5-6几种重要的微分方程应用模型(12,blue)
微分方程模型(全)
第四步：了解问题中所涉及的原则或物理定律。
第五步：依据 第二、第三、第四步 建立微分 方程。 还有已知的对应某个 t 的 y 的值（可 能还有 y 的导数的值）就是求解微分方程所 需要的初始值。
第六步：求微分方程的解并给出问题的答案。 下面我们从易到难给出微分方程模型之应 用案例
例1 火车启动
例 1：火车启动
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 溶液浓度
如果有一个实际问题，要找一个量 y ， 与另一个量 t（时间或其他变量）的关系， 这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率， 而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以 确定，那么这样的问题通常可以通过微分 方程来解决。 利用微分方程解决这样的问题的一般 步骤如下： （分为六步）
第一步:
题目：一列火车从静止开始启动，均匀地加速，
五分钟时速度达到 300 千米。问：这段时间内 该火车行进了多少路程？
例1 火车启动
解 这个问题相对比较简单，问题与“加速”、 “速度”有关，所以与导数有关； 涉及的量为： “时间”（小时），“路程”（千米），“速 度”（千米/小时），“加速度”（常数 a ）;
例2 细菌增长
解 这个问题也比较简单。 问题与“增长率”有关，所以与导数有关；
涉及的量为： “时间”（小时），“细菌总数”（个）， “速度”（个/小时）; 有（待定）函数关系的两个量定为： 细菌总数 y ，时间 t ； 涉及的原则或物理定律： 导数＝增长率.
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
微分方程模型
b x b x x x x ln y ( x) x x ln ( 1) a d a a d a a
所求曲线的近似曲线方程（折衷法）
y1 y2 折衷法 y 2 b x x y ( x) x x ln ( 1) a d a 2 a
K MM1
MA AB MA M1B d
o
N1 M1
M2 N M A B
D
x
N1MA 相似于 oMC
MA d y x
y MA d x
K MM 1
y x d
x-d
C(x,0) C2(x+d,0)
再计算 K MM 2
oNC 相似于 oM2C2
M 2D y d x y x
14
c
12
的数量成定比，
生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以
设 t 为死后年数，
y(t ) xc14 (t ) xc12
14 12
则t 0时, y y 0 , 即活体中 c 与 c 数量的比例 .
dxc14 dt
积分得
xc14 8000
t 8000
dy y dt 8000
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化
率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分
方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关
系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：
1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性
理论方法。
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程
5-6几种重要的微分方程应用模型
dx = k0 − kx dt x(0) = 0
k0 −kt x(t) = (1− e ) k
高等数学
05-06-24
C
k0 −kt (1− e ) C(t) = Vk
平衡浓度
k0 Vk
k0 Vk
O
t
高等数学
05-06-25
例 由物理学Newton冷却定律知， 由物理学Newton冷却定律知 冷却定律知， 保持不变的前提下， 在环境温度 T0 保持不变的前提下， 物体温度 T 的变化率与当时物体温 之差成正比。 度 T 和所处环境温度 T0 之差成正比。 外界温度为20℃ 恒温） 在外界温度为20℃（恒温）时，一 物体在20分钟之内由 分钟之内由100℃降到60℃ 物体在20分钟之内由100℃降到60℃， 冷却规律； 40分钟时 求（1）冷却规律；（2）40分钟时 物体的温度； 物体的温度；（3）多长时间物体降 30℃ 至30℃？
