — 是 方 程 组 （ ） １ 的解 ， 果 ＵＥ Ｃ 且 Ｉ Ｉ 卜 Ｕ 在 （ ，） 绝对 连续 ， 且在 Ｊ ａ ｅ 如 Ｕ Ｐ “ Ｏ １上 并 上 ．．
p-laplacian方程
下面我来详细地解释一下p -Laplacian方程以及相关的求解方法。
p -Laplacian方程是一类非线性偏微分方程，其形式如下：\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u) = f(x,u,\nabla u)其中u 是未知函数，f(x,u,\nabla u) 是已知函数，\nabla u 表示u 的梯度。
p -Laplacian方程的解的性质比较复杂，因为当p 取不同的值时，它具有不同的性质。
例如，p=2 的情况下，p -Laplacian方程就是Laplace 方程，又称为调和方程；而p=1 的情况下，p -Laplacian方程就是具有线性耗散性的对流扩散方程。
通常情况下，有限元方法是求解p -Laplacian方程的常用方法之一。
其主要思路是通过离散化来将方程转化为一个线性代数方程组，再对该方程组进行求解。
具体来说，可以将空间域离散化为若干个小单元，每个小单元内部的u 可以用一些基函数（如线性三角形函数）来表示。
这样，将方程在每个单元上进行离散，并使用有限元法的基函数来表示u 的数值近似解，就可以得到一个线性代数方程组。
解这个线性代数方程组得到的数值解可以近似地代表p -Laplacian方程的解。
当然，为了保证数值解的精度，需要在离散化和求解过程中采用一定的技巧，比如选择合适的网格或子区域，或者使用高阶的基函数等。
另外，还有其他方法可以用来求解p -Laplacian方程，比如有限差分法、保费-加拉金方法等。
这些方法各有优劣，应根据实际问题的需求选择合适的方法。
好的，下面继续讲述p -Laplacian方程。
p -Laplacian方程是一类非线性的偏微分方程，其解的性质十分复杂。
但是，在一定的条件下，可以得到一些关于p -Laplacian方程解的基本性质。
首先，我们可以得到p -Laplacian方程解的唯一性。
具体来说，如果有两个解u_1 和u_2 ，且它们均满足p -Laplacian方程，则它们的差w=u_1-u_2 也满足p -Laplacian方程，并且有以下不等式成立：\int_\Omega |\nabla w|^p dx = \int_\Omega |\nabla(u_1-u_2)|^p dx \leq \int_\Omega |\nabla u_1|^p dx - \int_\Omega |\nabla u_2|^p dx这说明差值w 的L^p 范数可以通过两个解的L^p 范数的差来控制，从而得到p -Laplacian方程解的唯一性。
laplace方程
Laplace方程一、介绍Laplace方程是一个重要的偏微分方程，它在应用数学领域起着重要的作用。
Laplace方程的形式如下：∇²φ = 0其中∇²是拉普拉斯算子，φ是未知函数。
这个方程描述了未知函数在给定区域内的二阶空间导数等于零的情况。
在本文中，我们将全面、详细、完整地探讨Laplace方程及其在物理学和数学中的应用。
二、物理学中的应用2.1 稳态问题Laplace方程常常用于描述稳态问题，即与时间无关的问题。
例如，当我们研究电势场或温度分布时，可以使用Laplace方程来描述系统的平衡状态。
通过求解Laplace方程，我们可以得到电势场或温度分布的解析解，从而更好地理解系统的行为。
2.2 电势与电荷分布在电磁学领域中，Laplace方程与电荷分布和电势之间存在联系。
根据电场的高斯定律，我们可以得到∇²V = -ρ/ε₀，其中V是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
当系统中的电荷密度为零时，即没有自由电荷，Laplace方程成为∇²V = 0。
因此，Laplace方程可以描述无电荷分布下的电势分布。
2.3 势流与速度场在流体力学中，Laplace方程与势流和速度场之间存在联系。
势流是无旋流体的流动描述，它满足Laplace方程。
通过求解Laplace方程，我们可以得到势流的解析解，从而更好地理解流体的运动规律。