高等数学
05-06-12
例 在中东巴勒斯坦地区一个山洞里 发现的古人骨中， 发现的古人骨中，同位素14C与12C之 比仅为活组织的6 24% 比仅为活组织的 6.24% ， 已知 14C 每 年衰减1 8000， 年衰减1/8000，试问此人活在多少年 前？
高等数学
05-06-13
室模型 是将整个机体设想成若干个房 认为药物在体内的吸收、分布、 室，认为药物在体内的吸收、分布、 代谢、消除的过程在房室之间进行， 代谢、消除的过程在房室之间进行， 并假设药物在房室中的分布是均匀 的。
(x + y) ×30 = 750 (x − y) ×50 = 750
x = 20 y = 5
答：船速每小时20千米。 船速每小时20千米 千米。
各种微分方程模型
第三章 微分方程模型当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了.经济增长模型本节的模型将首先建立产值与资金、劳动力之间的关系，然后研究资金与劳动力的最佳分配，设投资效益最大，最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率，使劳动生产率得到有效增长。
3.1.1.道格拉斯（Douglas ）生产函数用()Q t ,(),()K t L t 分别表示某一地区或部门在时刻t 的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作()((),())Q t F K t L t = （1）其中F 为待定函数。
对于固定的时刻t ，上述关系可写作(,)Q F K L = （2）为寻求F 的函数形式，引入记号/,/Z Q L y K L == （3）Z 是每个劳动力的产量，y 是每个劳动力的投资，如下的假设是合理的：Z 随着y 的增加而增长，但增长速度递减。
进而简化地把这个假设表示为(),()01aZ cg y g y ya ==<< （4）显然函数g （y ）满足上面的假设，常数c>0可看成技术的作用。
由（3）（4）即可得到(2）式中F 的具体形式为10,1<<=-αααLK cQ （5）由（5）式容易知道Q 有如下性质0,,0,2222<>∂∂∂∂∂∂∂∂LK Q Q L QK Q （6）记K Q Q k ∂∂=,Q K 表示单位资金创造的产值；Q L , LQ∂∂ 表示单位劳动力创造的产值，则从（5）式可得Q L K QL QK Q Q Q Q LKLK=+-==,1,αα （7）（7）式可解释为：a 是资金在产值中占有的份额，1-a 是劳动力在产值中占有的份额。
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型 微分方程是数学中一类重要的方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会经济等各个领域。
本文通过介绍常见的微分方程模型，帮助读者了解微分方程的基本概念和应用方法，并通过举例说明，使读者更加清楚地理解微分方程的实际应用。
一、常微分方程的基本概念 常微分方程是指未知函数与其导数之间的关系式，通常使用符号形式表示。
其中，未知函数是关于一个自变量的函数。
2. 方程类型 常微分方程包括一阶常微分方程和高阶常微分方程两种类型。
一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是一阶导数的微分方程。
高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是高于一阶导数的微分方程。
1. 简单增长模型 简单增长模型常用于描述物种的繁殖或种群的增长过程。
假设种群数量是一个未知函数N(t)，t表示时间。
简单增长模型的一阶常微分方程形式为dN/dt = kN，其中k是增长率常量。
举例：假设某个种群的初始数量是100个，增长率为0.05个/年，求10年后的种群数量。
解法：将初始条件代入简单增长模型方程，得到dN/dt =0.05N。
然后解这个一阶常微分方程，得到N = 100e^(0.05t)。
代入t = 10，可求得10年后的种群数量为N = 100 * e^(0.05*10)。
2. 简谐振动模型 简谐振动模型常用于描述弹簧振子或电路中的振荡状态。
假设振动的位移或电流是一个未知函数x(t)，t表示时间。
简谐振动模型的二阶常微分方程形式为d^2x/dt^2 + ω^2x = 0，其中ω是振动的角频率。
举例：某个弹簧振子的质量为1kg，弹簧的劲度系数为4N/m，初始位移为1m，初始速度为0m/s，求振子在t = 2s时的位移。
解法：将初始条件代入简谐振动模型方程，得到d^2x/dt^2 + 4x = 0。
然后解这个二阶常微分方程，得到x = 1 * cos(2t)。
代入t = 2，可求得振子在t = 2s时的位移为x = 1 * cos(4)。
著名的微分方程
著名的微分方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理、工程、生物学等领域。
著名的微分方程不计其数，下面我将介绍几个具有代表性的微分方程。
1.一阶线性微分方程一阶线性微分方程是微分方程中最基本的类型之一。
它的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知的函数。
这个方程的解可以通过求解一个一阶的常微分方程得到。
2.二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程是一个具有形式为：ay'' + by' +cy = 0的方程。
其中a、b、c都是常数。
这个方程的解可以用特征方程的根来表示。
3.二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程是指具有形式为：ay'' + by' + cy =f(x)的方程。
其中f(x)是一个已知的函数。
这个方程的解可以通过特解和齐次解的线性组合得到。
4.指数衰减方程指数衰减方程是一种特殊的微分方程，具有形式为：dy/dx = -ky。
其中k是一个正常数，代表衰减速率。
它的解可以表示为y = Ce^(-kx)，其中C是一个常数。
5.生长方程生长方程是描述物种或人口数量随时间变化的微分方程。
常见的生长方程包括：指数增长方程、logistic方程和Gompertz方程等。
这些方程可以通过多种方法求解，例如分离变量法、线性变换法等。
6.波动方程波动方程是描述波动现象的微分方程，具有形式为：∂^2u/∂t^2 =c^2 ∂^2u/∂x^2。
其中u是波动的振幅，t和x分别表示时间和空间坐标。
这个方程描述了波在空间和时间上的传播。
以上只是介绍了微分方程的一些基本类型和应用领域的几个例子，实际上微分方程的研究内容非常丰富。
在数学领域，还有很多著名的微分方程定理和解法，例如：皮卡定理、格林函数法、变分法等。
微分方程的研究不仅有助于理解自然规律和现象，也为科学和工程领域提供了重要的分析工具。
微分方程的经典模型
模型分析
问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重 （记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数， 我们就能找到一个含有的
dW 微分方程。 dt
模型假设
W0 ； 1.W ( t ) 表示 t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为 2. W ( t ) 关于 t 连续而且充分光滑；
模型建立
游击作战模型的形式：
，
(t) f (x, y) x (t) g(x, y) y x(0) x , y(0) y 0 0
, 由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
f(x ,y ) c x y
g (x ,y )dxy
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
或被歼灭）的一方为败。因此，如果 K K0 ，则乙的兵力减少到
甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知， K0
K0 胜。而当
a
时
时，甲方获
时，双方战平。
2 2 bx ay 0 甲方获胜的充要条件为 0 0
代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
2 2 r p x r p y x x 0 y y 0
模型建立 根据假设得到一般的战争模型
x ( t) f( x ,y ) x u ( t) y ( t) g ( x ,y ) y v ( t) x ( 0 )x , y ( 0 )y 0 0
正规作战模型
模型假设
1.不考虑增援，并忽略非战斗减员；
得：
其解为：
i(t) i0e
k0t
模型分析与解释
这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律 无限增加，显然与实际不符