在涡流较小的情况下，可以将流体的速度场表示为势流函数的梯度，进而通过Laplace方程求解速度场。
三、数学中的应用3.1 边界值问题Laplace方程在数学中的一个重要应用是解决边界值问题。
边界值问题是指在给定区域内，找到满足Laplace方程以及一些特定边界条件的解。
通过给定边界条件，我们可以唯一确定Laplace方程的解，进而得到满足特定条件的函数。
3.2 谐函数满足Laplace方程的函数被称为谐函数。
谐函数在数学中有广泛的应用。
例如，谐函数在电势场、温度分布以及其他物理问题中经常出现。
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4．第10--13周对所研究的理论进行系统性的在总结，对涉及软件仿真进行优化设计调试。
5．第14周掌握所研究技术的未来发展方向以及自己毕业设计（论文）的不足之处和以后的改进思路，完成论文（设计）草稿交指导老师审阅修改。
6．第15周完成论文，准备答辩。
参考文献：1姜礼尚，庞之垣著。有限元方法及其理论基础。人民教育出版社。
2神谷纪生著。有限元素法及边界元素法。沈阳出版社。
3李荣华，冯国忱编。微分方程数值法解。高等教育出版社。
二、
主要研究（设计）内容、研究（设计）思想及工作方法或工作流程
主要研究内容：
用一类非线性拉普拉斯方程作为一个平台去研究有限元法，其基本思想是把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。
指导教师意见
指导教师签字___________
年月日
难度
分量
综合训
练程度
是否隶属科研项目
院系部毕业设计领导小组审核意见
学院长（主任）___________
（公章）
年月日
主要设计方法：
步骤1：剖分
将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。每个单元的顶点称为节点（或结点）。
步骤2：单元分析
进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数
步骤3：求解近似变分方程
用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。
三、毕业设计（论文）工作进度安排
1．第1--2周内完成收集、查阅和熟悉资料工作，对课题的国内外现有技术状况和优、劣点作出详细分析，向老师交开题报告。要求掌握课题现有的方法与技术。
2．第3--4周根据课题方向的实际情况对课题进行进行分析研究，对课题方向应在分析结果的基础上提出研究方向与方法或建立模型，交指e问题的有限元解
专业：数学与应用数学
班级：0601班
学号：0601020124
姓名：李飞
指导老师：周彬
2010年3月15日
西安科技大学毕业设计开题报告
姓名
李飞
选题类型
应用型
题目
一类非线性Laplace问题的有限元解
一、选题依据(简述国内外研究现状、生产需求状况,说明选题目的、意义及参考文献)
大学四年匆匆而过，得失荣辱之间，我们都成长了许多。毕业论文作为大学四年的最后篇章，我希望能够为其画上一个完美的句号。我是一名数学与应用数学专业的学生，我的毕业论文的课题是“一类非线性Laplace问题的有限元解”，之所以选这一课题，我的出发点是有两方面，一方面，从我专业应用的范畴，扎实数学基础，较严格的逻辑思维能力，初步掌握数学科学的思维方法，掌握资料查询，文献检索及应用现代信息技术获取相关信息的基本方法成为我的专业优势；另一方面就是，有限元法是一种高效能、常用的计算方法．有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系.有限元法是在变分法或加权余量法基础上，采用分块逼近的思想而形成的系统化的数值计算方法。所以研究有限元法是非常有意义的。
主要研究思想：
有限元法的基本原理，就是将球截区域进行离散化，剖分成若干互相连接而又不重叠的一定几何形状的子区域，这样的子区域称为单元。然后，在单元体中选择基函数，用单元及函数可以有单元基函数组成。也就是说，有限单元法是根据变分原理和方程余量与权函数正交化原理所建立起的积分表达式为出发点，将整个积分区域中的求解函数离散为若干单元区域中的连续函数，再通过单元积分，总体合成为代数方程形成的有限方程。而拉普拉斯方程是用来研究有限元法的一个很好的平台。