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高等数学
05-06-29
例 设一容器内有400L盐溶液，其 中含盐25g，以16L/min的速率向容 器内注入每升含有1.5g盐的盐水溶液， 采用搅拌使容器内各部分具有相同 的浓度，并同时以8L/min的速率从 容器中排出溶液，求 t 时刻容器内溶 液的含盐量。
高等数学
05-06-30
例 有一容器内盛盐水100L，含盐 50g，现将每升含盐量2g的盐水以每 分钟5L的速率注入容器并不断地搅 拌使混合液迅速达到均匀，问在任 一时刻 t 容器内的含盐量 x(t) 是多少？
高等数学
05-06-31
例 有一容器内盛盐水100L，含盐 50g，现将清水以每分钟5L的速率注 入容器并不断地搅拌使混合液迅速 达到均匀，同时混合液以相同的速 率流出容器，问在任一时刻 t 容器内 的含盐量 x(t) 是多少？
高等数学
05-06-32
课堂讨论题 一容器内有100L盐溶 液，其中含盐54g，清水以3L/min的 速度流入容器，以相同的速度流出， 采用搅拌以使容器内各部具有相同 的浓度，求在任一时刻 t 及1h后容器 内的含盐量是多少？
高等数学
05-06-16
二、药物动力学室模型 （1）快速静脉推注 （2）口服给药 （3）静脉滴注
高等数学
05-06-17
设 x(t) 为体内 t 时刻的药量，D 为一次注射的剂量，k>0 为消除速率 常数，V 为室的理论容积，称为表 观分布容积。 D
dx kx kt x(t ) De dt x ( 0) D
V V0 eΒιβλιοθήκη 0a(1 e
at
)
V V0 e
当 at+ 时
0t
0
a
Vmax V0 e
高等数学
05-06-41
V
V0 e
0
a
指数曲线
Gompertz曲线
O
t
高等数学
05-06-42
小结：数学模型，数学建模 建立数学模型的方法和步骤 放射性同位素衰变模型 药物动力学室模型（快速静脉推 注，口服给药，静脉滴注） 牛顿冷却模型 溶液连续稀释模型 种群增长模型 肿瘤生长的数学模型
答：船速每小时20千米。
高等数学
05-06-05
航行问题建立数学模型的基本步骤： 1.作出简化假设（船速、水速为常数）； 2.用符号表示有关量（x,y 表示船速和水 速）； 3.用物理定律（匀速运动的距离等于速 度乘以时间）列出数学式子（二元一次 方程）； 4.求解得到数学解答（x=20, y=5）； 5.回答原问题（船速每小时20千米）。
V x(t)
k
高等数学
05-06-18
血药浓度半衰期（生物半衰期）
C
ln 2 0.693 T k k
C ( t ) C0 e
kt
C0
C0/2 O
T
t
高等数学
05-06-19
例 用某药进行静脉注射，其血药浓 度下降是一级速率过程。第一次注 射后，经一小时浓度降至初始浓度 的 2 2 ，问要使血药浓度不低于初 始浓度的一半，问经过多长时间要 进行第二次注射？
高等数学
05-06-09
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
高等数学
05-06-10
一、放射性同位素衰变模型 二、药物动力学室模型 三、牛顿冷却模型
四、溶液连续稀释模型
五、种群增长模型 六、肿瘤生长的数学模型
高等数学
05-06-11
一级反应 若化学反应速率与反应物的浓 度成正比，称为一级反应。
如果在有限生存资源下，能够维持种 群生存的最大数量为 M，此值也称作饱和 种群量。种群未饱和程度可以用 (MN)/M 表示，则种群相对增长速率正比于 (MN)/M，这时描述种群增长的方程为
N 1 dN r (1 ) M N dt N |t 0 N 0
高等数学
高等数学
05-06-01
第六节 几种重要的 微分方程应用模型
高等数学
05-06-02
数学模型(mathematical model) 对于一个现实对象，为了一个 特定的目的，根据其内在规律，作 出必要的简化假设，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构称为 数学模型。
高等数学
05-06-03
数学建模(mathematical modeling) 建立数学模型的全过程（包括 表述、求解、解释、检验等），称 为数学建模。
高等数学
05-06-06
建立数学模型的方法和步骤：
（1）模型准备 在建模前应对实际问题 的背景有深入的了解，明确所要解决问 题的目的，并收集已有的各种资料和数 据。 （2）模型假设 由于实际问题错综复杂， 涉及面广，必须先将问题理想化，简单 化，即抓住主要因素，暂不考虑次要因 素，这是建模的关键一步。
一级速率过程 在某一变化过程中，一个量的 变化速率与当时的量成正比，称这 种动力学过程为一级速率过程。
高等数学
05-06-12
半衰期 在某一变化过程中物质剩余的 量变为初始量的一半时所用的时间， 称为半衰期。
高等数学
05-06-13
例 在中东巴勒斯坦地区一个山洞里 发现的古人骨中，同位素14C与12C之 14 比仅为活组织的 6.24% ，已知 C 每 年衰减1/8000，试问此人活在多少年 前？
05-06-35
流行病传播模型
如果感染通过一个团体内成员之 间的接触而传播，感染者不因死亡、 痊愈或隔离而被移除，易感染者最 终将成为感染者，则由此建立的模 型称为无移除的简单模型。
高等数学
05-06-36
某种上呼吸道感染的流行
记时刻 t 的易感人数和感染人数分别为 S，I， 并假设一个团体是封闭的，总人数为 N，不妨假 定开始时只有一个感染者，且团体中各成员之间 接触均匀，因而感染者的变化率和易感染者转为 感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的 乘积成正比。根据以上假定，可建立如下数学模 型
dI SI dt S N I
高等数学
05-06-37
由实验观察知道，细胞分裂时， 如果没有外界条件的限制，细胞的生 长速率与当时的细胞体积成正比。假 设 t 时刻的细胞体积为V(t)，则
dV V dt
高等数学
05-06-38
由实际经验知道，随着肿瘤的 增大，肿瘤细胞的生长速率 随时 间 t 增大而减小，其减小速率与当时 的大小成正比，比例系数为常数 a(a≥0)。于是，得到模型
高等数学
05-06-33
单一种群自然增长模型
在一定条件下，种群相对增长速率 与种群大小无关，是一个正常数 r，它 代表种群自然增长的能力，也称为自然 增长率。这时描述种群增长的方程为
1 dN r N dt N |t 0 N 0
高等数学
05-06-34
有限资源下单一种群增长模型
高等数学
05-06-20
设 xa—胃肠道（吸收部位）的药量 D x — 体内的药量 F Ka Ka— 吸收速率常数 K — 消除速率常数 V F — 所给剂量 D 中可吸收的分 x(t) 数，称为生物利用度(0F1)。
K
高等数学
05-06-21
初始条件 dxa K x a a dt xa (0) FD dx K x Kx x(0) 0 a a dt K a FD Kt K at x(t ) (e e ) Ka K
Cmax FD Kt m e V
O
tm
t
高等数学
05-06-24
设以恒定速率 k0 作静脉滴注 k0 V x(t) k
dx k 0 kx dt x(0) 0
k0 kt x(t ) (1 e ) k
高等数学
05-06-25
k0 Vk
C
k0 kt C (t ) (1 e ) Vk
dV V dt d a dt
高等数学
05-06-39
若 a=0，得
V V0 e
若 a>0，得
At
V V0 e
0
a
(1 e
at
)
上式称为高姆帕茨(Gompertz)函数。
高等数学
05-06-40
高姆帕茨(Gompertz)函数 当 at0 时
高等数学
05-06-22
K a FD K at Kt C (t ) (e e ) V (Ka K )
C
Cmax
AUC
0
FD C (t )dt VK
药物吸收的总量
O t
高等数学
05-06-23
Ka 1 ln 达峰时间 t m Ka K K
C Cmax
峰浓度
高等数学
05-06-14
室模型 是将整个机体设想成若干个房 室，认为药物在体内的吸收、分布、 代谢、消除的过程在房室之间进行， 并假设药物在房室中的分布是均匀 的。
高等数学
05-06-15
一室模型 是将机体看成一个动力学上同 质的单元，它适合于给药后，药物 立即进入血液循环，并能在瞬间分 布全身和达到动态平衡，并以一定 的速率从该室消除的情况。
高等数学
05-06-07
（3）模型构成 在所假设的基础上， 分清变量类型，利用适当的数学工 具刻划各变量之间的关系，建立相 应的数学模型。 （4）模型求解 根据建立的数学模 型，给出相应的数学求解方法，如 解方程，画图形，数值计算，利用 计算机技术等。
高等数学
05-06-08
（5）模型分析和检验 将所得的结 果与实际情况作分析比较，用已有 数据去验证，判断模型的正确性。 如果由模型分析或计算出来的理论 或数值与实际问题或实际数值较吻 合，则模型成功；如果两者差别很 大，则模型失败，需要重新修改模 型。